Números Complejos y Operaciones Elementales.

República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Carrera: Ing. De Sistemas
Materia: Matemática IV
Prof.:
Alexander Noriega
Estudiante:
José Israel González Guilarte
C.I: 28.576.187
Junio del 2020

En este presente trabajo de diapositivas se estarán hablando sobre los tema
de los números complejos y operaciones, en este trabajo definiremos sus
conceptos, también vamos a mostrarles sus propiedades, teoremas y ejemplos.
Luego vamos a representar los números complejos mediantes graficas
cartesianas y también definiremos los conceptos de lo que es una forma canónica
y grafica, explicaremos los procesos para obtener una forma canónica y grafica.
Luego definiremos lo que es una inversa, un modulo, complejo conjugadas,
desigualdad triangular, forma polar de un número complejo, teorema de Moivre
Exponenciación y raíces de números complejos.

Los Números complejos son aquellos que conforman un grupo de cifras resultantes de la
suma entre numero real y uno de tipo imaginario.
En las matemáticas a los números complejos se los considera como una extensión de los
números reales, en tanto, en este ultimo grupo se incluye a los números racionales, tanto
positivos como negativos y al cero, y por otro lado a los números irracionales.
https://www.youtube.com/watch?v=o0DWnZ2zbw8
Para Mayor Información te invitamos para que vea este video :

https://www.youtube.com/watch?v=bvE-SafQngk
El sistema de números complejos, construido a partir de los
números reales, tienen propiedades heredadas de éstos como las
propiedades sobre la suma y la multiplicación.
Recuerde que dos números complejos,
son iguales si y sólo si son iguales sus partes reales y sus partes
imaginarias, a1=a2 y b1=b2.
Una idea para demostrar muchas de las propiedades sobre
identidades sobre operaciones de suma y multiplicación es efectuar
las operaciones de un miembro de la identidad, aplicar las
propiedades de los números reales a las partes reales y a las partes
imaginarias para llegar al lado derecho de la identidad.

https://www.youtube.com/watch?v=9uosCR1p4-4
Propiedad Transitiva:
Ejemplo:
Si z1=z2 y z2=z3 entonces z1=z3
Sean z1=a1+b1i, z2=a2+b2i y z3=a3+b3i, Tenemos que ver que las partes reales de z1 y z3 son iguales.
Por la igualdad de los números complejos se tiene:
Si z1=z2 entonces a1=a2 y b1=b2
Si z2=z3 entonces a2=a3 y b2=b3
Entonces por la propiedad transitiva de los números reales como a1=a2 y a2=a3 se cumple que a1=a3
De manera similar, llegamos que b1=b3.
Así concluimos que z1=z3.

Propiedades de la Suma:
Ejemplos:
Se define la suma de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
1. Propiedad de Cierre o Cerradura para la Suma
Para z1,z2∈C se tiene que z1+z2∈C
2. Propiedad Conmutativa
Para cuales quiera z1,z2∈C se cumple que z1+z2=z2+z1
3. Propiedad Asociativa
Para cuales quiera z1,z2,z3∈C s e cumple que (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

Propiedades de la Suma:
Ejemplo:
Sean z1=a1+b1i, z2=a2+b2i y z3=a3+b3i,
Desarrollamos el lado izquierdo, primero sustituimos
((a1+b1i)+(a2+b2i)) + (a3+b3i)
Aplicamos la suma de complejos planteada entre paréntesis
=((a1+a2)+(b1+b2)i)+(a3+b3i)
Sumamos
=((a1+a2)+a3)+((b1+b2)+b3)i
Aplicamos la propiedad asociativa en la parte real y en la parte imaginaria
=(a1+(a2+a3))+(b1+(b2+b3))i
Siguiendo el mismo proceso podemos demostrar que la última línea es igual a z1+(z2+z3).

