4. A partir de la revisión del artículo “La mitad del cuadrado”” de J.A. Mora aparecido en el número 8 (pp 11 a 29), de la revista SUMA, editada por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas de Granada, en el año 1991, hemos querido realizar una nueva revisión con los alumnos de 2º de E.S.O. Del CEIP Virgen de la Cabeza de Canillas de Aceituno de Málaga. Esta actividad tenía por objetivo el desarrollo de un proyecto de investigación realizado con alumnos de 14 años. En ella se parte de un enunciado geométrico muy sencillo y, tras recorrer distintos contenidos matemáticos geométricos, el trabajo desemboca en la construcción y estudio de mosaicos, favorecido por la utilización de la Geometría Dinámica con el programa Gabrí Géomètre II. Nosotros encontramos el desarrollo del programa de forma casual y hemos querido realizar la actividad de manera manual y haciéndo más hincapié en aquellos aspectos plásticos de la actividad, puesto que gran parte de la actividad se ha realizado en la clase de Educación Plástica y Visual. Por eso nos hemos centrado más en el desarrollo de mosaicos, con una clara referencia a la decoración de La Alhambra de Granada, a la vez que profundizamos en el conocimiento de dicho monumento, sin olvidarnos, por supuesto, de los contenidos matemáticos.
5. LA MITAD DEL CUADRADO Actividad que parte de un enunciado geométrico muy sencillo para estudiantes de 1º y 2º de E.S.O. Y, tras recorrer distintos contenidos matemáticos: geométricos, numéricos y algebráicos, el trabajo desemboca en la construcción y estudio de mosaicos.
6. 1 – Enunciado Dado un cuadrado, una forma de construir, dentro de él, un polígono cuya área sea la mitad, consiste en tomar los puntos medios de dos lados opuestos y unirlos con un segmento.
7. 2 – Primeros pasos El enunciado no aparenta mayores dificultades ya que la pregunta es muy abierta. Esto se hace para que todos los alumnos puedan abordarla y obtengan soluciones con rapidez que les sumerja en el trabajo. Muy pronto obtienen algún resultado, que en muchos casos son repetidas. Es el momento de recordarles que el enunciado pide obtener nuevos procedimientos y que, tanto los dos de la izquierda como los dos de la derecha responden al mismo.
8. También hay que ir aclarando con ellos nuevas situaciones que aparecerán a lo largo de su trabajo: si hay que dividir el cuadrado en dos partes iguales, si se pueden utilizar varias líneas, si pueden ser curvas,... En la primera fase de exploración, el papel del profesor es el de “dejar hacer”, anima al trabajo y va tomando nota de las ideas que surgen, tanto de los aciertos como de los posibles errores y los distintos enfoques. Cuando hay suficiente trabajo, el profesor puede hacer una primera puesta en común. La clave de esta fase consiste en crear en la clase el ambiente adecuado para que cualquier aportación sea analizada, debatida y valorada positivamente.
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10. La actuación del profesor en esta fase es importante para romper la dinámica de páginas llenas de dibujos sin ninguna explicación. El objetivo principal es que en clase se debata sobre las ideas geométricas y se reflaxione sobre los procedimientos. Algunos desarrollos del problema tienen interés algebráico como acurre cuando se dan cuenta que para obtener un triángulo no es obligatorio tomar dos vértices contiguos y el centro del lado opuesto, cualquier otro punto satisfará la condición exigida por el enunciado.
11. 4 – El proceso de generalización De todas las soluciones obtenidas, hay varios (los triángulos isósceles aparecidos al principio, dos de ellos resctángulos) que se han obtenido como casos particulares. Podríamos considerar que esta nueva solución tomar dos vértices contiguos y un punto en el lado opuesto , es una solución que generaliza las anteriores.
12. De la misma forma que con el triángulo, hay otras soluciones que se pueden generalizar. Si tomamos una línea que pase por el centro del cuadrado, obtenemos una figura que tardan en reconocer como trapecio. El proceso de generalización puede no acabar aquí, porque no es necesario que la línea sea recta, basta con que sea diseñada de forma que tenga un centro de simetría en el centro del cuadrado para que el polígono construido tenga por área la mitad.
