1. Teoria de la probabilidad
Definicion de probabilidad
2. 1.Con frecuencia observamos o escuchamos el estado del tiempo.
2.Los hinchas de los diferentes equipos discuten frecuentemente sobre la
posibilidad de clasificacion o de ganar el campeonato.
3.Los que juegan lotería o apuestan a las carreras de caballos,tambien sueñan
con la posibilidad de ganar.
4.En el caso de los alumnos cuando se refieren a la posibilidad de perder o
ganar una asugnatura.
3. Definición de Probabilidad
El concepto de probabilidad puede ser interpretado como algo indefinible,pero
utilizado para expresar de algun modo,un grado de creencia que uno tiene de la
ocurrencia de un suceso.( Martinez,Bencardino,P.232)
• Existe una terminología básica, para definir el concepto de probabilidad, como la
posibilidad de que algo pase.(Rubio,Levin,p.129).
• Las probabilidades se expresan como fracciones(1/6,1/2,8/9) o como decimales
que estan entre cero y uno.
• Tener una probabilidad de cero, significa que algo nunca vá a suceder; una
probabilidad de uno indica que algo vá a suceder siempre.
4. Breve Historia de la Probabilidad
• El origen de la probabilidad inició en las mesas de juego, cuando el noble
francés Antoine Goumbauld(1607-1684, siglo XVII) buscó la base
matemática del éxito y del fracaso en las mesas de dados.Él le preguntó al
matemático Francés Blaise Pascal(1623-1662) ¿Cuales son las probabilidades
de obtener dos seises al menos una vez en 24 tiradas de un par de dados?
Pascal le resolvío el problema y se interesó en el asunto de las probabilidades
al igual que Goumbauld y compartieron sus ideales con Pierre de
Fermat(1601-1665), las cartas que se enviaron Fermat y Pascal,fueron las
bases de la primera revista académica, referente a la teoría de la probabilidad.
5. Primeros teóricos sobre probabilidad
• Pierre de Fermat(1601-1665)
Blaise Pascal (1623-1662) ; Jacob Bernoulli (1654-1705)
6. Otros teóricos de la Probabilidad
• Abraham de Moivre (1667-1754)
• El reverendo Thomas Bayes (1702-1761)
• Joseph Lagrange(1736-1813).
• Estos científicos desarrollaron fórmulas y técnicas para el cálculo de la
probabilidad. En el siglo XIX, Pierre Simon, Marquez de Laplace (1749-
1827),unificó todas estas ideas y compiló la primera teoría general de la
probabilidad.
7. Elementos que conforman la teoría
Probabilística
1.Evento
En la teoria de la probabilidad, un evento es uno o mas de los posibles resultados de hacer algo.Al lanzar una moneda al
aire, si cae cruz es un evento y si cae cara es otro evento.
2.Experimento
En la teoría de la probabilidad,la actividad que origina uno de dichos eventos se conoce como experimento.En el ejemplo
anterior el experiemento es lanzar una moneda,de acuerdo con ésto surge la pregunta:¿Cuál es la probabilidad del evnto
cara?
3.Eventos que son mutuamente excluyentes
Se dice que los eventos son mutuamente excluyentes si uno y sólo uno de ellos puede tener lugar a un tiempo.En cualquier
lanzamiento podriamos tener cara o cruz pero no cara y cruz al tiempo.
4.Espacio Muestral
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.En el ejemplo de lanzar una moneda el espacio muestral
"S" es:
S={Cara,Cruz}
8. Clases de Probabilidad
1.Probabilidad Clásica
P(E)=(No de resultados en los que se presenta el evento)/(No total de resultados posibles)
En el ejmplo anterior de la moneda, P(E)=1/2.El número de resultados de un solo lanzamiento del dado que producirá
un 5 es: P(E)=1/6.
2.Probabilidad de una frecuencia relativa.
Se define como la frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos.Un ejemplo clásico
sería;¿Cuál es la probabilidad de yo viva hasta los 85 años?
3.Probabilidad subjetiva
Es la probabilidad asignada a un evento,por parte de un individuo,basado en la evidencia que tenga disponible.
Como ejemplos tenemos los siguientes:
¿Perderá la seleccion de fútbol el próximo partido?
¿Sacaré mas de 4 en el próximo exámen? , en ellos la persona fijará la probabilidad correspondiente dependiendo de
su criterio personal.
9. Reglas de Probabilidad
1.Regla de la adicion para eventos mutuamente excluyentes
A menudo, sinembargo,estamos interesados en la probabilidad de que una cosa u otra
suceda.Si estos dos eventos son mutuamente excluyentes,podemos expresar esta
probabilidad haciendo uso de la regla de la adicion para eventos mutuamente
excluyentes,esta regla se expresa de la siguiente manera:
P(AUB)=P(A)+P(B).
