cálculo

1. CÁLCULO INTEGRAL
Trabajo Colaborativo Fase 1
Grupo: 100411_4
TUTOR:
DIEGO FERNANDO SENDOYA LOSADA
Ingeniero Electrónico
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

2. INTRODUCCIÓN
En este trabajo colaborativo encontraremos las referencias estudiadas en la fase
uno del curso cálculo integral, abarcando temas tales como anti derivadas,
propiedades de las integrales, integrales indefinidas y teoremas, a los cuales
trataremos de dar explicación por medio de la solución de los problemas
planteados con respecto a los tema antes mencionados.
OBJETIVO GENERAL
Comprender e interiorizar en cada uno de los ejercicios de la primera fase del
curso cálculo Integral, para poderlos aplicar en diferentes escenarios del saber,
utilizando las teorías y definiciones que se soportan en el curso académico.
Además de trabajar en grupo colaborativo para socializar y compartir
conocimientos.

3. PROBLEMAS
La anti derivada de una función f (x) es otra función g(x) cuya derivada es f(x). En
algunos textos la anti derivada de f recibe el nombre de integral indefinida de f. La
anti diferenciación es el proceso inverso a la diferenciación.
Hallar la solución de las siguientes integrales paso a paso, teniendo en cuenta las
propiedades de las integrales indefinidas, las cuales son consecuencia de las
aplicadas en la diferenciación.
1. ∫
𝒙 𝟓+ 𝟑𝒙−𝟐
𝒙 𝟑
𝒅𝒙 =
Aplicar la regla de la suma:
= ∫
𝑥5
𝑥3
𝑑𝑥 + ∫
3𝑥
𝑥3
𝑑𝑥 − ∫
2
𝑥3
𝑑𝑥
=
𝑥3
3
+
3
𝑥
− (−
1
𝑥2)
Simplificar
=
𝑥3
3
+
1
𝑥2 −
3
𝑥
Agregar una constante a la solución:
=
𝒙 𝟑
𝟑
+
𝟏
𝒙 𝟐 −
𝟑
𝒙
+ 𝑪
2. ∫ (𝒔𝒆𝒏 ( 𝒙) + 𝟑 𝒔𝒆𝒄 𝟐 ( 𝒙))𝒅𝒙 =
Aplicar la regla de la suma:
= ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 3 𝑠𝑒𝑐2 ( 𝑥) 𝑑𝑥
= − cos( 𝑥) + 3tan( 𝑥)
Agregar una constante a la solución
= 𝟑 𝒕𝒂𝒏 (𝒙) – 𝒄𝒐𝒔 (𝒙) + 𝑪

4. 3. ∫
√𝒕−𝒕+𝒕 𝟑
√𝒕
𝟑 𝒅𝒕 =
Aplicar la regla de la suma:
∫
√ 𝑡
√ 𝑡
3
𝑑𝑡 − ∫
𝑡
√ 𝑡
3
𝑑𝑡 + ∫
𝑡3
√ 𝑡
3
𝑑𝑡
=
6𝑡
7
6
7
−
3𝑡
5
3
5
+
3𝑡
11
3
11
=
𝟔𝒕
𝟕
𝟔
𝟕
−
𝟑𝒕
𝟓
𝟑
𝟓
+
𝟑𝒕
𝟏𝟏
𝟑
𝟏𝟏
+ 𝑪
4. ∫ 𝑻𝒂𝒏 𝟑 ( 𝒙) 𝒅𝒙
𝑇𝑎𝑛3( 𝑥) = 𝑡𝑎𝑛2( 𝑥)tan(𝑥)
= ∫ 𝑡𝑎𝑛2 ( 𝑥) 𝑡𝑎𝑛(𝑥)𝑑𝑥
Usar la siguiente identidad: 𝑡𝑎𝑛2( 𝑥) = −1 + 𝑠𝑒𝑐2
(𝑥)
= ∫(−1 + 𝑠𝑒𝑐2( 𝑥))tan( 𝑥) 𝑑𝑥
Aplicar integración por sustitución
𝑆𝑒𝑐( 𝑥) = 𝑢: 𝑑𝑥 =
1
tan( 𝑥)sec( 𝑥)
𝑑𝑢
= ∫(−1 + 𝑢2 )tan( 𝑥)
1
tan( 𝑥) 𝑢
𝑑𝑢
= ∫
𝑢2
− 1
𝑢
𝑑𝑢
Simplificar
= ∫ 𝑢 −
1
𝑢
𝑑𝑢
Aplicar la regla de la suma
= ∫ 𝑢𝑑𝑢 − ∫
1
𝑢
𝑑𝑢

