Diplomarbeit

Phasenstabilisierung und -auslesung
für
LISA

Diplomarbeit

von
Christian Diekmann
Matrikelnr.: 2171035

Institut für Gravitationsphysik der Universität Hannover
Albert-Einstein-Institut Hannover
Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik

Hannover, den 17.03.2008

II

Referent: Prof. Dr. Karsten Danzmann
Korreferent: Juniorprof. Dr. Roman Schnabel

Summary

The interferometric space-related gravitational wave detector “Laser
Interferometer Space Antenna“ (LISA) consists of three satellites, that form
a triangle with a side length of 5 · 106 km. Between these satellites laser beams are
sent in both directions and the relative phase contains the measurement signal.
Because of the diffraction of the laser beams the detectable light power is only a
few hundred pW. Direct reflection of the light is not possible due to the high loss
due to diffraction. Therefore, there are lasers at different positions offset phase
locked to the incoming weak beam, with a frequency offset up to 20 MHz.
The goal of this diploma thesis consists of two parts. The first aim was to meet
the requirements for LISA with a offset phase locked loop between two lasers at
mW-levels. The second aim was to modify the experimental setup such that the
power of the laser beams are comparable to LISA. With the offset phase locked
loop between two lasers at power levels of about one mW and hundred pW a
phase stability on the order of the shot noise limit given by the laser powers
should be achieved. The noise characteristics of two photodiode transimpedance
amplifiers were investigated.
The photodiode transimpedance amplifier consisting of an operational am-
plifier does not fullfil the requirements for LISA. The noise spectrum of the
photodiode transimpedance amplifier consisting of transistors is at √ pW of 31
−4
master-laser power white down to 60 mHz and lays at 1, 65 · 10 rad/ Hz. The-
refore it is on√ order of the shot noise for this measurement, that was at
the
−5
8, 3 · 10 rad/ Hz.
Electro-magnetic pick up has a significant influence in this power dimension.
This pick up was reduced by shielding. The controller and the phase measure-
ment system were charaterized in the experimental setup. The phase read out
with the photodiode transimpedance amplifier was found to be limited by the
power of the slave-laser and the phase measurement system.

III

Kurzfassung

Der interferometrische weltraumgestützte Gravitationswellendetektor „Laser
Interferometer Space Antenna“ (LISA) wird aus drei Satelliten bestehen, die in
einer Dreiecksformation mit einer Seitenlänge von 5 · 106 km angeordnet sind.
Zwischen den Satelliten werden Laserstrahlen hin und her geschickt, deren
Phasen zueinander das Messsignal bilden. Durch die Beugung der Laserstrahlen
beträgt die empfangbare Leistung am jeweils gegenüberliegenden Satelliten
nur wenige 100 pW. Direkte Reflektion des Lichtes wie bei einem klassischen
Interferometer ist durch den nochmaligen hohen Verlust auf dem Rückweg nicht
möglich. Zur Kompensation der hohen Verluste, werden an verschiedenen Stel-
len Laser mit einer Offsetfrequenz von bis zu 20 MHz phasenstarr an schwache
eintreffende Strahlen gekoppelt werden.
Das Ziel dieser Diplomarbeit besteht aus zwei Teilen. Zunächst sollte bei einer
Phasenstabilisierung zwischen zwei Lasern im mW-Bereich die Anforderungen
für LISA erreicht werden. Dazu mussten ein geeignetes Phasenmesssystem und
eine Regelelektronik entwickelt werden. In einem zweiten Schritt wurde das
Experiment so modifiziert, dass die Strahlen auf die entsprechenden Leistungen
bei LISA abgeschwächt wurden. Bei dieser Phasenstabilisierung zwischen zwei
Lasern mit ungefähr 1 mW und circa 100 pW Lichtleistung wurde eine Phasen-
stabilität in der Größenordnung des Schrotrauschlimits für diese Lichtleistungen
erreicht. Dabei wurden zwei Photostromverstärker bezüglich ihres Rauschver-
haltens untersucht, um ihre Eignung für LISA beurteilen zu können.
Der Photodetektor mit dem Operationsverstärker-Photostromverstärker erfüllte
die Anforderungen für LISA nicht. Das Rauschspektrum der Phasenauslesung
mit dem Photostromverstärker aus Transistoren hingegen war bei 31 pW Leis-
tung vom Master-Laser bis hinunter zu 60 mHz weiß und lag bei
√
1, 65 · 10−4 rad/ Hz in der Größenordnung des Schrotrauschlimits von
√
8, 3 · 10−5 rad/ Hz.
Elektromagnetische Einstreuung hatte in diesen Leistungsregionen einen großen
Einfluss. Diese wurden weitestgehend durch Abschirmmaßnahmen reduziert.
Der Regler und das Phasenmesssystem wurden in dem modifizierten Aufbau

V

VI

erneut charakterisiert. Die Phasenauslesung mit den Photostromverstärkern war
durch die verfügbare Leistung vom Slave-Laser und durch das Phasenmess-
system begrenzt.

Inhaltsverzeichnis

Summary III

Kurzfassung V

1 Einleitung 3

2 Phasenstabilisierung bei Milliwatt 5
2.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Entstehung des Fehlersignals . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Verhalten des Regelkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2.1 Regelkreisaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2.2 Führungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2.3 Störverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Anforderungen an die Phasenstabilisierung . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Laseraufbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2 Optische Bank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Photodetektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.4 Phasenmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.5 Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.6 Datenaufnahmesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3.7 Gesamtübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Messungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.1 Elektroniktests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.4.2 Messungen im phasenstabilisierten Zustand . . . . . . . . 43
2.4.2.1 Phasenauslesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.4.2.2 Phasenmesssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.4.2.3 Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3 Phasenstabilisierung bei Picowatt 51

VII

VIII Inhaltsverzeichnis

3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.1 Photodiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.1.2 Schrotrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1.3 Phasenauslesung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1.4 Stromeingangsrauschen des Photodetektors . . . . . . . . 58
3.1.5 Leistung des schwachen Strahls . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.2 Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.1 Laseraufbereitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.2.2 Abschwächer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.2.3 Photodetektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.3.1 Operationsverstärker-Design . . . . . . . . . . . . 65
3.2.3.2 Transistor-Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.4 Signaloptimierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.3 Charakterisierung der Photodetektoren . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1 Transferfunktion der Photodetektoren . . . . . . . . . . . . 75
3.3.1.3 Vergleich der Transferfunktionen . . . . . . . . . 77
3.3.2 Stromeingangsrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.2.3 Vergleich der Stromeingangsrauschen . . . . . . 84
3.3.3 Phasenstabilisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.3.1 Experimenteller Aufbau . . . . . . . . . . . . . . 85
3.3.3.4 Vergleich der Phasenstabilisierungen . . . . . . . 92
3.3.4 Begrenzende Rauschquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.3.4.1 Operationsverstärker Design . . . . . . . . . . . . 94
3.3.4.3 Schrotrauschen des Slave-Lasers . . . . . . . . . . 97
3.3.4.4 Phasenauslesung bei 1,6 kHz . . . . . . . . . . . . 99
3.3.4.5 Abschirmung der Elektronik . . . . . . . . . . . . 103
3.3.4.6 Inloop-Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4 Zusammenfassung und Ausblick 113

Literaturverzeichnis 115

Anhang 119
Phasenmesssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Regler, erweitert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Photodetektor-Operationsverstärker Design . . . . . . . . . . . . . . . . 123
Photodetektor-Transistor Design . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Inhaltsverzeichnis IX

Photodetektor-Transistor Design, verbessert . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Danksagung 127

Verwendete Hilfsmittel 129

Eigenständigkeitserklärung 131

Abbildungsverzeichnis

1.1 Formation der LISA-Satelliten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Optische Phasenstabilisierung - Fehlersignalentstehung . . . . . . 6
2.2 RC-Glied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3 Blockdiagramm einer Regelstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Messung der Schleifenverstärkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.5 LISA Missionsanforderungen in Phasenrauschen . . . . . . . . . . 19
2.6 LISA Missionsanforderungen in Frequenzrauschen . . . . . . . . 20
2.7 Übersichtsschema der mW-Phasenstabilisierung . . . . . . . . . . 21
2.8 Schema der Laseraufbereitung bei mW-Leistung . . . . . . . . . . 23
2.9 Optische Bank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.10 Schema eines Transimpedanzverstärkers . . . . . . . . . . . . . . 25
2.11 Schema eines einfachen Photodetektor-Designs . . . . . . . . . . . 26
2.12 Transferfunktion des einfachen Photodetektor-Designs . . . . . . 27
2.13 Skizze des Phasenmesssystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.14 LISA Armlängenänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.15 Sallen-Key- und Multiple-Feedback-Filterstruktur . . . . . . . . . 30
2.16 Schaltkreis eines Tschebyschefffilters zweiter Ordnung . . . . . . 31
2.17 Transferfunktion des Tschebyschefffilters . . . . . . . . . . . . . . 32
2.18 DC-Offsetkompensation des Tiefpassfilters . . . . . . . . . . . . . 33
2.19 Phasenrauschen eines freilaufenden Lasers . . . . . . . . . . . . . 35
2.20 Schaltbild eines aktiven Integrators . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.21 Transferfunktion eines aktiven Integrators . . . . . . . . . . . . . . 37
2.22 Transferfunktion des Piezo Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.23 Graphische Darstellung von Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.24 Schema des Experiments für mW-Leistungen . . . . . . . . . . . . 41
2.25 Test des Phasenmesssystems und der Frequenzgeneratoren . . . . 42
2.26 Rauschen der Phasenstabilisierung der Frequenzgeneratoren . . . 43
2.27 Messaufbau zur Messung der Phasenauslesung . . . . . . . . . . 45

XI

XII Abbildungsverzeichnis

2.28 Vergleich des Rauschens der Phasenauslesung und des Phasen-
messsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.29 Messaufbau zur Rauschmessung des Phasenmesssystems . . . . . 47
2.30 Schema des modiﬁzierten Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.31 Vergleich Phasenauslesung mit 2 und 3 Integratoren im Regler . . 49

