Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones algebraicas. Brevemente, un sistema de ecuaciones algebraicas consiste en un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente. Resolver un sistema implica encontrar los valores de las incógnitas que cumplen todas las ecuaciones al mismo tiempo.
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Trabajo de algebra gonzales abello jhoan alexander
1. Sistema de ecuacionesalgebraicas
En matemáticas, un sistema de ecuaciones algebraicas es
un conjunto de dos o más ecuaciones con
varias incógnitas que conforman un problema
matemático que consiste en encontrar los valores de las
incógnitas que satisfacen dichas operaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son
valores numéricos menores a la constante (o más
generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se
plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación
diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un
cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho
sistema es por tanto, un valor o una función que substituida
en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan
automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En
otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas
debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
7.1. Introducci´on Se denomina ecuaci´on lineal a aquella que tiene
la forma de un polinomio de primer grado, es decir, las inc´ognitas
no est´an elevadas a potencias, ni multiplicadas entre s´ı, ni en el
denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es una ecuaci´on lineal
con tres inc´ognitas. Como es bien sabido, las ecuaciones lineales
con 2 inc´ognitas representan una recta en el plano. Si la ecuaci´on
lineal tiene 3 inc´ognitas, su representaci´on gr´afica es un plano en
el espacio. Un ejemplo de ambas representaciones.
Figura 7.1: Representaci´on gr´afica de la recta −x + 2y = 3 en el
plano y del del plano x + y + z = 1 en el espacio El objetivo del tema
es el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales, es decir, un
2. conjunto de varias ecuaciones lineales. Diremos que dos ecuaciones
son equivalentes si tienen las mismas soluciones, o
geom´etricamente representan la misma recta o plano.
7.2. Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones
lineales de la forma:
11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + ··· + a1n · xn = b1 a21
· x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + ··· + a2n · xn = b2 . . .
am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + ··· + amn · xn = bm
En este caso tenemos m ecuaciones y n inc´ognitas. Los n´umeros
reales aij se denominan coeficientes y los xi se denominan
inc´ognitas (o n´umeros a determinar) y bj se denominan t´erminos
independientes. En el caso de que las inc´ognitas sean 2 se suelen
designar simplemente por x e y en vez de x1 y x2 , y en el caso de
tres, x, y, z en lugar de x1, x2 y x3 pero esto es indiferente a la hora
de resolver el sistema. Resolver el sistema consiste en calcular las
inc´ognitas para que se cumplan TODAS las ecuaciones del sistema
simult´aneamente. Diremos que dos sistemas son equivalentes
cuando tienen las mismas soluciones
Ejercicios
1. 6x – 7 = 2x + 5
6x – 2x = 5 + 7
4x = 12
x =12/4
La solución es x = 3
4. 5. 6x +2 – 3x = 7x + 4
3x + 2 = 7x + 4
3x – 7x = 4 – 2
-4x = 2
x = 2/-4
La solución x = -1/2
6. 4(2y + 5) = 3(5y – 2)
8y + 20 = 15y – 6
20 + 6 = 15y – 8y
26 = 7y
La solución y = 26/7
Sistema de ecuación segundo grado
Antes de comenzar a resolver estos sistemas es necesario
mencionar un concepto sumamente importante
5. Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la
forma: ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0
Se resuelve mediante la siguiente fórmula:
Ahora si, retomamos la explicación:
La resolución de estos sistemas se suele hacer por el método
de sustitución, para ello seguiremos los siguientes pasos:
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones,
preferentemente la de primer grado
2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra
ecuación
3º Se resuelve la ecuación resultante.
4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra
incógnita
Apliquemos lo antes mencionado a un ejemplo concreto
1º Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones,
preferentemente en la de primer grado.
y = 7 − x
2º Se sustituye el valor de la incógnita despejada en la otra
ecuación.
3º Se resuelve la ecuación resultante. (En el lado derecho se
muestran los cálculos auxiliares)
6. 4º Cada uno de los valores obtenidos se sustituye en la otra
ecuación, se obtienen así los valores correspondientes de la otra
incógnita.
