Las relaciones y grafos son importantes porque permiten representar de forma visual las relaciones entre elementos de estudio. Las relaciones son vínculos entre conjuntos donde cada elemento de un conjunto corresponde a al menos un elemento del otro conjunto. Los grafos permiten resolver problemas de manera práctica y confiable. Las relaciones se pueden representar mediante matrices, diagramas de flechas y particiones de conjuntos.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular Para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Barcelona – Edo. Anzoátegui
Estructuras Discretas y Grafos
Profesor:
Ing. José Alejandro Castillo
Alumno:
José Alejandro Márquez
28.221.274

2. Introducción
Las relaciones y grafos son sistemas importantes porque son una
representación natural de redes y que permiten expresar de forma
visualmente sencilla las relaciones que se dan entre los elementos de n
estudio, es decir facilita la resolución de problemas de una manera
práctica, confiable y que permite obtener resultados confiables que son de
mucha ayuda a la hora de tomar decisiones en la solución de los
problemas.
Estos a parte de facilitar la resolución de problemas nos permiten
prevenir y dar solución a problemas futuros de una manera exacta.

3. Relaciones
Una relación es un vínculo o una correspondencia. En el caso de la
relación matemática, se trata de la correspondencia que existe entre
dos conjuntos: a cada elemento del primer conjunto le corresponde
al menos un elemento del segundo conjunto.
Cuando a cada elemento de un conjunto le corresponde solo uno
del otro, se habla de función. Esto quiere decir que las funciones
matemáticas siempre son, a su vez, relaciones matemáticas, pero
que las relaciones no siempre son funciones.
En una relación matemática, al primer conjunto se lo conoce
como dominio, mientras que el segundo conjunto recibe el nombre
de rango o recorrido. Las relaciones matemáticas existentes entre
ellos se pueden graficar en el esquema llamado plano cartesiano.

4. Relaciones

5. Producto Cartesiano
El producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son
todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al
primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto.
Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b),
donde a es el «primer elemento» y b el «segundo elemento». Dados dos conjuntos A y B, su producto cartesiano es
el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos.
Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈
B se llama producto o producto cartesiano de A y B.
La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos. Se llama
producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que
el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir:
A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B}
El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A.
Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes.

6. Producto Cartesiano

7. Relación Binaria
Llamamos relación binaria a la relación R existente entre dos
elementos a y b, de dos conjuntos A y B respectivamente. Indicando que
el elemento a está relacionado con b. Esta relación se puede denotar de
diversas formas:
1- Como pares ordenados (a, b).
2- Indicando que aRb.
3- Como una mezcla entra los dos anteriores R(a,b).
Al conjunto de todos los elementos relacionados mediante la relación R
en un conjunto lo denotamos como R(M)
Para representar las relaciones binarias podemos utilizar dos tipos de
gráficos:
a) El diagrama cartesiano: donde representaremos los ejes cartesianos, y
en cada eje los elementos de cada conjunto. Representaremos las
relaciones por medio de puntos ( si el eje es similar al eje de
coordenadas) o por medio de cruces si lo representamos mediante
cuadrículas.
b) Diagrama sagital o flechas (mediante diagramas de Venn):
representaremos los elementos del conjunto dentro del círculo y
representaremos las relaciones mediante flechas.

8. Relación Binaria

9. Representaciones de las
Relaciones
Representación De Relaciones Usando Matrices
Un método para el estudio de las relaciones de manera algorítmica es
utilizando matrices compuestas de ceros y unos.
Sean A y B conjuntos finitos de la forma:
Si R es una relación de A en B. La relación R puede ser representada por la
matriz Donde:
La matriz MR se denomina matriz de R. En otras palabras la matriz, de ceros
y unos, de R tiene un 1 en la posición (i,j) cuando ai está relacionado con bj y
un 1 en está posición ai si no está relacionado con bj.
Obsérvese en la definición anterior que los elementos de A y B han sido
escritos en un orden particular pero arbitrario. Por lo tanto, la matriz que
representa una relación.

10. Representaciones de las
RelacionesConjuntos
Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden
ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un
elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos comparten. Por ejemplo, para los
números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se
representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es,
no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta,
Naranja}

11. Representaciones de las
Relaciones
Diagrama de flechas
Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los puntos
en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indican la relación que existe entre
cada elemento del conjunto A y su correspondiente en el conjunto B. A esta representación gráfica se le conoce como un
diagrama de flechas.

12. Propiedades de las Relaciones
Relaciones Reflexivas e Irreflexivas
Una relación R en un conjunto A es reflexiva si (a, a) £ R
para todas las a £ A, esto es, si a R e para todas las a e A. Una
relación R en un conjunto A es irreflexiva si a R a para toda a
£ A.
Por consiguiente, R es reflexiva si cada elemento a e A
está relacionado consigo mismo y es irreflexiva si ningún
elemento está relacionado consigo mismo.
Ejemplo:
(a) Sea Δ = [(a, a) a £ A], de modo que A es la relación de
igualdad en el conjunto A. Entonces A es reflexiva, ya que
(a, a) £ Δ para todas las a e A.
(b) Sea R = {(a, b) e A x A | a + b}, R es la relación de
desigualdad en el conjunto A. Entonces R es irreflexible, ya
que (a, a) £ R para todas las x € A.