3.1 Schema einer PIN-Photodiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Phasenstabilisierungsstrahlteiler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Übersichtsschema der Phasenstabilisierung bei pW-Laserleistung 62
3.4 Laseraufbereitung für pW-Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Schema des Abschwächers für pW-Leistung . . . . . . . . . . . . . 64
3.6 Schema eines Transistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.7 Vierquadranten-Kennlinienfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.8 Schema einer Emitterschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.9 Schema einer Kaskodenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.10 Schema eines Emitterfolgers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.11 Transistor als Transimpedanzverstärker . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.12 Schaltplan des 18 MHz Photodetektornachverstärkers . . . . . . . 72
3.13 Signaloptimierung für das Photodetektorsignal . . . . . . . . . . . 73
3.14 Messaufbau für die Transferfunktion der Photodetektoren . . . . 75
3.15 Transferfunktion des Operationsverstärker Photodetektors . . . . 77
3.16 Transferfunktion des Transistor Photodetektors . . . . . . . . . . . 78
3.17 Vergleich der Transferfunktionen der Photodetektor-Designs . . . 79
3.18 Ausgangsspannungsrauschen des OpAmp Photodetektors . . . . 81
3.19 Stromeingangsrauschen des OpAmp Photodetektors . . . . . . . 82
3.20 Ausgangsspannungsrauschen des Transistor Photodetektors . . . 83
3.21 Stromeingangsrauschen des Transistor Photodetektors . . . . . . 83
3.22 Vergleich der Stromeingangsrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.23 Optischer Teil der pW-Phasenstabilisierung . . . . . . . . . . . . . 86
3.24 Elektrischer Teil der pW-Phasenstabilisierung . . . . . . . . . . . . 87
3.25 Zeitserie der Phasenstabilisierung bei pW-Laserleistung . . . . . . 89
3.26 Rauschen der Phasenauslesung mit dem OpAmp Photodetektor . 90
3.27 Rauschen der Phasenauslesung mit dem Transistor Photodetektor 91
3.28 Vergleich der Phasenauslesung von beiden Designs . . . . . . . . 93
3.29 Messung des Rauschens des Phasenmesssystems . . . . . . . . . . 94
3.30 Begrenzungen der Phasenauslesung mit OpAmp Photodetektor . 95
3.31 Begrenzungen der Phasenauslesung mit Transistor Photodetektor 96
3.32 Vergleich Schrotphasenrauschen theoretisch/gemessen . . . . . . 99
3.33 Vergleich Dunkelphasenrauschen theoretisch/gemessen . . . . . 100
3.34 Phasenmesssystem und Datenaufnahme bei 1,6 kHz . . . . . . . . 101
3.35 Messung der Phasenauslesung mit OpAmp-Design bei 1,6 kHz . 102
3.36 Messung der Phasenauslesung im Transistor-Design bei 1,6 kHz . 102
3.37 Verbesserter Aufbau der Signaloptimierung . . . . . . . . . . . . . 104
3.38 Phasenauslesung ohne und mit HF-Trafo . . . . . . . . . . . . . . 105
3.39 Phasenauslesung ohne und mit Gehäuse . . . . . . . . . . . . . . . 106

Abbildungsverzeichnis XIII

3.40 Vergleich Phasenauslesung mit 2 und 3 Integratoren im Regler . . 107
3.41 Aufbau der Elektronik mit zusätzlichen Verstärkern . . . . . . . . 108
3.42 Untersuchung des Inloop Rauschens bei pW-Leistung . . . . . . . 109
3.43 Schleifenverstärkung bei verschiedenen Mischereingangssignalen 110
3.44 Aufbau zur Verbesserung des Inloop Rauschens . . . . . . . . . . 111
3.45 Verbesserung des Inloop-Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Tabellenverzeichnis

2.1 Wichtige Kenndaten der Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Zwei aktive Filtertopologien im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Vergleich der Transferfunktionen möglicher aktiver Filtervarianten 31

3.1 Zusammenhang von Laserleistung und Schrotrauschlimit . . . . 92
3.2 Berechnung des entstehenden Rauschens vom Slave-Laser . . . . 98

1

KAPITEL 1

Einleitung

Die Grundlage der heutigen Gravitationsphysik ist die Allgemeine Relativitäts-
theorie (ART) von Albert Einstein. Das Kernelement der ART sind die Einstein-
schen Feldgleichungen, die sich im Fall von schwachen Feldern auf lineare Feld-
gleichungen reduzieren. Diese weisen eine starke Analogie zur Elektrodynamik
auf und als einfachste Lösungen ergeben sich ebene Wellen, Gravitationswellen,
die durch die Beschleunigung von Massen verursacht werden. Diese Gravita-
tionswellen eröffnen eine vollkommen neue Möglichkeit, das Universum als
Ganzes und seine Entstehung zu untersuchen [1].
Zur Zeit befindet sich mit GEO600 [2], LIGO [3] [4], VIRGO [5] und
TAMA300 [6] ein weltweites Netzwerk von erdgebundenen Gravitationswellen-
detektoren in Betrieb. Diese sind jedoch durch die Seismik und sich bewegende
Massen auf der Erde unterhalb von 1 Hz nicht empfindlich genug, um Gravi-
tationswellen zu messen. In dem Detektionsbereich unterhalb von 1 Hz sind
interessante Quellen für Gravitationswellen wie z.B. Binär-Systeme von Schwar-
zen Löchern zu finden. Aus diesem Grund ist ein Gravitationswellendetektor im
Weltraum namens LISA in Planung.
LISA steht für Laser Interferometer Space Antenna und ist aus drei Satelliten
aufgebaut, die sich an den Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer
Seitenlänge von 5 · 109 m befinden (s. Abb. 1.1). LISA soll Gravitationswellen mit
Frequenzen von 0,1 mHz bis 1 Hz detektieren [7] [8].
Die Abstandsmessung zwischen den Satelliten wird bei LISA interferometrisch
mittels Nd:YAG-Lasern mit einer Leistung von 1 W realisiert. Durch die Beugung
des Laserstrahls können am 5 Millionen Kilometer entfernten Satelliten nur noch
wenige hundert Picowatt empfangen werden. Daraus folgt, dass LISA nicht wie
ein erdgebundenes Michelson-Interferometer mit Spiegeln an den Armenden
betrieben werden kann. Deswegen wird die Phaseninformation des ankommen-
den Laserstrahls ausgelesen und auf einen zweiten Laser übertragen, dessen
Licht dann zurückgeschickt wird. Diese Übertragung der Phase soll mittels einer

3

4 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Phasenstabilisierung mit Frequenzversatz zwischen den beiden Lasern bewerk-
stelligt werden.
Aus diesem Grund wurden bereits erste Untersuchungen zur Leistungsfähigkeit
von optischen Phasenstabilisierungen für LISA von anderen Arbeitsgruppen
unternommen. So wurden in der Doktorarbeit von C. Killow [9, Kap.7] Untersu-
chungen zur Elektronik für eine Phasenstabilisierung vorgestellt, jedoch wurde
keine optische Phasenstabilisierung realisiert. Bei den Arbeiten von P. McNamara
wurde eine optische Phasenstabilisierung bei pW-Laserleistung aufgebaut und
untersucht. Das Rauschen der Phasenstabilisierung lag oberhalb von 0,4 Hz auf
dem Schrotrauschlimit auf und für kleinere Frequenzen wies es einen 1/f-Verlauf
auf [10].
Das Ziel dieser Diplomarbeit bestand aus zwei Etappen. In einem ersten Schritt
sollte die für LISA notwendige Phasentreue bei einer optischen Phasenstabi-
lisierung zwischen zwei Lasern demonstriert werden, wobei deutlich mehr
Licht benutzt werden durfte als bei LISA vorhanden sein wird. Im zweiten
Schritt sollte eine optische Phasenstabilisierung mit zu LISA vergleichbaren
Lichtleistungen aufgebaut und dabei eine Phasenstabilität in der Größenordnung
des Schrotrauschlimits dieser Lichtleistung erreicht werden. Dabei sollten zwei
Photodetektor-Designs miteinander verglichen und auf ihre Eignung für LISA
hin untersucht werden.
Kapitel 2 beschreibt den Aufbau einer optischen Phasenstabilisierung, bei der
eine Leistung im mW-Bereich detektiert wird, ihre Charakterisierung und die er-
reichten Phasenstabilitäten. Dabei werden die Anforderungen an den Regelkreis
und notwendige theoretische Grundlagen diskutiert.
Kapitel 3 beinhaltet den Aufbau einer optischen Phasenstabilisierung, bei der
nur noch 100 Picowatt oder weniger optischer Leistung des Master-Lasers de-
tektiert werden. Dazu wurde eine verlässliche und präzise Methode erprobt,
um Licht auf solch niedrige Leistungen abzuschwächen. Zwei verschiedene
Photodetektor-Designs wurden untersucht und charakterisiert. Die erreichbaren
Phasenstabilitäten und begrenzende Rauschquellen wurden untersucht.

Abbildung 1.1: Formation der LISA-Satelliten. Quelle: [8]

KAPITEL 2

Phasenstabilisierung bei Milliwatt

In diesem Kapitel wird eine Phasenstabilisierung zwischen zwei Lasern bei einer
verfügbaren Laserleistung im mW-Bereich behandelt.
Zunächst werden die theoretischen Grundlagen zur Funktionsweise einer op-
tischen Phasenstabilisierung mit Frequenz-Versatz aufbereitet. Es soll die Ent-
wicklung der einzelnen Baugruppen, im Speziellen das Phasenmesssystem und
der Regler, genauer dargestellt werden. Die im Anschluss folgenden Messungen
dienen dazu, praktische Erfahrungen mit dem Verhalten von Phasenregelkreisen
zu sammeln und der Überprüfung des Reglers und des Phasenmesssystems

2.1 Grundlagen
Die Grundlagen für das Verhalten eines Regelkreises helfen dabei, den Regler
und die Komponenten zu entwickeln. Desweiteren erleichtern sie die Suche nach
Fehlerquellen im Experiment.

