1. DERIVADA Concepto de la derivada Teoremas sobre derivadas Teoremas sobre derivadas Aunque dada la ecuación de una función es posible obtener su respectiva función derivada utilizando la definición, para algunas funciones este procedimiento resulta sumamente tedioso. Surge entonces la necesidad de simplificar este proceso, lo cual puede lograrse al estudiar los teoremas sobre derivadas. TeoremaLa derivada de una función constante es cero. Prueba: Ejercicio para el estudiante. Ejemplos 1. si f(x)=8 entonces f(x)=0 2.SI FX=52 ENTONCES Fr x=0 3. si fx=a5+2 entonces fx=0 Teorema Si entonces es derivable sobre y Prueba: Ejercicio para el estudiante. Ejemplos dyy=1 dnn=1 dtt=1 Teorema Si con y pertenece al conjunto A en el que está bien definida, entonces es derivable en y Prueba: Al final del capítulo. Ejemplos si fx=x2 entonces fx=2x2-1=2x1=2x si fx=x5 entonces fx=5x5-1=5x4 dxx-3=-3x entonces fx=0 Teorema Si la función es derivable sobre un intervalo y es un número real, entonces la función para la que es derivable sobre , además . Prueba: Ejercicio para el estudiante utilizando la definición de derivada de una función. Este teorema afirma que la derivada del producto de una constante por una función derivable, es igual al producto de la constante por la derivada de la función. Ejemplos: Si entonces Si entonces Teorema Si y son dos funciones derivables sobre un intervalo , entonces la función es derivable sobre y además , para . Prueba: Al final del capítulo. Se tiene entonces que la derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de cada una de las funciones. También: donde son funciones derivables sobre un intervalo . Ejemplos 1. 2. 3. Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es derivable sobre , y además para cualquier se tiene que Ejemplos Teorema Si y son funciones derivables sobre un intervalo entonces la función es derivable sobre , y además para cualquier se tiene que Prueba: Al final del capítulo. Puede decirse que la derivada del producto de dos funciones, es igual al producto de la primera función por la derivada de la segunda, más el producto de la segunda función por la derivada de la primera. Ejemplos: 1. 2. 3., con a, b, c, k constantes. 4. Teorema Si y son dos funciones derivables y si sobre un intervalo entonces la función es derivable sobre , y además para cualquier y se tiene que Prueba: Al final del capítulo. Puede decirse que la derivada del cociente de dos funciones es igual al denominador multiplicado por la derivada del numerador, menos el numerador multiplicado por la derivada del denominador, todo dividido por el cuadrado del denominador. Ejemplos con con con El siguiente teorema, que se enuncia sin demostración, es de gran importancia en la teoría de extremos de una función, aunque tiene una fácil interpretación geométrica, exige para su demostración elementos de cálculo avanzado que están más allá del alcance de estas notas. APLICACIÓN DEL TEOREMA TEOREMA 2 (TEOREMA DE LOS VALORES EXTREMOS) Toda función continua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto). El alumno puede verificar gráficamente el teorema 2 intentando dibujar la gráfica de una función que sea continua en [a, b] y que no posea extremos absolutos en [a, b]. Cada intento lo llevará a la convicción de que la propiedad enunciada en el teorema, siempre se cumple. Observación: El teorema 2 garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado, pero, no dice como determinarlos. Sin embargo, es evidente que un extremo absoluto que no sea simultáneamente extremo relativo, se tiene que presentar en los extremos a o b del intervalo. Una regla práctica que se usa para determinar los extremos absolutos de una función continua f en un intervalo cerrado [a, b] es la siguiente: 1. Se determinan los puntos críticos c1, c2, c3, ...,cn (resolviendo , o donde no existe). 2. Se calcula y . 3. Máximo absoluto de f = máx { } Mínimo absoluto de f = mín { } En los ejercicios 12, 13 y 14 de la sección 9.10. se ilustra como determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado. Criterio De La Primera Derivada La primera derivada no sólo es útil en el trazado de curvas para determinar los extremos relativos, sino, también, para determinar los intervalos donde crece y decrece la curva. Al analizar en forma intuitiva el comportamiento de la función cuya gráfica se puede notar que: Entre las abscisas a y b, a medida que nos desplazamos hacia la derecha, ó, en sentido positivo del eje x, la curva es ascendente, en cuyo caso se dice que la función es creciente en el intervalo [a, b], y entre b y c la curva es descendente, en cuyo caso se dice que la función es decreciente en el intervalo [b, c]. La pendiente de la recta tangente a la curva en los puntos A, B y C (separan los tramos de crecimiento y de decrecimiento) es cero, o lo que es equivalente, la