Ensayo sobre funciones singulares

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Escuela de Ingeniería Industrial
Circuitos Eléctricos
Informe
Funciones Singulares
Realizado por:
Badell, M Jesús E.
Ci.20.842.028
Maracaibo, marzo de 2017

2. Introducción
Las funciones singulares (funciones de conmutación) son muy útiles en el
análisis de circuitos, ya que sirven como buenas aproximaciones a las señales de
conmutación que surgen en los circuitos con operaciones de conmutación,
describen algunas funciones del circuito sobre todo de la respuesta de paso de los
circuitos RL o RC, este tipo de funciones son discontinuas o tienen derivadas
discontinuas.
Como sabemos, existen tres funciones singulares utilizadas en el análisis de
circuitos, estas son:
 Función escalón unitario
 Función impulso unitario
 Función rampa unitaria
Las mismas serán estudiadas en este informe con la finalidad de esclarecer todo
lo que respecta a este tema tan particular y de gran interés. La función de Escalón
unitario es una señal muy útil para probar y definir otras señales. Por ejemplo,
usando varias de estas señales movidas en el tiempo y multiplicadas por otras
señales, se puede obtener alguna porción de la señal.
Por su parte, la función del impulso unitario o función delta es una función
infinitamente angosta, infinitamente alta, cuya integral tiene un valor unitario.
Mientras que la función rampa está relacionada con la función del impulso unitario
ya que este va desde cero a uno instantáneamente, pero esta función es la que
mejor se parece a una función en la vida real, donde se necesita un tiempo para
que la señal vaya incrementándose desde cero a su valor ajustado, en este caso
uno.

3. Desarrollo
Funciones Singulares
En ingeniería es común encontrar funciones que corresponden a estados de sí o
no, o bien activo o inactivo. Por ejemplo, una fuerza externa que actúa sobre un
sistema mecánico o una tensión eléctrica aplicada a un circuito, puede tener que
suspenderse después de cierto tiempo, es entonces conveniente introducir la
función escalón unitario.
Función escalón unitario
Por otra parte, las funciones de impulso unitario también son muy utilizadas en el
diseño de circuitos, la cual es originada por la derivada de la función escalón
unitario, donde: (t) es cero en todas partes excepto en t=0, donde esta
indefinida. Las corrientes y tensiones impulsivas que ocurren en los circuitos
eléctricos son el resultado de fuentes impulsivas, es por ellos que las funciones de
impulso unitario pueden considerarse como un choque aplicado o resultante, y es
posible visualizarlo como un impulso de muy corta duración de área unitaria.
Algunos sistemas mecánicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a
una tensión eléctrica en el caso de los circuitos eléctricos) de gran magnitud, que
solamente actúa durante un tiempo muy corto.
Básicamente, un ejemplo claro seria que una descarga eléctrica podría caer
sobre el ala de un avión; a un cuerpo sujeto a un resorte podría dársele un fuerte
golpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en
reposo, podría ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia

4. con un objeto como una bate de beisbol, un bastón de golf o una raqueta de tenis.
La función de impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.
Función Impulso unitario
Ahora bien, si integramos la función escalón unitario obtenemos la función de
rampa unitaria, esta función es cero para todos los valores negativos de t y tiene
una pendiente unitaria para los valores positivos de t. Sin embargo, La función
rampa tiene una variación en una proporción constante, es decir puede retardarse
o adelantarse.
Función de rampa unitaria
Es importante destacar que las tres funciones singulares están relacionadas a
través de la diferenciación, es decir:


t)= du(t) u(t)= dr(t)
dt dt
o por la integración:
    
u(t)=∫t)dt r(t)= ∫u(t)dt
∞ ∞

5. Conclusiones
Existe una clase de señales elementales cuyos miembros tienen formas
matemáticas muy simples pero que son discontinuas o tienen derivadas
discontinuas. Debido a que estas señales no tienen derivadas finitas de ningún
orden, podemos denominarlas señales o funciones singulares.
Las funciones singulares más comunes en el análisis de señales y sistemas son
la rampa, el escalón unitario y el impulso unitario. Aunque este tipo de señales no
son sino idealizaciones matemáticas y no ocurren naturalmente en un sistema
físico, es decir que no son físicamente realizables, ellas sirven para varios
propósitos de gran utilidad en el análisis de señales y sistemas.
De acuerdo con lo anterior, podemos inferir que primeramente, sirven como
aproximación de señales que verdaderamente ocurren en los sistemas cuando se
efectúan operaciones de tipo conmutativo. En segundo lugar, su forma matemática
más simple permite efectuar cuantitativamente el análisis de un sistema con
mucha más facilidad que si se emplearan señales más complicadas. Además,
muchas señales complicadas pueden representarse como combinaciones de
estas señales elementales. Finalmente y no menos importante, estas señales
pueden simularse en el laboratorio con mucha facilidad y aproximación, de modo
que puede determinarse experimentalmente si un sistema se comporta en la forma
predicha por un análisis matemático previo.