2.1.1 Entstehung des Fehlersignals
In Abbildung 2.1 ist ein Phasenregelkreis skizziert. In dieser sind zwei Laser zu
erkennen, deren Licht an einem Strahlteiler überlagert wird. An dieser Stelle
entsteht ein Schwebungssignal zwischen den beiden Laserfrequenzen und dieses
wird von einem Photodetektor ausgelesen. Die Phase des Schwebungssignals
wird dann mit der Phase einer Referenzfrequenz verglichen, woraus das Phasen-
messsystem ein Fehlersignal erzeugt. Dies wird über den Regler zu einem der
beiden Laser zurückgeführt. So wird die Frequenz (und damit auch die Phase)
des Schwebungssignals nachgestellt.
Zu Beginn wird der erste Abschnitt vom Schwebungssignal bis zum Fehlersignal
genauer betrachtet. Dazu wird die Entstehung des Schwebungssignals und bis

5

6 KAPITEL 2. PHASENSTABILISIERUNG BEI MILLIWATT

ω1
PD u1
EML+ESL
P
EML IPD u2 u1*u2 u3

ESL

F(s)
u4

Abbildung 2.1: Regelkreis der Phasenstabilisierung. Durch die Überlagerung der beiden La-
serstrahlen am Strahlteiler entsteht an dessen Ausgang ein Schwebungssignal.
Durch den Photodetektor wird dies in ein elektrisches Signal umgewandelt und
am Mischer mit der Referenzfrequenz multipliziert. Daraus entsteht ein Fehlersi-
gnal mit dessen Hilfe der Regler die Phasen der beiden Signale am Eingang des
Mischers nachstellen kann, indem er die Frequenz eines Laser ändert.

hin zum Fehlersignal zunächst im Zeitbereich beschrieben.
Um die Betrachtung zu vereinfachen, wird dabei ein hohes Signal-zu-Rausch
Verhältnis vorausgesetzt. Das kann man hier voraussetzen, weil die zur Verfü-
gung stehenden Lichtleistungen der beiden Laser im mW-Bereich liegen und die
Elektronik kein nennenswertes Rauschen einfügt.
Der Master-Laser repräsentiert im Folgenden den Referenzlaser, welcher bei
LISA zum gegenüberliegenden Satelliten geschickt wird. Dieser wird bei LISA
durch Stabilisierung der Frequenz auf die Armlänge (engl: Armlocking) [11]
frequenzstabilisiert und läuft mit einer Frequenz ωML . Die Idee ist es nun, den
Slave-Laser im gegenüberliegenden Satelliten in einem vorgegebenen Frequenz-
abstand ω1 phasenstarr an den Master-Laser zu koppeln und wieder zum ersten
Satelliten zurückzuschicken. Unter der Annahme, dass keine äußeren Störungen
vorhanden sind, ist die Frequenz ωSL des Slave-Lasers:
ωSL = ωML ± ω1 (2.1)
Wenn die Frequenz des Master-Lasers sich nun ein wenig verschiebt, kann die
Wellenlänge λ des Slave-Lasers über die Eigenschaften seines Resonators be-
einﬂusst werden [12, Kap. 5.4], [13]. Die Länge d des Resonators kann über
ein piezoelektrisches Stellelement (kurz: Piezo) eingestellt werden und der Bre-
chungsindex n kann über die Temperatur geändert werden.
∆λ ∆d ∆n
= + (2.2)
λ d n
Da die Änderung der Temperatur im Vergleich zur Längenänderung durch den
Piezo langsam verläuft, wird der Piezo für schnelle und kleine Frequenzänderun-
gen benötigt, wohingegen die Temperatur für langsame aber große Änderungen

2.1. GRUNDLAGEN 7

genutzt wird.
Um die Differenzfrequenz zwischen den beiden Laserstrahlen zu messen, wer-
den sie an dem Strahlteiler überlagert und dadurch entsteht auf dem Photode-
tektor-Signal ein kosinusförmiges Schwebungssignal [14, Kap. 3.1.1]. Da im
Versuch linear polarisiertes Licht verwendet wird, wird angenommen, dass der
elektrische Feldvektor parallel zur z-Achse ist. Dadurch ist die Überlagerung
der beiden Strahlen nur noch ein eindimensionales Problem, weil der elektrische
Z
Feldvektor EML,SL (t) auf seine z-Komponente EML,SL reduziert werden kann.
Z ˆ
EML,SL (t) = EML,SL = EML,SL (t) cos (ωML,SL (t) t + φML,SL (t)) ez (2.3)

ˆ
Die Frequenzen ω, die Phasen φ und die Amplituden E sind zeitabhängig,
da sich zum Einen die Resonatoreigenschaften mit der Zeit ändern können
und zum Anderen sich die Phase durch eine Weglängenänderung zwischen
Laser und Detektor verschieben kann. Im Folgenden wird der Übersicht halber
die Zeitabhängigkeit vernachlässigt. Desweiteren erkennt man aus folgender
Gleichung

φ = ωdt (2.4)

dass die Frequenz und die Phase zusammenhängen. Dieser Zusammenhang
wird im nächsten Unterabschnitt ausgearbeitet. Zunächst wird die Leistung
PPD , die auf die Photodiode trifft, aus der Intensität JPD berechnet, indem die
Interferenz J der beiden E-Felder ausgerechnet wird.
1 Z Z
2
JPD = EML + ESL mit Z = 377 [Ω] im Vakuum (2.5)
Z
1 ˆ2 ˆ2
= EML cos2 (ωML t + φML ) + ESL cos2 (ωML t + φML ) (2.6)
Z
1 ˆ ˆ
+ 2EML cos (ωML t + φML ) ESL cos (ωSL t + φSL )
Z
Z ist hierbei der Wellenwiderstand, der vom Medium abhängt. Nach Anwen-
dung des Additionstheorems [15]

cos (x) cos (y) = 1/2 (cos (x − y) + cos (x + y)) (2.7)

folgt somit:
1 ˆ2 ˆ2
JPD = E cos2 (ωML t + φML ) + ESL cos2 (ωML t + φML )
Z ML
1 ˆ ˆ
+ EML ESL (cos ((ωML − ωML ) t + φML − φSL )) (2.8)
Z
1 ˆ ˆ
EML ESL cos ((ωML + ωSL ) t + φML + φSL )
Z
Der Photodetektor kann die Frequenz eines Nd:YAG Lasers nicht direkt messen,
sondern nur deren zeitliches Mittel. Damit vereinfacht sich cos2 (...) zu 1/2.


Das Schwebungssignal bei ωML + ωSL liegt weit außerhalb des Detektionsbereichs
des Photodetektors und der Term wird deswegen Null. Es entsteht bei diesem
Vorgang kein Photon mit einer Frequenz ωML + ωSL , sondern es stellt eine Schwe-
bungsfrequenz zwischen Photonen dar.
Mit diesen Folgerungen ergibt sich für die Intensität J:

1 1 ˆ2 1 ˆ2
JPD = EML + ESL (2.9)
Z 2 2
1 ˆ ˆ
+ EML ESL cos ((ωML − ωSL ) t + φML − φSL )
Z
Die Intensitäten JML,SL der beiden Laserstrahlen sind mit dem Wellenwiderstand
Z gegeben als
1 ˆ2
JML,SL = E (2.10)
2Z ML,SL
und mit

ω2 = ωML − ωSL und φ2 = φML − φSL (2.11)

erhält man

JPD = JML + JSL + 2 JML JSL cos (ω2 t + φ2 ) (2.12)

Bis jetzt wurde davon ausgegangen, dass die Strahlen perfekt überlagert sind,
und dass der Kontrast 1 beträgt. Um den Einﬂuss einer nicht perfekten Überla-
gerung mit einzubeziehen, muss ein Korrekturfaktor K dem Mischterm hinzuge-
fügt werden. Dieser kann im Experiment über

JMax − JMin
K = (2.13)
JMax + JMin
sehr leicht mit einem Oszilloskop bestimmt werden. Die Leistung auf der Photo-
diode ist proportional zur Intensität und man kann, bis auf eine Konstante, die
Intensität durch die Leistung ersetzen. Jedoch ist die Konstante nicht von belang,
da die Leistungen PML und PSL (s. Kap. 3.1.5) mit dem Photodetektor bestimmt
werden können.

PPD = PML + PSL + 2K PML PSL cos (ω2 t + φ2 ) (2.14)

Der Photodetektor wandelt die eintreffende Leistung in einen Strom

IPD = ρ PML + PSL + 2K PML PSL cos (ω2 t + φ2 ) (2.15)

mit der Efﬁzienz der verwendeten InGaAs-PIN-Photodiode von
A
ρ = 0.7 (2.16)
W

2.1. GRUNDLAGEN 9

um. Zum Vergleich haben Silizium Photodioden eine Effizienz von 0,2 bis 0,3 bei
einer Wellenlänge von 1064 nm [14].
Dieser Photostrom wird mit einem Transimpedanzverstärker in eine zu ihm
proportionale Spannung umgewandelt. Der Proportionalitätsfaktor UPD /IPD aus
Ausgangsspannung und Eingangsstrom ist zeitlich konstant und deshalb wird
er mit der Effizienz der Photodiode zur Konstanten KPD zusammengefasst.
UPD
KPD = ρ (2.17)
IPD
u2 = KPD IPD (2.18)
= KPD PML + PSL + 2K PML PSL cos (ω2 t + φ2 ) (2.19)

Die im Versuch verwendeten Photodetektoren haben einen AC- und einen DC-
gekoppelten Ausgang, und nur der AC-gekoppelte (hochpassgefilterte) Ausgang
wird für die Phasenstabilisierung benutzt. Deswegen fallen die ersten beiden
DC-Terme weg und man erhält
ˆ
u2 (t) = U2 cos (ω2 t + φ2 (t)) (2.20)

mit
ˆ
U2 = 2K KPD PML PSL . (2.21)

Der Frequenzgenerator erzeugt die Referenzfrequenz ω1 mit der Amplitude
ˆ
U1 , auf die der Abstand der beiden Laserfrequenzen stabilisiert wird. Dieser
Frequenzgenerator wird im weiteren Verlauf als Lokaloszillator bezeichnet.
ˆ
u1 (t) = U1 cos (ω1 (t) t + φ1 (t)) (2.22)

Am Phasendifferenzdetektor, dem Mischer, werden die Signale vom Lokaloszil-
lator u1 und dem Photodetektor u2 elektrisch multipliziert.

