El documento presenta información sobre la hipérbola, incluyendo su definición, elementos, ecuaciones y aplicaciones. Describe que una hipérbola es el lugar geométrico de puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante. Explica elementos como focos, vértices, ejes y asíntotas. Incluye ecuaciones en forma canónica y para diferentes posiciones del centro. Finalmente, muestra ejemplos numéricos y aplicaciones de las hipérbolas.

1. GRUPO 4
Integrantes:
Idrobo María Alicia
Criollo Paola
Armijos Katherine
Beltrán Lilibeth
Narváez Max
Ordoñez Vanessa
Puchaicela Leydi
Naranjo Isaac
Veintimilla Nathaly
Yaguana Jessica
Espejo Briggitte

2. LA HIPÈRBOLA
 Definición.- Una hipérbola es el lugar geométrico de los
puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia
de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a
la distancia entre los vértices, la cual es una constante
positiva.

3. ELEMENTOS DE LA HIPÈRBOLA
 Focos
 Son los puntos fijos F y F'.
 Eje focal
 Es la recta que pasa por los focos.
 Eje secundario o imaginario
 Es la mediatriz del segmento .
 Centro
 Es el punto de intersección de los ejes.
 Vértices
 Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la
hipérbola con el eje focal.
 Los puntos B y B' se obtienen como intersección del
eje imaginario con la circunferencia que tiene por
centro uno de los vértices y de radio c.

4. ELEMENTOS DE LA HIPÈRBOLA
 Radios vectores
 Son los segmentos que van desde un punto de la
hipérbola a los focos: PF y PF'.
 Distancia focal
 Es el segmento de longitud 2c.
 Eje mayor
 Es el segmento de longitud 2a.
 Eje menor
 Es el segmento de longitud 2b.
 Ejes de simetría
 Son las rectas que contienen al eje real o al eje
imaginario.
 Asíntotas
 Son las rectas de ecuaciones:

5. RELACIÒN ENTRE LOS SEMIEJES

6. ECUACIONES DE LA HIPÈRBOLA
 Ecuación de una hipérbola con centro en el origen
de coordenadas y ecuación de la hipérbola en su
forma canónica.
 Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

7. Ejemplos:
 a)
 b)
 Si el semieje transverso a se encuentra en el eje x, y
el semieje conjugado b, en el eje y, entonces la
hipérbola es horizontal; si es al revés, es vertical.
La excentricidad de una hipérbola siempre es
mayor que uno.

8. ECUACIÒN DE LA HIPÈRBOLA EN
SU FORMA COMPLEJA
 Una hipérbola en el plano complejo es el lugar
geométrico formado por un conjunto de puntos ,
en el plano ; tales que, cualesquiera de ellos
satisface la condición geométrica de que el valor
absoluto de la diferencia de sus distancias , a dos
puntos fijos llamados focos y , es una constante
positiva igual al doble de la distancia (o sea )
que existe entre su centro y cualesquiera de sus
vértices del eje focal.
Esta operación se lleva a cabo en el conjunto de
los números complejos.

9. ECUACIONES EN COORDENADAS
POLARES

10.  Dos hipérbolas y sus asíntotas.
 Hipérbola abierta de derecha a izquierda:
 Hipérbola abierta de arriba a abajo:
 Hipérbola abierta de noreste a suroeste:
 Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

11. FÓRMULAS DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OX
 Excentricidad
 Asíntotas
 Ecuación reducida de la hipérbola
F'(-c,0) y F(c,0)

12. Ecuación de la hipérbola con los focos en el eje OY
 Excentricidad
 Asíntotas
 Ecuación reducida de la hipérbola
F'(0, -c) y F(0, c)

13. Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OX,
y centro distinto al origen
 Donde A y B tienen signos opuestos.
Ecuación de la hipérbola con eje paralelo a OY,
y centro distinto al origen

14. EJERCICIOS
1. Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada
por: Determine: coordenadas de los
focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas.
Trazar la gráfica.
Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).

15. Ecuaciones de las asíntotas:
2. Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3),
tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la
distancia entre los focos es 10 y la distancia entre
sus vértices es 8. Trazar la gráfica y determine:
coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de
las asíntotas.
 Como la distancia entre los vértices es 8, a = 4.
Igualmente, como 2c = 10, c = 5 y por lo
tanto b2 = c2 – a2 = 9. Asi que b = 3

16. Las coordenadas de los focos son:
y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F’(-3, 3).
Igualmente, las coordenadas de los vértices son:
y y = 3. Esto es, V1(6, 3) yV2(-2, 3).
Además, de la ecuación: se deduce que:
son las ecuaciones de las asíntotas

17. IMÀGENES DE LAS APICACIONES
DE LAS HIPÈRBOLAS