Trabajo UFT

1. REGLA DE L´HOPITAL
Teorema 1.
Suponga que las funciones f y g son diferenciables en una vecindad
perforada del punto a y que g’(x) es distinta de cero en esa vecindad
Supongamos también que:
Lim f(x) = 0 = lim g(x)
x  a x  a
entonces
lim f(x) = lim f’ (x)
x  a g(x) x  a g’ (x)
Siempre que el límite exista del lado derecho (como número real finito)
o sea +∞ ó -∞
Teorema 2:
Supongamos que las funciones f y g son diferenciables en x = 1, que:
F(a) = 0 = g(a)
Y que
g’(a) ≠ 0, entonces
lim f(x) = f’(a)
xa g(x) g’(a)
Regla de L’Hôpital y formas Indeterminadas:
Forma Indeterminada 0/0:
Si
Lim f(x) = 0 = lim g(x); entonces
xa x a
decimos que el cociente f(x) / g(x) tiene forma indeterminada 0/0 en x
= a.
Forma Indeterminada (∞):
La regla de L’Hôpital, tiene muchas variantes. Además el hecho de que
el límite puede ser infinito, el número real a en la Regla de L’Hôpital, puede
ser reemplazada por +∞ o por -∞.
Forma indeterminada (0.∞)
En estas formas, la regla de L’ Hôpital no se puede aplicar directamente
a ella, es posible convertirla a la forma 0/0 o en la forma ∞/∞. En tal caso se
puede aplicar la regla:
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2. lim f(x) = 0 y lim g(x) = ∞
xa xa.
Decimos que el producto f(x) * g(x) tiene forma indeterminada 0. ∞, en
x = a.
Forma indeterminada 00
, ∞0
,1∞
:
Y = [f(x)]g(x)
, Al determinar los límites de una cantidad donde los límites
de f y g cuando x  a, se obtiene una de estas formas, 00
, ∞0
,1∞
.
Continuación se presentan cuatro pasos para determinarlos:
a) Sea Y = [f(x)]g(x)
b) Calcular el logaritmo natural ln Y = ln([f(x)]g(x)
) = g(x)lnf(x)
c) Evaluar L = lim ln Y
xa
d) Concluya que limxa [f(x)]g(x)
= eL, función exponencial continua.
Ejercicios:
1º) Determinar el
xx
ex
x
+
∞→ 2
lim
Solución:
12
limlim 2
+
⇒
+
∞→∞→
x
e
xx
e x
x
x
x = (forma indeterminada ∞/∞)
= +∞=∞→
2
lim
x
x
e
Nota: la regla de L’Hôpital permite que el resultado final sea un límite
infinito.
2º) Determine el
x
x
x
ln
lim ∞→
0
2
lim
2
1
1
lim
ln
lim
2
1
=== ∞→
−
∞→∞→
xx
x
x
x
xxx
3º) Determinar 





−→
)(
11
lim
xsenx
ox
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3. 





⋅
−
=





− →→
)(
)(
lim
)(
11
lim 00
xsenx
xxsen
xsenx
xx (forma 0/0)






⋅+
−
= →
)cos()(
1)cos(
lim 0
xxxsen
x
x (todavía 0/0)
0
)()cos(2
)(
lim 0 =





⋅−⋅
−
= →
xsenxx
xsen
x
4º) Evaluar el límite, si existe
)(tan
lim 11
1
x
x
x
sen
−∞→
Solución:
0lim 1
=∞→ xx sen y 0)(tanlim 11
=−
∞→ xx
aplicación de la regla de L’Hôpital
=





−
⋅
+





−
⋅
= ∞→−∞→
2
2
2
1
11
1
1
1
1
1
1
cos
lim
)(tan
lim
x
x
xsen x
x
x
x
x
,1
1
cos
lim
2
2
1
=
+
∞→
x
x
x
x
ya que =
1coslim 1
== ∞→ xx y
1
1
1
1
lim
1
lim
2
2
2
=
+
=
+
∞→∞→
x
x
x
xx
5º) Determinar el límite, si existe
x
x
x 1
ln
lim 0+
→
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4. =−=
−
= +++
→→→
)(lim
1
1
lim
1
ln
lim 0
2
00
x
x
x
x
x
xxx
0)(lim 0
=−+
→
xx
Integrales impropias
Las denominadas integrales impropias son una clase especial de
integrales definidas (integrales de Riemann) en las que el intervalo de
integración o la función en el integrando o ambos presentan ciertas
particularidades. Las integrales impropias no son realmente una nueva forma
de integrales, sino una extensión natural a las propiedades de la integral y un
replanteamiento de nuestro concepto de área bajo la curva.
∫
b
a
dxxf )( , es impropia si se presenta uno de los siguientes casos:
1.- a = - ∞ o b = ∞ , a = - ∞ y b = ∞
2.- )(xf no es acotada en alguno de los puntos de [ ]ba, , dichos puntos se
llaman singularidades de )(xf .
Existes diversos tipos de integrales impropias las cuales definiremos a
continuación:
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6. Cuando los límites, en las definiciones anteriores, existen, se dice que
la integral es convergente, en caso contrario, se dice que la integral es
divergente.
Algunos ejemplos resueltos:
La integral converge a 1.
La integral converge a
5ln2
1
− .
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7. La integral converge a 2.
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8. La integral converge a Π
3
1
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