1. Geometría
Ángulos de rectas paralelas
cortadas por
una transversal
2012
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2. Conceptos ya vistos:
Ángulos congruentes, ángulos suplementarios, ángulos opuestos por el
vértice, propiedad transitiva, rectas paralelas, postulados, teoremas
y definiciones de ángulos correspondientes y alternos.
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3. De la proposición 29 del primer libro de Los Elementos de Euclides se
sabe que: http://www.euclides.org/me
nu/elements_esp/01/proposi
http://www.eucli
des.org/quien_er
cioneslibro1.htm a_euclides.asp
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces
formarán ángulos correspondientes congruentes.
(Hoy en día esto es un postulado.)
1
A
5
B
C
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4. De la proposición 29 del primer libro de Los Elementos de Euclides se
sabe que:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces
formarán ángulos conjugados suplementarios.
(Hoy en día esto es un teorema.)
3 A
6
B
C
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5. De la proposición 29 del primer libro de Los Elementos de Euclides se
sabe que:
Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces
formarán ángulos alternos internos congruentes.
(Hoy en día esto es un teorema.)
3 A
5
B
C
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6. 3 A
5
7 B
C
Dos rectas paralelas, A y B, son cortadas por una transversal, C.
Se sabe que los ángulos correspondientes, 7 y 3, son congruentes.
Se sabe que los ángulos opuestos por el vértice, 5 y 7, son
congruentes.
Si el ángulo 3 es congruente al 7, y el ángulo 7 es congruente al 5,
entonces por propiedad transitiva, el ángulo 3 es congruente al 5.
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7. Hace ya más de 2 200 años, Eratóstenes utilizó la congruencia de los
ángulos alternos internos de http://www.window rectas paralelas, para
s2universe.org/peop
encontrar la medida de la le/ancient_epoch/er
atosthenes.html&lan
circunferencia de la Tierra.
g=sp
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8. A continuación, una explicación simplificada del cálculo de
Eratóstenes.
Para una versión un poco más detallada, ir al final de la
presentación.
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9. Al saber que a mediodía en Siena una vara vertical
no tenía sombra, Eratóstenes concluyó que estaba
paralela a los rayos del Sol.
Alejandría
Siena (Asuán)
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Tierra
Figuras no están hechas a escala.

10. Alejandría
Siena (Asuán)
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Tierra
Figuras no están hechas a escala.

11. Próxima página
Figuras no están hechas a escala.

12. Rayos de sol
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Figuras no están hechas a escala.

13. 1
m∠2≈ de un círculo
50
≈ 7.2º
Rayos de sol
2
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Figuras no están hechas a escala.

14. Próxima página
Figuras no están hechas a escala.

15. Próxima página
Figuras no están hechas a escala.

16. Próxima página
Figuras no están hechas a escala.

17. Próxima página
Figuras no están hechas a escala.

18. 2
4
6
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Figuras no están hechas a escala.

19. 2
2
2
Próxima página
Figuras no están hechas a escala.

20. 2
Próxima página
Figuras no están hechas a escala.

21. 2
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Figuras no están hechas a escala.

22. 1
m∠2≈ de un círculo
50
Distancia de Siena a Alejandría ≈ 925.4 km
925.4 x 50 = 46 270
Circunferencia real = 40 030.2 km
2
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Figuras no están hechas a escala.

23. Próxima página
http://bligoo.com/media/users/0/13369/images/public/195/ERATOSTENES-1.JPG?v=1257529072850

24. Una vez haya estudiado todos los pares de ángulos formados por dos
paralelas y un transversal, puede ejercitar en las siguientes
direcciones:
http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=Geometry_AnglesParallelLinesTransve
rsals.xml
http://www.proprofs.com/quiz-school/story.php?title=parallel-lines-transversals
http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/angulos-interiores-alternos.html
http://www.math10.com/en/tests/angles/angles-test.html
http://www.onemathematicalcat.org/Math/Geometry_obj/parallel_lines.htm
http://www.mathsisfun.com/geometry/parallel-lines.html
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25. Libros recomendados:
Mathematics: From the Birth of Numbers, Jan Gulberg, 0-393-04002-X
Elements, Euclides, 978-1-888009-19-4
Geometría plana y del espacio, J. A. Baldor, 968-439-214-1
A Short Account of the History of Mathematics, W. W. R. Ball, 1-4027-
0053-9
Euclid’s Window, Leonard Mlodinow, 0-684-86524-6
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26. Por el año 230 A.C., Eratóstenes supo que en la ciudad de Siena al sur de
Egipto, los rayos del Sol penetraban, sin iluminar las paredes, hasta el fondo
de un pozo profundo en la isla Elefantina en el Nilo.
Asumió que Siena estaba situada en el Trópico de Cáncer y que estaba al sur
de Alejandría. Lo cierto es que Siena está aproximadamente a 3 grados al
este de Alejandría, pero esto no afecta realmente las mediciones.
En Alejandría, midió el ángulo de incidencia de los rayos del Sol con un
instrumento llamado “escafo” (scaphe).
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http://teacher2.smithtown.k12.ny.us/sgess
http://fabian.balearweb.net/post/79707
ler/measuringearth.htm

27. De la medición de esta sombra Eratóstenes dedujo que el arco de la
superficie la Tierra entre Alejandría y Siena debía ocupar 1/50 de la
circunferencia de la Tierra por ese meridiano.
Sin conocimiento de la trigonometría, nadie sabía la distancia exacta entre
Alejandría y Siena en esos tiempos.
Sin embargo, Eratóstenes había escuchado de caravaneros que el viaje
tomaba cerca de 25 días. Asumió entonces que la distancia era de 5 000
estadios*.
Calculó entonces la circunferencia de la Tierra, 50 x 5000 = 250 000
estadios.
El método es válido, pero la mayoría de sus datos eran inexactos o pura
adivinanza.
Adaptado y traducido de: Mathematics: From the Birth of Numbers by Jan
Gulberg.
*Unidad de longitud griega que equivalía a unos 185 metros, la longitud del
estadio de Olimpia.

28. Si tiene alguna duda o encuentra algún error, le agradeceré se comunique a:
jorgeruizdevignaspre@gmail.com