Razones y Proporciones, parte teórica, ejercicios y problemas.

1. Prof. Jenner Huamán Callirgos

2. El Hombre de Vitruvio es un famoso dibujo realizado en
lápiz y tinta por Leonardo da Vinci alrededor del año
1492. Mide 34,2 x 24,5 cm y está acompañado de notas
anatómicas realizadas por el propio Leonardo.
Representa una figura masculina desnuda en dos
posiciones sobreimpresas de brazos y piernas e inscrita
en un círculo y un cuadrado. También se conoce como el
Canon de las proporciones humanas.
Se trata de un estudio de las proporciones del cuerpo
humano, realizado a partir de los textos del arquitecto de
la antigua Roma Vitruvio de arquitectura, del que el dibujo
toma su nombre. El cuadrado está centrado en los
genitales, y el círculo en el ombligo. La relación entre el
lado del cuadrado y el radio del círculo es la razón áurea.
Para Vitruvio el cuerpo humano está dividido en dos
mitades por los órganos sexuales, mientras que el
ombligo determina la sección áurea. En el recién nacido,
el ombligo ocupa una posición media y con el crecimiento
migra hasta su posición definitiva en el adulto.

3. Al morir el jeque, ordenó que se distribuyeran sus camellos entre sus
hijos de la siguiente forma: la mitad para el primogénito, una cuarta
parte para el segundo y un sexto para el más pequeño. Pero resulta
que el jeque sólo tenía once camellos, con lo que el reparto se hizo
realmente difícil, pues no era cosa de cortar ningún animal. Los tres
hermanos estaban discutiendo, cuando ven llegar a un viejo beduino
famoso por su sabiduría montando en su camello. Le pidieron un
consejo y éste dijo: -si vuestro padre hubiese dejado doce camellos en
vez de once no habría problemas. - Cierto, pero sólo tenemos once -
respondieron los hermanos, a lo que el beduino contestó: tomad mi
camello, haced el reparto y no os preocupéis que nada perderé yo en
la operación.
¿En qué se basa el beduino para afirmar tal cosa?
El testamento del jeque

4. RAZÓN
Es la comparación de dos cantidades mediante una operación
aritmética (sustracción o división)
Clase de razón
RAZÓN ARITMÉTICA RAZÓN GEOMÉTRICA
Comparación de dos
cantidades (a; b) mediante la
sustracción.
a – b = r
Donde:
a: antecedente
b: consecuente
r: valor de la razón aritmética
Comparación de dos
cantidades (a; b) mediante la
división.
Donde:
a: antecedente
b: consecuente
k: valor de la razón geométrica
𝒂𝒂
𝒃𝒃
= 𝒌𝒌

5. PROPORCIÓN
Es la igualdad de 2 razones de una misma clase(aritmética o
geométrica) que tenga el mismo valor de la razón.
Clase de proporción
PROPORCIÓN ARITMÉTICA:
Es la igualdad entre 2 razones aritméticas.
DISCRETA
a – b = c - d
d: Cuarta diferencial de a, b y c
CONTINUA
a – b = b - c
b: Media diferencial de a y c
c: Tercera diferencial de a y b
Extremos
Medios
Extremos
Medios

6. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA:
Es la igualdad de 2 razones geométricas.
DISCRETA
d: Cuarta proporcional de a, b y
c
CONTINUA
b: Media proporcional de a y c
c: Tercera proporcional de a y b
𝑎𝑎
𝑏𝑏
=
𝑐𝑐
𝑑𝑑
𝑎𝑎
𝑏𝑏
=
𝑏𝑏
𝑐𝑐
En toda proporción geométrica se cumple:
Producto de términos extremos = Producto de términos medios
a x d = b x c