u1 (t) · u2 (t) = (2.23)
ˆ ˆ
U1 · U2
[cos ((ω1 − ω2 ) t + φ1 − φ2 ) + cos ((ω1 + ω2 ) t + φ1 + φ2 )] (2.24)
2
Wenn die Schwebungsfrequenz ω2 zwischen den Lasern vom Regler genau auf
die Frequenz ω1 des Frequenzgenerators geschoben wird, entsteht am Mischer-
ausgang folgende Ausgangsspannung

u1 (t) · u2 (t) = (2.25)
ˆ ˆ
U1 · U2
[cos (φ1 − φ2 ) + cos (2 (ω1 + ω2 ) t + φ1 + φ2 )] (2.26)
2
Durch den darauffolgenden Tiefpass mit Verstärkung V kann der Anteil bei 2ω1
unterdrückt werden zu
ˆ ˆ
U1 U2 V
u3 = cos (φ1 − φ2 ) . (2.27)
2


Für kleine Phasenverschiebungen ∆φ−π/2 = φ1 −φ2 < 0, 1 rad kann der Kosinus
linearisiert werden. Daraus entsteht am Ausgang des Phasenmesssystems ein
zur Phasendifferenz ∆φ lineares Fehlersignal u3
ˆ ˆ
U1 U2 V
u3 = ∆φ. (2.28)
2
Der Regler bewirkt, dass dieses Fehlersignal durch negative Rückführung mög-
lichst nahe bei Null gehalten wird. Falls das Licht des Master-Laser eine Phasen-
verschiebung φML durch eine Gravitationswelle erfährt und die Frequenz der
Schwebung ω2 konstant bleibt, würde der Photodetektor eine leicht verschobene
Frequenz ωMF
d dφ2
ωMF = (ω2 (t) t + φ2 (t)) = ω2 + (2.29)
dt dt
sehen. Diese Frequenz wird als Momentanfrequenz ωMF bezeichnet. Der Regler
stellt die Frequenz vom Slave-Laser dann auf ωMF , so dass die Phasenverschie-
bung am Eingang des Mischers ∆φ wieder verschwindet. Die Phaseninforma-
tion vom Master-Laser ist dadurch in die Frequenzverschiebung des Slave-
Lasers umgewandelt worden.
Anhand dieser Gleichung und Gleichung (2.4) erkennt man, dass die Phase
am Mischerausgang eine zeitliche Integration über die Frequenzabweichung
am Eingang des Mischers darstellt. Dieser implizite Integrator im Regelkreis
ist typisch für Phasenstabilisierungssysteme und muß beim Design des Servos
berücksichtigt werden.

2.1.2 Verhalten des Regelkreises
Das Verhalten von elektrischen Bauelementen kann zum Einen im Zeitbereich
und zum Anderen im Frequenzbereich betrachtet werden [16, Kap. 6]. Als Bei-
spiel wird das in Abbildung 2.2 dargestellte RC-Glied (ein Hochpass) mit x als
Aus- und y als Eingangsspannung beschrieben.

y(t) x(t)

Abbildung 2.2: RC-Glied / Hochpass

1
x (t) dt + x (t) = y (t) (2.30)
RC
⇔ RC x (t) + x (t)
˙ = RC y (t)
˙ (2.31)

2.1. GRUNDLAGEN 11

Diese Rechnung läßt sich mit Hilfe der Maschengleichung auch auf komplizierte
Systeme ausweiten. Die allgemeine Gleichung für die Darstellung lautet, wobei
der obere Index den Grad der Ableitung beschreibt und der untere dementspre-
chend den Koefﬁzieten durchnummeriert:

an xn (t) + .... + a0 x (t) = bm ym (t) + .... + b0 y0 (t) (2.32)

Die Nachteile, die sich daraus ergeben sind zum Einen die Aufstellung einer Dif-
ferentialgleichung für das System und zum Anderen das Lösen von Integralen,
wie z.B. Faltungsintegrale, um das Verhalten eines Systems auf z.B. eine Störung
zu untersuchen. Hinzu kommt, dass es für viele Anwendungen, wie z.B. der
Nachrichtentechnik interessanter ist, sich anzuschauen, wie ein Regelkreis auf
Störungen mit Frequenzanteilen reagiert.
Deshalb transformiert man die Darstellung des Systems mittels einer Laplace-
transformation
∞
X (s) = x (t) · e−st dt (2.33)
−∞

in den Frequenzbereich, wobei s=r+iω ∧ r ∈ R die Laplace-Variable ist. Die
Rücktransformation in den Zeitbereich läßt sich mittels
∞
x (t) = X (s) · est ds (2.34)
−∞

bewerkstelligen. Als Beispiel wird der Einheitssprung Θ (t) in den Frequenzbe-
reich transformiert.
+∞
Θ (s) = Θ (t) e−st dt (2.35)
−∞
+∞
= Θ (t) e−st dt (2.36)
0
+∞
1
= − e−st (2.37)
s 0
1 −st 1 1
= lim − e + = (2.38)
t→∞ s s s
Jedem Element eines Regelkreis wird eine Übertragungsfunktion F (s) zugeord-
net. Diese sagt aus, wie ein Signal mit einer bestimmten Frequenz am Eingang
eines Regelungselements am Ausgang in Amplitude und Phase wieder heraus-
kommt. Die Übertragunsfunktion F(s) läßt sich mit einen Netzwerk-Analysator
messen.
X (s)
F (s) = (2.39)
Y (s)
Somit ist das Aufstellen der Differentialgleichung im Zeitbereich und die an-
schließende Transformation in den Bildbereich nicht von Nöten. In Bodedia-
grammen wird diese Übertragungsfunktion in ihre Amplitude und ihre Phase


aufgeteilt und diese werden gegenüber einer logarithmischen Frequenzskala
aufgetragen.

Amplitude (F) = |F (ω)| (2.40)
(F (ω))
Phase (F) = arctan (2.41)
(F (ω))
So ergibt sich für den Hochpass aus Gleichung (2.31) im Frequenzbereich über
den Zusammenhang
∞
x (t) · e−st dt = s · x (s)
˙ (2.42)
−∞

folgende Transferfunktion. T ist dabei die Zeitkonstante RC des Hochpasses.
Ts
F (s) = (2.43)
1 + Ts
Für kleine Frequenzen ist die Übertragungsfunktion Null und für große Frequen-
zen konvergiert sie gegen 1. Im Frequenzbereich hat man leicht anwendbare
Rechenvorschriften, wie man einzelne Blöcke mit ihrer Übertragungsfunktion
in einem Regelkreis verbindet [16]. Die Reihenschaltung von zwei Blöcken F (s)
und G (s) ergibt einen Block H (s) mit

H (s) = F (s) · G (s) . (2.44)

Die Paralleschaltung von zwei Blöcken F (s) und G (s) ergibt wiederum einen
Block H (s) mit

H (s) = F (s) + G (s) . (2.45)

Bei der Multiplikation und Addition muss natürlich beachtet werden, dass die
Variable s und die Funktionen F, G, H komplex sind.

2.1.2.1 Regelkreisaufbau
In Abbildung 2.1 wurde bereits ein Regelkreis skizziert. Dieser enthielt jedoch un-
nötige Zusatzinformationen, die in der Regelungstechnik häuﬁg nicht benötigt
werden. Dort kann dieser Regelkreis auf zwei Blöcke mit Übertragungsfunktio-
nen RS (s) und R (s) reduziert werden. R steht dabei für den Regler und RS
für die Regelstrecke. Dies entspricht im Experiment dem Abschnitt vom Laser
bis zum Phasenmesssystem. Der entsprechende Regelkreis mit allen wichtigen
Größen ist in Abbildung 2.3 skizziert.
Im Experiment ist die Führungsgröße w (s) Null und der Addierer für die
Führungsgröße nicht vorhanden. Der Regler versucht somit, die Regelgröße x (s)
auf Null zu regeln. Mit Hilfe der Abbildung 2.3 können die Begriffe Störübertra-
gungsfunktion und Führungsübertragungsfunktion hergeleitet werden.
Die Störübertragungsfunktion ist das Verhältnis der Regelgröße zur Störgröße.

2.1. GRUNDLAGEN 13

Störgröße z(s) + Regelgröße x(s)
Regelstrecke RS(s)
-

+ Führungsgröße w(s)
Stellsignal y(s)
Regler R(s)
-

Abbildung 2.3: Blockdiagramm einer Regelstrecke

Sie gibt Aufschluss darüber, wie die Störung durch die Regelstrecke übertragen
wird und wie gut der Regler diese unterdrückt.
X (s)
FS (s) = (2.46)
Z (s)
Die Führungsübertragungsfunktion ist das Verhältnis von Regelgröße zu Füh-
rungsgröße. Sie gibt an, wie gut die Regelgröße der Führungsgröße folgt.
X (s)
FF (s) = (2.47)
W (s)
Die beiden Übertragungsfunktionen lassen sich mit Hilfe der Abbildung 2.3
ausrechnen und man erhält:
RS (s)
FS (s) = (2.48)
1 + RS (s) R (s)
R (s) RS (s)
FF (s) = (2.49)
1 + R (s) RS (s)
Um einen Regelkreis auf seine Stabilität hin zu überprüfen, wird die Schleifen-
verstärkung gemessen. Diese ist das Verhältnis von
x (s)
= RS (s) R (s) = K (s) . (2.50)
x (s) − w (s)
Für die Schleifenverstärkung gilt dann das Stabilitätskriterium, dass bei der
Unity-Gain Frequenz der Phasenverlust kleiner als -180◦ sein muss. Ansonsten
wird der Kreis instabil und fängt an zu schwingen.
Man deﬁniert eine Grenzfrequenz ωG bei der der Betrag von K(s) genau gleich
1 ist bzw. die Amplitude von H (s) nach Gleichung (2.63) um 3 dB gefallen
ist. Genau bei dieser Frequenz wird nach Gleichung (2.61) die entstehende
Phasendifferenz ∆φ mit einem Faktor eins auf eine Veränderung der Phase φ2
zurückgeführt.
|G (s = iωG )| = 1 (2.51)
Die Schleifenverstärkung läßt sich im Experiment mit Hilfe eines Netzwerk-
Analysators bestimmen. Dazu wird die Führungsgröße w (s), die dem Mo-
dulationssignal des Netzwerk-Analysators entspricht, durch einen Addierer


der Regelgröße am Eingang des Reglers hinzugefügt. Die Signale x (s) und
(x (s) − w (s)) können mit Abgriffen an den Platinen vom Netzwerk-Analysator
gemessen werden. Die Amplitude des Modulationssignals wird zunächst klein
gewählt, um die Phasenstabilisierung akivieren zu können. Dann wird das
Modulationssignal soweit erhöht, bis auf dem Netzwerk-Analysator eine Trans-
ferfunktion zu erkennen ist.