(Recorda que en el el paso 1 hallamos que y = 7 − x)
x = 3 y = 7 − 3 y = 4
x = 4 y = 7 − 4 y = 3
Cómo se resuelve una ecuación
Para empezar a aprender cómo se resuelve una ecuación es necesario
tener en claro qué es una ecuación. Una ecuación es una expresión
en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas
incógnitas. Siempre tendrás un signo de =, indicando que los
términos que están del lado derecho tienen el mismo valor que los
términos del lado izquierdo. (Los términos son cada una de las
cantidades de que están separados por un signo + o -). Las letras que
aparezcan en la ecuación son las incógnitas, y para encontrar su
valor debes seguir los pasos de cómo se resuelve una ecuación.
7. El valor de la incógnita, o variable, debe hacer cierta la ecuación, es
decir, qué número debe sustituir a la para que la ecuación sea una
expresión verdadera. En el ejemplo debes responder a la pregunta:
¿cuánto debe valer x para que sea cierto que multiplicando x por 2 y
sumándole 1 sea 7?
2x+1=7
Sin hacer muchos cálculos se puede deducir que x vale 3:
2(3)+1=7
6+1=7
7=7
Cómo se resuelve una ecuación?
En ecuaciones sencillas como la del ejemplo no es muy difícil
encontrar el valor de la incógnita sin gran uso de álgebra, pero
¿cómo se resuelve una ecuación más compleja?
Antes de ahondar en el cómo se resuelve una ecuación es importante
aclarar que para que se mantenga la relación de igualdad “lo que
haces de un lado de la ecuación lo debes hacer el otro” es decir, si
sumas, por ejemplo, un 3 al lado derecho, debes también sumar un 3
al lado izquierdo, si multiplicas por 5 el lado izquierdo, debes
multiplicar por 5 el lado derecho también. De esta forma el valor del
lado derecho sigue siendo el mismo que el del lado izquierdo. Mira:
5(2x+1)=5(7) → multiplicamos ambos lados por 3
8. 10x+5=35
10(3)+5=35
30+5=21
21=21 → se sigue manteniendo la igualdad
Para saber cómo se resuelve una ecuación, el primer paso es dejar
todos los términos que contienen la x del mismo lado y pasar el resto
al otro. Pero no, no es tan simple como crees… para poder pasar un
término a un lado o al otro del = pasas el término con la operación
contraria, si se está sumando tú lo pasas restando, y al revés, si se
está restando lo pasas sumando
.
Después debes reducir los términos semejantes, (dos o más términos
son semejantes cuando tienen la mima letra, afectada por el mismo
exponente, y se reducen haciendo la operaciones indicadas, +
→suma, – → resta). Mira el ejemplo:
Cuando ya tienes únicamente un término de cada lado lo único que
falta, para aprender cómo se resuelve una ecuación, es despejar la
variable. Posiblemente te preguntaras qué es despejar, pero no te
preocupes, no es nada complejo, simplemente es dejar ‘solita’ la y
para poder lograrlo aplicas el mismo principio que usamos para
pasar los términos con a un solo lado: pasas al otro lado ‘todo lo
que te estorbe’ con la operación contraria. En el ejemplo ‘nos
9. estorba’ el 18, que está multiplicando a la x, entonces lo pasamos
dividiendo al 3
Método de Reducción - Solución de un Sistema de
Ecuaciones
El Método de Reducción consiste en eliminar una de las
incógnitas, para ello se amplifica una (o ambas) ecuaciones
por ciertos factores de modo que el coeficiente de una de las
incógnitas de una de las ecuaciones sea el opuesto al
coeficiente de la misma incógnita en la otra ecuación. Se
suman las ecuaciones y así se elimina dicha incógnita.
Veamos un Ejemplo:
12. Métodos analíticos de resolución: Igualación
El método de igualación consiste en una pequeña variante del antes visto de
sustitución. Para resolver un sistema de ecuaciones por este método hay que
despejar una incógnita, la misma, en las dos ecuaciones e igualar el resultado de
ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Las fases
del proceso son las siguientes:
i. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones.
ii. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación lineal de
una incógnita que resulta.
iii. Se calcula el valor de la otra incógnita sustituyendo la ya hallada en una de
las ecuaciones despejadas de primer paso.
