O documento discute sequências matemáticas, especificamente progressões aritméticas e geométricas. Apresenta definições, fórmulas e exemplos de sequências finitas e infinitas, progressões aritméticas e suas classificações, além de fornecer exercícios sobre o assunto.

1. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Prof. Me. Josivaldo Nascimento dos Passos
Sequˆencias
LOURENC¸O GALLETTI
26 de maio de 2015
Sequˆencias
Sequˆencias

2. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
1 Sequˆencias
2 Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
3 Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Sequˆencias

3. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Defini¸c˜ao
Chama-se sequˆencia finita ou n-upla toda fun¸c˜ao
f : N∗
n = {1, 2, 3, . . . , n} → R
Assim, em toda sequˆencia finita, a cada n´umeros natural
i(1 ≤ i ≤ n) est´a associado um n´umero real ai .
f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), . . . , (n, an)}
Chama-se sequˆencia infinita toda fun¸c˜ao f : N∗ → R
Em toda sequˆencia infinita, a cada i ∈ N∗ est´a associado um
ai ∈ R.
f = {(1, a1), (2, a2), (3, a3), . . . , (i, ai ), . . . , }
Doravante, indicaremos uma sequˆencia f anotando apenas as
imagens de f :
f = (a1, a2, a3, . . . , ai , . . .).
Sequˆencias

4. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Defini¸c˜ao
Quando queremos indicar uma sequˆencia f qualquer, escrevemos
f = (ai )i∈I
e lemos “sequˆencia f dos termos ai onde o conjunto de ´ındices ´e I”
Exemplo
1 (1, 2, 3, 4, 6, 12) ´e a sequˆencia (finita) dos divisores inteiros
positivos de 12 dispostos em ordem crescente.
2 (2, 4, 6, 8, . . . , 2i, . . .) ´e a sequˆencia (infinita) dos m´ultiplos
inteiros positivos de 2.
3 (2, 3, 5, 7, 11, . . .) ´e a sequˆencia (infinita) dos n´umeros primos
positivos.
Sequˆencias

5. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Lei de forma¸c˜ao
Interessam `a Matem´atica as sequˆencias em que os termos se
sucedem obedecendo a certa regra, isto ´e, aquelas que tˆem uma lei
de forma¸c˜ao. Esta pode ser apresentadas de trˆes maneiras:
Por f´ormula de recorrˆencia
S˜ao dadas duas regras: uma para identificar o primeiro termo
(a1) e outra para calcular cada termo (an) a partir do
antecedente (an−1).
Exemplo
a1 = 2 e an = an−1 + 3, ∀n ∈ {2, 3, 4, 5, 6}
b1 = 1 e bn = 3.bn−1, ∀n ∈ N e n ≥ 2
Sequˆencias

6. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Lei de Forma¸c˜ao
Expressando cada termo em fun¸c˜ao de sua posi¸c˜ao
´E dada uma f´ormula que expressa an em fun¸c˜ao de n.
Exemplo
an = 2n
, ∀n ∈ N
bn = 3n + 1, ∀n ∈ N
Por propriedades dos termos
´E dada uma propriedade que os termos da sequˆencia devem
apresentar.
Sequˆencias

7. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Lei de Forma¸c˜ao
Exemplo
Escrever os cinco termos iniciais da sequˆencia formada pelos
n´umeros primos positivos colocados em ordem crescente.
Temos ent˜ao: (2, 3, 5, 7, 11, . . .)
Notemos que a sequˆencia dos primos n˜ao pode ser dada por uma
f´ormula de recorrˆencia bem como n˜ao existe f´ormula para calcular
o n-´esimo primo positivo a partir de n.
Sequˆencias

8. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Exerc´ıcios propostos
1 Escrever os seis primeiros termos das sequˆencias dadas pelas
seguintes leis:
a) an = 2.3n
, ∀n ≥ 1
b) an = 3n − 2, ∀n ≥ 1
2 Escrever os seis termos iniciais das sequˆencias dadas pelas
seguintes f´ormulas de recorrˆencia:
a) a1 = 5 e an = an−1 + 2, ∀n ≥ 2
b) a1 = −2 e an = (an−1)n
, ∀n ≥ 2
Sequˆencias

9. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Defini¸c˜ao
Chama-se Progress˜ao Aritm´etica (P.A.) uma sequˆencia dada pela
seguinte f´ormula de recorrˆencia:
a1 = a
an = an−1 + r, ∀n ∈ N, n ≥ 2
onde a e r s˜ao n´umeros reais dados.
Assim, uma P.A. ´e uma sequˆencia em que cada termo, a partir do
segundo, ´e a soma do anterior com uma constante r dada.
Exemplo
a) (1, 4, 7, 10, . . .) ´e uma P.A, em que a1 = 1 e r = 3
b) (0, −2, −4, −6, −8, . . .) ´e uma P.A., em que a1 = 0 e r = −2
Sequˆencias

10. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Classifica¸c˜ao
As progress˜oes aritm´eticas podem ser classificadas em trˆes
categorias:
1 crescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e maior que o
anterior. ´E imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois:
an > an−1 ⇔ an − an−1 > 0 ⇔ r > 0
2 constantes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e igual ao anterior.
´E f´acil ver que isto s´o ocorre quando r = 0, pois:
an = an−1 ⇔ an − an−1 = 0 ⇔ r = 0
3 decrescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e menor que o
anterior. Isto ocorre somente se r < 0, pois:
an < an−1 ⇔ an − an−1 < 0 ⇔ r < 0
Sequˆencias

11. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Classifica¸c˜ao
As progress˜oes aritm´eticas podem ser classificadas em trˆes
categorias:
1 crescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e maior que o
anterior. ´E imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois:
an > an−1 ⇔ an − an−1 > 0 ⇔ r > 0
2 constantes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e igual ao anterior.
´E f´acil ver que isto s´o ocorre quando r = 0, pois:
an = an−1 ⇔ an − an−1 = 0 ⇔ r = 0
3 decrescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e menor que o
anterior. Isto ocorre somente se r < 0, pois:
an < an−1 ⇔ an − an−1 < 0 ⇔ r < 0
Sequˆencias

12. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Classifica¸c˜ao
As progress˜oes aritm´eticas podem ser classificadas em trˆes
categorias:
1 crescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e maior que o
anterior. ´E imediato que isto ocorre somente se r > 0, pois:
an > an−1 ⇔ an − an−1 > 0 ⇔ r > 0
2 constantes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e igual ao anterior.
´E f´acil ver que isto s´o ocorre quando r = 0, pois:
an = an−1 ⇔ an − an−1 = 0 ⇔ r = 0
3 decrescentes s˜ao as P.A. em que cada termo ´e menor que o
anterior. Isto ocorre somente se r < 0, pois:
an < an−1 ⇔ an − an−1 < 0 ⇔ r < 0
Sequˆencias

13. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
F´ormula do termo Geral
Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.A. e
admitindo dados o primeiro termo a1, a raz˜ao r e o ´ındice n de um
termo desejado, temos:



a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a4 = a3 + r
· · · · · · · · ·
an = an−1 + r
Somando essas n − 1 igualdades, temos:
a2 +a3 +a4 +· · ·+an−1 +an = a1 +a2 +a3 +· · ·+an−1 +(n −1).r
Sequˆencias

14. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
F´ormula do termo Geral
Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.A. e
admitindo dados o primeiro termo a1, a raz˜ao r e o ´ındice n de um
termo desejado, temos:



a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a4 = a3 + r
· · · · · · · · ·
an = an−1 + r
Somando essas n − 1 igualdades, temos:
a2 +a3 +a4 +· · ·+an−1 +an = a1 +a2 +a3 +· · ·+an−1 +(n −1).r
Sequˆencias

15. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
F´ormula do termo Geral
Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.A. e
admitindo dados o primeiro termo a1, a raz˜ao r e o ´ındice n de um
termo desejado, temos:



a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
a4 = a3 + r
· · · · · · · · ·
an = an−1 + r
Somando essas n − 1 igualdades, temos:
a2 +a3 +a4 +· · ·+an−1 +an = a1 +a2 +a3 +· · ·+an−1 +(n −1).r
Sequˆencias

16. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
F´ormula do Termo Geral
eliminando as parcelas comuns a ambos os membros, obtemos:
an = a1 + (n − 1).r
Essa express˜ao ´e denominada “F´ormula do Termo Geral”
Exemplo
Calcular o 17o termo da P.A. cujo primeiro termo ´e 3 e cuja raz˜ao
´e 5.
Solu¸c˜ao
Notando que a1 = 3 e r = 5, apliquemos a f´ormula do termo geral:
a17 = a1 + 16r = 3 + 16.5 = 83.
Portanto o d´ecimo s´etimo termo ´e 83.
Sequˆencias

17. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Exerc´ıcios Propostos
1 Obter a raz˜ao da P.A. em que o primeiro termo ´e −8 e o
vig´esimo ´e 30.
2 Obter o primeiro termo da P.A. de raz˜ao 4 cujo 23o termo ´e
86.
3 Qual ´e a P.A. em que o 1◦ termo ´e 20 e o 20◦ termo ´e 96?
4 Resolva o problema apresentado no slide 2
Sequˆencias

18. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Para uma P.A. de primeiro termo a1 e n-´esimo termo an, vale o
seguinte
Teorema
A soma dos n primeiros termos de uma P.A. ´e
Sn =
(a1 + an).n
2
.
Demonstra¸c˜ao: Seja a soma
Sn = a1 + a2 + . . . + an−1 + an
consideremos essa soma na ordem invertida, isto ´e,
Sn = an + an−1 + . . . + a2 + a1
Sequˆencias

19. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Somando membro a membro essas duas igualdades, temos:
2.Sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + . . . + (an−1 + a2) + (an + a1)
Uma vez que todos os parˆenteses da express˜ao acima representam
a mesma soma (a1 + an), temos que a mesma ´e equivalente a
2.Sn = (a1 +an)+(a1 +an)+. . .+(a1 +an)+(a1 +an) = n.(a1 +an)
portanto
Sn =
n.(a1 + an)
2
Sequˆencias

20. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Soma dos n primeiros termos de uma P.A.
Exemplo
Calcular a soma dos 25 termos iniciais da P.A.(1, 7, 13, . . .)
Solu¸c˜ao
Sendo a1 = 1 e r = 6, temos:
a25 = a1 + 24.r = 1 + 24.6 = 145
S25 =
25(a1 + a25)
2
=
25(1 + 145)
2
= 1825
Sequˆencias

21. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Exerc´ıcios Propostos
1 Qual ´e a soma dos n´umeros inteiros de 1 a 350?
2 Qual ´e a soma dos 120 primeiros n´umeros naturais pares?
3 Quantos termos devem ser somados na P.A.(−5, −1, 3, . . .) a
partir do primeiro termo, para que a soma seja 1590?
Sequˆencias

22. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Defini¸c˜ao
Chama-se progress˜ao geom´etrica P.G. uma sequˆencia dada pela
seguinte f´ormula de recorrˆencia
a1 = a
an = an−1.q, ∀n ∈ N, n ≥ 2
onde a e q s˜ao n´umeros reais dados.
Assim, uma P.G. ´e uma sequˆencia em que cada termo, a partir do
segundo, ´e o produto do anterior por uma constante q dada.
Sequˆencias

23. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Classifica¸c˜ao
As progress˜oes geom´etricas podem ser classificadas em cinco
categorias:
crescentes s˜ao as P.G. em que cada termo ´e maior que o
anterior. Notemos que isto pode ocorrer de duas maneiras:
a) P.G. com termos positivos
an > an−1 ⇔
an
an−1
> 1 ⇔ q > 1
b) P.G. com termos negativos
an > an−1 ⇔ 0 <
an
an−1
< 1 ⇔ 0 < q < 1
Sequˆencias

24. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Classifica¸c˜ao
constantes s˜ao as P.G. em que cada termo ´e igual ao
anterior. Observemos que isto ocorre em duas situa¸c˜oes:
a) P.G. com termos nulos
a1 = 0 e q qualquer.
b) P.G. com termos iguais e n˜ao nulos
an = an−1 ⇔
an
an−1
= 1 ⇔ q = 1
Sequˆencias

25. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Classifica¸c˜ao
decrescentes s˜ao as P.G. em que cada termo ´e menor que o
anterior. Notemos que isto pode ocorrer de duas maneiras:
a) P.G. com termos positivos
an < an−1 ⇔ 0 <
an
an−1
< 1 ⇔ 0 < q < 1
b) P.G. com termos negativos
an < an−1 ⇔
an
an−1
> 1 ⇔ q > 1
Sequˆencias

26. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Classifica¸c˜ao
alternantes s˜ao as P.G. em que cada termo tem sinal
contr´ario ao do termo anterior. Isto ocorre quando q < 0.
estacion´aria s˜ao as P.G. em que a1 = 0 e
a2 = a3 = a4 = . . . = 0. Isto ocorre quando q = 0.
Sequˆencias

27. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
F´ormula do termo Geral
Utilizando a f´ormula de recorrˆencia pela qual se define uma P.G. e
admitindo dados o primeiro termo a1 = 0, a raz˜ao q = 0 e o ´ındice
n de um termo desejado, temos:



a2 = a1.q
a3 = a2.q
a4 = a3.q
· · · · · · · · ·
an = an−1.q
Multiplicando-se essas n − 1 igualdades, temos:
Sequˆencias

28. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
F´ormula do termo Geral
a2.a3.a4. . . . .an−1.an = a1.a2.a3.a4. . . . .an−1.qn−1
cancelando os termos comuns aos dois membros dessa ´ultima
igualdade, obtemos:
an = a1.qn−1
denominada f´ormula do termo geral da P.G.
Exemplo
Obter o 15o termo da P.G. (1, 2, 4, 8, . . .)
Solu¸c˜ao
Pela f´ormula do termo geral, temos:
a15 = a1.q14
= 1.214
= 4096
Sequˆencias

29. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Exerc´ıcios Propostos
1 Obter o 10◦ e o 15◦ termos da P.G(1, 2, 4, 8, . . .).
2 Calcular o 21◦ da sequˆencia (1, 0, 3, 0, 9, 0, . . .).
3 Uma empresa pruiziu, no ano de 2010, 100000 unidades de
um produto. Quantas unidades produzir´a no ano de 2015, se
o aumento anual de produ¸c˜ao ´e de 20%?
4 Calcular o n´umero de termos da P.G. que tem raz˜ao
1
2
,
primeiro termo 6144 e ´ultimo termo 3.
Sequˆencias

30. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Produto
Vamos deduzir uma f´ormula para calcular o produto Pn dos n
termos iniciais de uma P.G.
Teorema
Em toda P.G. tem-se
Pn = an
1.q
n.(n − 1)
2
Demonstra¸c˜ao: 


a1 = a1
a2 = a1.q
a3 = a1.q2
...
an = a1.qn−1
multiplicando membro a membros essas igualdades, obtemos:
Sequˆencias

31. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Produto
a1.a2.a3. . . . .an = (a1.a1.a1. . . . .a1)
n fatores
.q.q2
.q3
. . . . .qn−1
=
= an
1.q1+2+3+...+(n−1)
= an
1.q
n.(n − 1)
2
isto ´e:
Pn = an
1.q
n.(n − 1)
2
Sequˆencias

32. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Produto
Exemplo
Calcular o produto dos 10 termos iniciais da P.G.(1, 2, 4, 8, . . .)
Solu¸c˜ao
Sendo a1 = 1 e q =
2
1
= 2, temos:
P10 = a10
1 .q
10.(10 − 1)
2 = 1.245
= 245
Sequˆencias

33. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Exerc´ıcios Propostos
1 Em cada uma das P.G. calcule o produto dos n termos
iniciais:
a) (1, 3, 9, . . .) e n = 12
b) (3, −6, 12, −24, . . .) e n = 25
2 Calcular a soma S = log2 a + log2 2a + log2 4a + . . . + log2 2r a
Sequˆencias

34. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Soma dos termos de uma P.G. finita
Consideremos uma P.G. finita de primeiro termo a1 e raz˜ao q.
Calculamos a soma dos seus termos, fazendo uso do seguinte
Teorema
A soma Sndos n termos iniciais de uma P.G. ´e:
Sn =
a1q − a1
q − 1
(q = 1).
Demonstra¸c˜ao: Se Sn ´e a soma dos termos , temos:
Sn = a1 + a1q + a1q2
+ . . . + a1qn−2
+ a1qn−1
(1)
Multiplicando ambos os membros por q, obtemos:
qSn = a1q + a1q2
+ a1q3
+ . . . + a1qn−1
+ a1qn
(2)
Sequˆencias

35. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Soma dos termos de uma P.G. finita
Subtraindo membro a membro as equa¸c˜oes (1) e (2), temos:
(1) − (2) ⇒ qSn − Sn = a1qn
− a1 ⇒ Sn(q − 1) = a1qn
− a1
Supondo q = 1, resulta:
Sn =
a1q − a1
q − 1
Sequˆencias

36. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Soma dos termos de uma P.G. finita
Exemplo
Calcular a soma dos 10 termos iniciais da P.G.(1, 3, 9, 27, . . .).
Solu¸c˜ao
S10 =
a1q10 − a1
q − 1
=
1.310 − 1
3 − 1
=
59049 − 1
2
= 29524
Sequˆencias

37. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Exerc´ıcios Propostos
1 Calcular a soma das 10 parcelas iniciais da s´erie
1 +
1
2
+
1
4
+
1
8
+ . . .
2 Calcular a soma dos 20 termos iniciais da s´erie
1 + 3 + 9 + 27 + . . .
3 A soma de seis elementos em P.G. de raz˜ao 2 ´e 1197. Qual ´e
o 1o termos da P.G.?
Sequˆencias

38. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Defini¸c˜ao
Dada uma P.G. infinita (a1, a2, a3, . . . , an, . . .), dizemos que
a1 + a2 + a3 + . . . = S se, formada a sequˆencia
(S1, S2, S3, . . . , Sn, . . .) onde:
S1 = a1
S2 = a1 + a2
S3 = a1 + a2 + a3
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
esta sequˆencia converge para S, isto ´e, limn→∞ Sn = S.
Sequˆencias

39. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Soma dos termos de P.G. infinita
Teorema
Se (a1, a2, a3, . . . , an, . . .) ´e uma P.G. com raz˜ao q tal que
−1 < q < 1, ent˜ao
S = a1 + a2 + a3 + . . . + an + . . . =
a1
1 − q
Omitiremos aqui a demonstra¸c˜ao desse teorema. Para o leitor
interessado, nos detalhes dessa demonstra¸c˜ao, recomendamos [3].
Observa¸c˜ao: Se a1 = 0 e q < −1 ou q > 1, a sequˆencia
(S1, S2, S3, . . . , Sn, . . .) n˜ao converge. Neste caso, ´e imposs´ıvel
calcular a soma dos termos da P.G..
Sequˆencias

40. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Soma dos termos de P.G. infinita
Exemplo
Calcular a soma dos termos da P.G.(1,
1
3
,
1
9
,
1
27
, . . .)
Solu¸c˜ao
Como q =
1
3
e −1 <
1
3
< 1, decorre
S =
a1
1 − q
=
1
1 −
1
3
=
1
2
3
=
3
2
.
Sequˆencias

41. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
Exerc´ıcios Propostos
1 Calcular S = 3 +
6
5
+
12
25
+
24
125
+ . . .
2 Calcular a soma dos termos da sequˆencia (2,
2
5
,
2
25
,
2
125
. . .)
3 Obter a geratriz das seguintes d´ızimas peri´odicas:
a) 0, 555 . . .
b) 0, 414141 . . .
Sequˆencias

42. Sequˆencias
Progress˜ao Aritm´etica (P.A.)
Progress˜ao Geom´etica (P.G.)
GIOVANNI, Jos´e Ruy; BONJORNO, Jos´e Roberto,
Matem´atica uma nova abordagem. 4 ed. S˜ao Paulo: Editora
FTD, 2001.
SMOLE, K´atia Stocco; DINIZ, Maria Ignez, Matem´atica no
Ensino M´edio 5 ed. S˜ao Paulo: Editora Saraiva, 2005.
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel, Fundamentos de
Matem´atica Elementar. 2 ed. S˜ao Paulo: Atual Editora, 1977.
Sequˆencias