x(s)
Regelstrecke RS(s)
- A/B

+ w(s) A B
Regler R(s)
- Quelle

Abbildung 2.4: Messung der Schleifenverstärkung

2.1.2.2 Führungsverhalten

Es stellt sich nun die Frage, wie gut die Phase φ2 des Schwebungssignals der
Phase φ1 vom Lokaloszillator folgt [17].
Für das Signal am Ausgang des Phasenmesssystems gilt im Zeit- und im Fre-
quenzbereich, wenn ω1 ≈ ω2 ist:

1ˆ ˆ 1ˆ ˆ
u3 (t) = U1 U2 V ∆φ = U1 U2 V (φ1 (t) − φ2 (t)) (2.52)
2 2
1ˆ ˆ
u3 (s) = U1 U2 V (φ1 (s) − φ2 (s)) (2.53)
2

Das Signal u4 , dass durch Verarbeitung des Signals u3 am Ausgang des Reglers
entsteht, läßt sich im Frequenzbereich mit der Übertragungsfunktion des Reglers
F (s) als

u4 (s) = F (s) u3 (s) (2.54)

darstellen. Wenn ω1 ≈ ω2 durch das Ändern der Temperatur des aktiven Medi-
ums des Slave-Lasers erreicht wird, dann beﬁndet sich der Piezo am Laserreso-
nator näherungsweise in seiner Ruhelage und die Steuerung der Frequenz ω2
über den Piezo des Slave-Lasers wird linear. Der Kopplungskoefﬁzient KPZT des
Piezos beträgt im Experiment 1,8 MHz/V.

ω2 = ω1 + KPZT · u4 (t) (2.55)

2.1. GRUNDLAGEN 15

Vergleicht man ω2 mit der Momentanfrequenz ωMF aus Gleichung (2.29), so folgt
daraus im Zeit- bzw. Bildbereich:
dφ2
= KPZT · u4 (t) (2.56)
dt
s · φ2 = KPZT · u4 (s) (2.57)
KPZT · u4 (s)
⇔ φ2 = (2.58)
s
Sukzessives Einsetzen der letzten Gleichungen liefert:
KPZT F (s) u3 (s)
φ2 (s) = (2.59)
s
ˆ ˆ
1/2KPZT U1 U2 V F (s)
= (φ1 (s) − φ2 (s)) (2.60)
s
G(s)

= G (s) (φ1 (s) − φ2 (s)) (2.61)
Daraus erhält man folgende Gleichung, aus der die Übertragungsfunktion der
Eingangsphase zur Ausgangsphase entsteht.
⇔ φ2 (s) [1 + G (s)] = G (s) φ1 (s) (2.62)
φ2 (s) G (s)
⇔ H (s) = = (2.63)
φ1 (s) 1 + G (s)
An dieser Gleichung lässt sich eine wichtige Erkenntnis ableiten. Die verblei-
bende Abweichung ist die ursprüngliche (ungeregelt freilaufende) Abweichung
unterdrückt durch die Verstärkung des Reglers und hängt somit von beiden ab.
Bei der Verstärkung des Reglers sind auch die Verstärkungsfaktoren durch den
Tiefpass, dem Photodetektor, etc. zu berücksichtigen.

2.1.2.3 Störverhalten
Eine weitere interessante Frage ist, wie sich der Regelkreis verhält, wenn die
Phasenstabilisierung aktiv ist und dabei eine kleine langsame Frequenzänderung
des Schwebungssignals (z.B. durch Temperaturänderung an einem der beiden
Laser) auftritt [17]. Die Schwebungsfrequenz ist somit gleich der Referenzfre-
quenz und die Phasenänderungen zwischen den beiden Phasen sind ebenfalls
identisch.
ω1 = ω2 (2.64)
dφ1 dφ2
= (2.65)
dt dt
Es wird nun die Frequenz des Slave-Lasers ein wenig ändert und somit ändert
sich auch die des Schwebungssignals.
∆ω = ω2 − ω1 (2.66)


Für die Spannung am Ausgang des Mischers u3 und am Eingang des Lasers u4
gilt:

1ˆ ˆ
u3 = U1 U2 V ∆φ (2.67)
2
u4 = F (s ≈ 0) u3 (2.68)

Der Laserresonator des Slave-Lasers ändert über den Piezo seine Länge und
verschiebt damit die Laserfrequenz um einen bestimmten Betrag. Wie schon
erwähnt, ist die Verschiebung in einem bestimmten Bereich linear. Deshalb
ergibt sich für die Frequenz ω2 des Schwebungssignals und anschließend für die
Frequenzdifferenz

ω2 = ω1 + KPZT u4 (s) (2.69)
⇒ ∆ω = KPZT u4 (s) (2.70)

Mit den letzten drei Gleichungn ergibt sich:

1ˆ ˆ
∆ω = KPZT F (s ≈ 0) U1 U2 V ∆φ (2.71)
2
∆φ 1
⇒ = 1 (2.72)
∆ω ˆ ˆ
U U V KPZT F (s ≈ 0)
2 1 2

Damit die Änderung der Phase bei einer Änderung der Frequenz möglichst
klein bleibt, muss F (s ≈ 0) möglichst groß sein. Somit eignet sich am besten ein
Regelkreis mit Integrator. Ein Integrator besitzt die Übertragungsfunktion

1
F (s) = (2.73)
s
mit dem Grenzwert limω→0 |F (s)| → ∞. Der Regler darf jedoch kein reiner
Integrator sein. Anonsten hat man zusammen mit dem impliziten Integrator
2 Stück davon mit zusammen -180◦ Phasenverschiebung, was den Regelkreis
instabil macht.

2.2. ANFORDERUNGEN AN DIE PHASENSTABILISIERUNG 17

2.2 Anforderungen an die Phasenstabilisierung
Um die Anforderungen für das Experiment herauszuﬁnden, wird die von EADS
Astrium aufgestellte Anforderungsliste [18, Kap.4] genutzt. Diese Liste wurde
auf Grundlage der aktuellen Planungen für LISA erstellt. Es wurde unter ande-
rem der Aufbau der optischen Bank, der Durchmesser des Teleskops und die
verfügbare Laserleistung mit eingerechnet.
In diesem Abschnitt werden die entsprechenden Gleichungen vorgestellt und
auf das Experiment übertragen. Dabei soll weniger auf die Herleitung der ein-
zelnen Gleichungen Wert gelegt werden sondern mehr auf das Umrechnen des
Rauschens. Die einzelnen Gleichungen werden später hergeleitet.
Bei LISA wird ein Strahlteiler für die Überlagerung des ankommenden Laser-
strahls mit dem lokalen Laser genutzt. Von der Leistung PL bei der Wellenlänge
λL , die vom gegenüberliegenden Satelliten über die Entfernung L ausgesendet
wurde, kann nur ein kleiner Bruchteil vom Teleskop mit dem Durchmesser D0
detektiert werden. Wenn die optischen Verluste des langen Arms, des Teleskops,
der optischen Bank und der Photodetektoren zu ηopt zusammengefasst werden,
dann ist nur noch eine Leistung PWB von etwa 96,4 pW zu messen.

π 2 ηopt PL D0
4
PWB = ≈ 96, 4 pW (2.74)
16λ2 ∗ L2
L

Hierbei wurde angenommen:

PL = 1W (2.75)
λL = 1064 nm (2.76)
L = 5 · 109 m (2.77)
D0 = 0, 4 m (2.78)
ηopt = 0, 173 (2.79)

Die optischen Verluste ηopt setzen sich aus drei Faktoren zusammen. Die Ver-
luste auf der optischen Bank tragen mit 0,655, das Teleskop mit 0,645 und das
Phasenmesssystem mit 0,409 bei.
Aus der verfügbaren Leistung PWB kann man die Schrotrauschgrenze ausrech-
nen zu

2π c rad
δΦSRL = ≈ 4, 39 · 10−5 √ . (2.80)
λPWB Hz

Das Schwebungssignal, das der schwache Strahl PWB mit dem lokalen Laser
erzeugt, wird an beiden Ausgängen des Überlagerungstrahlteilers mit jeweils
einem Quadrantenphotodetektor mittels Differential Wavefront Sensing (kurz:
DWS) gemessen [19][20]. Um die Phaseninformation für die Phasenstabilisie-
rung zu erzeugen, muss jeweils über die 2x4 Quadranten summiert werden.
Zusätzlich muss noch beachtet werden, dass die beiden Strahlteilerausgänge


eine Phasenverschiebung von 180◦ zueinander haben.
4
Φ1 = φi (2.81)
i=1
8
Φ2 = φi (2.82)
i=5

In dieser Arbeit wurde nur ein Einzel-Element Photodetektor an einem Ausgang
benutzt und damit folgt für die detektierbare Leistung des Master-Lasers:
1
PML ≈ PWB ≈ 12, 1 [pW] (2.83)
8
Die Schrotrauschgrenze liegt für diesen einen Einzel-Element Photodetektor
dann bei
2π c rad
δφSRLi = ≈ 1, 24 · 10−4 √ (2.84)
λPML Hz
Die Phasenauslesung des Schwebungssignals bei zwei Quadrantenphotodetek-
toren bei PWB muss besser sein als
1/4
2.8 [mHz] rad
δΦPA (f ) = 8, 26 · 10−5 1 + √ (2.85)
f HZ
Um diese Anforderung auf das Experiment zu übertragen, geht man davon
aus, dass sich das Rauschen der Phasenauslesung unkorreliert aus dem Schrot-
rauschen und den Rauschbeiträgen des Photodetektors, der Verstärker, des
Mischers, etc. zusammensetzt.

δΦPA = δΦ2 + δΦ2
SRL PM (2.86)
rad
⇒ δΦPM = δΦ2 − δΦ2 ≈ 6, 99 · 10−5
PA SRL √ (2.87)
Hz
Das unkorrelierte Rauschen der gesamten Phasenmessung der Modulationsfre-
quenz setzt sich aus den Phasenmessungen mit den einzelnen Photodiodenele-
menten zusammen.