Evidentemente, todas las aclaraciones hechas en la sección anterior sobre la
elección de la incógnita que queremos despejar, así como sobre la discusión del
sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas),
son igualmente válidas en este método.
A continuación, vamos a resolver el mismo ejercicio de la sección anterior
mediante el método de igualación. Recordamos el enunciado del ejercicio, así
como el sistema de ecuaciones al que daba lugar su planteamiento:
Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que
Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio. Vamos a
expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600
euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de
euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el
siguiente sistema:
13. x + y = 600
y = 2x
Vamos a resolver el sistema por el método de igualación y ya que en la 2ª
ecuación hay una incógnita, la y, despejada, vamos a despejar la misma incógnita
en la otra ecuación, con lo que tendremos:
y = 2x
⇒ 2x = 600 - x ⇒ 2x + x = 600 ⇒ 3x = 600 ⇒ x = 600/3 = 200
y = 600 - x
Ahora sustituimos x = 200 en una de las ecuaciones en las que estaba despejada
la y, con lo que tendremos:
y = 2x ⇒ y = 400
Método de Sustitución - Solución a un Sistema de
Ecuaciones
El Método de Sustitución consiste en despejar una de las
incógnitas de una de las ecuaciones y reemplazar este valor
en la otra ecuación, de esta forma se llega a una ecuación de
primer grado con una incógnita.
Veamos un ejemplo:
14. Ecuaciones Cuadráticas – Factorización
Por: Melissa Murrias
Revisado por: Dra. Luz M. Rivera
Una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2
+ bx + c,
donde a, b, y c son números reales.
Ejemplo:
9x2
+ 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 10
3x2
- 9x a = 3, b = -9, c = 0
15. -6x 2
+ 10 a = -6, b = 0, c = 10
Hay tres formas de hallar las raíces ( el o los valores de la variable) de
las ecuaciones cuadráticas:
1. Factorización Simple
2. Completando el Cuadrado
3. Fórmula Cuadrática
Factorización Simple:
La factorización simple consiste en convertir la ecuación cuadrática en
un producto de binomios. Luego, se busca el valor de x de cada binomio.
Ejemplo: Realizar la factorización simple de la ecuación
x2 + 2x – 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8
(x ) (x ) = 0 [x ·x = x2
]
( x + ) (x - ) = 0
16. (x + 4 ) (x – 2) = 0 4 y –2 4 + -2 = 2
4 · -2 = -8
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.
Completando el Cuadrado:
En este método, la ecuación tiene que estar en su forma ax2+bx+c; y
siempre la constante de a tiene que ser igual a 1.
Por ejemplo, para factorizar la ecuación 4x2 + 12x – 8 = 0, hay que
despejar de la siguiente forma:
4x2
+ 12x – 8 = 0
4 4 4 4
x2
+ 3x – 2 = 0 Ahora, a= 1.
17. Ejemplo:
x2
+ 2x – 8 = 0 [Ya está en su forma donde a = 1.]
x2
+ 2x = 8 [ Pasar a c al lado opuesto.]
x2
+ 2x + ___ = 8 + ___ [Colocar los blancos]
x2
+ 2x + 1 = 8 + 1
x2
+ 2x + 1 = 9
( ) ( ) = 9 Hay que factorizar.
Nota: Siempre será un cuadrado perfecto.
( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2
= 9
(x + 1) = ±
x + 1 = ± 3
x = -1 ± 3 [Separar las dos soluciones.]
x = -1 + 3 x = -1 – 3
x = 2 x = -4
18. Fórmula Cuadrática:
Este método es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de
la ecuación cuadrática a la siguiente fórmula:
DETERMINANTES
En este capítulo definiremos el determinante de una matriz n x n. Esto se puede
hacer de muchas formas, la definición que daremos nos permite obtener un
procedimiento relativamente fácil para el cálculo de determinantes, parte de la
teoría de determinantes envuelve procesos engorrosos y difíciles que no serán
expuestos. Asi que asumiremos sin prueba aquellos resultados que caen dentro de
esta categoría. Si alguien desea conocer las pruebas de dichos teoremas pueden
ser consultadas en el libro Matemáticas Superiores para Ingenieros 4a Edición. C
RAY WYLIE. Mc. Graw Hill.