Tambien se escribe asi:
P(A o B)=La probabilidad de que suceda A o B.Esta regla de la adicion se ilustra en el
diagrama de Venn:
12. Ejemplos de Eventos Mutuamente
Excluyentes
• Cinco estudiantes por igual capaces esperan la fecha en que se les hará una
entrevista para trabajar en el verano. La compañía solicitante ha anunciado que
contratará a sólo uno de los cinco,mediante una eleccion aleatoria.El grupo está
formado por los estudiantes siguientes: Lina, Habid,Belkin,Tania y Sharon. Si
nuestra pregunta es, ¿Cuál es la probabilidad de que Habid sea elegido?, sólo
utilizaremos el concepto de probabilidad clásica:
• P(H)=1/5=0.2
• ¿Cuál es la probabilidad de que Sharon o Tania sean elegidos?
• P(S o T)= P(S) + P(T)=1/5 + 1/5 =2/5=0.4
13. Un caso especial de la ecuacion
P(AUB)=P(A) + P(B)
• Para cualquier evento A, tenemos que éste sucede o no sucede.De
modo que los eventos A y noA son mutuamente excluyentes y
exhaustivos; de acuerdo con ésto se tiene la siguiente ecuación:
• P(A) + P(noA)=1
• o de manera equivalente:
• P(A)=1-P(noA), tambien se puede escribir ésta ecuación como:
• P(A)=1-P(A´ ), donde (A´ ) es el complemento de A.
14. •
Ejemplo: En un pueblo se tiene la probabilidad del tamaño de unas familias, que se escriben como sigue:
• P(Número de hijos=0)=0.05
• P(NoH=1)=0.10
• P(NoH=2)=0.30
• P(NoH=3)=0.25
• P(NoH=4)=0.15
• P(NoH=5)=0.10
• P(NoH=6 o mas)=0.05.
• ¿Cúal es la probabilidad de que una familia de ese pueblo , escogida al azar,tenga 4 o mas hijos? (es decir 4,5,6 o mas hijos).
• Respuesta 0.30 (Resolver el ejercicio)
15. Adicion para eventos que no son
mutuamente excluyentes
• P(A o B)=P(A) + P(B) -P(A y B).
• P(A o B) Es la probabilidad de que se presenta A o B , cuando A y B no son
mutuamente excluyentes.
• P(A) es la probabilidad de que A suceda.
• P(B) es la probabilidad de que B suceda.
• P(A y B) es la probabilidad de que A y B sucedan juntos.
• Esta ecuación tambiem se escribe así:
• P(AUB)=P(A) + P(B)-P(A Intersecto B).
16. Ejemplo de sucesos que no son
mutuamente excluyentes
La probabilidad de que un alumno del instituto tenga un libro de
matemáticas en su biblioteca es 0.7; un libro de estadística es 0.4 y de que tenga
ambos es 0.30.¿ Cuál es la probabilidad de que un estudiante del instituto tenga
un libro de matemáticas o un libro de estadística o ambos libros?
Solución:
P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A y B)=0.7+0.4-0.3=0.8
17. Regla de la multiplicacion
• Sucesos Independientes: Se dice que dos o más sucesos son
independientes, si la probabilidad de presentación de ninguno de ellos
queda influenciada por la presentación del otro.En caso contrario se
dice que son dependientes.En otras palabras, si el resultado de un
suceso no afecta al otro.
• Si P1,P2,P3,...,Pn , son las distintas probabilidades de presentacion de
n sucesos independientes, la probabilidad P de que ocurra todos estos
sucesos en un solo ensayo,está dada por la ecuación:
• P=P1xP2xP3x...xPn.
18. • Ejemplos:Al lanzar dos dados cual es la probabilidad de sacar dos cincos?
• Solución:
• P1=1/6 (5 en el primer dado); P2=1/6 (5 en el segundo )
• P=P1xP2=1/6x1/6.
• P=1/36.
19. Diferencias entre sucesos mutuamente
excluyentes y sucesos independientes
• En el primero se tiene sólo un dado,una baraja; en el segundo
son dos o mas dados o barajas.
• En el primero se extrae una sola carta,o se obtiene una sola
cara,en el segundo se espera mas de dos o mas sucesos.
• En el primero utilizamos la conjunción "O" en el segundo la
conjunción "Y".
20. Un ejmplo Particular
• Una fábrica de calzado produce independientemente costura,suela y tacón,siendo
estas partes armadas aleatoreamente en cada zapato.En éste proceso,el 5% de las
costuras,el 4% de las suelas y el 1% de los tacones tienen fallas; Qué porcentaje de
pares de zapatos resulta:
• a)Con fallas en sus tres componentes?
• b)Sin fallas en sus tres componentes?
• Sugerencia:Para el punto a) utilice la regla del producto y para el b)la propiedad del
complemento y regla del producto.