Propiedades de la Multiplicación:
Ejemplo:
1. Propiedades de la Multiplicación
Se define el producto de dos números complejos z1=a+bi y z2=c+di como(a+bi)⋅(c+di)=(ab−bd)+(ad+bc)i
A partir de esta definición, usando las propiedades de los números reales, podemos demostrar que se cumplen las
siguientes. Las pruebas son similares a las de la suma.
2. Propiedad de Cierre o Cerradura para la Multiplicación
Para z1,z2∈C se tiene que z1⋅z2∈C
3. Propiedad Conmutativa
Para cuales quiera z1,z2∈C se cumple que z1⋅z2=z2⋅z1
4. Propiedad Asociativa
Para cualesquiera z1,z2,z3∈C se cumple que (z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)
5. Existencia del Elemento Neutro para la Multiplicación
1+0i, abreviado por 1, es el elemento neutro para la multiplicación.
6. Existencia del Inverso Multiplicativo o Recíproco
Todo número complejo z, distinto de 0, tiene un único inverso multiplicativo , denotado por z−1.

Propiedad Distributiva
Ejemplo:
Para cuales quiera z1,z2,z3∈C se cumple que z1⋅(z2+z3) = z1⋅z2+z1⋅z3
Desarrollamos el lado izquierdo, primero sustituimos
Asuma z1=a1+b1i, z2=a2+b2i y z3=a3+b3i.
(a1+b1i)⋅((a2+b2i) + (a3+b3i))
=(a1+b1i)⋅((a2+a3)+(b2+b3)i)
((a1(a2+a3)−b1(b2+b3))+(b1(a2+a3)+a1(b2+b3))i
=(a1a2+a1a3−b1b2−b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i
Desarrollaremos el lado derecho y verificaremos que es igual a la última línea
z1⋅z2+z1⋅z3
=(a1+b1i)⋅(a2+b2i)+(a1+b1i)⋅(a3+b3i)
=((a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)i)+((a1a3−b1b3)+(a1b3+a3b1)i)
=((a1a2−b1b2)+(a1a3−b1b3))+((a1b2+a2b1)+(a1b3+a3b1))i
En la parte real reordenamos los términos en a1 primero, luego los de b1. En la parte imaginaria los presentamos en orden
inverso =(a1a2+a1a3−b1b2−b1b3)+((a2b1+a3b1+a1b2+a1b3)i

Propiedades del Conjugado
Ejemplo:
El conjugado de un número complejo z=a+bi, denotado por se define
como z=a−bi
Sea z=a+bi. Primero tomamos el conjugado interno.
=a+bi
=a−bi
=a+bi
=z

Se llama operación elemental realizada en una matriz a cualquiera de las
transformaciones siguientes:
a) Cambiar entre sí dos filas (columnas).
Se puede representar por Fi↔Fj, siendo Fi y Fjdos filas de la matriz (Ci↔Cj, siendo
Ci y Cj dos columnas de la matriz)
b) Multiplicar una fila (columna) por un número real distinto de cero.
Se puede representar por Fi→tFi(Ci→tCi)
c) Sumar a una fila (columna) otra fila (columna) multiplicada por un número real.
Se puede representar por Fi→Fi + tFj(Ci→Ci+ tCj)
https://www.youtube.com/watch?v=3569VaVdye4

1) La Suma:
La suma o adición es la operación básica por su naturalidad, que se combina con facilidad matemática de
composición que consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total.
La suma también ilustra el proceso de juntar dos colecciones de objetos con el fin de obtener una sola
colección. Por otro lado, la acción repetitiva de sumar uno es la forma más básica de contar.
2) Propiedad Conmutativa: Si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado:
a+b=b+a.
3) Propiedad Asociativa: Propiedad que establece que cuando se suman tres o más números reales, la
suma siempre es la misma independientemente de su agrupamiento.
Un ejemplo es: a+(b+c) = (a+b)+c.
4) Elemento Neutro: 0. Para cualquier número a, a + 0 = 0 + a = a.

Elemento Opuesto o Inverso Aditivo:
Para cualquier número entero, racional, real o complejo a, existe un número −a tal que
a + (−a) = (−a) + a = 0. Este número −a se denomina elemento opuesto, y es único para cada a. No existe en
algunos conjuntos, como el de los números naturales.
1) Propiedad Distributiva:
La suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada
sumando multiplicado por el tercer número. Por ejemplo, (6+3) * 4 = 6*4 + 3*4.
2) Propiedad de Cerradura:
Cuando se suman números naturales el resultado es siempre un número natural.
Por ejemplo a+b=c
Estas propiedades pueden no cumplirse en casos del límite de sumas parciales cuando tienden al infinito.

