La geometría de un espacio-tiempo llano

1. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Relatividad y Cosmología José Antonio Pastor González Universidad de Córdoba Miércoles 28 de noviembre de 2012 Relatividad especial: la geometría de un espacio-tiempo llano

2. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Contenidos 1 Inicio 2 Michelson-Morley 3 Las bases 4 Tiempo 5 Espacio 6 Lorentz 7 Minkowski 8 Gemelos

4. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas Ideas razonables Hasta Einstein se asumía que: 1 el tiempo físico es absoluto 2 el espacio físico es absoluto La radical – de raíz – propuesta de Einstein implica que estos dos conceptos son relativos: están en relación con el sujeto que los mide + experimenta + observa

8. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas Consecuencias que tendrá la teoría especial 1 la duración de una película depende de quién la está observando 2 la longitud – así como áreas, ángulos y volúmenes – de una mesa dependen del observador 3 Importante: distinguir entre observar y ver. Ver implica velocidad de la luz. Observar es lo correcto 4 Importante 2: deﬁniremos más adelante qué es una medición y cómo se mide el tiempo y el espacio

12. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas Ámbito inercial: sin campos es en este ámbito donde se desarrolla la teoría de la Relatividad especial de Einstein se ocupa de un ambiente ideal: aquél en el que no hay campos o, en caso de haberlos, su acción se encuentra equilibrada por otra fuerza1 1 estación espacial: gravedad vs fuerza centrífuga; mesa de billar: gravedad vs tapete... hablar de inexactitud porque el equilibrio no es perfecto

13. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas Ámbito inercial: sin campos es en este ámbito donde se desarrolla la teoría de la Relatividad especial de Einstein se ocupa de un ambiente ideal: aquél en el que no hay campos o, en caso de haberlos, su acción se encuentra equilibrada por otra fuerza1 1 estación espacial: gravedad vs fuerza centrífuga; mesa de billar: gravedad vs tapete... hablar de inexactitud porque el equilibrio no es perfecto

14. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas Seguimos viendo cosas curiosas... Primera Ley de Newton: un objeto libre se mueve en movimiento rectilíneo y uniforme Seamos puntillosos: 1 tenemos claro el signiﬁcado de libre: objeto no afectado por ninguna fuerza. Admitimos este concepto con total naturalidad, aunque nunca hayamos experimentado esa libertad. Es una abstracción – abstraeremos muy a menudo en este curso 2 pero... ¿qué signiﬁca rectilíneo y uniforme? Vosotros me diréis...

15. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas Seguimos viendo cosas curiosas... Primera Ley de Newton: un objeto libre se mueve en movimiento rectilíneo y uniforme Seamos puntillosos: 1 tenemos claro el signiﬁcado de libre: objeto no afectado por ninguna fuerza. Admitimos este concepto con total naturalidad, aunque nunca hayamos experimentado esa libertad. Es una abstracción – abstraeremos muy a menudo en este curso 2 pero... ¿qué signiﬁca rectilíneo y uniforme? Vosotros me diréis...

16. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas La geometría del espacio es euclídea cuando hablamos de recta no tenemos una deﬁnición precisa. esto es porque no hay tal deﬁnición: una recta es un objeto que consideramos como dado, es un elemento más de la geometría euclídea incluso si pensamos en términos de coordenadas, la discusión carece de sentido.

19. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas La dinámica de Newton se formula para el ámbito de lo inercial, esto es, para aquellos sistemas de referenciaen los que las partículas libres siguen trayectorias rectilíneas todos estos sistemas se mueven a velocidades uniformes unos de otros: constituyen una clase de equivalencia pero Newton fue más lejos y sin ninguna necesidad (pues sus leyes funcionaban igual de bien en todos ellos) propuso que en esta clase inﬁnita de sistemas, había uno especial: el espacio absoluto el espacio absoluto se supone que interactúa con cada objeto para resistir su aceleración, como si de una malla invisible que entorpece los cambios de velocidad

23. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas El espacio absoluto como estándar de no aceleración el espacio absoluto se identificaba en tiempos de Newton con el centro de masas del sistema solar. Más tarde con el frame2 de las estrellas fijas. Mucho más tarde con el centro de masas de la galaxia... El espacio absoluto aparece como algo ad hoc, es innecesario para la teoría de Newton y puede estar motivado por temas extra-científicos. Otra motivación puede venir del hecho de que la aceleración sí es absoluta. Esta aceleración es la misma para todos los sistemas pero Newton quiere responder a la pregunta: ¿aceleración con respecto a qué? Su respuesta es: con respecto al espacio absoluto (==> def. masa inercial) 2 sistema de referencia

26. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas El espacio absoluto como medio de propagación Consolidación del espacio absoluto: las ecuaciones de Maxwell. Éstas necesitan estar referidas respecto de un frame y Maxwell toma el espacio absoluto de Newton Maxwell refuerza así la idea del espacio absoluto y apuntala la idea del éter como medio de propagación para la luz: el espacio absoluto está relleno de éter, es algo quieto, absoluto, inmutable...

27. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas El espacio absoluto como medio de propagación Consolidación del espacio absoluto: las ecuaciones de Maxwell. Éstas necesitan estar referidas respecto de un frame y Maxwell toma el espacio absoluto de Newton Maxwell refuerza así la idea del espacio absoluto y apuntala la idea del éter como medio de propagación para la luz: el espacio absoluto está relleno de éter, es algo quieto, absoluto, inmutable...

28. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas La búsqueda del éter de Maxwell Los físicos no se conforman con poco, sobre todo los experimentales. Una vez postulada la existencia del éter, se trataba de conﬁrmarla con experimentos: Michelson-Morley El resultado sorprendente condujo a muchas reacciones para salvar el status-quo: hipótesis de arrastre del éter (desmontada por la aberración), teorías de emisión (desmontada por observaciones astronómicas), velocidad de la luz invariante (desechada porque contradice principios clásicos), contracción de Lorentz-Fitzgerald (desechada en el experimento de Kennedy-Thorndike de 1932)

29. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas La búsqueda del éter de Maxwell Los físicos no se conforman con poco, sobre todo los experimentales. Una vez postulada la existencia del éter, se trataba de conﬁrmarla con experimentos: Michelson-Morley El resultado sorprendente condujo a muchas reacciones para salvar el status-quo: hipótesis de arrastre del éter (desmontada por la aberración), teorías de emisión (desmontada por observaciones astronómicas), velocidad de la luz invariante (desechada porque contradice principios clásicos), contracción de Lorentz-Fitzgerald (desechada en el experimento de Kennedy-Thorndike de 1932)

30. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas Irrupción de Einstein Einstein adopta el camino más recio, drástico y radical: extiende el principio de relatividad de Galileo a todos los fenómenos de la física, incluyendo los electromagnéticos. Más aún: adopta como postulado que la velocidad de la luz es un invariante en todos los sistemas de referencia inerciales La teoría (especial) de Einstein se muestra consistente con los resultados experimentales y lo más impresionante: es Maxwell-invariante3 3 las ecuaciones de Maxwell son válidas para cualquier sistema de referencia inercial

33. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas Einstein y Maxwell Einstein se inventa su teoría inspirado por Maxwell: no se inspira en Michelson-Morley En su artículo sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento desarrolla por completo la teoría especial de la relatividad (1905) y explica unas nuevas reglas de transformación para los sistemas inerciales (transformaciones de Lorentz) que sustituyen a las de Galileo

34. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas Einstein y Maxwell Einstein se inventa su teoría inspirado por Maxwell: no se inspira en Michelson-Morley En su artículo sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento desarrolla por completo la teoría especial de la relatividad (1905) y explica unas nuevas reglas de transformación para los sistemas inerciales (transformaciones de Lorentz) que sustituyen a las de Galileo

35. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas Orígenes de la Relatividad General Aunque la relatividad especial supone la abolición del concepto de éter (del espacio absoluto en su rol Maxwelliano) no prescinde del espacio absoluto como estándar de no-aceleración Einstein se pregunta por qué los sistemas inerciales son la clase privilegiada en la naturaleza como estándares de no-aceleración

36. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas Orígenes de la Relatividad General Aunque la relatividad especial supone la abolición del concepto de éter (del espacio absoluto en su rol Maxwelliano) no prescinde del espacio absoluto como estándar de no-aceleración Einstein se pregunta por qué los sistemas inerciales son la clase privilegiada en la naturaleza como estándares de no-aceleración

37. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras Ideas El Principio de Mach La paradoja del cubo de Mach como primera idea para eliminar el espacio absoluto. Mach aﬁrma: no importa si pensamos que es el cubo el que está rotando y el universo quieto o viceversa, las leyes de la física deben ser formuladas para que ambas suposiciones sean equivalentes Del principio de Mach al principio de equivalencia y de ahí a la Relatividad General

41. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Hechos que sabemos El espacio absoluto como... 1 ... el sistema inercial más especial dentro de la clase inﬁnita de sistemas inerciales donde tienen su validez las leyes de la mecánica (visión de Newton: artiﬁcial, ad hoc, estética, indemostrable, adaptada a las sucesivas ampliaciones del Universo) 2 ... el sistema inercial en el que tienen su validez las ecuaciones de Maxwell, sistema que soporta el éter, medio de propagación de las ondas electromagnéticas en general y la luz en particular (visión de Maxwell, consistente con lo previo, demostrable...)

42. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Hechos que sabemos El espacio absoluto como... 1 ... el sistema inercial más especial dentro de la clase inﬁnita de sistemas inerciales donde tienen su validez las leyes de la mecánica (visión de Newton: artiﬁcial, ad hoc, estética, indemostrable, adaptada a las sucesivas ampliaciones del Universo) 2 ... el sistema inercial en el que tienen su validez las ecuaciones de Maxwell, sistema que soporta el éter, medio de propagación de las ondas electromagnéticas en general y la luz en particular (visión de Maxwell, consistente con lo previo, demostrable...)

43. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Pero... ¿qué es el éter? Es algo raro, raro, raro... * Figura: Un rayo de luz viaja a través del éter

44. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Propiedades del éter 1 rodea (inunda, afecta) a todo, incluso el vacío (¡vaya paradoja!) 2 es muy ligero y tenue (para no oponer resistencia alguna al movimiento) 3 es un medio incompresible (para que la velocidad de la luz sea alta)

47. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos La Tierra viaja a través del éter (pues es un sistema no inercial) Figura: El "viento de éter"

48. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El experimento de Michelson-Morley (viento de cara, viento a favor) 1 si la luz se mueve a velocidad constante con respecto al éter 2 y si nosotros nos movemos también con respecto al éter, y además nuestro movimiento no es uniforme (si fuese uniforme, sería complicado detectar algo...) 3 pues entonces pues entonces podemos experimentar como varía el viento de éter

52. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El experimento de Michelson-Morley (una analogía camionera) Figura: Autovía=éter. Camión=luz. Coches=nosotros.

53. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El experimento de Michelson-Morley Explicación del aparato Figura: Esquema del aparato

54. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El experimento de Michelson-Morley Analogía del piragüista: viaje longitudinal

55. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El experimento de Michelson-Morley Analogía del piragüista: viaje transversal

56. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras consecuencias 1 en ambos viajes el los tiempos t1 y t2 son mayores que si P rema en aguas tranquilas, esto es porque 2 2 < t1 y < t2 c c 2 además, el viaje longitudinal ocupa más tiempo que el transversal ya que t1 v 2 −1 = (1 − 2 ) 2 > 1 t2 c

57. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Primeras consecuencias 1 en ambos viajes el los tiempos t1 y t2 son mayores que si P rema en aguas tranquilas, esto es porque 2 2 < t1 y < t2 c c 2 además, el viaje longitudinal ocupa más tiempo que el transversal ya que t1 v 2 −1 = (1 − 2 ) 2 > 1 t2 c

58. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Establecemos la analogía c es la velocidad de la luz con respecto al éter v es la velocidad de la tierra con respecto al éter (v ∼ 30000km/sec) el piragüista es un rayo de luz

61. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El experimento en sí Brazos desiguales, desplazamiento respecto al éter

62. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El experimento en sí Cuentas sencillas tiempo para el viaje longitudinal (brazo 1) es 2L1 v2 t1 = (1 − 2 )−1 c c tiempo para el viaje transversal (brazo 2) es 2L2 v2 1 t2 = (1 − 2 )− 2 c c

63. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El experimento en sí Cuentas sencillas tiempo para el viaje longitudinal (brazo 1) es 2L1 v2 t1 = (1 − 2 )−1 c c tiempo para el viaje transversal (brazo 2) es 2L2 v2 1 t2 = (1 − 2 )− 2 c c

64. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El experimento en sí Cuentas sencillas Usamos Taylor para aproximar m(m − 1) 2 (1 + x)m = 1 − mx + x + ··· 2 y nos quedamos hasta el primer orden ya que si x = v /c entonces x 2 ∼ 10−8 , así pues tomamos (1 + x)m ∼ 1 − mx

65. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Como los tiempos son distintos.. ...la onda llega con interferencias El patrón de interferencias que se observa está directamente relacionado con la diferencia de tiempos que está dada por 2 v2 L1 v 2 δt = t1 − t2 = (L1 − L2 )(1 + 2 ) + c 2c 2c 2 Hay dos contribuciones al desfase: la velocidad v la diferencia de longitudes de los brazos L1 − L2 el problema es que no sabemos discriminar entre ambas

68. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos ¿Cómo saber de dónde proviene el desfase? Intercambiando los roles de los brazos Si hacemos una rotación de la máquina entonces intercambiamos los roles de los brazos: el que era longitudinal ahora pasa a ser transversal y viceversa. Se produce de nuevo un desfase δt , pero lo más importante es que ahora v2 L1 + L2 δt − δt = c2 c Por tanto, la diferencia entre los patrones de interferencia se obtiene únicamente si v = 0.

69. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos ¡¡PERO LOS PATRONES ERAN IDÉNTICOS!! SORPRESA DE LA COMUNIDAD CIENTÍFICA Sorpresa, porque no se podía detectar el viento del éter mediante una máquina que era muy precisa y que, en teoría y si las cosas eran como se suponían que eran, debía funcionar. Las reacciones no se hacen esperar.

70. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Reacción 1 Velocidad de la luz es un invariante La velocidad de la luz siempre es la misma en cualquier sistema de referencia inercial (éste será uno de los postulados de Einstein unos 20 años más tarde). Se desecha porque ningún tipo de movimiento ondulatorio se comporta así contradice el principio de adición de velocidades de la dinámica de Newton

71. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Reacción 1 Velocidad de la luz es un invariante La velocidad de la luz siempre es la misma en cualquier sistema de referencia inercial (éste será uno de los postulados de Einstein unos 20 años más tarde). Se desecha porque ningún tipo de movimiento ondulatorio se comporta así contradice el principio de adición de velocidades de la dinámica de Newton

72. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Reacción 2 Arrastre del éter se basa en la hipótesis de que la Tierra, al viajar a través del éter, arrastra una fina capa de éste sobre su superficie de suerte que la Tierra y esta capa superficial de éter son solidarias: no se detecta ningún viento entonces la hipótesis es rápidamente desechada por el conocido fenómeno de la aberración estelar (explicamos aquí como çazar la luz de una estrella")

73. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Reacción 2 Arrastre del éter se basa en la hipótesis de que la Tierra, al viajar a través del éter, arrastra una fina capa de éste sobre su superficie de suerte que la Tierra y esta capa superficial de éter son solidarias: no se detecta ningún viento entonces la hipótesis es rápidamente desechada por el conocido fenómeno de la aberración estelar (explicamos aquí como çazar la luz de una estrella")

74. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Reacción 3 Teorías de emisión se basa en la hipótesis de que la velocidad de la luz depende de la fuente es descartada por observaciones astronómicas

75. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Reacción 3 Teorías de emisión se basa en la hipótesis de que la velocidad de la luz depende de la fuente es descartada por observaciones astronómicas

76. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Reacción 4 Contracción de Lorentz-Fitzgerald propuesta independientemente por ambos en 1892, propone que los objetos en movimiento a través del éter sufren una contracción espacial – en la misma dirección del movimiento – dada por el factor v2 1 (1 − )2 c2 explicaba las observaciones de Michelson-Morley y se mantuvo en vilo hasta el experimento de Kennedy-Thorndike de 1932 cuando fue refutada

77. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Reacción 4 Contracción de Lorentz-Fitzgerald propuesta independientemente por ambos en 1892, propone que los objetos en movimiento a través del éter sufren una contracción espacial – en la misma dirección del movimiento – dada por el factor v2 1 (1 − )2 c2 explicaba las observaciones de Michelson-Morley y se mantuvo en vilo hasta el experimento de Kennedy-Thorndike de 1932 cuando fue refutada

78. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Reacción 5 y última: El experimento de Michelson-Morley era incorrecto errores en las medidas, vibraciones, algún fenómeno extraño, etc... el experimento se repitió inﬁnidad de veces, se reﬁnaron las medidas y se mejoró el aparato... jamás se observó una diferencia de patrones en las interferencias

79. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Reacción 5 y última: El experimento de Michelson-Morley era incorrecto errores en las medidas, vibraciones, algún fenómeno extraño, etc... el experimento se repitió inﬁnidad de veces, se reﬁnaron las medidas y se mejoró el aparato... jamás se observó una diferencia de patrones en las interferencias

81. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El artículo de 1905 [las asimetrías del electromagnetismo...] junto con los intentos frustrados de descubrir el movimiento de la Tierra con respecto al éter sugieren que los fenómenos del electromagnetismo así como los relativos a la mecánica no poseen propiedades que nos permitan distinguir un estado de reposo absoluto. De hecho, estas situaciones sugieren que las mismas leyes del electromagnetismo, de la óptica y de la mecánica deben ser válidas para todos los sistemas de referencia inerciales

82. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Postulados de la Relatividad las leyes de la física – todas – son las mismas para cualquier observador inercial (=no acelerado) la velocidad de la luz en el vacío es siempre la misma con independencia de la fuente

83. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Postulados de la Relatividad las leyes de la física – todas – son las mismas para cualquier observador inercial (=no acelerado) la velocidad de la luz en el vacío es siempre la misma con independencia de la fuente

85. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Relatividad de la Simultaneidad

94. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Relatividad de las medidas temporales

98. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Relatividad de las medidas espaciales

102. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos

112. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Unidades geométricas

113. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Consecuencias de estas unidades

114. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Una nueva visión de las transformaciones

115. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Experimento de la Simultaneidad

116. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos La aparición del intervalo como algo absoluto

117. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos ¿Cómo calibrar los ejes?

118. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Calibración de los ejes

119. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos La contracción de longitudes

120. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El reloj láser...

121. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Causas antes que efectos... o efectos antes que causas

122. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Una primera solución

123. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos El cono de luz como región del espacio-tiempo causal

125. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Planteamiento inicial Diana y Apolo son dos hermanos gemelos aunque Diana es más viajera y quiere visitar la estrella α-centauro Planiﬁcan el viaje; la nave de Diana es capaz de viajar a 0, 8c y la distancia Tierra-Estrella es de 4 años-luz. Cuando en la Tierra (en el sistema Tierra-Estrella-Apolo) hayan pasado 5 años Diana estará en su destino Primera pregunta: ¿qué tiempo transcurre para Diana en ese viaje?

128. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Tres formas de responder: la primera Sea A el suceso Diana sale de la Tierra y B el suceso Diana llega a la Estrella Según Apolo (sistema Tierra-Estrella) han pasado 5 años en su reloj entre A y B. Pero Apolo quiere saber cuánto marca el reloj que Diana lleva en su nave. Como éste está en movimiento respecto de Apolo, la lectura (5) que hace Apolo de la separación temporal entre A y B está dilatada con respecto a la de Diana (<5) Conclusión: el viaje desde el punto de vista de Diana dura menos. ¿Cuánto? Pues el dado por t0 donde t0 =5 1 − β2 Así t0 = 3 que es el tiempo que mide Diana en su reloj

131. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Tres formas de responder: la segunda La contracción de longitudes está dada por la fórmula = 0 1 − β2 En este caso, 0 = 4 años/luz, pero desde el punto de vista de Diana ocurre que = 4 × 0, 6 = 2, 4 años/luz Como la velocidad sigue siendo β = 0, 8, entonces el tiempo empleado por Diana es 2, 4/0, 8 = 3 años

134. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Tres formas de responder: la tercera Transformaciones de Lorentz para Apolo (sistema S) y Diana (sistema S’) nos dan lo siguiente: El suceso A tiene coordenadas (0, 0)S y (0, 0)S El suceso B tiene coordenadas (4, 5)S y (0, 3)S Para S se tiene tB − tA = 5 mientras que para S se cumple tB − tA = 3 Curiosidad: observemos que el intervalo espacio-temporal es invariante

139. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Otra perspectiva El suceso B (Diana llega a la estrella) tiene S-coordenadas (4, 5) y es por esto por lo que Apolo observa que Diana tarda 5 años en llegar La pregunta es... Cuando Diana llega a la estrella y han pasado tres años en su reloj... ¿qué tiempo observa ella que ha transcurrido para Apolo? Por simetría, como Apolo observa las medidas temporales de Diana dilatadas, entonces Diana verá las de Apolo también dilatadas. ES DECIR, LOS TRES AÑOS QUE OBSERVA DIANA EN SU RELOJ SE CORRESPONDERÁN CON UN TIEMPO MÁS PEQUEÑO EN EL RELOJ DE APOLO

143. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos ¿Cuánto más pequeño? Simplemente, es el valor t0 dado por t0 =3 1 − β2 por lo que t0 = 3 × 0, 6 = 1, 8 años Esto es, cuando Diana llega a la estrella, ELLA OBSERVA QUE EN LA TIERRA HAN TRANSCURRIDO ÚNICAMENTE 1,8 años Es lo natural... debemos esperar simetría (si cuando4 Apolo observa 5, Diana ha vivido 3, entonces cuando5 Diana observa 3, Apolo ha vivido 1,8) 4 Apolo–simultáneos 5 Diana–simultáneos

146. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos En el viaje de regreso... Según Apolo (resp. Diana) la velocidad β (resp. −β) pasa a ser −β (resp. β) pero como en las fórmulas está al cuadrado nada debe variar... Por tanto, cuando Apolo y Diana vuelven a encontrarse (suceso C) tienen las siguientes versiones (como los políticos y los medios): Según Apolo, para él han pasado 10 años y para Diana 6: ELLA ES CUATRO AÑOS MÁS JOVEN Según Diana, para ella han pasado 6 años y para Apolo 1, 8 + 1, 8 = 3, 6: ÉL ES 2,4 AÑOS MÁS JOVEN

150. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Situación simétrica... ¿sí o no? En otras palabras... ¿podemos distinguir entre los dos sistemas de referencia? ¿Hay algo físico que le ocurre a Diana y no a Apolo o viceversa? Observemos que si el viaje fuera en un único sentido sí habría SIMETRÍA Pero la CLAVE está en el cambio de sentido...

154. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Situación simétrica... ¿sí o no? Es cierto que Apolo observa que Diana se va, luego da la vuelta y regresa También es cierto que Diana observa que Apolo (en la Tierra) se aleja respecto de ella y que luego regresa... Sin embargo, Diana experimenta cosas distintas a las que experimenta Apolo DIANA deja de ser un SISTEMA INERCIAL cuando tiene que frenar para dar la vuelta y volver a acelerar... APOLO SIEMPRE ES INERCIAL

158. Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos La bandeja de pasteles Olvidé deciros que antes de partir, ambos acuerdan regalarse unos pasteles a la vuelta... Apolo se los coloca a su lado... ¡cómo huelen! Pero espera el regreso de su hermana para regalárselos Diana también los pone en el salpicadero de su nave... los está viendo todo el tiempo... Sin embargo, cuando vuelven a encontrarse, la única que se come los pasteles es Diana porque los que ella llevaba para Apolo están espachurrados

162. de la paradoja Inicio Michelson-Morley Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Un esquema espacio-temporal

163. El n´mero de felicitaciones por aõ nuevo u Inicio Michelson-Morley n Las bases Tiempo Espacio Lorentz Minkowski Gemelos Ilustración de un efecto Doppler Vemos que Diana recibe 10 felicitaciones. Diana recibe s´lo una antes de llegar a α Centauro, cuando hab´ pasado 3 aõs, just o ıan n de dar la vuelta. Las 9 restantes le llegan durante su viaje de vuelta a razń de una cada 1/3 aõ (4 meses). o n

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