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- 2. Antes de comenzar con el contenido se deben explicar algunas cosas: PRIMERO Trigonometría es una palabra que se compone de las raíces Tri = tres; Gono = ángulo; Metría = medidas En un sentido amplio estudiaremos las medidas en el triángulo (Trigonometría) Trigonometría
- 3. SEGUNDO Una razón, en matemática, no tiene que ver con “motivo” o la “habilidad del pensamiento”… Sino que RAZÓN se toma como un sinónimo de relación, comparación e incluso división.
- 4. TERCERO A fin de simplificar la explicación de los conceptos trigonométricos, nos acotaremos al triángulo rectángulo. B C A Cateto Cateto α β 2 2 2 hipotenusa cateto cateto Teorema de Pitágoras
- 5. Razones Trigonométricas Las razones son comparaciones, por lo tanto se establecerán razones (comparaciones) de los lados del triángulo rectángulo. A B C CATETO CATETO α β Si se quiere establecer una razón entre los catetos, ¿Cómo se haría? Puede ser: horizontal cateto el vertical cateto el o BC cateto el AC cateto el Pero, ¿que pasaría si el triángulo cambia de posición? o ¿qué pasaría si cambian de orden los vértices del triángulo?
- 6. A B C CATETO CATETO α β Se necesita un punto de observación, y entonces los lados adquieren un “apellido”, es decir, desde el “punto de vista” de α, ocurre lo siguiente: Al cateto AC, que está opuesto a α, le llamaremos CATETO OPUESTO a α OPUESTO Al cateto BC, que está formando a α, le llamaremos CATETO ADYACENTE a α ADYACENTE Finalmente, recuerda que la HIPOTENUSA es el lado del triángulo que está opuesto al ángulo recto.
- 7. Si se tienen dos triángulos rectángulos semejantes. Estableciendo razones entre los lados correspondientes. B A C D 30o E F 30o 8 2 1 4 Desde el “punto de vista” del ángulo de 30o Compararemos en ambos triángulos al cateto opuesto a 30o con la hipotenusa. 2 1 8 4 hipotenusa 30 a opuesto cateto o Las razones trigonométricas no dependen del triángulo, sino del ángulo que se utilice.
- 8. Por lo tanto habiendo tres lados en cada triángulo, se podrían hacer 6 razones distintas: Hipotenusa opuesto Cateto Hipotenusa adyacente Cateto adyacente Cateto opuesto Cateto opuesto Cateto adyacente Cateto Adyacente Cateto Hipotenusa opuesto Cateto Hipotenusa A todas a las razones las conoceremos por un nombre específico Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante
- 10. Ejemplos: Determine las siguientes razones trigonométricas. ε 13 5 Seno ε: Coseno ε: Tangente ε: Cotangente ε: Cateto Opuesto Cateto Adyacente Aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que: cateto ady = ℎ𝑖𝑝2 − (𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝)2 cateto ady = 132 − 52 cateto ady = 144 𝐜𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐚𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 = 𝟏𝟐
- 11. Seno ε Coseno ε Tangente ε Cotangente ε ε 13 5 12 = 𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 5 13 = 𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 = 12 13 = 𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝 𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦 = 5 12 = 𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦 𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝 = 12 5
- 12. Razones Trigonométricas para ángulos 0°, 30°, 45°, 60° y 90° Llamaremos ángulos notables, a aquellos que son muy utilizados en los ejercicios de trigonometría y otras ramas de la matemática. Se puede notar que los ángulos de 30o, 45o y 60o son estos ángulos, por lo tanto se espera que el estudiante conozca el valor de las razones trigonométricas de estos ángulos, además de una particularidad que ocurre con las razones trigonométricas. 30o 45o 60o Seno Coseno Tangente 2 1 2 3 2 2 2 3 2 2 2 1 3 3 1 3
- 13. Es posible determinar las razones trigonométricas para los ángulos de 0°, 30°, 45° 60° y 90°; por medio de la siguiente relación:
- 14. Razones Trigonométricas en Ángulos Complementarios En la tabla anterior ocurre que el seno de 30o es igual al coseno de 60º ¿Por qué? 13 5 12 seno α = Se sabe que α + β = 90o, es decir, son ángulos complementarios. y coseno β = 13 12 Por lo tanto: seno α = coseno (90o – α) 13 12
- 15. En el triángulo rectángulo de la figura, determina la tangente de 𝛽 es igual a: Cateto Adyacente a Aplicando el Teorema de Pitágoras, se tiene que: cateto op = 𝑐2 − 𝑎2 cateto op = ℎ𝑖𝑝2 − (𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦)2 𝒄 𝟐 − 𝒂 𝟐 𝑡𝑔𝛽 = 𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝 𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦 = 𝑐2 − 𝑎2 𝑎
- 16. Identidades Trigonométricas Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen Razones (funciones trigonométricas) y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones. Entre las cuales, se distinguen: 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 + 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 = 1 1 + 𝑡𝑔2 𝛼 = 𝑠𝑒𝑐2 𝛼 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔2 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2 𝛼 𝑠𝑒𝑐𝛼 = 1 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 = 1 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑡𝑔𝛼 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛼
- 17. ec g cos sec cot tg EJERCICIOS: Demuestre las siguientes identidades. tgα + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 = 𝑠𝑒𝑛α 𝑐𝑜𝑠α + 𝑐𝑜𝑠α 𝑠𝑒𝑛α = 𝑠𝑒𝑛α ⋅ 𝑠𝑒𝑛α + 𝑐𝑜𝑠α ⋅ 𝑐𝑜𝑠α 𝑐𝑜𝑠α ⋅ 𝑠𝑒𝑛α = 𝑠𝑒𝑛α2 + 𝑐𝑜𝑠α2 𝑐𝑜𝑠α ⋅ 𝑠𝑒𝑛α = 1 𝑐𝑜𝑠α ⋅ 𝑠𝑒𝑛α = 1 𝑐𝑜𝑠α ⋅ 1 𝑠𝑒𝑛α = secα + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 𝑸. 𝑬. 𝑫 Demostración
- 18. 1 ) sec (sen ) cos (tg 2 2 ec 𝑡𝑔𝛼 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 2 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 ⋅ 𝑠𝑒𝑐𝛼 2 Demostración = 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑐𝑜𝑠𝛼 ⋅ 1 𝑠𝑒𝑛𝛼 2 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 ⋅ 1 𝑐𝑜𝑠𝛼 2 = 1 𝑐𝑜𝑠𝛼 ⋅ 1 1 2 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 ⋅ 1 𝑐𝑜𝑠𝛼 2 = 1 𝑐𝑜𝑠2𝛼 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 𝑐𝑜𝑠2 𝛼 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 1 𝑸. 𝑬. 𝑫
- 19. 2 sec 2 sen 1 1 sen 1 1 Demostración 1 1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 1 1 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1 ⋅ 1 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 1 ⋅ 1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 1 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 = 1 + 𝑠𝑒𝑛𝛼 + 1 − 𝑠𝑒𝑛𝛼 12 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 1 + 1 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝛼 = 2 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 2 ∙ 1 𝑐𝑜𝑠2𝛼 = 2 ∙ 𝑠𝑒𝑐2𝛼 𝑸. 𝑬. 𝑫
- 20. 1 cot sin cos tg g Demostración 𝑡𝑔𝜃 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃 ⋅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 1 𝑐𝑜𝑠𝜃 ⋅ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑸. 𝑬. 𝑫
- 21. 2 2 2 2 sec cos 2 tg sen
- 22. 2 1 s sec 1 en tg sen