Tema 3 Álgebra Lineal: Espacios Vectoriales

Conjuntos libres y ligados
Espacios vectoriales de dimensi´on ﬁnita
Cambio de base
Subespacios vectoriales
Bases ortogonales y ortonormales
Espacios vectoriales
Estudios de Ingenier´ıa
Juan Gabriel Gomila
Frogames
juangabriel@frogames.es
10 de febrero de 2016
Juan Gabriel Gomila Tema 3 - Espacios vectoriales

Cambio de base
Índice
1 Conjuntos libres y ligados
Combinaciones lineales
Dependencia e independencia lineal
Rango de un conjunto de vectores
2 Espacios vectoriales de dimensión finita
Sistema generador
Base de un espacio vectorial
Dimensión y coordenadas de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Matriz de cambio de base
4 Subespacios vectoriales
Concepto de subespacio vectorial
5 Bases ortogonales y ortonormales

Cambio de base
Dependencia e
independencia lineal
Rango de un conjunto de
vectores
2 Espacios vectoriales de
dimensión finita
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
Dimensión y coordenadas
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
Concepto de subespacio
vectorial
5 Bases ortogonales y
ortonormales
Método de diagonalización
de Gram-Schmidt
Proyección ortogonal de un
vector sobre un subespacio

Cambio de base
Combinación lineal
Recuérdese que dados p vectores u1, u2, · · · , up ∈ Kn y los
escalares α1, α1, · · · , αp ∈ K una combinación lineal de esos p
vectores es un vector dado por una expresión de la forma:
α1u1 + α2u2 + · · · + αpup ∈ Kn
Ejercicios
Exprésese el vector (2, −4) como una combinación lineal de los
vectores (1, 1) y (−2, 0).
Sol:(2, −4) = −4(1, 1) − 3(−2, 0).

Cambio de base
Ejercicios
Exprésese el vector (4, −11) como una combinación de los vectores
(2, −3) y (4, −6).
Sol: no tiene solución.
Ejercicios
Exprésese el vector (4, −11) como una combinación de los vectores
(2, −1) y (1, 4).
Sol:(4, −11) = 3(2, −1) − 2(1, 4).
Ejercicios
Pruébese que el vector (1, 0) no se puede expresar como una
combinación lineal de (2, −3) y (4, −6)

Cambio de base
Ejercicios
Exprésese el vector (4, −5, 6) como una combinaciń lineal de los
vectores (2, −3, 5) y (−1, 3, 2).
Sol: no tiene solución
Ejercicios
Exprésese el vector (4, −5, 7) como una combinación lineal de los
vectores (0, −3, 5), (1, 0, −3) y (−1, 3, 4).
Sol:(4, −5, 7) = 31
9 (0, −3, 5)52
9 (1, 0, −3) + 16
9 (−1, 3, 4).
Ejercicios
Exprésese, si es posible, el vector (0, 0, 0) como una combinación
lineal de (−1, 3, 1), (1, 0, −3) y (−1, 3, 4), distinta de (0, 0, 0).

Cambio de base
Dependencia lineal
Dados el conjunto ed vectores u1, u2, · · · , up ∈ Kn d´ıcese que son
linealmente dependientes si alguno de ellos se puede expresar como
una combinaci´on lineal del resto. Son LD si:
∃1 ≤ i ≤ p :
k=i
αkuk = ui

Cambio de base
Ejercicios
D´ıgase si el conjunto de vectores (2, −4, 0), (1, 1, 1) y (−1, 2, 0) es
linealmente dependiente.
Ejercicios
D´ıgase si el conjunto de vectores (−1, 6, 5), (1, 0, −3) y (−1, 3, 4)
es linealmente dependiente.

Cambio de base
Independencia lineal (II)
Dado el conjunto de vectores u1, u2, · · · , up ∈ Kn d´ıcese que son
linealmente dependientes si la ecuaci´on vectorial
p
i=1
αi ui = 0
tiene inﬁnitas soluciones, y por tanto los escalares αi ∈ K pueden
tener valores no nulos.
Ejercicios
linealmente dependiente.

Cambio de base
Independencia lineal
linealmente independientes si no es posible expresarlos como una
combinaci´on lineal del resto. Son LI si:
∃1 ≤ i ≤ p :
k=i
αkuk = ui
Ejercicios
linealmente independiente.

Cambio de base
Dependencia lineal (II)
linealmente independientes si la ecuación vectorial
p
i=1
αi ui = 0
tiene como única solución la solución trivial, es decir
αi = 0∀1 ≤ i ≤ p.
Ejercicios
linealmente independiente.

Cambio de base
Ejercicios
Demuéstrese que el conjunto (1, 1) y (1, 0) es LI.
Ejercicios
Demuéstrese que el conjunto (1, 1) y (0, 1) es LI.
Ejercicios
Demuéstrese que el conjunto (1, 1), (1, 0) y (0, 1) es LD.

Cambio de base
Definición
Dado el conjunto de vectores u1, u2, · · · , up ∈ Kn, d´ıcese que
tienen rango r ≤ p si existe como m´ınimo un subconjunto de r
vectores linealmente independientes entre ellos y no existe ninguno
de r + 1 vectores que sea linealmente independiente. Es decir, es el
número máximo de vectores linealmente independientes que
pueden extraerse del conjunto.

Cambio de base
Un método para calcular el rango de un conjunto de vectores
consiste en construir una matriz utilizando los vectores como
columnas (o filas) y definir el rango de la matriz como el rango de
sus vectores columna (o fila). Ya se ha aprendido cómo calcular el
rango de una matriz en el Tema 1. Ahora se pondrá en práctica
para calcular el rango de vectores.
Definición
El rango de una matriz A coincide con el número de vectores fila o
columna linealmente independientes.

Cambio de base
Sistema generador
Dependencia e
vectores
dimensi´on ﬁnita
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
vectorial
ortonormales
de Gram-Schmidt

Cambio de base
Sistema generador
Hasta ahora se han visto ejemplos de espacios de R2 y R3, pero la
gran mayor´ıa de definiciones que se han presentado se han dado
para espacios Kn arbitrarios. Veremos que la estructura de estos
espacios es una de las más importantes en el mundo del álgebra: el
espacio vectorial.

Cambio de base
Sistema generador
Definición
Un espacio vectorial sobre un cuerpo K es un conjunto E no vac´ıo
y cerrado con las siguientes operaciones definidas:
1 Ley de composición interna
∀x, y ∈ E ⇒ x + y ∈ E
2 Ley de composición externa
∀x ∈ E, α ∈ K ⇒ αx ∈ E
que cumplen las siguientes condiciones:

Cambio de base
Sistema generador
Definición
La ley de composición interna ha de cumplir:
Propiedad conmutativa: x + y = y + x∀x, y ∈ E
Propiedad asociativa:
x + (y + z) = (x + y) + z∀x, y, z ∈ E
Elemento neutro de la suma: ∃0 ∈ E : x + 0 = x∀x ∈ E
Existencia del opuesto: ∀x ∈ E∃ − x ∈ E : x + (−x) = 0

Cambio de base
Sistema generador
Definición
La ley de composición externa ha de cumplir:
Propiedad asociativa: α(βx) = (αβ)x∀x ∈ E, α, β ∈ K
Elemento neutro del producto: ∃1 ∈ K : 1x = x∀x ∈ E
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de
vectores:
α(x + y) = αx + αy∀x, y ∈ E, α ∈ K
Propiedad distributiva del producto respecto de la suma de
escalares:
(α + β)x = αx + βx∀x, ∈ E, α, β ∈ K

Cambio de base
Sistema generador
Ejemplos de espacios vectoriales
El espacio Rn formado por los vectores de n componentes
(x1, x2, · · · , xn)
El conjunto Pn(K) = {anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 : ai ∈
K ∀0 ≤ i ≤ n}.
El espacio M2×2(K) de las matrices 2 × 2 con coeﬁcientes
sobre K.
El conjunto de las matrices continuas deﬁnidas sobre un
cuerpo K

Cambio de base
Sistema generador
No son espacios vectoriales
El conjunto de matrices 3 × 2 con coeficientes enteros
(M3×2(Z))
El conjunto de polinomios de grado exactamente igual a 3 con
coeficientes reales.
¿Por qué?

Cambio de base
Sistema generador
Sistema generador
Definición
Dado un conjunto de vectores u1, u2, · · · , un ∈ E d´ıcese que
forman un sistema generador del espacio vectorial E si cualquier
vector u ∈ E se puede expresar como una combinación lineal de
ellos, es decir:
∀u ∈ E, ∃α1, α2, · · · , αn : u =
n
i=1
αi ui

Cambio de base
Sistema generador
Sistema generador
Ejercicio 1
a Exprésese el vector (−5, 15) como una combinación lineal de
(1, −3) y (2, −6).
b Exprésese el vector (a, b) como una combinación lineal de
(1, −3) y (2, −6).
c ¿Se puede formar con los vectores (1, −3) y (2, −6) un
sistema generador de R2? ¿Por qué?

Cambio de base
Sistema generador
Sistema generador
Ejercicio 2
a Exprésese el vector (4, −11) como una combinación lineal de
(2, −1) y (1, 4).
b Exprésese el vector (a, b) como una combinación lineal de
(2, −1) y (1, 4).
c ¿Se puede formar con los vectores (1, −3) y (2, −6) un
sistema generador de R2? ¿Por qué?
d Obténgase el vector (−7, 3) como una combinación lineal de
(2, −1) y (1, 4).

Cambio de base
Sistema generador
Sistema generador
Ejercicio 3
a Razónese si los vectores (1, 1), (−2, 3) y (0, −1) forman un
sistema generador de R2.
b Obténgase el vector (−7, 3) como una combinación lineal de
(1, 1), (−2, 3) y (0, −1).

Cambio de base
Sistema generador
Sistema generador
Ejercicio 4
a Compru´ebese si los vectores del ejercicio 2, (2, −1) y (1, 4)
son LI.
b Compru´ebese si los vectores del ejercicio 3, (1, 1), (−2, 3) y
(0, −1) son LI.

Cambio de base
Sistema generador
Cuando se tiene un conjunto de vectores que son sistema
generador de un espacio vectorial E y sean además LI, d´ıcese que
estos vectores constituyen una base del espacio.
Definición
D´ıcese que un conjunto de vectores u1, u2, · · · , un ∈ E son una
base de E si:
u1, u2, · · · , un es un sistema generador de E.
u1, u2, · · · , un son linealmente independientes.
Por ejemplo, los vectores del ejercicio 2 son una base de R2, pero
en cambio los del ejercicio 3 no son una base de R2.

Cambio de base
Sistema generador
Teorema
Si u1, u2, · · · , un ∈ E es una base del espacio vectorial E, entonces
cualquier vector u ∈ E se puede expresar como una combinación
lineal de u1, u2, · · · , un de manera única.
∀u ∈ E, ∃! α1, α2, · · · , αn ∈ K : u =
n
i=1
αi ui
Corolario
Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienen el mismo
número de vectores.
Por ejemplo, las bases de K2 tienen 2 elementos, las de K3 tienen
3...

Cambio de base
Sistema generador
Ejercicios
Determ´ınese si los vectores (2, −4, 0), (1, 1, 1) y (-1,2,0) forman
una base de R3.
Sol: no, ya que son LD.
Ejercicios
Determ´ınese si los vectores (2, 1, 0), (1, −1, 1) y (0,2,-3) forman
una base de R3.
Sol: s´ı, ya que son 3 vectores LI de R3.

Cambio de base
Sistema generador
Un espacio vectorial tiene infinitas bases. En cada espacio vectorial
hay una que tiene unas caracter´ısticas especiales. La denominada
base canónica.
La base canónica
En R2, la base canónica es {e1, e2} con
e1 = (1, 0), e2 = (0, 1)
En R3, la base canónica es {e1, e2, e3} con
e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)
Nótese que los vectores de la base canónica son unitarios y
ortogonales entre s´ı.

Cambio de base
Sistema generador
Dimensión de una base
Como el número de elementos de una base de un espacio vectorial
dado E es único, tiene sentido definir la dimensión de E.
Dimensión de un espacio vectorial
Dado un espacio vectorial E, se define su dimensión dim(E) como
el número de vectores que conforman cualquiera de sus bases.
Por ejemplo, R2 tiene dimensión 2 ya que las bases tienen 2
elementos, R3 tiene dimensión 3, etc...

Cambio de base
Sistema generador
Coordenadas de un vector en una base
Coordenadas
Dado un espacio vectorial E con una base B = {u1, u2, · · · , un} y
un vector u ∈ E, se sabe que existen unos únicos escalares
α1, α2, · · · , αn tales que:
u = α1u1 + α2u2 + · · · + αnun
estos escalares se denominan coordenadas del vector u en la base
B.
u = (α1, α2, · · · , αn)B
Cada vector tiene coordenadas únicas en cada base del espacio al
que pertenece, pero como hay infinitas bases, tendrá infinitos
conjuntos de coordenadas asociadas.

Cambio de base
Sistema generador
Ejercicios
Dadas las dos bases B1 = {(2, 4, 0), (1, 0, 1), (−1, 2, 0)} y
B2 = {(2, 1, 0), (1, −1, 1), (0, 2, −3)} calc´ulense las coordenadas
del vector u = (3, −5, 1) en ambas bases.
Sol
u =
−1
8
, 1,
−9
4 B1
= (−2, 7, 2)B2

Cambio de base
Sistema generador
Si se nos facilitan las coordenadas de un vector sin especificar la
base, se sobreentiende que se trata de la base canónica. También
reciben el nombre de coordenadas cartesianas y son las que en el
Tema 2 hemos definido como las componentes de un vector.

Cambio de base
El cambio de base
Dependencia e
vectores
dimensi´on ﬁnita
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
vectorial
ortonormales
de Gram-Schmidt

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Se sabe que todo vector de un espacio vectorial tiene asociado un
conjunto de escalares que dependen de la base y que se denominan
coordenadas o componentes del vector en esa base. También
hemos visto que estas coordenadas son únicas en cada base pero
distintas cuando cambian de base.
Partiendo de este punto el problema que se nos plantea es el de
calcular las coordenadas de un vector en cierta base ˆB dadas las
coordenadas del mismo en otra base B.
Si una de las dos bases es la canónica ya hemos visto que el
problema es relativamente sencillo, véase el último ejercicio de la
sección anterior. Si las dos bases son arbitrarias, se necesitará
conocer la relación entre ambas bases y la resolución será un poco
más elaborada.

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Ejercicios
Dado el vector u de coordenadas (−2, 3, 5)B en la base:
B = {(2, 4, 0), (1, 0, 1), (−1, 2, 0)}
Calc´ulense sus coordenadas en la base can´onica C.

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Soluci´on
(−2, 3, 5)B = −2 · (2, 4, 0)C + 3 · (1, 0, 1)C + 5 · (−1, 2, 0)C
= (−6, 2, 3)C = −6 · (1, 0, 0) + 2 · (0, 1, 0) + 3 · (0, 0, 1)
Sol
u = (−6, 2, 3)C
Donde C es la base can´onica del espacio.

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Ejercicio
Dadas las bases Bu = {u1, u2, u3} y Bv = {uv , uv , uv } de un
espacio vectorial de dimensión 3 sabemos que:



v1 = 2u1 − u2 + u3
v2 = − u2 + 2u3
v3 = −u1 + u2 − 3u3
¿Cuáles son las coordenadas de los vectores vi en a base Bu?
¿Y las de ui en la base Bv ? (Pista: empléese Gauss).
Calcúlense las coordenadas del vector x en la base Bu sabiendo que
en la base Bv tiene coordeadas (1, −1, 0).

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Solución
Según la definición, las coordenadas de vi en Bu, son los escalares
que acompañan a los vectores u1, u2, u3 que genera vi :
v1 = 2u1 + (−1)u2 + 1u3 = (2, −1, 1)Bu
v2 = 0u1 + (−1)u2 + 2u3 = (0, −1, 2)Bu
v3 = (−1)u1 + 1u2 + (−3)u3 = (−1, 1, −3)Bu

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Solución
Para calcular las coordenadas de los vectores de Bu en la base Bv ,
se han de expresar los vectores ui como una combinación lineal de
los vectores vi . Nótese que la relación del enunciado se provee con
el orden cambiado. Queda hallar los ui en función de los vi , cosa
que se puede hacer empleando Gauss con ui como incógnita y vi
como términos independientes. La solución se obtiene al operar
sistema:
u1 =
1
3
, −
2
3
, −
1
3
, u2 = −
2
3
, −
5
3
, −
4
3
, u3 = −
1
3
, −
1
3
, −
2
3

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Soluci´on
Se sabe que x = (1, −1, 0)Bv = 1v1 + (−1)v2 + 0v3,
x = 1(2u1 − u2 + u3) + (−1)(−u2 + 2u3) + 0(−u1 + u2 − 3u3)
= 2u1 − u3 = (2, 0, −1)Bu

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Solución
Nótese pues que:
2u1 − u3 = v1 + (−1)v2
As´ı se puede decir que si se conocen expl´ıcitamente las
coordenadas de vi i de ui en la base canónica, y las sustituimos en
la expresión anterior, se obtendrá una igualdad: las coordenadas del
vector x en la base canónica.

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Ejercicios
Dadas las bases Bu = {u1, u2, u3} y Bv = {uv , uv , uv } de un
espacio vectorial de dimensión 3 y sabiéndose que:



v1 = 2u1 − u2 + u3
v2 = − u2 + 2u3
v3 = −u1 + u2 − 3u3
Considérese el vector x = (2, 0, −1)Bu y calcúlense sus coordenadas
en la base Bv .

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Soluci´on
x = av1 + bv2 + cv3 =
a(2u1 − u2 + u3) + b(−u2 + 2u3) + c(−u1 + u2 − 3u3) =
(2a − c)u1 + (−a − b − c)u2 + (a + 2b − 3c)u3
Deber´ıa ser:
x = 2u1 + 0u2 + (−1)u3
Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales resultante de igular
ambas expresiones (ya que las coordenadas de un vector en una
base son ´unicas) se obtiene:
x = (1, −1, 0)Bv = (2, 0, −1)Bu

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
En los ejercicios anteriores se ha visto que la notación para
expresar las coordenadas de un vector se puede hacer en forma de
matriz fila o columna. Si se conocen las coordenadas de un vector
en una base se pueden emplear las operaciones matriciales ya
conocidas para pasar de una base a otra sin mayor complicación.

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
T´enganse los vectores de la base Bv en la base Bu dados por:



v1 = 2u1 − u2 + u3
v2 = − u2 + 2u3
v3 = −u1 + u2 − 3u3

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Expresi´on que en forma matricial tiene la forma (I):


2 −1 1
0 −1 2
−1 1 −3

 ·


u1
u2
u3

 =


v1
v2
v3


u1 u2 u3 ·


2 0 −1
−1 −1 1
1 2 −3

 = v1 v2 v3
En la matriz superior, las ﬁlas son las coordenadas de los vectores
v1, v2 i v3 en la base Bu. En la matriz inferior, las columnas son las
coordenadas de los vectores v1, v2 i v3 en la base Bu.

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Por otro lado, se puede expresar el vector x en ambas bases de la
siguiente manera:
x = 1v1+(−1)v2+0v3 = (v1, v2, v3)


1
−1
0


Bv
= (1, −1, 0)


v1
v2
v3


x = 2u1+0u2+(−1)u3 = (u1, u2, u3)


2
0
−1


Bu
= (2, 0, −1)


u1
u2
u3



Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Como ya se sabe, el resultado de operar en ambas expresiones
ser´ıan las coordenadas del vector en la base can´onica (por
unicidad), por lo tanto se pueden igualar las expresiones:
x = (v1, v2, v3)


1
−1
0


Bv
= (u1, u2, u3)


2
0
−1


Bu
o
x = (2, 0, −1)


u1
u2
u3

 = (1, −1, 0)


v1
v2
v3


2u1 − u3 = 1v1 + (1)v2 + 0v3 (eq 2)

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Empleando las relaciones establecidas por (I):
u1 u2 u3 ·


2 0 −1
−1 −1 1
1 2 −3

 = v1 v2 v3
Y sustituyendo en la ecuaci´on (II):
x = (v1, v2, v3)


1
−1
0


Bv
= (u1, u2, u3)


2
0
−1


Bu
Se obtiene:

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
Se obtiene:
x = u1 u2 u3 ·


2 0 −1
−1 −1 1
1 2 −3




1
−1
0


Bv
=
u1 u2 u3 ·


2
0
−1


Bu
Si se comparan ambos miembros se halla que por unicidad de
coordenadas de un vector en la misma base (en este caso Bu):

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base


2 0 −1
−1 −1 1
1 2 −3




1
−1
0


Bv
=


2
0
−1


Bu

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
En general
Dado un vector x de coordenades Xv (vector columna) en la base
Bv (vector fila) y las coordenadas Xu (vector columna) en la base
Bu (vector fila) entonces se puede escribir:
x = Bv · Xv = Bu · Xu
Si la relación entre las bases dadas por Bu · P = Bv se sustituyen
en la expresión del vector x:
x = (Bu · P) · Xv = Bu · Xu

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base
En general
Empleando la propiedad asociativa:
x = Bu · (P · Xv ) = Bu · Xu
Se obtiene que Xu = P · Xv
La matriz P se denomina la matriz de cambio de base Bv a la base
Bu.

Cambio de base
El cambio de base
Cambio de base

Cambio de base
El cambio de base
Dado un espacio vectorial de dimensi´on n y dos bases diferentes Bu
y Bv . Se denomina matriz de cambio de base de Bv a Bu a la
matriz P las columnas de la cual son las coordenadas de la base
Bv en la base Bu.

Cambio de base
El cambio de base
Ejercicios
Dadas las bases Bu = {u1, u2, u3} y Bv = {v1, v2, v3}, y el vector x
de coordenadas (2, 1, 0) en la base Bv , calc´ulense sus coordenadas
en la base Bu sabiendo que:



v1 = 2u1 − u2 + u3
v2 = − u2 + 2u3
v3 = −u1 + u2 − 3u3

Cambio de base
El cambio de base
Sol
P =


2 0 −1
−1 −1 1
1 2 −3


Donde Bv = Bu · P
x = (4, −3, 4)Bu

Cambio de base
El cambio de base
Ejercicios
Exprésese el vector (−1, 0, 4) de la base canónica en la base
B = {(1, 3, −1), (−1, 1, 0), (0, 2, 0)} de R3 calculando previamente
la matriz de cambio de base necesaria.
Pista: P es la matriz que porta la base canónica a B, la cual tiene
como columnas los vectores de la base canónica expresados en la
base B. este problema es más sencillo si se busca la matriz Q que
porta B a la base canónica (sus columnas serán los vectores de B
en la base canónica que son ellos mismos) y que resulta ser la
inversa de P.

Cambio de base
El cambio de base
Sol
P = Q−1
=


0 0 −1
−1 0 −1
1/2 1/2 2


Donde XB = P · Xe
x = −4, −3,
15
2 B

Cambio de base
Dependencia e
vectores
dimensi´on ﬁnita
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
vectorial
ortonormales
de Gram-Schmidt

Cambio de base
Subespacio vectorial
Definición
Sea F ⊆ E un subconjunto no vac´ıo del espacio vectorial E sobre
un cuerpo K. D´ıcese que F es un subespacio vectorial de E si y
solo si se verifica:
La suma de dos elementos de F es otro elemento F
∀x, y ∈ F ⇒ x + y ∈ F
El producto de un escalar por un elemento F es otro elemento
de F
∀x ∈ F, α ∈ K ⇒ αx ∈ F

Cambio de base
Subespacios triviales
Si E es un K-espacio vectorial, se veriﬁca siempre que E y {0} son
subespacios vectoriales de E. Se denominan subespacios vectoriales
triviales o impropios.
Corolario
Si S es un subespacio vectorial de E, entonces 0 ∈ S.
Este corolario solo se puede emplear rec´ıprocamente ya que si se
comprueba que por alguna raz´on 0 /∈ S, entonces este conjunto no
puede ser nunca un subespacio vectorial.

Cambio de base
Ejercicios
Compruébese que el siguiente conjunto es un subespacio vectorial
de R3:
F = {(x, y, z) ∈ R3
: x + y + z = 0}
Nota: compruébese primero si F contiene el vector cero y, si as´ı es,
compruébense las dos condiciones de la definición de subespacio.

Cambio de base
Ecuaciones de un subespacio vectorial
Un subespacio vectorial F de un espacio vectorial E queda
identificado si:
Se conoce una base de F
Se conoce un sistema generador de F
A partir de sus ecuaciones parámetricas
A partir de las equacions cartesianas o impl´ıcitas (un sistema
homogéneo las incógnitas del cual son las coordenadas del
vector genérico).

Cambio de base
Ejercicios
Identif´ıquese el subespacio F del ejercicio anterior de todas las
formas posibles:
F = {(x, y, z) ∈ R3
: x + y + z = 0}

Cambio de base
Obtener una base de un subespacio vectorial
Se parte de las ecuaciones parámetricas del subespacio.
Se expresa el vector genérico como combinación lineal de
vectores.
En primer lugar se consiguen tantos sumandos como
parámetros tenga el subespacio y se separan en vectores
diferentes
Se extrae un escalar de cada uno de los vectores y se deja
expresado como combinación lineal
Los vectores que aparecen en la combinación lineal son un
sistema generador del subespacio.
Se extrae del conjunto de vectores un subconjunto linealmente
independiente con tantos vectores como indique el rango. Se
tiene as´ı una base del subespacio.

Cambio de base
Ejercicios
Obténgase la dimensión, las ecuaciones parámetricas y una base
del subespacio F1 dado por:
F1 = {(x, y, z) ∈ R3
: 2x −y +3z = 0, −x +y −z = 0, x −2y = 0}
Pista: Comiéncese por hacer Gauss al sistema de ecuaciones
lineales.

Cambio de base
Ejercicios
Obténgase la dimensión, las ecuaciones parámetricas y una base
del subespacio F2 dado por:
F2 = {(α + β, α + β, α + β + γ, 0) : α, β, γ ∈ R}
Pista: Comiéncese por hacer Gauss al sistema de ecuaciones
lineales.

Cambio de base
Método de diagonalización de Gram-Schmidt
Proyección ortogonal de un vector sobre un subespacio
Dependencia e
vectores
dimensión finita
Sistema generador
Base de un espacio
vectorial
de una base
3 Cambio de base
El cambio de base
vectorial
ortonormales
de Gram-Schmidt

Cambio de base
Base ortogonal
Dada una base B = {u1, u2, · · · , un} de un espacio vectorial E,
d´ıcese ortogonal si sus elementos son ortogonales dos a dos:
ui · uj = 0∀i = j
Base ortonormal
Dada una base B = {u1, u2, · · · , un} de un espacio vectorial E,
d´ıcese ortonormal si sus elementos son ortogonales dos a dos y
adem´as son unitarios:
ui · uj = 0 ∀i = j
ui · ui = 1 ∀i

Cambio de base
Este método permite contruir una base ortogonal a partir de una
base cualquiera del espacio vectorial. Primero se realizará la
contrucción para un espacio vectorial de dos dimensiones:

Cambio de base
Caso 2D
Sea B = {v1, v2} una base de un espacio vectorial de dos
dimensiones. A partir de los vectores de esta base se construirá una
nueva B = {w1, w2} que será ortogonal y del mismo espacio.
1 Se toma w1 = v1 como primer vector de la nueva base.
2 El segundo vector será una combinación lineal v1 y v2 para
asegurarse de que la nueva base genera el mismo subespacio
vectorial. As´ı, se descompone:
v2 = u1 + u2 : u1||v1 u2 ⊥ v1
En particular u2 = v2 − tv1 = v2 − tw1 y será el siguiente
vector de nuestra nueva base: w2. Solo resta encontrar t.

Cambio de base

Cambio de base
Caso 2D
Se tiene que w1 ⊥ w2. Se impone la condici´on de que
w2 = v2 − tw1 y el producto escalar con w1 = v1 ha de ser cero:
w1 · w2 = w1 · (v2 − tw1) = w1 · v2 − w1w1 = 0
Por lo tanto:
t =
w1 · v2
w1 · w1
w2 = v2 −
w1 · v2
w1 · w1
w1
Entonces Br = {w1, w2} es una base ortogonal que genera el
mismo subespacio que B = {v1, v2}.

Cambio de base
Caso general
Sea B = {v1, v2, · · · , vn} una base de un espacio vectorial de n
dimensiones E. A partir de los vectores de esta base se construirá
una nueva Br = {w1, w2, · · · , wn} que será ortogonal y del mismo
espacio.
1 Se toma w1 = v1 como primer vector de la nueva base.
2 El segundo vector será una combinación lineal v1 y v2 de la
forma w2 = v2 − tw1, al cual se impondrá la condición de que
w1 ⊥ w2. Operando se obtiene:

Cambio de base
Caso general
t =
w1 · v2
w1 · w1
w2 = v2 −
w1 · v2
w1 · w1
w1

Cambio de base
Caso general
Sea B = {v1, v2, · · · , vn} una base de un espacio vectorial de n
dimensiones E. A partir de los vectores de esta base se construirá
una nueva Br = {w1, w2, · · · , wn} que será ortogonal de E.
3 Para calcular el tercer vector, se procede de la misma forma:
el tercer vector w3 será una combinación lineal de v1, v2 y v3
de la forma w2 = v3 − t1w1 − t2w2, a la cual se impondrán las
condiciones w1 ⊥ w3 i w2 ⊥ w3 . Operando se obtiene:

Cambio de base
Caso general
t1 =
w1 · v3
w1 · w1
t2 =
w2 · v2
w2 · w2
w3 = v3 −
w1 · v3
w1 · w1
w1 −
w2 · v3
w2 · w2
w2

Cambio de base
Caso general
4 Análogamente:
w4 = v4 −
w1 · v4
w1 · w1
w1 −
w2 · v4
w2 · w2
w2 −
w3 · v4
w3 · w3
w3
n Y con el fin de hallar el último:
wn = vn −
n−1
i=1
wi · vn
wi · wi
wi
n+1 Finalmente, si se designa una base ortonormal, basta dividir
cada vector por su norma.

Cambio de base
Ejercicios
Calc´ulese una base ortogonal del subespacio vectorial generado por
los vectores
u1 = (1, 1, 0, 1), u2 = (0, 0, 1, 1), u3 = (2, 0, −1, 0)
Sol:
(1, 1, 0, 1), (1, 1, −3, −2), (1, −1, 0, 0)

Cambio de base
Vector ortogonal a un subespacio
Vector ortogonal a un subespacio
Un vector u ∈ E es ortogonal a un subespacio vectorial S ⊆ E si y
solo si:
u · x = 0 ∀ x ∈ S
Teorema
Un vector u ∈ E es ortogonal a un subespacio vectorial S ⊆ E si y
solo si es ortogonal a todos los vectores de una base de S.

Cambio de base

Cambio de base
Teorema
Dos subespacios V y W de E son ortogonales si:
∀x ∈ V ∀y ∈ W ⇒ x · y = 0
Teorema
Para que dos subespacios V y W sean ortogonales, es suﬁciente
con que los vectores de una base de V sean ortogonales a los
vectores de una base de W .

Cambio de base
Projección ortogonal
Como se recordará, el vector proyección ortogonal de un vector u
sobre otro v, se expresa como:
Pu(v) =
u · v
v · v
v =
u · v
||v||2
v

Cambio de base
Dado S un subespacio vectorial de un espacio vectorial E, todo
vector u ∈ E se descompone de manera ´unica en:
u = uS + u0
Con uS ∈ S y u0 ∈ S⊥. En particular, el vector uS ∈ S se
denomina vector proyecci´on ortogonal de u sobre S.

Cambio de base
Si se toma en S una base ortogonal {s1, s2, · · · , sr }, la proyecci´on
de u sobre S viene dada por:
Pu(v) = uS =
r
i=1
u · si
||si ||2
si

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