Ahora que sabemos trabajar con los números complejos y las operaciones básicas de suma,
resta, multiplicación y división, vamos a introducirnos en la representación de dichos números en
el plano complejo. Para los números reales, dibujábamos una recta y los íbamos colocando
ordenadamente, es decir:
Para representar gráficamente un número complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. Éste
está formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del
número complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria. Dichos ejes
los dibujaremos perpendiculares y secantes en el cero, que tiene parte real e imaginaria nula.
https://www.youtube.com/watch?v=Na97GxDLn4U

2) Mediante un vector de origen y extremo.
Los afijos de los números reales se sitúan
sobre el eje real, X.
Los afijos de los números imaginarios se
sitúan sobre el eje imaginario, Y.
1) Números Complejos se representan en
unos ejes cartesianos.
El eje X se llama eje real.
El eje Y se llama eje imaginario.
El número complejo se representa:
https://www.youtube.com/watch?v=Na97GxDLn4U

El adjetivo Canónico se usa con frecuencia en matemática para indicar que
algo es natural, como debe ser e independiente de elecciones arbitrarias, que
es absoluto y no relativo a un observador, que es intrínseco y no depende de
un sistema de referencia o de un sistema de coordenadas, que pertenece a la
estructura propia de lo que estudiamos.
https://www.youtube.com/watch?v=S7euqoT_2lw

Sabiendo que la ecuación general de la recta es:
Suponemos que con la finalidad de saber el lugar donde la recta corta al eje , entonces la ecuación general queda:
despejamos a , y:
El valor encontrado corresponde a B , de la ecuación canónica:
y usando el mismo razonamiento podemos conocer al valor A , de la ecuación canónica:
Ejemplo: Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de y unidades, respectivamente. Hallar su
ecuación.
En este caso es simple, ya que de la información vemos que por lo que solamente es necesario
sustituir los valores en la ecuación:

Una gráfica o representación gráfica o gráfico es un tipo de representación
de datos, generalmente numéricos, mediante recursos visuales (líneas,
vectores, superficies o símbolos), para que se manifieste visualmente la relación
matemática o correlación estadística que guardan entre sí.

Concepto Módulo:
En matemáticas, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin
tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el
valor absoluto de +3 y de -3.
Se conoce como módulo a una estructura o bloque de piezas que, en una
construcción, se ubican en cantidad a fin de hacerla más sencilla, regular y económica.
Todo módulo, por lo tanto, forma parte de un sistema y suele estar conectado de alguna
manera con el resto de los componentes.
Concepto de Complejo Conjugado:
El conjugado de un número es simétrico respecto del eje de abscisas. Los números
complejos z= a + bi y z = a − bi se llaman conjugados. Es decir, el opuesto de un número
es simétrico respecto del origen. Dos números complejos son iguales cuando tienen la
misma componente real y la misma componente imaginaria.
Para Mayor Información te invitamos para que vea estos videos :
https://www.youtube.com/watch?v=6o1CpAuA3FA https://www.youtube.com/watch?v=KBlLDeY-Pps

Desigualdad Triangular
La desigualdad triangular o desigualdad de Minkowski es un teorema de geometría
euclidiana que establece: En todo triángulo la suma de las longitudes de dos lados
cualesquiera es siempre mayor a la longitud del lado restante.
Este resultado ha sido generalizado a otros contextos más sofisticados como espacios
vectoriales. Definido matemáticamente, cualquier triángulo cumple la siguiente propiedad:
Forma Polar de un Número Complejo:
La forma polar de un número complejo es otra forma de representar un número
complejo. La forma z = a + bi es llamada la forma coordenada rectangular de un número
complejo. En el caso de un número complejo, (r) representa el valor absoluto o el módulo
y el ángulo θ es llamado el argumento del número complejo.
Para Mayor Información te invitamos para que vea estos videos :
https://www.youtube.com/watch?v=m5Tdst9nzX0 https://www.youtube.com/watch?v=5yBoG715XyE

