2010-JOGL-05-Transformationen

CARL
VON
OSSIETZKY
Transformationen

Johannes Diemke

¨
Ubung im Modul OpenGL mit Java
Wintersemester 2010/2011

Motivation

Transformationen
Sind Grundlage vieler Verfahren der Computergraﬁk
Model- und View-Transformation
Projektionstransformation
Einsatz in vielen weiteren Verfahren
Bump Mapping
Shadow Mapping
Billboarding
...
Mathematische Grundlage sind lineare und aﬃne Abbildungen
mittels Matrizen

Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / 2011 2/26

Grundlagen

Matrix
Rechteckige Anordnung von Elementen
Schl¨sselkonzept der linearen Algebra
u
In der Computergraﬁk von elementarer Bedeutung:
Lineare und aﬃne Abbildungen
Beschreiben Transformationen zwischen Koordinatensystemen
Notation
Aneinanderreihung der Elemente in Zeilen und Spalten
Durch fettgedruckte Großbuchstaben bezeichnet


Grundlagen

Transponieren einer Matrix
Die transponierte Matrix AT einer r×c-Matrix A ergibt sich durch
Vertauschen der Zeilen mit den Spalten
Das Ergebnis ist eine c×r-Matrix

Transponieren als Involution

(M T )T = M


Grundlagen

Multiplikation mit einem Skalar
Eine m×n-Matrix M kann mit einem Skalar k multipliziert werden
Ergebnis ist wieder eine m×n-Matrix kM
Jedes Element wird mit k multipliziert


Grundlagen

Matrixmultiplikation
Eine r×n-Matrix A kann mit einer n×c-Matrix B multipliziert werden
Das Ergebnis ist eine r×c-Matrix


Grundlagen

Matrixmultiplikation (Forts.)
Die Elemente cij der r×c-Matrix C = AB ergeben sich zu


Grundlagen

Rechenregeln f¨r Matrizen
u
Nicht kommutativ

AB = BA

Assoziativ

(AB)C = A(BC )

Inverse eines Produktes

(AB)−1 = B −1 A−1

Transponieren eines Produkts

(AB)T = B T AT


Grundlagen

Die Einheitsmatrix
Spezielle Diagonalmatrix
Hat nur Einsen auf der Diagonalen

Neutrales Element bzgl. Multiplikation

IA = AI = A


Grundlagen

Vektoren als Matrizen
Vektoren der Dimension n k¨nnen als Matrizen aufgefasst werden
o
1×n-Matrix (Zeilenvektor)
n×1-Matrix (Spaltenvektor)

Aus geometrischer Sicht sind beide Notationen identisch
Unterscheidung bei Matrixmultiplikation aber wichtig


Grundlagen

Vektor-Matrix-Multiplikation
M¨glich, da Vektoren als Matrizen aufgefasst werden k¨nnen
o o
Es gelten die gleichen Regeln


Lineare Transformationen

Geometrische Interpretation
Eine quadratische Matrix kann jede lineare Transformation
beschreiben
Gerade und parallele Geraden bleiben erhalten
Der Urspung bewegt sich nicht
L¨ngen, Winkel, Fl¨chen und Volumen k¨nnen sich aber ¨ndern
a a o a
Rotation
Skalierung
Reﬂexion
Scherung
Orthographische Projektion



Wie transformiert eine Matrix einen Vektor?
Ein Vektor kann als Linearkombination von Basisvektoren aufgefasst
werden

Bezeichnen wir die Basisvektoren mit e1 , e2 und e3 erhalten wir

v = xe1 + y e2 + ze3

Der Vektor v kann durch einen Basiswechsel auf v abgebildet
werden

v = xa1 + y a2 + za3



Wie transformiert eine Matrix einen Vektor? (Forts.)
v hat im neuen System immer noch dieselben Komponenten wie v
Bzgl. des [e1 , e2 , e3 ]-Systems haben sie sich aber ge¨ndert
a