recta tangente es horizontal. En el punto P que pertenece a un tramo de crecimiento, la pendiente de la recta tangente a la curva es positiva y por lo tanto, su derivada es positiva. En cambio, en el punto Q que pertenece a un tramo decreciente de la curva, la pendiente y por lo tanto, la primera derivada es negativa. Estas ideas que se acaban de comentar, están justificadas por medio de las definiciones y teoremas dados a continuación. En primer lugar, se presentan dos teoremas: El Teorema de Rolle y su generalización conocido como el Teorema del Valor Medio (T.V.M.) que tienen gran importancia teórica y práctica. Derivada de una Función La derivada de una función f, es una función denotada por tal que para cualquier x del dominio de f está dada por:si este límite existe. Si es un número del dominio de f, entonces:si este límite existe. El proceso de calcular la derivada de una función se denomina derivación o diferenciación, es decir, la derivación o diferenciación es el proceso mediante el cual se obtiene a partir de f. Si una función tiene derivada en todo su dominio, se dice que es una función diferenciable.Ejercicios resueltos Determine la derivada de aplicando la ecuación (B).Solución: Determine la derivada de la función Solución: Apliquemos la ecuación (B),Determine la derivada de la función Solución. Aplicando la ecuación (B), tenemos,Otras notaciones para la derivada de una función f son: y La derivada de la composición de funciones Derivadas de orden superior Diferenciación implícita Diferenciación implícita Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita. En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita. Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita. Ejercicios resueltos En los siguientes ejercicios, halle dy/dx por medio del proceso de diferenciación implícita S o l u c i o n e s Funciones implícitas y diferenciación implícita Dado una ecuación en las variables x y y, podremos pensar de y como una función implícita de x. Podremos calcular dy/dx sin despejar primero a y es como se muestra a continuación: Primero, tome la derivada respecto a x de ambos lados de la ecuación (tratando y como
una cantidad
en la regla de la cadena). Después, despeje a dy/dx. Tal vez se da dy/dx como función de tanto y como x. Para evaluar dy/dx a un valor específico de x (o y), primero sustituya el valor dado en la ecuación original que muestra la relación entre x y y para obtener un valor para la otra variable si es necesario, y después sustituya los valores de x y y en la expresión de dy/dx. Diferenciación logarítmica Esta es la técnica sacando primero el logaritmo (natural) de ambos lados, para después aplicar la diferenciación implícita y determinar dy/dx. Diferenciación logaritmica es una alternativa útil para utilizar en vez de las reglas del producto y cociente para determinar las derivadas de expresiones particularmente complicadas. DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA Algunas funciones se definen en forma implícita: y2 = x3 + 4x +y-1 y 1/2 = y3 + 5x-2 Para encontrar y ’(x) no es necesario “despejar” la función y(x)… basta con aplicar derivación implícita Se dice que una función está definida explícitamente cuando se da de la forma y = f (x); esto es cuando se da y despejada en términos de x. En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y puede definir a más de una función implícita. En muchas ocasiones no se puede resolver explícitamente una función dada en forma implícita. Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita. Para derivar implícitamente debes tomar en cuenta dos aspectos: Dado una ecuación en las variables x y y, podremos pensar de y como una función implícita de x. Podremos calcular dy/dx sin despejar primero a y es como se muestra a continuación: Si y = y(x), la derivada de y es y’ y la derivada de x es 1 Primero, tome la derivada respecto a x de ambos lados de la ecuación (tratando y como
una cantidad
en la regla de la cadena). Después, despeje a dy/dx. Tal vez se da dy/dx como función de tanto y como x. Para evaluar dy/dx a un valor específico de x (o y), primero sustituya el valor dado en la ecuación original que muestra la relación entre x y y para obtener un valor para la otra variable si es necesario, y después sustituya los valores de x y y en la expresión de dy/dx. y'=dydx x'=1 Regla de la Cadena Derivadas de las funciones trigonométricas inversas Derivadas de orden superior Ejemplo: Función: x2+y2 =16 Solución: x2+y2 =16, ddx x2+y2=ddx (16) (Aplicando ddx en ambos miembros de la igualdad) 2x+2ydydx=0 (Efectuando las derivadas indicadas) ∴ dydx=-xy (Despejando dydx) Función: Solución: (Aplicando ddx en ambos miembros de la igualdad) (Efectuando las derivadas indicadas) Función: x2+y2+z2+xy+xz+yz=0 Suponga que z es función de x e y, esto es: z = z( x, y ). Calcule dzdx y dxdy