• Rta. a)0.002%; Rta.b)90.3%
21. Sucesos Dependientes
• Se dicen que los sucesos son dependientes o eventos
compuestos,si la ocurrencia o no ocurrencia de un evento en
cualquier prueba afecta la probabilidad de otros eventos en
otras pruebas,es decir que la probabilidad del segundo suceso
depende del primer suceso, el del tercero de lo que haya
sucedido en el primero y segundo y así sucesivamente.
• La ecuacion general es: P=P1XP2X...Pn.
22. Ejemplos de sucesos Dependientes
• Probabilidad de obtener un as,un Rey y una zota,sacando
sucesivamente tres cartas,sin reposicion,de una baraja de 40
cartas.
• Solución:
• P1=4/40(As);P2=4/39(Rey);P3=4/38(Zota);P=4/40x4/39x
4/38.
• P=64/59280
23. Ejemplos de sucesos dependientes
• De una baraja de 40 cartas se desea extraer tres cartas
en forma sucesiva sin reposición,es decir, la carta que
se extrae no se regresa a la baraja;¿Cuál es la
probabilidad de que en la primera extracción aparezca
un as y en la segunda un Rey de oros y en la tercera un
seis de copas?
24. Ejemplos y ejercicios
• Solucion:
• Al extraer la primera carta As, se tiene que P(A)=4/40,Luego al extraer el Rey de
oros,P(B)=1/39;con la tercera carta seis de copas se tendrá que P(C)=1/38.La
probabilidad de que todos éstos sucesos dependientes ocurra es:
• P(A y B y C)=P(A) x P(B) x P(C)=
• 4/40 x1/39 x1/38=1/14.820=0.00006747.
• Generalmente se expresa lo anterior, de la siguiente manera, con el mismo resultado:
• P(A y B y C)=P(A)x P(B/A) xP(C/A y B)=4/40
x1/39x1/38=4/58280=0.00006747.
25. Probabilidad Condicional
• La probabilidad condicional es aquella que se presenta en un evento o
suceso,dado que otro evento ya ha ocurrido. Su ecuacion es:
• P(B/A)=P(A y B )/P(A).
• P(A/B)=P(A y B)/P(B).
• P(B/A), se lee probabilidad de B dado A.
• P(A/B), se lee probabilidad de B dado A.
26. Ejercicios de probabilidad condicional
• En una investigación reciente se encontró que el 10%
de los conductores de taxi en la ciudad son hombres
con estudios universitarios.Tambien se sabe que el
80% de los conductores de taxi son hombres.¿Cuál es
la probabilidad, al tomar un conductor de taxi al azar,
que resulte ser hombre, y que tenga además estudios
universitarios?
27. Ejemplos y ejercicios
• Solucion:
• P(B/A)=P( A y B)/P(B)
• =0.18/0.80=0.125=12.5%.
• Se encuentra en una facultad que el 70% de los alumnos matriculados,
el 70% son mujeres y el 18% de ellas estudian Turismo. Si elegimos un
estudiante al azar y resulta que es mujer¿Cuál es la probabilidad de que
esté estudiando Turismo?
• Rta:25.71%(Resolver el ejercicio)
28. Teorema de Bayes
• El matemático y reverendo Thomas Bayes,(1763) en el
siglo XVIII intentó desarrollar una fórmula para
evaluar la probabilidad de la existencia de Dios con
base en evidencias terrenales.
29. Teorema de Bayes
• La ecuacion general aplicable es:
• P(Ai/B)=P(Ai)P(B/Ai)/P(A1)(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+...+P(An)P(B/An).
• Este teorema establece, que si sucede cierto evento, que depende de la ocurrencia de los
eventos A o B o C correspondientes a un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes,
la probabilidad de que B haya ocurrido a consecuencia de A, lo cual lo expresamos
P(A/B) corresponde al producto de las probabilidades individuales del evento A y del
evento B, divivido por la probabilidad alternativa del evento B con respeccto a cada uno
de los eventos independientes de A, B y C.
30. Ejemplo y Ejercicio
• Se tienen tres recipientes; la primera contiene 6 bolas
azules y 2 rojas;La segunda 4azules y 4 rojas y la
tercera 6 azules.Se selecciona una de las tres urnas al
azar y de ella se extrae una bola que resulta ser
azul.Con la anterior información.¿Cuál es la
probabilidad de que el recipiente escogido sea el
primero? Sea el tercero?
31. Ejemplo y Ejercicio
•
Solución:
• P(A1)=1/3; P(A2)=1/3; P(A3)=1/3.
• P(B/A1)=6/8=3/4; P(B/A2)=4/8=1/2;
• P(B/A3)=6/6=1.
• La probabilidad de que la bola azul provenga del primer recipiente será:
• P(A1/B)=P(A1)P(B/A1)/P(A1)P(B/A1)+P(A2)P(B/A2)+P(A3)P(B/A3).
• =(1/3)(1)/(1/3)(3/4)+(1/3)(1/2)+(1/3)(1)=0.44.