5. = ∫
𝑢2
2
− ln( 𝑢)
Sustituir en la ecuación 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐(𝑥)
=
𝑠𝑒𝑐2
(𝑥)
2
− ln(sec( 𝑥))
Simplificar
=
𝒔𝒆𝒄 𝟐
(𝒙)
𝟐
− 𝐥𝐧 (
𝟏
𝐜𝐨𝐬( 𝒙)
) + 𝑪
El conjunto de todas las antiderivadas de f(x) se llama integral indefinida de f
respecto a x, y se denota por el símbolo ∫ 𝒇( 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭( 𝒙) + 𝑪 Resolver las
siguientes integrales indefinidas:
𝟓. ∫
𝒙 𝟐
𝟏 + 𝒙 𝟔
𝒅𝒙
Aplicar integración por sustitución: 𝑢 = 𝑥3
: 𝑢 = 3𝑥2
𝑑𝑥, 𝑑𝑥 =
1
3𝑥2 𝑑𝑢
= ∫
𝑥2
1 + 𝑥6
1
3𝑥2
𝑑𝑢
= ∫
1
3𝑥6 + 3
𝑑𝑢
𝒖 = 𝒙 𝟑
= ∫
1
3𝑢2 + 3
𝑑𝑢
Factorizamos: ∫
1
3𝑢2+3
= ∫
1
3(𝑢2 + 1)
𝑑𝑢
Sacamos la constante:
=
1
3
∫
1
𝑢2 + 1
𝑑𝑢
Aplicamos la regla de integración: ∫
1
𝑢2 +1
𝑑𝑢 = arctan(𝑢)

6. =
1
3
arctan(𝑢)
Sustituimos la ecuación: 𝑢 = 𝑥3
=
1
3
arctan(𝑥3
)
Simplificamos
=
arctan(𝑥3
)
3
Agregamos una constante a la solución
=
𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧(𝒙 𝟑
)
𝟑
+ 𝑪
𝟔. ∫[ 𝒆 𝒙
− (
𝟓
√𝟏 − 𝒙 𝟐
)+ 𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝒙)]𝒅𝒙 =
Aplicamos la regla de la suma:
= ∫ 𝑒 𝑥
𝑑𝑥 − ∫
5
√1 − 𝑥2
+ 2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥
= 𝑒 𝑥
− (5𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥) − 2 cos( 𝑥))
Simplificamos
= 𝑒 𝑥
− 5𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 ( 𝑥) − 2cos( 𝑥)
Agregamos una constante a la solución
= 𝒆 𝒙
− 𝟓𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏 ( 𝒙)− 𝟐 𝐜𝐨𝐬( 𝒙) + 𝑪
𝟕. ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟒 ( 𝒙) ∙ 𝑺𝒆𝒏( 𝒙) 𝒅𝒙
Aplicamos la integración por sustitución:
𝑢 = cos( 𝑥): 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛( 𝑥) 𝑑𝑥, 𝑑𝑥 = (−
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
) 𝑑𝑢
= ∫ 𝑢4
𝑠𝑒𝑛(𝑥)(−
1
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
) 𝑑𝑢

7. = ∫ −𝑢4
𝑑𝑢
Sacamos la constante:
= − ∫ 𝑢4
𝑑𝑢
Aplicamos la regla de la potencia:
= −
𝑢4+1
4 + 1
Sustituimos en la ecuación: 𝑢 = cos( 𝑥)
= −
𝑐𝑜𝑠4+1
(𝑥)
4 + 1
Simplificamos
= −
𝑐𝑜𝑠5
(𝑥)
5
Agregamos una constante a la solución
= −
𝒄𝒐𝒔 𝟓( 𝒙)
𝟓
+ 𝑪
𝟖. ∫
𝒄𝒐𝒔 𝟑( 𝒕)+ 𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐(𝒕)
𝒅𝒕
Aplicamos la regla de la suma:
∫
𝑐𝑜𝑠3( 𝑡)+1
𝑐𝑜𝑠2(𝑡)
𝑑𝑡+∫
1
𝑐𝑜𝑠2(𝑡)
𝑑𝑡
= 𝑠𝑒𝑛( 𝑡) + 𝑡𝑎𝑛(𝑡)
Agregamos una constante a la solución:
= 𝒔𝒆𝒏( 𝒕) + 𝒕𝒂𝒏( 𝒕) + 𝑪

8. Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser
enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una
afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones
dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las
hipótesis y la tesis o conclusión.
9. Encuentre el valor promedio de
32
1)( xxxg  en el intervalo [0, 2].
𝑔 𝑎𝑣𝑔 ( 𝑥) =
1
2
∫ 𝑥2√1 + 𝑥3 𝑑𝑥
2
0
Sustituimos y derivamos
𝑢 = 1 + 𝑥3
𝑑𝑢 = 3𝑥2
𝑑𝑥
Reemplazamos
𝑔 𝑎𝑣𝑔 ( 𝑥) =
1
2
∫ 𝑥2
√ 𝑢
𝑑𝑢
3𝑥2
2
0
Simplificamos
𝑔 𝑎𝑣𝑔 ( 𝑢) =
1
6
∫ √ 𝑢 𝑑𝑢
2
0
Al dar la solución obtenemos:
𝑔 𝑎𝑣𝑔 ( 𝑢) =
1
6
𝑢
3
2
3
2
|
2
0
Donde 𝑢 = 1 + 𝑥3
Obtenemos la siguiente solución:
𝒈 𝒂𝒗𝒈( 𝒙) =
𝟏
𝟗
( 𝟏 + 𝒙 𝟑)
𝟑
𝟐|
𝟐
𝟎
=
𝟏
𝟗
[( 𝟏 + 𝟐 𝟑)
𝟑
𝟐 − ( 𝟏 + 𝟎)
𝟑
𝟐] =
𝟐𝟗
𝟔
10. Halle el valor medio de la función 𝒈( 𝒙) = 𝟐𝒙 − 𝟐𝒙 𝟐
en el intervalo [ 𝟎, 𝟏]
Utilizamos la ecuación de valor promedio:

9. 𝑔 𝑎𝑣𝑔 ( 𝑥) =
1
𝑏 − 𝑎
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Reemplazamos:
𝑔( 𝑥) = 2𝑥 − 2𝑥2
En el intervalo [0,1] reemplazando la ecuación anterior:
𝑔 𝑎𝑣𝑔 ( 𝑥) =
1
1
∫ 2𝑥 − 2𝑥2
𝑑𝑥
1
0
Resolvemos:
𝑔 𝑎𝑣𝑔 ( 𝑥) = ∫ 2𝑥 − 2𝑥2
𝑑𝑥
1
0
= (2
𝑥2
2
− 2
𝑥3
3
)|
1
0
Al reemplazar los valores extremos obtenemos el valor promedio así:
𝑔 𝑎𝑣𝑔 ( 𝑥) = (2
𝑥2
2
− 2
𝑥3
3
)|
1
0
= 1 −
2
3
=
𝟏
𝟑
11. Sea   
2
1
42)(
x
dttxH Hallar H’(x).
Aplicamos la regla de la cadena:
𝑈 = 𝑥²
Primer teorema fundamental del cálculo:
𝐻`(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑢
( ∫ (2𝑡
𝑢
1
– 4) 𝑑𝑡 )
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= (2𝑢 – 4) (2𝑥)
= (2𝑥² − 4) (2𝑥)
= 𝟒𝒙³ − 𝟖𝒙

10. 12. Aplicar el segundo teorema fundamental del cálculo para resolver
∫ 𝑠𝑒𝑛3(2𝑥)cos(2𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
4
0
.
𝑓( 𝑥) = ∫ 𝑠𝑒𝑛3(2𝑥)cos(2𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
4
0
Segundo teorema fundamental del cálculo:
∫ 𝑓( 𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝐹( 𝑏) − 𝐹(𝑎)
Solucionamos:
𝑓( 𝑥) = ∫ 𝑠𝑒𝑛3(2𝑥)cos(2𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
4
0
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑑𝑢 = 2cos(2𝑥) 𝑑𝑥
𝑓( 𝑥) = ∫ 𝑢3
cos(2𝑥)
𝑑𝑢
2cos(2𝑥)
𝜋
4
0
= ∫
𝑢3
2
𝑑𝑢
𝜋
4
0
𝑓( 𝑥) = (
𝑢4
8
)|
𝜋 4⁄
0
=
𝑠𝑒𝑛4 (2𝑥)
8
|
𝜋 4⁄
0
=
𝑠𝑒𝑛 (2
𝜋
4
)
8
=
𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
2
)
8
=
𝟏
𝟖

11. CONCLUSIONES
 Identificamos los principios del cálculo integral para asimilar la teoría de las
integrales.
 Se aplicaron los diferentes métodos de integración.
 Se comprendió el concepto de integral definida e indefinida.
 Interpretamos diferentes teorías, definiciones y teoremas del cálculo integral
para poder comprender en diversos escenarios, la mejor manera de
utilizarlos.
 A través de la anterior actividad se lograron adquirir nuevas habilidades,
destrezas y conocimiento que fortalecen el proceso de aprendizaje.

12. BIBLIOGRAFÍA
Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y
ciencias experimentales. Recuperado de
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-
100411_version_AVA/Calculo_Infinitesimal.pdf
InstitutoISIV.(1de diciembre de 2010). IntegralesIndefinidas:Definición - MatemáticasII.[video].
Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=tB0NQate3wE
Ríos, J. (20 de agosto de 2011). Ejercicio de integral indefinida. [video]. Disponible en
http://www.youtube.com/watch?v=6Yer--EF1EY
Ríos, J. (2011). Videos en Texto Unidad 1. Recuperado de
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-
100411_version_AVA/Videos_en_texto_Unidad_1.pdf
Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y
ciencias experimentales. Recuperado de
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-
100411_version_AVA/Calculo_Infinitesimal.pdf
Ríos, J. (20 de agosto de 2011). Solución de una integral definida. [video]. Disponible en
http://www.youtube.com/watch?v=jnXgBtY8Jac
Ríos, J. (2011). Videos en Texto Unidad 1. Recuperado de
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-
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Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y
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http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-
100411_version_AVA/Calculo_Infinitesimal.pdf
Ríos, J. (29 de julio de 2012). Teorema Fundamental del Cálculo. [video]. Disponible en
http://www.youtube.com/watch?v=SCKpUCax5ss
Ríos, J. (2011). Videos en Texto Unidad 1. Recuperado de
http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-
100411_version_AVA/Videos_en_texto_Unidad_1.pdf