Wie transformiert eine Matrix einen Vektor? (Forts.)
Die Komponente des Vektors v im [e1 , e2 , e3 ]-Systems ergeben sich
zu

v = xa1 + y a2 + za3

Das l¨ßt sich aber pr¨gnanter durch eine Matrixmultiplikation
a a
ausdr¨cken
u

  
a1x a2x a3x x
v =  a1y a2y a3y   y  = Av
a1z a2z a3z z



Zusammenfassung
Die Spalten einer Matrix k¨nnen als Basisvektoren aufgefasst werden
o
Multiplikation mit einer Matrix M
F¨hrt zu Basiswechsel
u
Transformation von einem Koordinatensystem in ein anderes
Gibt an wie v nach Basiswechsel im alten Koordinatensystem aussieht
Konkatenation von Transformationen durch Matrixmultiplikation

v = (A4 (A3 (A2 (A1 v )))) = (A4 A3 A2 A1 )v

Lineare Transformationen erm¨glichen keine Translation
o

v = A0 = 0



Visualisieren einer Transformationsmatrix
Jede Spalte der Matrix stellt einen Basisvektor nach der
Transformation dar
a1 = Ae1
a2 = Ae2
a3 = Ae3
a1 , a2 und a3 stellen die Achsen nach der Transformation dar
Aus dieser Einsicht folgt
Konstruktion einer Matrix f¨r gegebene Transformation ist einfach
u
Wie wirkt sich die Transformation auf die Basisvektoren aus?
Transformierte Basisvektoren bilden dann die Matrix



Visualisieren einer Transformationsmatrix (Forts.)
Darstellung der Basisvektoren einer Transformation



Skalierung
Die Skalierung ist eine lineare Abbildung
Vegr¨ßert oder verkleinert
o Vektoren
 
kx 0 0
S(kx , ky , kz ) =  0 ky 0 
0 0 kz
Inverse

S −1 (kx , ky , kz ) = S(1/kx , 1/ky , 1/kz )



Rotation
Die Rotation ist eine lineare Abbildung
Rotiert Vektoren
 
cos θ − sin θ 0
Rz (θ) =  sin θ cos θ 0 
0 0 1
Rotations-Matrizen sind orthogonal
AAT = I
A−1 = AT
Inverse
−1 T
Rz (θ) = Rz (−θ) = Rz (θ)



Rotation (Forts.)
Rotation um die x-Achse
 
1 0 0
Rx (θ) =  0 cos θ − sin θ 
0 sin θ cos θ
Rotation umd die y-Achse
 
cos θ 0 sin θ
Ry (θ) =  0 1 0 
− sin θ 0 cos θ
Inverse
−1 T
Rx (θ) = Rx (−θ) = Rx (θ)
−1 T
Ry (θ) = Ry (−θ) = Ry (θ)


Aﬃne Transformationen

Sind ein wichtiges Hilfsmittel in der Computergraﬁk
Erm¨glichen Orientierung und Bewegung
o
Lineare Abbildung plus Translation

x = Ax + p
Problem
Transformationen nicht mehr uber reine Matrixmultiplikation
¨
m¨glich
o
Konkatenation auch nicht
L¨sung: Homogene Koordinaten
o



Homogene Koordinaten
Eine aﬃne Abbildung x = Ax + p kann in eine Matrixmultiplikation
uberf¨hrt werden
¨ u

x = Mx

Dazu ist M folgendermaßen zu w¨hlen
a
 
a1,1 a1,2 a1,3 p1
 a a a p 
M =  2,1 2,2 2,3 2 
 a3,1 a3,2 a3,3 p3 
0 0 0 1
x ist dann in homogene Koordinaten x zu uberf¨hren
¨ u

(x1 , x2 , x3 ) → (x1 , x2 , x3 , 1)



Homogene Koordinaten (Forts.)
M kann uber eine Matrixdekomposition zerlegt werden
¨
Linearer Anteil R
Aﬃner Anteil T
  
1 0 0 p1 a1,1 a1,2 a1,3 0
 0 1 0 p2   a2,1 a2,2 a2,3 0 
M = TR = 
 0
 
0 1 p3   a3,1 a3,2 a3,3 0 
0 0 0 1 0 0 0 1
Vorteile homogener Koordinaten
Einheitliche Behandlung aller Transformationen
Konkatenation von Transformationen durch Matrixmultiplikation
Komplexe Transformationen durch Gesamttransformationsmatrix


Literatur

Dave Shreiner
OpenGL Programming Guide
http://www.opengl-redbook.com/
Richard S. Wright, Benjamin Lipchak und Nicholas Haemel
OpenGL SuperBibel
http://www.starstonesoftware.com/OpenGL/
Randi J. Rost
OpenGL Shading Language
http://www.3dshaders.com/
Tomas Akenine-M¨ller, Eric Haines und Naty Hoﬀman
o
Real-Time Rendering
http://www.realtimerendering.com/


Literatur

Edward Angel
Interactive Computer Graphics
http://www.cs.unm.edu/˜angel/
Gerald Farin und Dianne Hansford
Practical Linear Algebra
http://www.farinhansford.com/books/pla/
Fletcher Dunn und Ian Parberry
3D Math Primer for Graphics and Game Development
www.gamemath.com/


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