7. Propiedad general de la proporción geométrica
𝑎𝑎
𝑏𝑏
=
𝑐𝑐
𝑑𝑑
Sea la proporción:
Propiedad I
𝑎𝑎 − 𝑏𝑏
𝑏𝑏
=
𝑐𝑐 − 𝑑𝑑
𝑑𝑑
o
𝑎𝑎
𝑎𝑎 − 𝑏𝑏
=
𝑐𝑐
𝑐𝑐 − 𝑑𝑑
Propiedad II
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
𝑏𝑏
=
𝑐𝑐 + 𝑑𝑑
𝑑𝑑
o
𝑎𝑎
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
=
𝑐𝑐
𝑐𝑐 + 𝑑𝑑
Propiedad III
𝑎𝑎 + 𝑏𝑏
𝑎𝑎 − 𝑏𝑏
=
𝑐𝑐 + 𝑑𝑑
𝑐𝑐 − 𝑑𝑑

8. <
Serie de razones geométricas equivalentes
Propiedad I
Propiedades
𝑎𝑎1 + 𝑎𝑎2 + 𝑎𝑎3 + 𝑎𝑎4+. . . . . +𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑏𝑏1 + 𝑏𝑏2 + 𝑏𝑏3 + 𝑏𝑏4+. . . . . +𝑏𝑏𝑛𝑛
= 𝑘𝑘
vxp d gh dqwhf hghqwhv
vxp d gh f r qvhf xhqwhv
= 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟ó𝑛𝑛
𝑎𝑎1 𝑥𝑥𝑎𝑎2 𝑥𝑥𝑎𝑎3 𝑥𝑥𝑎𝑎4x. . . . x𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑏𝑏1x𝑏𝑏2x𝑏𝑏3x𝑏𝑏4x. . . . . x𝑏𝑏𝑛𝑛
= 𝑘𝑘𝑛𝑛
sur gxf wr gh dqwhf hghqwhv
sur gxf wr gh f r qvhf xhqwhv
= 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟ó𝑛𝑛 𝑛𝑛
Propiedad II

9. Serie de razones geométricas equivalentes continuas
S.R.G.E.C
𝑎𝑎
𝑏𝑏
=
𝑏𝑏
𝑐𝑐
=
𝑐𝑐
𝑑𝑑
= kSea:
𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑘𝑘3 𝑏𝑏 = 𝑑𝑑𝑘𝑘2 𝑐𝑐 = 𝑑𝑑𝑘𝑘
En general:
S.R.G.E.C
𝑎𝑎1
𝑏𝑏1
=. . . =
𝑎𝑎𝑛𝑛
𝑏𝑏𝑛𝑛
= 𝑘𝑘 ⇒ 𝑎𝑎1 = 𝑏𝑏𝑛𝑛. 𝑘𝑘 𝑛𝑛
“n” razones

11. APLICACIONES
1. En una reunión se observa que por cada tres varones hay cuatro
mujeres. Si en total han participado 91 personas, ¿cuántos varones y
mujeres hay en dicha reunión?
a) 39 y 52 b) 37 y 54 c) 28 y 63 d) 42 y 39
e) N.A
Resolución

12. 2. Un escuadrón de aviones y otro de barcos se dirigen a una isla.
Durante el viaje, uno de los pilotos observa que el número de aviones
que él ve es al número de barcos como 1 es a 2. Uno de los marinos
observa que el número de barcos que ve es al número de aviones
como 3 es a 2. ¿Cuántas naves son?
a) 16 b) 24 c) 18 d) 30 e) 20
Resolución

13. A B C D
k
a b c d
= = = =
2 2 2
2 2 2
63
AB B C D A B D
ab b c d a b d
+ + + +
+ + =
+ + + +
( ) ( ) ( )
A a B b D d
a b d
+ − +
+ +
3. Si
Además
Calcule
a) 16 b) 20 c) 22 d) 28 e) 30
Resolución

14. 4. Si ,
13
6
5
8
−
=
+
+
=
+
+
=
C
C
A
A
B
B
B
A
Calcule A+B+C
a) 28 b) 26 c) 25 d) 24 e) 20

15. 64333
333
=
+−
+−
==
fdb
eca
y
f
e
d
c
b
a






++
++






++
++
222
222
222
fdb
eca
x
fdb
efcdab
5. Sabiendo que:
Calcule N =
a) 34 b) 64 c) 54 d) 44 e) 84