13. Propiedades de las Relaciones
Relaciones Simétricas y Asimétrica
Una relación R en un conjunto A es simétrica si cuando a R
b, entonces b R a. De esto se sigue que R no es simétrica se
tiene a y b € A con a R b, pero b R a. Una relación R en un
conjunto A es asimétrica si cuando a R b, entonces b Ra. De
esto se sigue que R no es simétrica si se tiene a y b e A con
ambos a R b y b R a.
Una relación R en un conjunto A es asimétrica si cuando a R
b y b R a, entonces a = b. Otra forma de expresar esta
definición es diciendo que R es anti simétrica si cuando a ≠ b,
se tiene a R b o b R a. De esto se sigue que R no es anti
simétrica si se tiene a y b en A. a ≠ b, y ambas a R b y b R a.
Ejemplo:
Sea A «= [a, b, c, d, e} y sea R la relación simétrica dada por
R = {(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (b, c), (c, b), (b, e), (e, b), (e, a),
(a, e), (c,a), (a,c)}

14. Propiedades de las Relaciones
Relaciones Transitivas
Se dice que una relación R en un conjunto A es transitiva si cuando a R b y b R e,
entonces a R c. Se sigue que R no es transitiva si y sólo si se puede encontrar elemento
a, b y c en A tal que a R b y b R c, pero a R c.
Una relación R en un conjunto A es transitiva si y sólo si satisface las siguientes
propiedades: Si existe una trayectoria de longitud mayor que 1 del vértice a al vértice b,
hay una trayectoria de extensión 1 de a a b (esto es, a está relacionada con b).
Establecido algebraicamente, R es transitiva si y sólo si Rn £ R para todas las n ≥ 1.
Es posible caracterizar la relación transitiva por su matriz MR = [mij] así:
si mij =1 y mjk = 1, entonces mik = 1
Para ver qué significa transitividad en términos del grafo dirigido de una relación, se
traducirá esta definición a términos geométricos.
Si se examinan los vértices particulares a y c, las condiciones a R b y b R c ocurrirán si
y sólo si existe una trayectoria de longitud 2 de a a c, esto es, si y sólo si a R2 c. Es
posible replantear la definición de transitividad como sigue: Si a R2 c, entonces a R c,
esto es, R2 £ R (como un subconjunto de A x A).

15. Relaciones de Equivalencia
Las relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un
elemento cualquiera. Se caracterizan por abstraer el concepto de igualdad.
Su definición formal es la siguiente:
Sea “K” un conjunto dado no vacío y “R” una relación binaria definida
sobre “K”.
Se dice que “R” es una relación de equivalencia si cumple las siguientes
propiedades:
Reflexividad: Todo elemento de “K” está relacionado consigo mismo. Es
decir:
Simetría: Si un elemento de “K” está relacionado con otro, entonces ese otro
elemento también se relaciona con el primero. Es decir:
Transitividad: Si un elemento de “K” está relacionado con otro, y ese otro a
su vez se relaciona con un tercero, entonces el primero estará relacionado
también con este último. Es decir:

16. Relaciones de EquivalenciaCLASES DE EQUIVALENCIA
La importancia de las relaciones consiste en que dividen a los elementos del conjunto en diferentes
clases, llamadas clases de equivalencia, de tal suerte que cada elemento pertenece a una y sólo una
clase.
Tomemos un conjunto cualquiera X y sean a y b dos elementos en X (lo cual denotamos por a,b Ç
X). Si a está relacionado con b escribiremos a-b. Una relación de equivalencia en X es una relación que
satisface las propiedades antes mencionadas.
Sea x un conjunto con una relación de equivalencia Tomemos un elemento a de nuestro conjunto X,
es decir aÇX. La clase de equivalencia de a, la cual denotaremos por {a}, es el subconjunto de X
formado por todos los elementos b de X que están relacionados con a, es decir b-a. En símbolos, esto
se escribe así:
De todo elemento en {a}. (por ejemplo a) decimos que es un representante de la clase Las
relaciones de equivalencia son relaciones entre los elementos de un elemento cualquiera. Se
caracterizan por abstraer el concepto de igualdad.
Su definición formal es la siguiente:
Sea “K” un conjunto dado no vacío y “R” una relación binaria definida sobre “K”.

17. Relaciones de Equivalencia
PARTICIONES
La partición de un conjunto es tan simple como dividir el mismo en conjuntos
más pequeños formados por elementos de él mismo, es decir, en subconjuntos.
Aquí no se toma en cuenta el conjunto vacío.
Demostración

18. Funciones
Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada elemento
del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto.
Podemos clasificar las funciones atendiendo a la relación que guardan
entre sí los elementos del dominio, del codominio y de la imagen.
Inyectiva: significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A"
al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B"
tengan alguno en "A").
Suprayectiva: significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de
"A" (a lo mejor más de uno).
Biyectiva: significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una
correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos
conjuntos.

19. Conclusión
Para concluir, las relaciones y grafos nos otorgan un conjunto u sistema muy
importante y amplio que nos permite tener herramientas visuales, claras y
concretas para lograr tener una visión plasmada de las distintas soluciones que
podemos considerar en los distintos problemas de estudio ó futuros a
considerar, estas herramientas son y pueden ser aplicables a muchísimos
ámbitos de nuestra vida diaria y no únicamente en la lógica u disciplina
matemática, es una herramienta adaptable y precisa.