8
δΦPM = δφ2 i
PM (2.88)
i=1

Somit erhält man für das Rauschen, dass maximal durch einen einzelnen Mess-
kanal zum Schrotrauschen hinzukommen darf:
rad
⇒ δφPMi = 2, 47 · 10−5 √ (2.89)
Hz

2.2. ANFORDERUNGEN AN DIE PHASENSTABILISIERUNG 19

Fur die Anforderung an das Rauschen der gesamten Phasenauslesung folgt bei
13 pW vom Master-Laser:

−4 rad
δφPAi (f ) = δφ2 i + δφ2
PM SRL ≈ 1, 26 · 10 √ (2.90)
Hz

Alle für das Experiment wichtigen Anforderungen sind in Abbildung 2.5 zu
sehen.
Ausgehend von dem Phasenrauschen des durch Armlocking frequenzstabili-
sierten Master-Lasers, erhält man die Rauschkurve für die Auswirkung des
Phasenrauschens des Master-Lasers auf die gesamte Phasenmessung. Daran ist
zu erkennen, dass die gesamte Phasenmessung bis hinunter zu 15 mHz nicht
durch das Frequenzrauschen des Master-Lasers beschränkt ist. Dort ist der
Schnittpunkt mit der Schrotrauschgrenze, die von der detektierbaren Leistung
des Master-Lasers am zweiten Satelliten abhängt.
Damit die Phasenstabilisierung zwischen dem ankommenden Master-Laser und
dem lokalen Slave-Laser kein weiteres Rauschen zur Messung hinzufügt, wird
festgelegt, dass das Phasenrauschen der Phasenstabilisierung mindestens um
vier Größenordnungen besser sein muss als das Phasenrauschen des durch
Armlocking frequenzstabilisierten Master-Lasers. Ein Nebeneffekt ist, dass die
anderen Laser dadurch eine vergleichbare Frequenzstabilität aufweisen und
keine weiteren Frequenzstabilisierungen benötigt werden.

6
10
Armlocking
Armlocking Einfluss auf Phasenmessung
Phasenstabilisierung
4
10 Phasenauslesung
Schrotrauschgrenze
Phasenrauschen [rad/√Hz]

2
10

0
10

−2
10

−4
10

−6
10 −4 −3 −2 −1 0
10 10 10 10 10
Frequenz [Hz]

Abbildung 2.5: Anforderungen für das Experiment bei 13 pW verfügbarer Master-Laser Leis-
√
tung in rad/ Hz. Die drei wichtigsten Linien sind das Schrotrauschlimit, die
Anforderungslinie an die Phasenauslesung und die an die Phasenstabilisierung.


√
Das Frequenzrauschen von Lasern wird üblicherweise in Hz/ Hz gemessen.
√
Die Anforderungen in Abbildung 2.5 in rad/ Hz können über den Zusammen-
hang zwischen dem Phasenrauschen δφ und dem Frequenzrauschen δf

δφ (t) = δω (t) dt (2.91)
√
in Hz/ Hz umskaliert werden. Dazu wird die Integration über dt rückgängig
gemacht und anschließend wird die Gleichung mittels Laplace Transformation
in den Frequenzbereich transformiert.

δφ˙(t) = δω (t) (2.92)
⇒ ωδφ = δω (2.93)

Mit ω = 2πf folgt daraus für die Phase δφ:

δf (f )
δφ (f ) = (2.94)
f
Mit Hilfe dieser Gleichung wurde die Abbildung 2.6 erstellt. Für die Messungen
in dieser Diplomarbeit wird nur die Anforderung an die Phasenauslesung bei
13 pW als Anforderung genommen. Die Anforderung an die Phasenstabilisie-
rung wird nicht mitbeachtet werden, da sie mehrere Größenordnungen lockerer
ist als die der Phasenauslesung.

2
10
Armlocking
Armlocking Einfluss auf Phasenmessung
Phasenstabilisierung
0
Phasenauslesung
10 Schrotrauschgrenze
Phasenrauschen [Hz/√Hz]

−2
10

−4
10

−6
10

−8
10 −4 −3 −2 −1 0
10 10 10 10 10
Frequenz [Hz]

Abbildung 2.6: Anforderungen für das Experiment bei 13 pW verfügbarer Master-Laser Leistung
√
in Hz/ Hz. Dies sind die gleichen Anforderungen wie in Abbildung 2.5.

2.3. EXPERIMENTELLER AUFBAU 21

2.3 Experimenteller Aufbau
Das Schema für einen Phasenregelkreis wurde bereits in Abbildung 2.1 darge-
stellt. Abbildung 2.7 zeigt eine leicht veränderte Darstellung.

Master-Laser
Laserauf- Optische Phasenmess-
bereitung Bank system
Slave-Laser
Photodetektoren
Phasenaus-
lesung
ϕPA
Phasenstabilisierung ϕPS
Temperatur-

Piezo- Regler
Daten-
kontrolle aufnahme

Abbildung 2.7: Übersichtsschema der mW-Phasenstabilisierung. Das Schema ist ähnlich zur
Abbildung 2.1, jedoch wird weniger Wert auf die Signale und mehr auf die
verwendeten Baugruppen gelegt.

In dieser Abbildung ist zu sehen, dass die beiden Laserstrahlen auf der opti-
schen Bank überlagert werden und ihre Interferenz wird an zwei Ausgängen des
gleichen Strahlteilers mit jeweils einem Photodetektor gemessen. Die Photodetek-
torsignale werden separat vom Phasenmesssystem mit einer Referenzfrequenz
verglichen. Aus dem Vergleich entstehen zwei Fehlersignale. Diese beiden Fehler-
signale werden vom Datenaufnahmesystem aufgezeichnet und das Fehlersignal
eines Photodetektors wird zusätzlich zum Regler weitergeleitet. Dieser sorgt
über die Anpassung der Piezoausdehnung am Laserresonator von einem der
beiden Laser bzw. über die Änderung der Temperatur dessen aktiven Mediums
dafür, dass die Phasendifferenz zwischen dem Schwebungssignal vom Photo-
detektor und der Referenzfrequenz möglichst klein bleibt. Das dafür benutzte
Fehlersignal wird Inloop Signal genannt. Das andere Fehlersignal wird Out-of-
loop Signal genannt und zur Diagnose der erreichten Stabilität benutzt.
Das Out-of-loop Signal kann unterschiedlich deﬁniert werden. Wenn der zweite
Photodetektor am anderen Strahlteilerausgang misst, dann gibt das Out-of-
loop Signal Aufschluss darüber, wie gut die Phasenauslesung mit dem Inloop-
Photodetektor und dem Phasenmesssystem ist. Die zusätzlichen Störungen auf
dem zweiten Photodetektor sind bei Benutzung des gleichen Strahlteilers näm-
lich gering.
Wenn der Photodetektor die Überlagerung an einem anderen Strahlteiler misst,
gibt das Out-of-loop Signal zusätzlich Auskunft darüber, wie groß das tempera-
turinduzierte Rauschen und andere Rauschquellen im Experiment sind. Wenn an
einem separaten Strahlteiler gemessen wird, muss das Experiment ins Vakuum
gebracht und thermisch stabilisiert werden. Dies wird in dieser Arbeit jedoch


nicht gemacht.
Bei den Messungen wird das Messsignal, welches nicht im Inloop-Kreis hängt,
immer Out-of-loop Signal genannt. Es wird bei den Messungen speziell darauf
hingewiesen, welche Eigenschaft das entsprechende Out-ouf-loop Signal misst.
Im folgenden Unterabschnitt werden die einzelnen Blöcke der Abbildung 2.7
ausführlich dargestellt. Am Ende wird der gesamte experimentelle Aufbau sche-
matisch gezeigt.

2.3.1 Laseraufbereitung
Gestartet wird in Abbildung 2.8 bei den Lichtquellen. Diese sind zwei Laser vom
Typ Mephisto 500 NE (Baujahr Slave-Laser: 2006, Master-Laser: vor 2002) von
Innolight. Diese arbeiten bei einer Wellenlänge von 1064 nm mit maximal 0,55
W Ausgangsleistung im Einmoden-Betrieb. Dies wird dadurch gewährleistet,
dass das aktive Medium, der Nd:YAG Kristall ein Non Planar Ring Oszillator
(NPRO) ist [21]. Die Eckdaten der Laser stehen in Tabelle 2.3.1.

Tabelle 2.1: Wichtige Kenndaten der Laser

Master-Laser Slave-Laser
Piezo [MHz/V] 2,7 1,8
Temperatur [Ghz/K] -3 -3
Frequenzdrift [MHz/3 h] ≤ 45 ≤ 45
Strahlpolarisation [IS /IP ] ≈5/1 5/1

Die Leistung und die Wellenlänge des Master-Lasers können etwas abwei-
chen, da dieser schon etwas älter ist. Er befindet sich im Aufbau der Frequenz-
stabilisierung für LISA [22, Kap.5]. Diese wird zunächst nicht benutzt, da bei
der Phasenstabilisierung und der Phasenauslesung das Frequenzrauschen des
Master-Lasers nicht so wichtig ist. Es soll nur der Frequenzabstand zwischen
den beiden Lasern eingehalten werden. Bei Benutzung der Frequenzstabili-
sierung könnte die Verstärkung des Reglers kleiner gewählt werden, da die
Frequenzschwankungen des Master-Lasers, denen der Slave-Laser folgen müss-
te, wesentlich geringer wären. Man müsste nach Gleichung (2.72) z.B. nur einen
statt zwei Integratoren für eine gute Rauschunterdrückung benutzen.
In den Strahlengang der Laser wird jeweils eine AR-Linse (f = 200 mm bei
λ = 1064 nm) gestellt, wobei der Strahlradius an diesem Punkt ungefähr 2 mm
beträgt. Dies hat den Vorteil, dass nur eine Linse gebraucht wird, um den richti-
gen Strahlradius für die folgende Fasereinkopplung zu bekommen. Ansonsten
müsste der Strahlradius mit jeweils zwei Linsen als Teleskop eingestellt werden.
Die AR-Beschichtung besteht aus dielektrischen Vielfachschichten, die dafür
sorgen, dass so gut wie kein Licht an der Linsenoberfläche zurückreflektiert
wird.


zur optischen Bank

λ/2-Platte

λ/4-Platte
Piezokontrolle

HR-Spiegel

Slave-Laser Strahlsumpf
Temperaturkontrolle

Faserkoppler

Linse

Strahlteiler
Master-Laser

Faraday-
Isolator

Laseraufbereitung zur optischen Bank

Abbildung 2.8: Die Laseraufbereitung für das Experiment ist nach üblichen Gesichtspunkten auf-
gebaut. Die Einstellung der Polarisation, die Unterdrückung von Rückstreuung
durch eine optische Diode und die Optimierung der Fasereinkopplung werden
beachtet.

