2. El método de las arandelas, es una variante del
método de las secciones transversales y permite
calcular el volumen de un solido de revolución
entres dos funciones.

3.  El método de Arandelas oWasher, es una
extensión del método de discos para sólidos
huecos. Donde se tiene un radio interno r y un
radio R externo de la arandela.

4.  La integral que contiene el radio interno
representa el volumen del hueco y se resta de
la integral que contiene el radio externo.

5. Siendo la siguiente, la expresión matemática para calcular el
volumen de un cilindro, en una arandela se deduce lo siguiente:
 𝑉 = 𝜋R2h – 𝜋r2h
 𝑉 = 𝜋h(R2 – r2)
ⅆ𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
[R2 – r2] ⅆ𝑥
En donde:
 𝑅 = f(x)
 𝑟 = g(x)
 ⅆ𝑥 = ⅆℎ

6.  Dadas las funciones , continuas en
el intervalo y con , el
volumen del sólido de revolución limitado por
las curvas y las rectas y
,es:

7. 1. La región acotada por la curva y= x2+1 y la recta
y=-x+3 girada alrededor del eje x para generar
el sólido. Encuentre el volumen del sólido:

8. x2+1 = -x+3
x2+x-2 = 0
(x+2)(x-1) = 0
X1= -2
X2= 1
[-2 ; 1]

9. 𝑉 =
𝑎
𝑏
𝜋[(R(x))2 − (r(x))2] ⅆ𝑥
=
−2
1
𝜋[(−x + 3)2 − (x2 + 1)2] ⅆ𝑥
=
−2
1
𝜋[(x2 − 6x + 9 − x4 − 2x2 − 1)] ⅆ𝑥
=
−2
1
𝜋[(8 − 6x − x2 − x4)] ⅆ𝑥
= 𝜋[8
−2
1
ⅆ𝑥 − 6
−2
1
𝑥 ⅆ𝑥 −
−2
1
x2 ⅆ𝑥 −
−2
1
x4 ⅆ𝑥]

10. = 𝜋 8x − 3x2 −
x3
3
−
x5
5
1
−2
= 𝜋 8 + 16 − 3 − 12
−
1
3
+
8
3
− (
1
5
+
32
5
)
= 𝜋 24 + 9 − 3 −
33
5
=
117𝜋
5
u3

11. 2. La región entre las curvas f(X)=x2 y g(X)=1 se
gira alrededor del eje y=2 generan un solido.
Hallar el volumen del solido en revolución.

12. 𝑉 =
0
1
ⅆ𝑣
𝑉 = 2
0
1
𝜋 2 − 𝑥2 2
− 1 ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
0
1
𝑥4
− 4𝑥2
+ 3 ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
0
1
𝑥4
ⅆ𝑥 −
0
1
4𝑥2
ⅆ𝑥 +
0
1
3ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
0
1
𝑥4
ⅆ𝑥 − 4
0
1
𝑥2
ⅆ𝑥 + 3
0
1
ⅆ𝑥
𝑉 = 2𝜋
𝑥5
5
−
4𝑥3
3
+ 3𝑥
0
1
𝑉 = 2𝜋
(1)5
5
−
4 1 3
3
+ 3(1)
𝑉 = 2𝜋
1
5
−
4
3
+ 3
𝑉 = 2𝜋
45 + 3 − 20
15
𝑉 =
56𝜋
15

13. 3. Hallar el volumen del sólido que resulta de
girar alrededor del eje “y” la región limitada
por las funciones y= 2x y y=x2

14. 2x = x2 r = y= 2x
x2-2x = 0 x =
2
𝑦
x(x-2) = 0
R = y = x2
x1 = 0 x = √y
x2 = 2
[0;2]

15. 𝑉 = 𝜋R2h – 𝜋r2h
𝑉 = 𝜋(R2h – r2h)
ⅆ𝑣 = π y 2 –
y
2
2 ⅆ𝑦
ⅆ𝑣 = π y –
y2
4
ⅆ𝑦
ⅆ𝑣 =
0
4
π y –
y2
4
ⅆ𝑦
= 𝜋[
0
4
𝑦ⅆ𝑦 −
1
4 0
4
y2ⅆ𝑦]

16. =
𝜋
y2
2
−
1
4
y3
3
4
0
= 𝜋 8 −
1
4
64
3
−
0
4
= 𝜋 (8 −
16
3
)
=
8
3
𝜋 u3

17. 4. Encontrar el volumen del solido de revolución
generado al girar sobre el eje “y”, la región
limitada por: 𝑦2
= 𝑥, y = 0 y x = 4.

18. 𝑥 = 𝑥
𝑦2
= 4
𝑦 = 4
𝑦 = ±2
 Eje x : y = 0

19. 𝑉 = 𝜋
0
2
4 2 − (𝑦2)2ⅆ𝑦
𝑉 = 𝜋
0
2
16 − 𝑦4
ⅆ𝑦
𝑉 = 𝜋 16𝑦 −
1
5
𝑦5 2
0
𝑉 = 𝜋 16 2 − 0 −
1
5
(2)5
+ 0
𝑉 = 𝜋 (32 −
32
5
)
𝑉 =
128
5
𝜋

20. 5. Determinar el volumen del sólido que se genera al girar
alrededor del eje x, la región acotada por la parábola y=x2+1 y
la recta y=x+3
 El eje de rotación es y=5

23.  Para los límites de Integración:
𝑥2
+ 1 = 𝑥 + 3
𝑥2
− 𝑥 − 2 = 0
𝑥 − 2 𝑥 + 1 = 0
𝒙 𝟏 = 𝟐
𝒙 𝟐 = −𝟏

24.  Para las funciones a integrar:

25. 𝑉 = 𝜋
−2
2
4 − 𝑥2 2
− 2 − 𝑥 2
ⅆ𝑥
𝑉 = 𝜋
−2
2
16 − 8𝑥2
+ 𝑥4
− 4 + 4𝑥 − 𝑥2
ⅆ𝑥
𝑉 = 𝜋
−2
2
𝑥4 − 9𝑥2 + 4𝑥 + 12 ⅆ𝑥
𝑉 =
𝑥5
5
− 3𝑥3
+ 2𝑥2
+ 12𝑥
−2
2
𝜋
𝑉 = 𝜋
32
5
− 24 + 8 + 24 —
1
5
+ 3 + 2 − 12
𝑉 =
108
5
𝜋 𝑢3

27.  Calcular el volumen del solido de revolución
que se obtiene al hacer girar sobre la recta
x=-4, la región acotada por: x=y-y2 y x=y2-3.

28.  http://ningunvago.blogspot.com/2011/04/calc
ulo-de-volumen-el-metodo-de.html
 http://www.youtube.com/watch?v=FppCPrd
G8sw
 WilliamAnthony Granville, P. P. (1980).
Calculo diferencial e integral . Editorial Limusa
S.A. De C.V., 1980.