EL DETERMINANTE
El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n, un único
número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n,
el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por (las
barras no significan valor absoluto).
DEFINICIÓN 2.1(Determinante de una matriz de orden 1)
Si es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.
Ejemplo 1
DEFINICIÓN 2.2(Menores y cofactores de una matriz de orden n)
Sea A una matriz de orden , definimos el menor asociado al
elemento de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la
fila i y la columna j de la matriz A. El cofactor asociado al elemento de A
19. esta dado por .
Ejemplo 2
DEFINICIÓN 2.3(Determinante de una matriz de orden superior)
Si A es una matriz de orden , entonces el determinante de la matriz A es la
suma de los elementos de la primera fila de A multiplicados por sus respectivos
cofactores.
EJEMPLO 1:
Si , entonces det(A)=-2 o
Si , entonces det(A)=0 o
Si , entonces det(A)=2 o
EJEMPLO 2:
Sea
el menor asociado a a11.
el menor asociado a a12.
el menor asociado a a21.
el menor asociado a a22.
el cofactor asociado al elemento a11.
el cofactor asociado al elemento a12.
el cofactor asociado al elemento a21.
el cofactor asociado al elemento a22.
20. EJEMPLO 3:
Hallar el determinante de la matriz
como en el ejemplo 2.2 habíamos calculado los cofactores para esta matriz A, entonces se
tiene que
EJEMPLO 4: Determinante de una matriz de orden 2
Sea
Para calcular el determinante de una matriz basta conocer los cofactores de los elementos
de la primera fila.
Por lo tanto
OBSERVACION
Como vemos en este ejemplo, para calcular el determinante de una matriz de orden 2, se
multiplican los elementos de la diagonal principal y se le resta el producto de los
elementos de la diagonal secundaria.
Calcular el determinante de la matriz
21. EJEMPLO 5:
Hallar el determinante de la matriz
Solucion
Para encontrar el menor se elimina el primer renglón y la primera columna de A y se
calcula el determinante de la matriz resultante.
De manera similar, para encontrar el menor , se elimina el primer renglón y la segunda
columna de A0 y se calcula el determinante de la matriz resultante.
para encontrar el menor , se elimina el primer renglón y la tercera columna de A
los cofactores son
el determinante de la matriz A se calcula así
22. EJEMPLO 6: Determinante de una matriz de orden 3
Sea:
Calculemos los menores:
Por lo tanto,
EJEMPLO 7:
Calcular el determinante de la matriz A del ejemplo 2.5 usando la regla de Sarrus.
23. Paso 1
Paso 2
Paso 3
Como vemos los resultados obtenidos en los ejemplos 2.5 y 2.7 son identicos.
EJEMPLO 8:
Sea:
Calcular el determinante de A desarrollándolo por la primera fila.
24. Calcular el determinante de A desarrollando por la tercera fila.
Calcular el determinante de A desarrollando por la primera columna.
Calcular el determinante de A desarrollando por la segunda columna.
OBSERVACIÓN.
25. 1. Como vemos en el ejemplo anterior el determinante de la matriz A es el mismo no
importando la fila o la columna por la que se desarrolle.
2. Como no importa la fila o la columna por la cual se desarrolle el determinante debemos
elegir aquella fila o columna que tenga mayor número de ceros para tener que calcular
menos cofactores.
EJEMPLO 9:
Calcule el determinante de la matriz
Para calcular dicho determinante debemos elegir la fila 3 o la columna 1 ya que ambos
poseen un cero como componente. Calculemos desarrollándolo por la columna 1.
Desarrollando los determinantes de orden 3 por Sarrus tenemos:
