Relaciones y funciones matemáticas

Mag. Jube Portalatino Z Relaciones 48 y funciones
Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 1
II RELACIONES Y FUNCIONES
2.1 PAR ORDENADO. Es (a, b) donde a es la primera componente y b la
segunda componente.
2.2 PRODUCTO CARTESIANO. A ´ B = {(a, b) / a Î A, b Î B}
Ejemplo 1. El producto cartesiano de A = {p, -2, 1/3}, B = {e, 0.2}
es A´B = {(p; e), (p; 0.2), (-2; e), (-2; 0.2), (1/3; e), (1/3; 0.2)}
Ejemplo 2. Si A = ℝ, B = ℝ, entonces A´B = ℝ´ℝ = ℝ2
2.3 DEFINICIÓN DE RELACIÓN
R es una relación de A en B Û R Ì A´B
Esto es: R = {(a, b) Î A´B / a R b}
Ejemplo 1. El conjunto R = {(p; 0.2), (-2; e), (-2; 0.2)} es una relación de A en B,
según definido A y B como en el ejemplo 1 del tema anterior.
Ejemplo 2. El conjunto R = {(x, y)Îℝ2 / x – y < 1} es una relación de ℝ en ℝ.
2.4 CASO PARTICULAR. R es una relación en A Û R Ì A´A
2.5 DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN
El conjunto: DR = { aÎA / (a, b) ÎR } se llama dominio de R.
El conjunto: RR = { bÎB / (a, b) Î R } se llama rango de R.
Ejemplo 1. Si A = {p, -2, 1/3}, B = {e, 0.2}y la relación está definida por
R = {(p; 0.2), (-2; 0.2)} entonces su dominio y rango son, respectivamente,
DR = {p, -2}, RR = {0.2}
Ejemplo 2. Para la relación R = {(x, y)Îℝ2 / x2– y = 1}
Dominio = ℝ, Rango = [-1, +¥>
2.6 RELACIÓN INVERSA
Si R = {(a,b) Î A´B / aR b } ⇒ R -1 = { (b,a) Î B´A / aR b }
Dominio de R -1 = Rango de R
Rango de R -1 = Dominio de R
Ejemplo. La inversa de la relación R = {(p; 0.2), (-2; 0.2)}
es R -1= {(0.2; p), (0.2; -2)}

2.7 CRITERIOS PARA GRAFICAR UNA ECUACIÓN
i. Intersecciones con los ejes.
a) Eje x: se hace y = 0 en la ecuación y se despeja x.
b) Eje y: se hace x = 0 en la ecuación y se despeja y.
ii. Extensión. Hallar el dominio y rango.
iii. Simetrías.

a) Existe simetría con el eje x, si la ecuación no cambia al reemplazar y por
-y.
b) Existe simetría con el eje y si la ecuación no varía al cambiar x por -x.
c) Existe simetría con el origen si la ecuación no varía al cambiar x por -x e y
por -y.
iv. Asíntotas.
a) Se obtienen asíntotas horizontales, si existe, después de despejar x en
términos de y e igualar a cero el denominador.
b) Se obtienen asíntotas verticales, si existe, al igualar a cero el denominador
después de despejar y en términos de x.
v. Tabulación y gráfica.
Ejemplo1. Graficar y2(x2 - 4) = x2
Solución
Intersecciones:
Si x = 0 ⇒ y = 0
Si y = 0 ⇒ x = 0
Luego, (0, 0) es el único punto de intersección.
Extensión:
Dominio. Despejamos "y":
x
y
x
2
2 4
= ±
-
(1)
2
2
x
D : 0 x 4 0
R 2
x 4
³ Û - >
-
DR = <-¥, -2> È <2, +¥>
Rango. Despejamos "x":
2
4y
2
x
y 1
= ±
-
(2)
2
4y
R : 0
R 2
y 1
³
-
Û y2 – 1 > 0
RR = <-¥, -1> È <1, +¥>
Asíntotas. De (1) y (2) se tiene que x = -2, x = 2 son asíntotas verticales y
y = -1, y = 1 son asíntotas horizontales.
Tabulación y gráfica.
III.
- x2 , x Î< -¥ , 0
>
 = 
g(x) 1
Î< ¥ > 
, x 0,
x
tiene inversa.
32. Dada la función f (x) = x + x2 + 9 con xÎ[-4, 4]. Halle f -1, si existe.
33. Sea
x2 8x 12, x 6, 4
f (x) x 2, x [ 2,1
x 5
, x [1, 4]
3 3

+ + Î< - - > 
= + Î - > 
+ Î

Determine f -1, si existe
34. Si
f (x) = 1+ x, -1£ x £ 2
 < = 

2
x , x 0
g(x)
- ³ 
x 1, x 0
Grafique f g
35. Un empresario organiza un tour a Huaraz. El costo por persona es de 300 soles,
si participan hasta 25 personas. Por cada persona adicional hace una rebaja de
10 soles a cada una. Si x representa el número de personas y C(x) el ingreso
total, el modelo matemático que describe la situación planteada es
a)
 £
= 
 -
300x, 0 x 25
c(x)
300 x, x 25
b)
 £
= 
 -
300x, 0 x 25
c(x)
x 300, x 25
£ 
= 
300x, 0 x 25
c(x)
c) 2
- 
300x x , x 25
d)
 £
= 
 -
300x, 0 x 25
c(x)
500 x, x 25
e)
 300x, 0 x £
25
= 
 -
c(x)
(550 10x)x, x 25

22. Hallar el rango de la función:
x 4
= - Î
f (x) , x [5, 29]
+
x 2
23. Dada la función definida por f (x) = x2 - 2x + 4 . Hallar el conjunto formado
por todos los valores x tal que f (x)Î -5,12] .
24. En el conjunto de los números reales, definimos:
- ³ 
= 
x 1, x 2
2
f (x)
- 
x 1, x 2
Si a0, calcular af (3- a) + f (2a)
25. ¿Cuál es el valor de la suma de las imágenes según P(x) = x2 - 2x +1 de los
números que son raíces de Q(x) = x2 + x -1 ?
26. Si el mínimo valor de f(x)=x2+bx+5 es 1, hallar el valor de b.
27. La resistencia de un material del aluminio está dado por la función:
10
= - . Siendo x el peso ejercido sobre el material. ¿Para qué
f (x) x(12 x)
9
peso la resistencia es máxima?
28. Halle el rango de la función: f (x) = 8x - 2x2 + 3
29. Dadas las funciones

= + = -
f
= + = -
g
1
f (x) x , D [ 1, 1]
2
1
g(x) x , D [ 1, 1]
2
Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. f es par.
II. g es impar.
f y g son pares
x 3 1
= - + Î
f (x) , x 1, 2
30. Dada la función 2
- -
x 1 (x 1)
Es cierto que:
I. Es inyectiva.
II. Es creciente.
III. Posee inversa
31. Indique el valor de cada una de las proposiciones:
f : [ 1,1 , 0]
I. x 1
x f (x) +-
x 1
- ® -¥
® =
es sobreyectiva
II. f (x) = 5 - 5 - x2 + 2x, xÎ -1, 0 es inyectiva.
Ejemplo 2. Graficar x2 + y2 = 22
Solución
2
Y
-2 2
-2
X
Ejemplo 3. Graficar x2 - y2 = 22
Solución
Y
Ejemplo 4. Graficar 4x2 + 25y2 =100 Û
x2 y2
1
+ =
25 4
Solución
-2 2 X
-1
-2
1
2
X
Y
x y
1.1 ± 3. 3
5 ± 1 . 1
10 ± 1 . 02

2
-5 5
Ejemplo 5. Graficar 4x2 - 25y2 = 100 Û
x2 y2
1
- =
25 4
Solución
-5 5 X
Ejemplo 6. Graficar
(x 2)2 (y 1)2
1
+ + - =
25 4
Solución
3
(-2, 1) 1
-7 3
Ejemplo 7. Graficar
(x 2)2 (y 1)2
1
+ - - =
25 4
Solución
-1
X
Y
-2
Y
-2
X
Y
5. Hallar la suma de las abscisas de los puntos de intersección de la función
definida por: f (x) = -x2 + 4x + 5 con el eje X.
6. Dada la función definida por f (x) = (x + a)2 - 6a
Hallar el mínimo valor de f(x) para que 8a - 21 sea la imagen de 2.
7. Sea la función f (x) = x2 -1cuyo dominio es Df = [-4;-2]È[-1;1]
Determinar su rango.
8. Dada la función f (x) = 6x - x2 , cuyo dominio es el intervalo [0;8]. Halle su
rango.
9. Dadas las funciones f (x) = -x2 + 3x +1, g(x) = 3x2 + 2x +1. Hallar Rf ÇRg
10. Si f (x - 3) = x2 - 7x + a y f(6) = 8. Hallar el mínimo valor de f.
11. Hallar el dominio de la función
2
= + - -
4 1 x
f (x) x 2
x
12. Dada la función
 +
= 
 + ³
5x 2, x 2
f (x)
x 3, x 2
Calcular: 5 5f (a2 + 2) + f (1- a2 ); a Îℝ
13. Hallar a+b si la función f (x) = 4x - x2 , x Î[0;7] tiene como rango [a; b]
2x -
1
14. Hallar el dominio de la función: f (x)
= 2
-
2 x
= +
5x 3
f (x)
+
x 6
x
2
2
f (x)
5x 64
=
+
17. Si f es una función cuadrática tal que {(0;3), (1;2), (2;3)}Ì f . Hallar f(5)
18. Si f = {(2;a -1), (3;5), (2;7), (a;4)}
g = {(4;b2 - 6), (4;b), (b;5), (3;b2 ), (3;c + 5)} son funciones. Hallar a+b+c
19. Dadas las funciones: f (x) = 7x + 5, xÎ -3;12 ;
g(x) = 3x - 20, xÎ -1;8 Hallar Rf ÇRg
20. Determinar las gráficas de:
1) f (x) = 2(x -1)2 + 3 2) f (x) = 3x2 -1
3) f (x) = -2(x + 3)2 4) f (x) = -2(x -1)2 - 3
5) y2 - 4y = 2x -8 6) -2y + y2 = 4x -1
21. Calcular el dominio de la función:
= -
x 1
f (x)
-
2 x

1.3) 4y2 = x2 - 4x 1.4) yx2 + 4y -1 = 0
1.5) xy2 - 3y2 -1 = 0 1.6) y2 (x2 - 4) = x + 2
1.7) y2 (x2 - 4) = x2 1.8) 5yx2 - yx - 7 = 0
1.9)
2
2 x
y
3 x
=
-
1.10) yx = 2x2 - 3x - 5
1.11) x2y2 - x2 + y2 = -1 1.12) x2y2 + 4x2 = 4y2
1.13) y2x2 - 4x2 = y2 1.14) xy - 2x - y = 2
1.15) y2 (x +1) = 4 1.16) xy2 + xy - 6x = 3
1.17)
2
2
4x
2
y
x 4
=
-
1.18)
2
= - +
3x 8x 4
2
y
x
1.19)
2
= +
x 1
2
y
- +
2x 5x 2
1.20) x3 + xy2 - y2 = 0
1.21)
= +
x(x 3)
y
+ -
(x 2)(x 2)
1.22) yx2 - 25y - x = 0
1.23) 2 2 2 xy - 4x - 3y + 12x = 0 1.24) y3x4 - y3x2 - x5 = 0
1.25) xy2 - 2y2 - 4x = 0 1.26) x2y2 - 2y2 = x
1.27) y x3 1.28)
2
x 2
y 1
4
-
1.29)
2
x 2
y 1
4
+ 1.30) (y - x )(x - y2 ) 0
1.31) y = sen2x 1.32) y = 3senx
1.33) f (x) = cos(2x - p3 ) 1.34) f (x) = sen(3x + p6 )
1.35) y = ln(x-2) 1.36) f(x) = ln(3 - x)
1.37) y = ln(x + 1) 1.38) y = (x+1)2
3 ex
1.39) y = (2-x)1.40)
y
x
=
1.41)
sen x
f (x)
= 1.42)
x
1
f (x) x sen
x
=
2. Dada la función definida por: f (x) = 3x2 +12x -5 . Hallar su rango
3. Las funciones: f (x) = 3x + 5a , g(x) = ax2 + 5x + 7
tienen como uno de sus puntos de intersección (2;b), hallar el valor de b.
4. Calcular el valor absoluto de la diferencia entre los ceros de la función
f (x) = -x2 + bx + c , si esta toma como valor máximo 9.
Y
1
-7 -2 3
X
Ejemplo 8. Graficar (y -1)2 = 4(x + 2)
Solución
Y
(-2, 1) 1
-2 X
2.8 GRÁFICAS DE INECUACIONES
1. Primero se grafica la ecuación. Después, en el caso que la curva divida al
plano cartesiano en dos regiones, se elige un punto que pertenece a una de
ellas. Si el punto satisface la inecuación, la región solución, a sombrearse será
donde pertenece el punto; caso contrario, será la otra región.
2. Si la curva no divide al plano cartesiano en dos partes, se aplica propiedades
de desigualdades.
3. Si la inecuación es ó , a la región solución no corresponde los puntos de la
curva. En este caso la curva se dibuja punteada. Si fuera £ o ³ los puntos de la
curva pertenecen a la región solución.
Ejemplo 1. Graficar la solución de la inecuación: x2 + 4y2 4.
Solución
Primero graficamos la ecuación x2 + 4y2 = 4.
1
-2 2
-1
Ahora graficamos la inecuación. Elegimos un punto de una de las dos regiones que
divide la curva y reemplazamos en la inecuación, obtenemos que la gráfica
solución de la inecuación es

Ejemplo 2. Graficar (y -1)2 4(x + 2)
Solución
Primero graficamos la ecuación (y -1)2 = 4(x + 2)
Y
(-2, 1) 1
-2 X
Ahora graficamos la inecuación. Elegimos un punto de una de las dos regiones que
divide la curva y reemplazamos en la inecuación, obtenemos que la gráfica
solución de la inecuación es
2.9 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
Una función es una relación especial.
f es una función de A en B Û
i) f es una relación de A en B.
ii) Para xÎA, existe un único yÎB tal que (x, y) Î f.
o también se define como un conjunto de pares ordenados cuyas primeras
componentes todas son diferentes.
Ejemplos:
1) {(-3; 0), (2; 1), (-3; 7)} no es función
2) {(2; 5), (-4; 5), (-3; 1)} si es función
3) {(x, y) Îℝ´ℝ / y = x3} si es función
4) {(x, y) Îℝ2 / y2 = 3x – 1} no es función
iii) Determinaremos f g-1 . Sean
1
2
2
 = - - = 
f (x) x 1, x 1:D
1 f
2
= + ³ - 
2 f
f (x)
f (x) x 1, x 1:D
1
+
h (x) , x , 1 D
2
x 1
1 1 2 h
2
2 h
g (x)
h (x) x , x [0, D
-
 = Î -¥ - = = 
= Î +¥ = 
iii-1) D f
h = { x / x1 1
Î -¥, -1 Ù x + 1
2 Î -¥,-1 } Û x Î -¥, -3
f1 h1 D = -¥, -1 Ç -¥, - 3 = -¥, - 3
x 1 2
1 1 1 1 2 (f h )(x) = (f (h (x)) = ( + ) -1
iii-2) { 2
1 2
} f h D = x / xÎ[0, +¥ Ù x Î -¥, -1 = Æ
iii-3) D f
h = { x / x2 1
Î -¥, -1 Ù x + 1
2 Î[-1, +¥ } Û xÎ [-3, +¥
f2 h1 D = -¥, -1 Ç[-3, +¥ = [-3, -1
(f2h1)(x) = ((x+1)/2)2 + 1
iii-4) { 2
2 2
} f h D = x / xÎ[0, + ¥ Ù x Î[-1, + ¥ = [0, + ¥
(f2h2)(x) = x4 + 1
Luego,
+
 - Î -¥ -
x 1
2
( ) 1, x , 3
- +
1 x 1
(f g )(x) ( ) 1, x 3, 1
2
4
x 1, x [0,

= + Î - - 
+ Î +¥ 

-3 -1
2
1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Graficar
1.1) yx2 - y =1 1.2) xy3 + x = 1

ii) y = 5x - x2 - 4 Û 24x2 + (-10y)x + (y2 + 4) = 0
5y y2 96
Û x
= (4)
± -
24
De la función original, para x = 2 ⇒ y = 10
Luego, reemplazando en (4)
5(10) 100 = ± -
96
2
24
La igualdad se cumple con el signo -. Luego, la regla de correspondencia de la
función inversa es
2
- - -
1 5y y 96
f (y)
24
=

2
- = - -
1 5x x 96
f (x)
24
32. Dadas las funciones
2
 - - = 
x 1, x 1
2
f (x)
+ ³ - 
x 1, x 1

= 
2x, x 0
g(x)
³ 
x, x 0
Hallar, si existe f g-1 y graficarlo
Solución
i) Primero demostraremos que existe g -1. Para ello, probaremos que g es inyectiva.
En efecto, Sean g1(x) = 2x – 1, 2 g (x) = x
Si g1(a) = g1(b) ⇒ 2a – 1 = 2b – 1 Û a = b
Si 2 2 g (a) = g (b) ⇒ a = b Û a = b
Si x 0 ⇒ 2x – 1 -1 Û g1(x) -1 Û
g1 R = -¥, -1
Si x ³ 0 ⇒ x ³ 0 Û g2(x) ³ 0
g2 Û R = [0, + ¥
Luego,
g1 g2 R ÇR = Æ
Por lo tanto, g es inyectiva. Así que $ g -1
ii) Hallaremos g -1
Sea y = 2x – 1 Û x = (y+1)/2 Û 1 y 1
1 2 g- (y) = +
2 g- (y) = y
Sea y = x Û x = y2 Û 1 2
Luego,
+
x 1
1 2
2
, x , 1
g (x)
x , x [0,
-
 Î -¥ - = 
Î +¥ 
Cuando el conjunto es escrito por comprensión, nos damos cuenta que la parte (x,
y) Îℝ2 se repite, por consiguiente, solamente se escribe la fórmula
5) y = sen(x-1)
6) x2 + y2 = 4
7) y = log3 (x2 - 1)
8) y = tan(2x)
9) y = x-2
10) y = |x+1|
NOTACIONES
1) Si f es una función de A en B, se denota por f :A¾¾®B .
2) (x, y) Î f, se denota por y = f(x)
y = f(x) se llama regla de correspondencia.
x se denomina variable independiente.
y se denomina variable dependiente.
2.10 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN
El conjunto: Df = {xÎA / y = f(x)} se llama dominio de la función f.
El conjunto: Rf = {yÎB / y = f(x)} se llama rango de la función f.
2.11 GRÁFICAS CON EL SOFTWARE DERIVE
2
1. Graficar con el software DERIVE la función
= -
x 1
2
y
-
x 4
Solución
La pantalla principal del Derive es
La función se ingresa de la siguiente manera, pero antes hay que presionar el icono
de grafica bidimensional

Después se presiona enter ( ¿ ) y el icono de la gráfica, se obtiene
2. Con el Derive, graficar y = sin2x – log(3x2 + 1) + ex – 1
Solución
2 2 4 f - (y) = - + y +
1 1 1
v – 3) Si y = x3 -1 Û x = 3 y +1
1 3
3 f - (y) = y +1
x 4, x [0, 4]
Por lo tanto, 1 1 1
f (x) x , x 20 2 5, 30]
2 4
3
x 1, x 9, 1]
-
 + Î

= - + + Î - 
+ Î - - 
31. Demostrar que existe la inversa de la función, y hallarla, si
f (x) = 5x - x2 - 4 , xÎ[9, 11]
Solución
i) Demostraremos la existencia de f -1, para ello demostraremos que f es inyectiva.
En efecto:
Si f (a) = f (b) ⇒ 5a - a2 - 4 = 5b - b2 - 4
Û 5(a - b) = a2 - 4 - b2 - 4
2 2
= -
a b
2 2
- + -
a 4 b 4
 a + b
 Û -  -  =
(a b) 5 0
2 2
 a - 4 + b - 4

(1)
Como a, bÎ[9, 11] ⇒ 18 £ a+b £ 22 (2)
a, bÎ[9, 11]
1 1 1
2 177 a 4 b 4 2 77
Û £ £
2 2
- + -
1 1 1
2 77 a 4 b 4 177
Û - £ - £ -
2 2
- + -
(3)
De (2) y (3), se tiene
- £ - + £ -
22 a b 9
2 77 a 2 4 b 2
4 177
- + -
22 a b 9
» - £ - + £ - »
3.7 5 5 5 4.3
2 77 a 2 4 b 2
4 177
- + -
Luego,
a b
- + ¹
5 0
2 2
- + -
a 4 b 4
a, b Î [9, 11]
Por consiguiente, tomando en cuenta este resultado en (1), resulta
a – b = 0 Û a = b

i) Demostraremos que 2
1 f (x) = x - 4 es inyectiva. En efecto:
Si 2 2
1 2 f (a) = f (b) ⇒ a - 4 = b - 4
Û a2 = b2
Û a = b, pues a y b son positivos en [2, 2 2]
ii) Demostraremos que f2(x) = x + x2 es inyectiva. En efecto
Si f2(a) = f2(b) ⇒ a + a2 = b + b2
Û (a-b)(1+a+b) = 0 (1)
Como a, bÎ 2 5, 5] ⇒ 1+ 4 5 1+ a + b £ 11. Luego, 1+a+b ¹ 0.
Luego, de (1), se tiene a = b
iii) Demostraremos que f3(x) = x3 -1 es inyectiva. En efecto
Si f2(a) = f2(b) ⇒ a3 – 1 = b3 – 1 Û a = b
iv) Ahora, hallaremos su rango.
Si
1
2
xÎ[2, 2 5] ⇒ 0 £ x - 4 £ 4 Û Rf = [0, 4]
Si
1 2 1
2 4 f xÎ 2 5, 5] ⇒ 20 - 2 5 (x + ) - £ 30 Û R = 20 - 2 5, 30]
2
Si x Î -2, 0] ⇒ -9 x3 -1 £ -1 Û
f3 R = -9, -1]
Luego,
f1 f2 f1 f3 f3 f2 R ÇR = Æ, R ÇR = Æ, R ÇR = Æ
Por lo tanto, de i) – iv), se concluye que existe la inversa de la función f.
v) Ahora, hallaremos la regla de correspondencia de la función inversa.
v -1) Si y = x2 - 4 ⇒ x = ± y2 + 4 (1)
Si x = 2 ⇒ y = 0
De (1)
Si y = 0 ⇒ 4
2 2 = ±
2 = 2 (la igualdad, se obtiene con el signo +)
1 f - (y) = y + 4
1 2
v – 2) Si 2 1 2 1 1 1
2 4 2 4 y = x + x Û y = (x + ) - Û x = - ± y + (2)
Si x = 5 ⇒ y = 30
De (2)
Si y = 30 ⇒ 1 1
2 4 5 = - ± 30 +
5 = 5 (la igualdad, se obtiene con el signo +)
2.12 FUNCIONES ESPECIALES
1. FUNCION IDENTIDAD
ℝ®ℝ
x f (x) x
f :
® =
f
f
D
R
=
=
ℝ
ℝ
2. FUNCIÓN CONSTANTE
®
x f (x) c, c
f :
® = Î
ℝ
ℝ ℝ
D
R {c}
f
f
=
=
ℝ
3. FUNCIÓN LINEAL O AFÍN
®
x f (x) a x b, a, b
f :
® = + Î
ℝ
ℝ ℝ
f
f
D
R
=
=
ℝ
ℝ
Primer caso: Cuando a 0
y = c
X
Y
y = x
X
Y

Segundo caso: Cuando a 0
4. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO
ℝ®ℝ
x f (x) x
f :
® =
D
f
R [0,
f
=
ℝ
= ¥
5. FUNCIÓN SIGNO
ℝ®ℝ
x f (x) sign(x)
f :
® =
D
R {-1, 0,1}
f
f
=
=
ℝ
y y=sign(x)
1
6. FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO
®
x f (x) x
f :
® =

ℝ ℝ
f
f
D
R
=
=
ℝ
ℤ
x
- 1
X
Y
y=|x|
y=ax+b
X
Y
a 0
y=ax+b
x
a 0
y
 
4
Û -  -  =  + 
(b a) 1 0
b a
(1)
Como a, b Î 0, 1] ⇒ 0 a £ 1, 0 b £ 1
Û
£
£
+ £
0 a 1
0 b 1
0 a b 2
Û
1 1
³
a b 2
+
Û
4
- £ -
1 1
+
a b
Luego,
4
- ¹ Î
1 0, a,b 0,1]
+
a b
De (1), se obtiene que a = b Lqqd.
$ f -1
Por otro lado, sea
y = 4 x - x Û 16x = (y + x)2
Û x2 + (2y -16)x + y2 = 0
16 2y (2y 16)2 4y2
Û x
=
Û x = 8 - y ± 64 -16y
- ± - -
2
En la función original, si x = 1 ⇒ y = 3
Al reemplazar en al última expresión, se tiene
1 = 5 ± 16
1 = 5 ± 4
La igualdad se cumple con el signo menos. Luego, la función inversa es
f -1(y) = 8 - y - 64 -16y o f -1(x) = 8 - x - 64 -16x
30. Demostrar que existe la inversa de la función, y hallarla, si
 2
- Î 
= + Î 
x 4, x [2, 2 5]
2
f (x) x x , x 2 5, 5]
3
- Î - 
x 1, x 2, 0]
Solución

Luego,
f g 2 2 D = [0, 2 Ç[1, = [1,
2 1
3 3
(f2g1) = f2(g1(x)) = 3
iv) D 2
f 2
g x / x [2, 3] x 21,2] 2
= { ÎÙ + Î} -1 x2 £ 0
x = 0
Luego,
f2 g2 D = [2, 3]Ç{0} = Æ
2 (f g)(x) = 3, xÎ[1,
Por lo tanto, 3
28. Hallar, si existe la inversa de f (x) = x2 - 4 , xÎ[4, 10]
Solución
i) Demostraremos la existencia de f -1, para ello demostraremos que f es inyectiva.
En efecto:
Si f (a) = f (b) ⇒ a2 - 4 = b2 - 4
Û a2 = b2
Û a = b Por ser a, b Î[4, 10]
ii) Sea y = x2 - 4 Û x = ± y2 + 4 (1)
Para determinar la regla de correspondencia de la función inversa en este caso,
elegimos un punto de la función, tal como:
Si x = 5 ⇒ y = f (5) = 21
Ahora, sustituimos en (1)
5 = ± 21+ 4
5 = ±5
La igualdad se cumple con el signo +. Luego, la regla de correspondencia de la
función inversa es con el signo +:
f -1(y) = y2 + 4
f -1(x) = x2 + 4
29. Demostrar que f (x) = 4 x - x , x Î 0, 1] posee inversa y hallarla.
Solución
Sabemos que si f es inyectiva, entonces posee inversa. En efecto:
Si f (a) = f(b) ⇒ 4 a - a = 4 b - b
Û b - a = 4( b - a )
Û - = -
4(b a)
b a
+
b a
3
7. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
ℝ®ℝ
x f (x) x
f :
® =
f
f
0,
0,
D
R
¥
¥
= 
= 
y
x
8. FUNCIÓN CUADRÁTICA
f :
x f (x) ax + + ¹
2 bx c, a 0
®
® =
ℝ ℝ
Completando cuadrados el segundo miembro se obtiene:
2 2
 b  4ac - b
 =  +  + 
2
f (x) a x
2a 4a
  
Luego,
=
=  ¥ 
D
f
ℝ
R - ,
Si a 0, ⇒ 2
4ac b
f 4a
b 4ac b2
,
2a 4a
 -  - 
 
X
Y
O
O
O
O
O
O
1
-1
-2
2
0

=
= -¥ 
D
f
ℝ
R , -
Si a 0, ⇒ 2
4ac b
f 4a
b 4ac b2
,
2a 4a
 -  - 
 
Y
9. FUNCIÓN CÚBICA
ℝ®ℝ
3 x f (x) x
f :
® =
f
f
D
R
=
=
ℝ
ℝ
y = x3
X
Y
10. FUNCIÓN POLINÓMICA
n 1
n
®
X
x f (x) a x a x a x a
n n 1 1 0
f :
-
® = + - + ⋯
+ +
ℝ ℝ
f D = ℝ
Su rango no se puede determinar para el caso general, pues depende del grado
del polinomio y de sus coeficientes.
11. FUNCIÓN RACIONAL
P(x)
Q(x)
ℝ®ℝ
x f (x)
f :
® =
donde P(x) y Q(x) son polinomios.
Û
- Î -

1 1
2 2
1 3
2 2
2, x [ ,
0, x [ ,
Î 
= 
Î 
- + Î 
32
(g f )(x)
2, x [ , 2]
2 x 4, x 2, 4]

27. Si
 Î - - = 
x , x [ 5, 1]
f (x)
Î 
3, x 1, 2]
 Î = 

2
2x , x [0, 2
g(x)
+ Î 
x 2, x [2, 3]
Hallar f g, si existe.
Solución
Sean
 = Î - - = = 
f (x) x , x [ 5, 1] D
1 f
1
2
= Î = 
2 f
f (x)
f (x) 3, x 1, 2] D
 = Î = = 
1
g (x) 2x , x [0, 2 D
1 g
2
2
= + Î = 
2 g
g(x)
g (x) x 2, x [2, 3] D
f g f1 g1 f1 g2 f2 g1 f2 g2 D = D ÈD ÈD ÈD
i) { } f1 g1 D = x / xÎ[0, 2 Ù 2x Î[-5, -1]
-5 £ 2x £ 0
-5 £ 2x 0
-5/2 £ x 0
Luego,
f g 2 D = [0, 2 Ç[- , 0 = Æ
1 1
5
ii) D 2
f 1
g 2
= { x / xÎ[2, 3] Ù x + 2Î[-5, -1] } -5 £ x2 +2 £ -1
-7 £ x2 £ -3
Æ
Luego,
f1 g2 D = [2, 3]ÇÆ = Æ
iii) { } f2 g1 D = x / xÎ[0, 2 Ù 2x Î1, 2]
1 2x 2
2 £ 2x 3
1 £ x 3/2

Luego, ( ) 1 1
17 1 1 17 1
g f 2 2 2 2 2 D = [0, 2]Ç - , - ]È[ , = [ , 2]
(g 1 f 1 )(x) = g 1 (f (x)) = 2f (x) = 22 x - 1
1 1 2
ii) { } g1 f2 D = x / xÎ 2, 4] Ù x - 2 Î -1, 3]
-1 x - 2 £ 3
0 £ x - 2 £ 3
0 £ x - 2 £ 3 Ú -3 £ x - 2 £ 0
0 £ x £ 25 Ú 0 £ x £ 4
x Î [0, 25]
Luego,
g1 f2 D = 2, 4]Ç[0, 25] = 2, 4]
1 2 1 2 2 (g f )(x) = (g (f (x)) = 2f (x) = 2 x - 2
iii) D 2 1

g 2
f 1
= { x / xÎ[0, 2] Ù x - 4
Î 3, 5] } 3 x 2 - 1
4 £ 5

2 1
4 4 £ x - 6
5 17 17 5
2 2 2 2 xÎ - , - ]È[ ,
Luego, ( 5 17 17 5
2 1
) g f 2 2 2 2 D = [0, 2]Ç - , - ]È[ , = Æ
iv) { } g2 f2 D = x / x Î 2, 4] Ù x - 2 Î 3, 5]
3 x - 2 £ 5
3 x - 2 £ 5 Ú - 5 £ x - 2 -3
x Î 25, 49]
Luego,
g2 f2 D = 2, 4]Ç 25, 49] = Æ
Por lo tanto, en resumen, la función compuesta es
 -

Î - = 
1 1
2 2 2 x , x [ , 2]
(g f )(x)
- Î 
2 x 2 , x 2, 4]

{ } f
D x = - Q(x) = 0 ℝ
12. FUNCIÓN SENO
ℝ®ℝ
x f (x) sen(x)
f :
® =
D
R [ 1,1]
f
f
=
ℝ
= -
Y
1
p 2 p
2 p
3
2
-
-p 2p
-2p
- p
3
2
-1
13. FUNCIÓN COSENO
ℝ®ℝ
x f (x) cos(x)
f :
® =
p
D
R [ 1,1]
f
f
=
ℝ
= -
-p
2 p
- p
3
2
1
Y
-2p -
p
2 -1

2.13 CLASES DE FUNCIONES
1. FUNCIÓN PAR
p
X
2p
p
3
2
X
f :ℝ®ℝ es par en Df Û f (-x) = f (x), x Î Df
Ejemplos
1) f(x) = x2 x Î -3, 3 es par.
2) f(x) = x2 x Î -2, 3 no es par.
3) f(x) = cos x, xÎℝ es par.
4) f(x) = |x| xÎ [-5, 5] es par.
2. FUNCIÓN IMPAR
f :ℝ®ℝ es impar en Df Û f (-x) = -f (x), x Î Df
Ejemplos
1) f(x) = x3 x Î -3, 3 es impar.
2) f(x) = x3 x Î -2, 3 no es impar.

3) f(x) = sen x, xÎℝ es impar.
3. FUNCIÓN PERIÓDICA
f :ℝ®ℝ es periódica en ℝ Û $ 0 ¹ p Î ℝ / f(x+p) = f(x)
El menor valor positivo p se llama período.
Ejemplos
1) f(x) = sen x, xÎℝ es periódica de periodo 2p.
2) f(x) = cos x, xÎℝ es periódica de periodo 2p.
3) f(x) = tan x, xÎℝ es periódica de periodo p.
4) f(x) = sen 2x, xÎℝ es periódica de periodo p.
5) f(x) = cos 3x, xÎℝ es periódica de periodo 2p/3.
4. FUNCIÓN CRECIENTE
f :ℝ®ℝ es creciente en Df Û 1 2 1 2 1 2 f x x ⇒f (x ) £ f (x ), x , x ÎD
Ejemplos
1) f(x) = sen x es creciente en [0, p/2
2) f(x) = cos x es creciente en [-p/2, 0]
3) f(x) = x3 es creciente en ℝ
5. FUNCIÓN DECRECIENTE
f :ℝ®ℝ es decreciente en Df Û
1 2 1 2 1 2 f x x ⇒f (x ) ³ f (x ), x , x ÎD
Ejemplos
1) f(x) = sen x es decreciente en [p/2, p]
2) f(x) = cos x es decreciente en [0, p]
3) f(x) = x2 es decreciente en -¥, 0
6. FUNCIÓN INYECTIVA
f :ℝ®ℝ es inyectiva en Df Û
1 2 1 2 1 2 f f (x ) = f (x ) ⇒ x = x , x , x ÎD
Ejemplos
1) f(x) = x3 es inyectiva en ℝ
2) f(x) = x2 no es inyectiva en ℝ, pero si es inyectiva en -¥, 0.
7. FUNCIÓN SOBREYECTIVA
f :ℝ®ℝ es sobreyectiva en Df Û Ran(f ) = ℝ
Hallar f+g y graficarlo
Solución
 1 - x + x 2
- 3, x Î [ - 2, - 1 Ç -¥ , 0


 1 - x - 3, x Î [ - 2, - 1 Ç [0, p
]

2
(f g)(x)
3 senx x 3, x 0, , 0
3 senx 3, x 0, [0, ]
+ = 
+ + - Î +¥ Ç -¥ 
 + - Î + ¥ Ç p
 x2 - x - 2, x Î [ - 2, - 1
+ = 


Î p (f g)(x)
senx , x 0, ]
-2 -1 p/2 p
26. Hallar fg, si
 2 - 1


Î = 
4 x , x [0, 2]
f (x)
- Î 
x 2 , x 2, 4]
,
 Î -
= 
- Î
2x, x 1, 3]
g(x)
4, x 3, 5]
Solución
Sean
1
2
 = 2 - 1


Î = = 
f (x) x , x [0, 2] D
1 4 f
= - Î = 
2 f
f (x)
f (x) x 2 , x 2, 4] D
= Î - = 
= 
g (x) 2x, x 1, 3] D
1 g
1
2
= - Î = 
2 g
g(x)
g (x) 4, x 3, 5] D
D f g = D f1 g1 ÈD f1 g2 ÈD f2 g1 ÈD f2
g2 i) D g x / x[0, 2] x 2 1

1, 3] 1
f 1
= { ÎÙ - 4
Î -} -1 x 2 - 1
4 £ 3

-1 x 2 - 1 Ù x 2 - 1
4 4 £ 3

2 1 2 1
4 4 0 £ x - Ù x - 4
17 1 1 17
2 2 2 2 xÎ - , - ]È[ ,
1

Luego, el rango es Rf = {-2} È -2, 2 È {2} = [-2, 2]
22. Dadas las funciones f (x) = 3x2 + 6x + 2 ,
4 x2
g(x)
= -
-
x 2
Hallar el complemento de Rf – Dg
Solución
Sea y = 3x2 + 6x + 2 Û 3x2 + 6x + 2 - y = 0
Despejando x:
- ± - -
=
6 36 12(2 y)
x
6
Rf : 36 – 12(2 - y) ³ 0 Û 2 – y £ 3 Û y ³ -1
Rf = [-1, +¥
Por otro lado, Dg : 4 – x2 ³ 0 Ù x ¹ 2 Û x2 – 4 £ 0 Ù x ¹ 2
Dg = [-2, 2] – {2} = [-2, 2
Luego, Rf – Dg = [-1, +¥ - [-2, 2 = [2, +¥
(Rf – Dg)c = -¥, 2
23. Dadas las funciones f(x) = - x2 + 3x + 1, g(x) = 3x2 + 2x + 1
Hallar Rf Ç Rg
Solución
Completando cuadrados
f (x) = -[x 2 -3x + ( 3 ) 2 ]+1+ ( 3 ) 2
= -(x - 3 2 2 2 2 ) + 13 4 £
13
4 13
4 g f (x)Î -¥, ] = R
g(x) = 3(x 2 + 2 x + ( 1 ) 2 ) +1- 3( 1 ) 2
= 3(x + 1 2 2 2
3 3 3 3 ) + 3 ³
3 2
3 g g(x)Î[ , +¥ = R
f g 4 3 3 4 R ÇR = -¥, ]È[ , +¥ = [ , ]
Luego, 13 2 2 13
24. ¿La función f(x) = ln[sen2(3x)] es par en su dominio?
Solución
Df = ℝ - {0}
f(-x) = ln[sen2(-3x)] = ln[(-sen3x)2] = ln[sen2(3x)] = f(x)
la función es par.
25. Si

1 - x, x Î [ - 2, - 1
=  
+
³ f (x)
3 senx , x 0
 - = 
x2 3, x 0
g(x)
- Î p 
3, x [0, ]
8. FUNCIÓN BIYECTIVA
f :ℝ®ℝ es biyectiva en Df Û f es inyectiva y sobreyectiva
2.14 ALGEBRA DE FUNCIONES
Sean f :Df Ì ℝ®ℝ y g :Dg Ì ℝ®ℝ ⇒
1. (f + g)(x) = f (x) + g(x), xÎDf+g = Df ∩Dg
2. (f - g)(x) = f (x) - g(x), xÎDf-g = Df ∩Dg
3. (fg)(x) = f (x)g(x), xÎDfg = Df ∩Dg
4. (f / g)(x) = f (x) / g(x), xÎDf/g = Df ∩Dg -{x / g(x)=0}
5. (f g)(x) = f[g(x)], xÎDf g = {x / xÎDg Ù g(x)ÎDf }
A esta última operación se le llama composición de funciones.
2.15 FUNCIÓN INVERSA
Si f :ℝ®ℝ es inyectiva en Df ⇒
1 $ f -
Método para hallar 1 f - : De y = f(x) se despeja “x” en términos de “y”. Esto es
y = f (x) Û x = f -1(x)
2.16 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
1. FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE a
x
f :
®
® =
ℝ ℝ
x f (x) a
D
f
R 0,
f
=
ℝ
= ¥
0 a 1
2. FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE e
x
f :
®
® =
ℝ ℝ
x f (x) e
D
f
R 0,
f
=
ℝ
= ¥
y
x
1
a 1
y
x
1
y
x
1

3. FUNCIÓN LOGARÍTMICA CON BASE a
a x
f :
®
® =
ℝ ℝ
x f (x) log
D f
0,
R
f
= ¥
= ℝ
y
x
a 1
x
y
0 a 1
Propiedades
1) x
a y = a Û x = log y
2) loga (MN) = loga M + loga N
M
log log M log N
3) a a a
N
= -
4) r
log a (M ) = r log a M
4. FUNCIÓN LOGARÍTMICA CON BASE e
ℝ®ℝ
x f (x) loge x ln x
f :
® = =
D f
0,
R
f
= ¥
= ℝ
x
y
2.17 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
1. FUNCIÓN TANGENTE
sen x
cos x
f :
ℝ®ℝ
x ® f (x) = tan x
=
= - p p Î
=
D ℝ { +n / n ℤ
}
R
ℝ
f 2
f
18. Hallar el dominio de
2
= - +
x 5x 6
2
f (x)
- -
7x x 12
Solución
2
- + ³
- -
x 5x 6
D : 0
f 2
7x x 12
2
2
x 5x 6
Û - + £
0
- +
x 7x 12
Û ( x - 3 )(x 2)
( x 3
-
-
0
)(x 4)
£
-
x 2
Û - £ ¹
0, x 3
-
x 4
Df = [2, 4 - {3}
19. Hallar el dominio de f (x) = x - 2 - 3
Solución
Df : x - 2 - 3 ³ 0 Û x - 2 ³ 3
Û x - 2 ³ 3 Ú x - 2 £ -3 Û x ³ 5 Ú x £ -1
Df = -¥, -1] È[5, +¥
20. Si el rango de f(x) = x2 / (x2 + 1) es [a, b, hallar a+b
Solución
x
2
Sea
2
y
x 1
=
+
Despejando x, se tiene
y
x
1 y
= ±
-
Luego, el rango es f
y
R : 0
1 y
³
-
Û
y
0
y 1
£
-
+ - +
-¥ 0 1
+¥
Rf = [0, 1 = [a, b
Luego, a+b = 0+1 = 1
21. Calcular el rango de la función
- 2, x £ - 1

= - - 
 ³
f (x) x 1, 1 x 3
2, x 3
Solución
Si x £ -1 ⇒ f(x) = -2
Si -1 x 3 ⇒ -2 x – 2 2 ⇒ -2 f(x) 2
Si x ³ 3 ⇒ f(x) = 2

Luego, si xÎ[-1, 0 ⇒ f(x) = sen(px/2) - 1 Î [-2, -1
Por lo tanto, en resumen de i) y ii), se tiene que
Rango(f) = [-2, -1 È [-1, 0 = [-2, 0
p
 sen 2
x, x Î [ - 1, 0
= 
p
- Î - - 
2
f (x)
sen x 1, x [ 2, 1
Su gráfica es
-1
-2
-2 -1
15. Hallar el dominio de
4 x 3
= + - -
f (x) 49
+ 2
+
(x 1) x 1
Solución
+ - - ³
4 x 3
D : 49 0
f 2
+ -
(x 1) x 1
Û
2
+ - + - + ³
4 (x 3)(x 1) 49(x 1)
2
0
+
(x 1)
Û 12x2 +25x +12 £ 0, x ¹ -1 Û (4x + 3)(3x + 4) £ 0, x ¹ -1
Luego, 4 3 { }
f 3 4 D = - , -  - -1
16. Si f (x) = 2x + x +1 , xÎ[3, 99, hallar su rango.
Solución
Como la función es creciente, entonces Rf = [f(3), f(99) = [8, 209
17. Hallar el dominio de f (x) = 1- 1- x2
Solución
2 2
Df : 1- 1- x ³ 0 Ù 1- x ³ 0 Û 1- x2 £ 1 Ù x2 -1 £ 0
2
Û 1- x2 £ 12 Ù (x -1)(x +1) £ 0 Û x2 ³ 0 Ù xÎ[-1, 1]
Û x Îℝ Ù xÎ[-1,1]
Df = ℝ Ç [-1, 1] = [-1, 1]
-3p / 2 - p / 2 p / 2 3p / 2 X
2. FUNCIÓN COTANGENTE
cos x
sen x
f :
®
® = =
ℝ ℝ
x f (x) c tg x
D {n / n }
R
f
f
ℝ p ℤ
ℝ
= - Î
=
-p p 2p X
3. FUNCIÓN SECANTE
1
cos x
f :
®
® = =
ℝ ℝ
x f (x) sec x
= - p p Î
= -¥ - È +¥
D ℝ { +n / n ℤ
}
R , 1] [1,
f 2
f
Y
1
-3p / 2 - p / 2 p / 2 3p / 2 X
-1
Y
0
Y

4. FUNCIÓN COSECANTE
1
sen x
f :
®
® = =
ℝ ℝ
x f (x) csc x
D {n / n }
R , 1] [1,
f
f
= ℝ - p Î
ℤ
= -¥ - È + ¥
-p 3p / 2
2.18 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS
1. FUNCIÓN ARCOSENO
f -1(x) = arcsen x , f 1
D - = [-1,1] ,
R - ,
f
= - p p  1  2 2 
2. FUNCIÓN ARCOCOSENO
D - = [-1,1] , [ ] f 1
f -1(x) = arccos x , f 1
R - = 0, p
3. FUNCIÓN ARCOTANGENTE
f -1(x) = arctan x , f 1
= - p p
D - = ℝ , R f
- 1 2 ,
2 - p / 2
p / 2
X
Y
1
-1
p 2p
-1
p /2
1
y
x
arcSenx
- p /2
-1
p
1
arcCosx
0
La solución general es
14. Hallar el rango y la grafica de la función
( ) ( ) 2 2 f (x) = sen p x + sen p x , xÎ[-2, 0
Solución
Para xÎ[-2, 0, x = -2, -1
i) Si x = -2 ⇒ -2 £ x -1 Û -p £ px/2 -p/2
Por ser la función seno decreciente en este intervalo, se obtiene
sen(-p) ³ sen(px/2) sen(-p/2) Û -1 £ sen(px/2) 0
Û sen(px/2) Î [-1, 0
Por otro lado, sen(px/2) = sen(p(-2)/2) = 0
Luego, si xÎ[-2, -1 ⇒ f(x) = sen(px/2) Î [-1, 0
ii) Si x =-1 ⇒ -1 £ x 0 Û -p/2 £ px/2 0
Por ser la función seno creciente en este intervalo, se obtiene
sen(-p/2) £ sen(px/2) sen(0) Û -1 £ sen(px/2) 0
Û sen(px/2) Î [-1, 0
Por otro lado, sen(px/2) =sen(-p/2) = -1

Luego, la solución general es
13. Graficar la solución de x2 2 2 2
4 ( + y -1)(x - y -1) £ 0
Solución
La inecuación es equivalente a
 x 2
2 2 2

4
+ - £ Ù - - ³ Ú 
2
y 1 0 x y 1 0
x 2 2 2
4

+ y - 1 ³ 0 Ù x - y - 1 £ 0
Las gráficas de las ecuaciones son
p / 2
- p / 2
4. FUNCIÓN ARCOCOTANGENTE
f -1(x) = arc ctg x , f 1
D - = ℝ ,
R , 1 - = 0 p
f
p
5. FUNCIÓN ARCOSECANTE
f -1(x) = arcsec x
] f 1
=  p p p  ∪
∪ , ] f 1
D , 1 1, - = -¥ - +¥ 
R - 0, 2 2 ,
6. FUNCIÓN ARCOCOSECANTE
f -1(x) = arccsc x , ] f 1
D , 1 1, - = -¥ - +¥ 
∪ ,
R f - 1
2 ,0 0, 2
= - p p  ∪ 
X
Y
p / 2
X
Y
X
Y
p
p / 2
-1 1

2.19 FUNCIONES HIPERBÓLICAS
1. FUNCIÓN SENO HIPERBÓLICO
ex e x
2
ℝ®ℝ
x f (x) senh x
f :
- - ® = =
f
f
D
R
=
=
ℝ
ℝ
2. FUNCIÓN COSENO HIPERBÓLICO
x x
f :
e e
x f (x) cosh x
2
-
®
® = = +
ℝ ℝ
D
f
R 1,
f
=
ℝ
=  ¥
y
1 x
3. FUNCIÓN TANGENTE HIPERBÓLICO
senh x
®
® =
f :
ℝ ℝ
x =
f (x) tanh x cosh x
D
f
R 1,1
f
=
ℝ
= -
X
Y
X
Y
-p / 2
p / 2
-1 1
12. Graficar la solución de (|x - 2| - y)(y – x2 - 1) 0
Solución
 - - Ù - 2
-
x 2 y 0 y x 1 0
2
x 2 y 0 y x 1 0

Ú 
- - Ù - - 
y – x2 - 1 = 0
1
|x-2| - y = 0
2

x2 - 4y – 8 = 0
Luego, la solución general es
y + |x| = 0
1
4. FUNCIÓN COTANGENTE HIPERBÓLICO
f :
cosh x
x f (x) co t g h x
senh x
®
® = =
ℝ ℝ
{ } f
D 0
R , 1 1,
f
= ℝ
-
= -¥ - ∪
¥
1
5. FUNCIÓN SECANTE HIPERBÓLICO
f :
x f (x) sech x 1
cosh x
®
® = =
ℝ ℝ
D
f
R 0,1
, f
]
=
=
ℝ
6. FUNCIÓN COSECANTE HIPERBÓLICO
f :
x f (x) csch x 1
sen h x
®
® = =
ℝ ℝ
{ }
{ }
f
f
D
R
0
0
= ℝ
-
= ℝ
-
X
Y
1
X
Y
-1
X
Y
-1

y
x
7. FUNCIÓN SENO INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f -
1
(x) arcsen h x
1
1
f
f
D
R
ℝ
ℝ
-
-
=
=
8. FUNCIÓN COSENO INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f - 1
(x) arccos h x
D 1
1,
R 0,
1
f
f
-
-
=  ¥
=  ¥
9. FUNCIÓN TANGENTE INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f -
1(x) arctanh x
D 1
1,1
R
1
f
f
-
-
= -
= ℝ
- 1 1 X
X
Y
1
1
X
Y
i) Intersecciones. Si x=0 ⇒ y=0; si y=0 ⇒ x=0.
Luego, (0, 0) es el único punto de intersección
ii) Extensión.
Dominio:
2
4x
2
y
x 1
= ±
-
(1)
2
4x
D : 0
f 2
x 1
³
-
Û x2 – 1 0
Df = -¥, -1 È 1, +¥
Rango:
y
2
2
x
y 4
= ±
-
(2)
2
y
R : 0
f 2
y 4
³
-
Û y2 – 4 0
Rf = -¥, -2 È 2, +¥
iii) Simetría. Existen con los ejes X e Y y con el origen.
iv) Asíntotas. De (1) y (2), se tiene que x = 1, x = -1 son asíntotas verticales; y =
2, y = -2 son asíntotas horizontales.
v) Tabulación y gráfica
-1
x y
1.2 ± 4. 8
2 ± 2 . 3
5 ± 2 . 1
10 ± 2 . 01
11. Graficar (x2 – 4y -8)(y + |x|) ³ 0
Solución
x2 – 4y – 8 ³ 0 Ù y + |x| ³ 0
Ú
2
-2
1 X
Y
x2 – 4y – 8 £ 0 Ù y + |x| £ 0
Para graficar esto, primero se grafican las ecuaciones:
x2 – 4y – 8 = 0, y + |x| = 0

9. Graficar y2x2 - 2xy2 + y2 - x = 0
Solución
i) Intersecciones. En la ecuación: Si x=0⇒ y=0 ; Si y=0 ⇒ x=0
Luego, (0,0) es un punto de intersección.
ii) Extensión.
x
Dominio. Despejando “y”: y
2
(x 1)
= ±
-
x
: ³ Ûx ³ 0 , x ¹ 1
D 0
f 2
(x-1)
Df = 0,¥ - {1}
Rango. Despejando “x”:
2 2
+ ± +
2y 1 4y 1
2
x
2y
=
Analizando ésta fórmula y la expresión original, se obtiene f R = ℝ
iii) Simetría. Analizando mentalmente en la ecuación original, obtenemos que
existe simetría con el eje X.
iv) Asíntotas. y = 0 es una asíntota horizontal y x =1 es una asíntota vertical.
y=0
x=1
10. Graficar y2x2 – 4x2 = y2
Solución
X
Y
x=0
x=4
y=0
X
Y
x=0
10. FUNCIÓN COTANGENTE INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f - 1
(x) ar c cot g h x
D , 1 1,
R 0
{ }
1
1
f
f
-
-
= -¥ - ∪
¥
= ℝ
-
y
x
-1 1
11. FUNCIÓN SECANTE INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f - 1
(x) arcsech x
D 1
0, 1]
R [0,
1
f
f
-
-
=
= +¥
X
Y
1
12. FUNCIÓN COSECANTE INVERSO HIPERBÓLICO
®
® =
f :
ℝ ℝ
x f - 1
(x) ar ccsch x
D 1
{0}
R {0}
1
f
f
-
-
= ℝ
-
= ℝ
-
Y
EJERCICIOS RESUELTOS
X
1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones?

I. {(2,1), (1,5), (0, 0), (6, 2)}
II. {(-3,1), (-3, 0), (4, 2), (7, 5)}
III. {(-5, 2), (1, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)}
IV. {(0, 2),(0.6,1.5),(5,2),(7,2),(0.5,0.5)}
Solución
I. Si es
II. No es, por (-3,1), (-3,0)
III. Si es
IV. Si es
2. Indique el rango de la función f, si f tiene como dominio {-1,3,6,7} y como
regla de correspondencia
2 f (x) = x - 2x
Solución
{3, 24, 35}
3. Si f es la función {(1,5), (2,6), (-2,2), (3,7)} , calcular f (1) + f (2) + f (3)
Solución
f (1) + f (2) + f (3) = 5 + 6 + 7 = 18
4. ¿Para qué valores de “a” y “b” la relación
{(2,5),(-1,-3),(2,2a - b),(-1,b - a),(a + b,a)} es una función?
Solución
2a - b = 5
b - a = -3
Resolviendo este sistema, se obtiene que a = 2, b = -1
5. Si el conjunto {(1,5),(a,6),(3,a2 ),(3,2a + 3)} representa una función, dar su
rango
Solución
Para que el conjunto sea una función debe cumplir:
a2 = 2a + 3 Û(a - 3)(a +1) = 0
a = 3, a = -1
Si a=3 ⇒ {(1, 5),(3, 6),(3, 9)} no es una función
Si a= -1 ⇒ {(1,5),(-1,6),(5,1)} si es una función
Luego, su rango es {5,6,1}
6. Si f (x -1) = (x - 2)3 + 7(x - 2)2 +17(x - 2) +15 . Hallar f(x)
Solución
Sea x-1 = w ⇒ x = w+1
Reemplazando
f (w) = (1+ w - 2)3 + 7(1+ w - 2)2 +17(1+ w - 2) +15
f (w) = (w -1)3 + 7(w -1)2 +17(w -1) +15
Û f (x) = (x -1)3 + 7(x -1)2 +17(x -1) +15
7. Si f (x) = x2 + 2x + 2 , hallar g(x) tal que f [g(x)] = x2 - 4x + 5 ...(1)
Solución
Si f (x) = x2 + 2x + 2 ⇒ f [g(x)] = [g(x)]2 + 2g(x) + 2 ...(2)
Luego, de (1) y (2), se tiene
[g(x) +1]2 = x2 - 4x + 4 = (x - 2)2
Ûg(x) +1= ±(x - 2)
Ûg(x) = x - 3 Ú g(x) = -x +1
8. Graficar yx2 - 4yx +1= 0
Solución
i) Intersecciones. En la ecuación: Si x= 0⇒ 1= 0 ; Si y= 0⇒ 1=0
Luego, no existen intersecciones con los ejes.
ii) Extensión.
-
1
Dominio. Despejando “y”: y
= 2
-
x 4x
{ } f D = ℝ - 0, 4
Rango. Despejando “x”:
4y 16y2 4y
x
± -
2y
=
2
f R : 16y - 4y ³ 0 Û y(4y -1) ³ 0 , y ¹ 0
Aplicando el método de los signos se tiene
] 1
f 4 R = -¥, 0 È ,¥ - {0}
iii) Simetría: No existe
iv) Asíntotas: De las fórmulas despejadas se obtiene que:
x = 0, x=4 son asíntotas verticales y
y = 0 es una asíntota horizontal

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