Der Polarisations Kontrast im Experiment soll optimiert werden. Deshalb wer-
den hinter der Linse eine λ/4- und eine λ/2-Platte in den Strahlengang gebracht,
so dass man jede beliebige lineare Polarisation mit einem typischen Kontrast
von 300:1 einstellen kann. Mit Hilfe eines Polarisators am Eingang der optischen
Bank wird dafür gesorgt, dass die Polarisation senkrecht zur selbigen ist.
Nach den λ-Platten folgt ein Faraday-Isolator der Firma Linos, der eine typische
Dämpfung von 38 - 42 dB für das vom Experiment zurückgestreute Licht auf-
weist. Er sorgt dafür, dass keine Strahlung von der optischen Bank oder anderen
optischen Bauelementen zurück in den Laserresonator gelangt. Dies würde zu
einer Frequenzverbreiterung und Amplitudenschwankungen der Laser führen.
Mit Hilfe des Strahlteilers kann in späteren Untersuchungen das Amplitudenrau-
schen des Lasers mit dem Amplitudenrauschen am Eingang der optischen Bank
verglichen werden. Das zusätzliche Amplitudenrauschen entsteht durch die
Faserkopplungen. Da diese Untersuchung erstmal nicht gemacht wird, wird der
zusätzliche Strahl in einen Strahlsumpf (eine schwarz eloxierte, gebogene Röhre)
gelenkt, so dass dieser nicht zu unerwünschten Effekten führt. Die Fasereinkopp-
lung kann mit zwei Spiegeln (45◦ HR, 1064 nm) durch “Beam-Walking“ optimiert
werden. HR steht dabei für Hoch Reﬂektierend. Die Einkoppler (60SMS-X) und
die Einmoden Fasern mit Polarisationserhaltung (PMC-X) stammen von Schäfter


+ Kirchhoff. Die Fasereinkoppler haben eine schrägorientierte LWL-Koppelachse,
die zusammen mit den angeschrägten Faserenden (8◦ ) ein Zurückstrahlen in
Richtung des Laserresonators verhindern und die Koppeleffizienz verbessern.
Das Experiment wurde durch die Verwendung von Fasern modular aufgebaut,
um jede Gruppe für sich testen zu können, und um eine hohe Mobilität zu ge-
währleisten. Dadurch können weiterführende Versuche einfacher im Vakuum
durchgeführt werden.
Die Fasern leiten das Laserlicht zu den Eingängen der optischen Bank. Hier befin-
den sich (wie oben bereits erwähnt) jeweils Polarisatoren, die nur s-polarisiertes
Licht durchlassen.

2.3.2 Optische Bank
Wie in Abbildung 2.9 zu sehen ist, kann der Strahl vom Slave-Laser mit Hilfe
zweier HR-Spiegel in allen vier Freiheitsgraden mit dem Strahl vom Master-
Laser zu einer möglichst guten Überlagerung gebracht werden.
Das Kernelement der optischen Bank ist das Mach-Zehnder-Interferometer. Mit
Hilfe der Photodetektoren PDWeg1 , PDWeg2 und PDWeg3 können Weglängenmes-
sungen im phasenstabilisierten Zustand der beiden Laser durchgeführt werden.
Dazu wird durch Vergleichen der Signale mit der Referenzfrequenz ihre jeweilige
Phase bestimmt. Die Phasendifferenz zwischen PDWeg1 und PDWeg2 ergibt dann
die Weglängenänderung im Interferometer. Der Photodetektor PDWeg3 ermög-
licht die gleiche Messung wie PDWeg1 , jedoch ist hier die Phase um 180◦ , also
π rad verschoben. Dies wird auch π-Messung genannt und ist eine nützliche
Diagnose für Rauschuntersuchungen. Damit die Weglängenänderung durch
Temperatur- und Luftfluktuationen möglichst gering ist, sollten die Weglängen-
messungen im Vakuum durchgeführt werden.
Da das Experiment über Fasern und Faserkoppler modular aufgebaut ist, kann

PDOL PDweg2
Optische Bank

PDIL Master
Laser HR-Spiegel

Photo-
detektor

Slave PDWeg3 Faserkoppler
Laser
Strahlteiler
PDAMP1 PDWeg1 PDAMP2

Kontrast

Abbildung 2.9: Optische Bank inklusive Mach-Zehnder-Interferometer. Zusätzliche Ausgänge
für Amplitudenstabilisierungen und π-Messungen sind vorhanden.

es sein, dass die Fasereinkopplungen durch mechanische Veränderungen der


Umgebung (Vibrationen, Temperaturausdehnung, etc.) ihre Koppeleffizienzen
verändern und zusätzliche Amplitudenschwankungen auf den Photodioden
verursachen. Amplitudenschwankungen haben bei der Phasenstabilisierung
einen Einfluss auf die erzielbare Stabilität. Das Fehlersignal ist nach Gleichung
√
(2.28) proportional zum Produkt PML PSL und somit sind Leistungsschwan-
kungen von Phasenschwankungen nicht zu unterscheiden. Deshalb können mit
Hilfe der Photodetekoren PDAMP1 und PDAMP2 die Amplituden der beiden Laser
stabilisiert werden.
Mit den beiden Photodetektoren PDIL und PDPA wird das Interferenzsignal
zwischen den beiden Laserstrahlen zum Einen für die Phasenstabilisierung und
zum Anderen für die Überprüfung der Phasenauslesung gemessen.
Zwischen dem Strahlteiler für die Phasenstabilisierung und den Photodetektoren
stehen AR-beschichtete Linsen mit einer Brennweite von 40 mm, die die Strahlen
auf die Photodioden fokussieren. Aufgrund der geringen Ausmaße der Photodi-
odenfläche von weniger als zwei mm2 (Perkin Elmer 30619G: 1,5 mm2 ) ist dies
von Bedeutung. Durch Abschneiden des Laserstrahls entsteht ein Messfehler, da
nicht über die gesamte Phasenfront gemittelt werden kann.

2.3.3 Photodetektor
Der Aufbau der Photodetektoren für diesen Versuchsabschnitt ist einfach ge-
halten. Zur Umwandlung des Photostroms in eine Spannung wird lediglich ein
Transimpedanzverstärker mit einem Operationsverstärker eingesetzt.

IPD

UE UO UA

Abbildung 2.10: Schema eines invertierenden Verstärkers und eines Transimpedanzverstärkers

Die Vorteile des Designs sind, dass das Verhalten von Operationsverstärkern
durch ihre äußere Beschaltung bestimmt wird. Außerdem haben sie schaltungs-
technisch eine trennende Wirkung, d.h. dass sie den vorangegangen vom nach-
folgenden Schaltungsteil trennen, wodurch Schaltungen modular aufgebaut
werden können [23, Kap.29.6.7].
Der Aufbau eines Transimpedanzverstärkers ähnelt dem eines invertierenden
Verstärkers. Dieser ist in Abbildung 2.10 links dargestellt. Der Eingangswider-
stand des verwendeten Operationsverstärkers OPA 690 beträgt laut Datenblatt
190 kΩ. Deswegen fließt der Strom über den sehr viel kleineren Widerstand R3
in Abbildung 2.10, wobei über diesem eine Spannung UR3 = R3 /IPD abfällt. Da


der nichtinvertierende Eingang mit der Schaltungsmasse verbunden ist und ein
Operationsverstärker bestrebt ist, die Spannungsdifferenz zwischen seinen bei-
den Eingängen auf Null zu regeln, wird am Ausgang des Operationsverstärkers
eine Spannung UA = −UR3 erzeugt.
Das Verhältnis von UA /IPD wird als Verstärkungsfaktor bezeichnet und dieser
ist gleich dem Widerstand R3 [24, S.12-8].
Das Schaltungslayout des Photodetektors, der im Experiment verwendet wird,
unterscheidet sich nicht wesentlich von diesem Layout. Dieses ist in Abbildung
2.11 zu sehen. Es wurden lediglich einige praktische und notwendige Bauteile
ergänzt:

R3

200n

UAC
UDC

Abbildung 2.11: Schema eines einfachen Photodetektor-Designs

• Ein Notchﬁlter, auch Bandsperre genannt, um Frequenzanteile auf der
Photodioden Versorgungsspannung zu unterdrücken, die genau im Be-
reich der Lokaloszillatorfrequenz ω1 liegen. Dies geschieht mit einem
Durchführungskondensator und einem 80 MHz Ferrit.

• Dämpfung der Transferfunktion durch den Kondensator parallel zum
Transimpedanzwiderstand. Dadurch wird die Transferfunktion bei der
Eckfrequenz glatt und das ist oft nötig um die Schaltung überhaupt stabil
zu bekommen.

• Aufspalten der Spannung in DC und AC-Teil durch Tiefpassﬁlterung vor
dem AC-Ausgang.

• Impedanzanpassung durch einen 50 Ω Ausgangswiderstand zur Vermin-
derung von Interferenzen in den angeschlossenen Kabeln.
Die Transferfunktion des Photodetektors in Abbildung 2.12 wurde bei ca.
0,46 mW einfallender Laserleistung gemessen. Die Modulationstiefe auf dem
Strahl spielt dabei keine Rolle, da die Transferfunktion in dB angegeben ist und
somit ein relatives Verhältnis beschreibt.
Die Bandbreite des Photodetektors beträgt ca. 50 MHz und ist damit für das


Experiment ausreichend. Die Phase bei 20 MHz ist relativ ﬂach und es sind in
der Nähe keine Phasensprünge zu erkennen.