Teorema de Moivre Exponenciación
El teorema de Moivre establece lo siguiente:
Si se tiene un número complejo en la forma polar z = rƟ, donde r es el módulo del
número complejo z, y el ángulo Ɵ es llamado amplitud o argumento de cualquier número
complejo con 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, para calcular su n–ésima potencia no será necesario
multiplicarlo por sí mismo n-veces; es decir, no es necesario realizar el siguiente producto:
Para demostrar el teorema de Moivre se usa el principio de inducción matemática: si un
número entero «a» tiene una propiedad «P», y si para cualquier número entero «n» mayor
que «a» que tenga la propiedad «P» se cumple que n + 1 también tiene la propiedad «P»,
entonces todos los números enteros mayores o iguales que “a” tienen la propiedad «P».
El teorema de Moivre aplica procesos fundamentales de álgebra, como las potencias y
la extracción de raíces en números complejos.
https://www.youtube.com/watch?v=-D4vlF-QuBA

Raíces de Números Complejos
Las raíces n-ésimas, n es un número natural de un
número complejo z son los n números complejos z0, z1,
z2, ..., zn-1 cuya potencia n-ésima es el complejo z.
Las raíces se obtienen a partir de la fórmula:
Donde |z| es el módulo de z y θ es su argumento.
Para Mayor Información te invitamos para que vea este vido:
https://www.youtube.com/watch?v=XYyB7gyklas

Los números complejos son aquellos que conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre
numero real y uno de tipo imaginario. En las matemáticas a los números complejos se los considera como
una extensión de los números reales, en tanto, en este ultimo grupo se incluye a los números racionales,
tanto positivos como negativos y al cero, y por otro lado a los números irracionales. El sistema de números
complejos, construido a partir de los números reales, tienen propiedades heredadas de éstos como las
propiedades sobre la suma, la multiplicación, distributiva, conjugado y transitiva. Se llama operación
elemental realizada en una matriz a cualquiera de estas transformaciones en las cuales se definen, como
las que se pueden cambiar entre sí dos filas, las que se multiplicar una fila por un número real distinto de
cero y las que suman a una fila otra fila luego multiplicada por un número real. La suma o adición es la
operación básica por su naturalidad, que se combina con facilidad matemática de composición que
consiste en combinar o añadir dos números o más para obtener una cantidad final o total. En la propiedad
conmutativa si se altera el orden de los sumandos, no cambia el resultado, mientras que en propiedad
asociativa se establece que cuando se suman tres o más números reales, la suma siempre es la misma
independientemente de su agrupamiento, en el elemento neutro se dice que es 0 para cualquier numero a,
a+0=0. Para representar gráficamente un número complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. Éste
está formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del número
complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria. Dichos ejes los
dibujaremos perpendiculares y secantes en el cero, que tiene parte real e imaginaria nula. La forma
canónico se usa con frecuencia en matemática para indicar que algo es natural y la forma grafica
representación gráfica o gráfico es un tipo de representación de datos, generalmente numéricos, mediante
recursos visuales.

Autor: (Alejandro Maculet), Año (2019).
Título: (Concepto de Números Complejos y Operaciones Elementales).
Dirección: https://www.smartick.es/blog/matematicas/Concepto de números complejos/coperaciones elementales/
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Autor: (Carlos Maroto), Año (2019).
Título: (Representación de los Números Complejos).
Dirección: https://campusdematematicas.com/calculo-infinitesimal/Representar los números complejos/
Autor: (Domingo Hernández), Año (2013).
Título: (Forma Canónica y Gráfica).
Dirección: https://campusvirtual.ull.es/ocw/pluginfile.php/6114/mod_resource/content/2/tForma canónica. Gráfica.pdf
Autor: (Julio Gómez), Año (2018).
Título: (Definición de Inversa).
Dirección: https://definicion.de/definicion de inversa//
Autor: (Julián Pérez), Año (2013).
Título: (Teorema de Moivre Exponenciación).
Dirección: https://definicion.de/teorema de de moivre exponenciación/
Autor: (Stefan Warner), Año (2007).
Título: (Raíces de Números Complejos).
Dirección: https://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm8.html

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