16. k
c
bc
b
a
===
9
2
251
9
2
2
=+





+




 c
c
b
6. Si:
Además.
Calcular: “a”
a) 18 b) 24 c) 12 d) 10 e) 15

17. n
c
c
b
b
n
27
125
==
cb
cb
−
+
7. En la siguiente serie:
Calcule: E =
a) 4 b) 1/2 c) ¼ d) 8 e) 1/8

18. 8. En una serie de cuatro razones geométricas iguales con
constante de proporcionalidad positiva, los antecedentes son 2, 3, 7
y 11. Si el producto de los consecuentes es 37 422, halle la
constante de proporcionalidad de la serie.(UNMSM – 2014-I)
A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3 D) 2/9 E) 2/7
Resolución

19. EJERCICIOS Y PROBLEMAS
DE REFORZAMIENTO

20. 1. La razón geométrica de dos números positivos es 3/4 y su
producto es 300. Hallar el menor de los números.
a)6 b) 12 c) 15 d) 20 e) 30
2. Las edades de Julio y Wilter son 30 y 42 años respectivamente.
¿Dentro de cuántos años la razón de sus edades será 6/7?
a)12 b) 16 c) 24 d) 36 e) 42

21. 3. Hallar "A + B + C", si:
"A" es la cuarta diferencial de 34; 21 y 18.
"B" es la tercera diferencial de 25 y 16.
"C" es la media diferencial de 73 y 27.
a)51 b) 62 c) 73 d) 84 e) 99
4. Hallar "A + B + C", si:
"A" es la cuarta proporcional de 12; 18 y 28.
"B" es la tercera proporcional de 12 y 18.
"C" es la media proporcional de 12 y 75.
a) 48 b) 64 c) 73 d) 99 e) 102

22. 5. El producto de los cuatro términos de una proporción geométrica
continua es 50 625 y uno de los extremos es 3. Hallar la suma de los
cuatro términos.
a)35 b) 68 c) 93 d) 108 e) 120
6. En una serie de razones geométricas equivalentes, los consecuentes
son 2; 3; 5 y 7 y el producto de los antecedentes es 17 010. Hallar la
suma de los antecedentes.
a)17 b) 34 c) 51 d) 68 e) 85
7. Una bolsa contiene 80 bolas, de las cuales 20 son negras y las
restantes blancas. ¿Cuántas bolas blancas se deben retirar de la
bolsa, para que por cada bola blanca existan 4 negras?
a) 16 b) 25 c) 45 d) 55 e) 70

23. 8. Mi esposa y yo tenemos entre los dos $ 8 400 y gastamos $ 3
300. Si mi dinero es al suyo como 4 es a 3, pero gastamos como
5 es a 6 respectivamente, ¿en qué relación están las cantidades
de dinero que nos queda a cada uno?
a)11/ 6 b) 11/ 9 c) 5/6 d) 6/5 e) 7/9
9. Si: a/b = 4/7 y además: 5a – 2b = 30, hallar "a . b".
a)112 b) 252 c) 700 d) 840 e) 2 800
10. Si a los números 12; 27 y 67 se les resta una misma cantidad
se podría formar una proporción geométrica continua. ¿Cuál
sería la media proporcional?
a) 18 b) 24 c) 32 d) 45 e) 48

24. 11. Si:
𝑎𝑎2
12
=
𝑏𝑏2
27
=
𝑐𝑐2
48
=
𝑑𝑑2
75
y además: a + b + c + d = 70, hallar "a".
a)10 b) 12 c) 15 d) 20 e) 48
12. La suma, la diferencia y el producto de dos números están en la
misma relación que los números 5; 3 y 16. Determinar la suma
de dichos números.
a)15 b) 20 c) 25 d) 40 e) 48
13. En una proporción geométrica continua, la diferencia entre el
mayor y menor término es 25. Si el otro término es 30, hallar el
mayor de los términos.
a)36 b) 45 c) 75 d) 80 e) 90

25. 14. Se tienen tres toneles de vino cuyas cantidades son
proporcionales a 6; 7 y 11. Si del tonel que tiene más vino se saca
12 litros y se distribuye en los otros dos, resulta que al final los
tres toneles poseen la misma cantidad de vino. ¿Cuántos litros de
vino hay en total?
a) 48 b) 56 c) 60 d) 96 e) 144