15

10
Amplitude[dB]

5

0

−5

−10 5 6 7 8
10 10 10 10
Frequenz [Hz]

0

−200
Phase [°]

−400

−600

−800 5 6 7 8
10 10 10 10
Frequenz [Hz]

Abbildung 2.12: Transferfunktion von der Photodiode zum AC-Ausgang des Photodetektor
Designs - oben: Amplitude, unten: Phase

2.3.4 Phasenmessung
Die Phasenmessung zwischen Photodetektorsignal und Lokaloszillator wird
wie schon in Kapitel 2.1.1 angedeutet, mit Hilfe eines multiplikativen Mischers
erreicht. Der darauf folgende Tiefpass sorgt dafür, dass die Summenfrequenz
(ω1 + ω2 ) unterdrückt wird. Das entstehende Fehlersignal gelangt dann zum
Regler und gleichzeitig über eine Verstärkerstufe zum Datenaufnahmesystem.
Die Frequenz des Lokaloszillators ist zunächst auf 20 MHz festgelegt, um mit

Mischer
zum Regler
Frequenz-
ω1,ϕ2 zum generator
Datenauf-
ω1,ϕ1 nahmesystem Tiefpass
P

Phasenmesssytem P Verstärker

Integrator

Abbildung 2.13: Skizze des Phasenmesssystems mit Abwärtsmischer (Mischer + Tiefpass) und
einer nachträglichen Verstärkung für das Datenaufnahmesystem.

der bei LISA verwendeten Frequenz vergleichbar zu sein. Die Wahl der Frequenz


wurde aus dem Grund gemacht, weil die Armlängen in Abwesenheit von Gravi-
tationswellen nur in erster Näherung konstant bleiben, wie man in Abbildung
2.14 erkennt [25]. Die Planeten Jupiter und Venus und das Gravitationsfeld der
Erde verursachen die größten dieser periodischen Schwankungen der Armlän-
gen. Aus der Änderung der Abstände resultiert eine maximale Geschwindigkeit
v = 15 m/s der Satelliten zueinander.

5.1 L 23
L 31
L 12

5.08
Armlänge [109 m]

5.06

5.04

5.02

5

4.98
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Zeit [a]

Abbildung 2.14: Relative Armlängenänderung von LISA über ein Jahr hinweg. Die Längen
der drei LISA Arme verändern sich über ein Jahr hinweg. Man erkennt, dass
die Armlängenänderung bis auf eine Phase für alle Arme identisch ist. Aus
der Armlängenänderung resultiert eine maximale Relativgeschwindigkeit von
15 m/s der Satelliten zueinander. Quelle: [25]

Diese Relativgeschwindigkeit führt über die Verschiebung der Frequenz des
Master-Lasers zu einer Dopplerverschiebung des Schwebungssignals von

c+v
∆f (v) = f −1 ≈ 14 MHz (2.95)
c−v
Diese Dopplerverschiebung muss mit bedacht werden, da sie dafür sorgen
kann, dass das Schwebungssignal verschwindet. Wenn man nämlich annimmt,
dass die Lokaloszillatorfrequenz fest und ≤ 14 MHz ist, so heben sich die Fre-
quenzverschiebung durch die Dopplerverschiebung und der Frequenzversatz
der überlagerten Laserstrahlen durch den Lokaloszillator zu bestimmten Zeiten
im Jahr auf. Da DC-Signale keine Phase besitzen, aus der man ein Fehlersignal
bestimmen kann, ist in diesem Fall keine Phasenregelung möglich. Bei LISA
wird deshalb die Lokaloszillatorfrequenz immer an die Dopplerverschiebung
angepasst, damit zu jeder Zeit ein Fehlersignal generiert werden kann.


Für die Messung der Phase wird ein passiver multiplikativer Mischer, der TUF-
3+ bzw. der TUF-3H von Mini-Circuits, benutzt. Diese sind aus einem Ringmo-
dulator aufgebaut, der ähnlich einem Brückengleichrichter aufgebaut ist [23,
Kap.29.6.2], [26], [27].
Der Unterschied zwischen den beiden Mischermodellen ist, dass der TUF-3H
einen um 10 dB größeren Lokaloszillator und eine um den Faktor vier höhere
RF-Leistung verarbeiten kann. Dies hat den Vorteil, dass dadurch das Signal-zu-
Rausch Verhältnis des Fehlersignals verbessert wird.
Als Tiefpass wird ein aktiver Tiefpassfilter mit einem Operationsverstärker als
aktivem Bauelement benutzt [24, Kap.16]. Da dieser im Gegensatz zu einem
passiven Tiefpassfilter bestehend aus Spulen, Kondensatoren und Widerständen
eher ein ideales Tiefpassverhalten aufweist. Das heißt:

• Der Amplitudengang fällt schon weit vor der Eckfrequenz fC ab, so dass
der niedrige Frequenzbereich im Durchlassbereich weniger unterdrückt
wird als der höhere.

• Der Übergang vom Durchlassbereich in den Sperrbereich ist kontinuierlich.
Bei akiven Filtern ist dieser Übergangsbereich schmaler als bei passiven
Filtern.

• Der Phasengang ist im Messbereich nicht konstant und dadurch wird das
Signal unnnötig verzerrt.

Darüber hinaus werden für Filter unterhalb von 1 MHz die Bauteilwerte für
Kapazitäten und Induktivitäten so groß, dass es besser ist, sie aktiv zu bauen.
Ein resultierender Vorteil ist die Verringerung parasitärer Effekte, wie der nicht
mehr zu vernachlässigende Widerstand einer großen Induktivität. Das aktive
Bauteil kann dabei teilweise als eine Induktivität angesehen werden. Gleichzeitig
kann das Signal verstärkt werden.
Bei den aktiven Tiefpassfiltern gibt es verschiedene Topologien mit jeweils
mehreren möglichen Varianten zur Realisierung der Filter. Zunächst werden
zwei gebräuchliche Topologien in Tabelle 2.3 gegenübergestellt; die Multiple-
Feedback- und die Sallen-Key-Topologie. Die Multiple-Feedback-Topologie hat

Tabelle 2.2: Zwei aktive Filtertopologien im Vergleich
Vorteile Nachteile
Sallen-Key einfache Struktur Q-Faktor relativ gering
hohe Bauteiltoleranz
Multiple-Feedback hoher Q-Faktor komplizierter Aufbau
hohe Verstärkung geringe Bauteiltoleranz

den Vorteil, dass durch den hohen Q-Faktor (Gütefaktor) die Bandbreite des
Filters sehr klein gewählt. Der Q-Faktor ist das Verhältnis von Mittenfrequenz


und Bandbreite des Filters. Darüberhinaus kann das Signal während der Filte-
rung noch verstärkt werden. Ihr Nachteil ist jedoch, dass ein Filter, der in dieser
Topologie entwickelt wurde, angepasst werden muss, nachdem er fertiggestellt
wurde. Dies kommt durch die Empﬁndlichkeit auf die nicht zu vermeidbaren
Bauteiltoleranzen zustande.
Um die Vor- und Nachteile zwischen den beiden Topologien weiter abzuwägen
ist in Abbildung 2.15 ein Vergleich zwischen dem Aufbau der beiden Topologi-
en zu sehen. In der jeweiligen Struktur wird durch die Wahl der Bauteilwerte
festgelegt, wie sich der Filter verhält. Diese Werte kann man entweder selber
bestimmen oder in diversen Tabellen nachschlagen.
Da die Phasenstabilisierung bei sehr niedrigen Frequenzen bis hinunter zum
Gleichstrom gemacht werden soll, sind Offset-Spannung und Drift der verwen-
deten Operationsverstärker wichtige Fehlerquellen. Deshalb soll eine zusätzliche
Offsetspannungs-Kompensation, die weiter unten beschrieben wird, eingebaut
werden. Bei der Sallen-Key Struktur kann eine Offsetspannungs-Kompensation
nicht so leicht realisiert werden, da hierbei der invertierende Eingang über einen
Spannungsteiler mit Schaltungsmasse verbunden ist. Deshalb wurde die Mul-
tiple-Feedback-Topologie ausgewählt. Nach Festlegung der Topologie steht noch
die Auswahl der verwendeten Filtervariante aus. Durch Wahl der Werte für
die Kondensatoren und Widerstände wird das Verhalten des Filters bestimmt.
Die Transferfunktion wird dabei durch den Amplituden- und Phasengang nach
Tabelle 2.3 in Gruppen eingeteilt, von denen hier drei vorgestellt werden.
Die Übertragungsfunktion des Filters ist die eines proportionalen Systems mit
Verzögerung zweiter Ordnung (PT2 ). Die Proportionalität kommt durch die
Verstärkung mit Hilfe des Operationsverstärkers zustande. Die Verzögerung
entsteht durch das Auf- und Entladen der Kondensatoren, so dass der gesamte
Schaltkreis auf zu schnelle Spannungsänderungen nicht mehr reagiert, die hohen
Frequenzen also unterdrückt.
Die Übertragungsfunktion ist mit den Bezeichnungen aus der Abbildung 2.16

Abbildung 2.15: Sallen-Key- und Multiple-Feedback-Filterstruktur.


Tabelle 2.3: Vergleich der Transferfunktionen möglicher aktiver Filtervarianten

Vorteile Nachteile
Besselfilter linearer Phasengang größter Trennbereich
Amplitudengang nicht flach
Butterworthfilter flacher Amplitudengang größerer Trennbereich
Tschebyschefffilter kleiner Trennbereich Wellen im Amplitudengang
flacher Phasengang
für niedrige Frequenzen

angegeben.
A0
A (s) = − (2.96)
1 + a1 s + b 2 s 2
Die Werte für die einzelnen Konstanten der Übertragungsfunktion lauten:
R12
A0 = − (2.97)
R14
R12 R13
a1 = ωC C7 R12 + R13 + (2.98)
R14
2
b1 = ωC C7 C8 R12 R13 (2.99)
Im Experiment wurde der Tschebyschefffilter verwendet, da darauf Wert ge-
legt wurde, dass die Phase im Bereich bis 20 kHz möglichst flach ist und dass
Frequenzanteile größer als 1 MHz sehr gut unterdrückt werden. Dadurch, dass
die Phase möglichst flach verläuft und bei 0◦ ist, verliert man bei der Schlei-
fenverstärkung über den Regelbereich nahezu keine Phase. Das heißt, dass die
Zeitverschiebung zwischen Störung und Antwort des System möglichst klein
bleibt.

Abbildung 2.16: Tschebyschefffilter zweiter Ordnung mit den entsprechenden Bauteilwerten aus
dem Experiment.

Der Tiefpass wurde mit Hilfe des von Gerhard Heinzel entwickelten Pro-
gramms LISO entwickelt [28]. Der in Abbildung 2.16 dargestellte Tschebyscheff-
filter zweiter Ordnung wurde durch einen fast identischen weiteren Filter zweiter

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