13. También podemos generalizar el procedimiento, si tomamos los puntos medios de los cuatro lados, obtenemos en su interior un nuevo cuadrado, pero no es obligatorio que sean exactamente esos puntos y podemos llegar a la cometa, el trapecio isósceles o el paralelogramo.
14. 5 – Hablar de matemáticas Las intervenciones del profesor, han de ir encaminadas a que los estudiantes realicen una descripción lo más precisa posible del procedimiento para obtener la figura. Los estudiantes suelen dar demasiados detalles de su procedimiento, algunos innecesarios, otros redundantes. En estos casos, el no utilizar la terminología adecuada les lleva a dar rodeos. Una forma de centrar el trabajo consiste en lanzar el reto en forma de pregunta: ¿cómo podrías comunicar telefónicamente a un interlocutor cada una de las soluciones que has encontrado hasta ahora. Las descripciones pueden que contengan incorrecciones, pero revelan que los estudiantes están inmersos en el problema y realizan un gran esfuerzo por comprender, por hacerse entender y por expresarse con corrección. Como se apuntó en el Simposio de Valencia (1987) “Para que se desarrolle la capacidad de expresarse con claridad, es necesario valorar más la expresión de los intentos titubeantes y los procedimientos incorrectos en lugar de acallarlos a favor de los caminos seguros y las respuestas correctas” Una forma de introducir un elemento más de concisión consiste en plantear: pensad que lo vais a comunicar a alguien que está lejos y la conferencia es cara.
15. 6 – Los polígonos como punto de partida Del trabajo anterior han aparecido varios tipos de triángulos: isósceles, isósceles y rectángulos a la vez y escalenos. También rectángulos, cuadrados y trapecios.
16. La propuesta de trabajo puede animar a considerar polígonos de distinto número de lados, a que consigan polígonos cóncavos. También podemos proponer figuras conocidas que puede que no hayan aparecido hasta ahora como el rombo, el trapecio isósceles, el paralelogramo, el pentágono o el hexágono. La pregunta podría ser: ¿qué otros polígonos conocidos podríamos encontrar en el interior del cuadrado cuya área sea la mitad? Pero es necesario dar un salto en algunas de las soluciones para llegar más lejos, por ejemplo, en la solución del trapecio hay que darse cuenta que la suma de las bases es igual a la mitad del lado para pasar a los trapecios isósceles.
17. Encontraremos paralelogramos que tienen por base la mitad del lado y por altura el lado del cuadrado, y no es necesario que utilicen los vértices del cuadrado. La idea de utilizar desplazamientos da sus frutos al revisar el trabajo realizado y obtener polígonos conversos (octógono) donde antes obteníamos polígonos cruzados.
18. Para el rombo podemos considerar la mitad del cuadrado y, en ella tomar su diagonal como base de un triángulo que tendrá por altura la mitad de la otra diagonal. Esta solución admite generalizaciones a figuras que tengan sus vértices en dos paralelas a la diagonal del cuadrado que cortan a la otra diagonal a ¼ y ¾ , así obtenemos la cometa, un cuadrilátero y un paralelogramo.
19. 7 – Combinación de soluciones Otra forma de encontrar nuevos procedimientos proviene de dividir el cuadrado en cuatro cuadrados más pequeños y tomar en ellos una determinada solución como las del trapecio. También la geometría dinámica permitirá avances con trapecios y giros de 90º alrededor del centro del cuadrado.
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21. 8 – El área La última de las cuatro soluciones anteriores nos puede trasladar a una interesante forma de abordar el concepto de área. Si el trabajo se ha hecho con papel milimetrado, pueden que hayan obtenido soluciones del tipo:
22. 9 – La demostración En muchos momentos del proceso relatado surge la necesidad de demostrar que el polígono obtenido tiene por área la mitad del cuadrado. En muchos casos es conveniente dar por válidas justificaciones a veces incompletas o ambiguas ya que lo que se persigue es iniciar a los estudiantes en la conveniencia de demostrar y en el proceso de demostración y que den sus primeros pasos en este sentido. Los argumentos más frecuentes son de tipo geométrico.
23. 10 – Figuras de la Alhambra Algunas de las soluciones que podemos obtener son estéticamente elegantes. A un cuadrado se le pueden quitar dos pequeños triángulos en dos lados opuestos y añadírselos en los otros lados. Al rectángulo de la parte superior le podemos quitar y poner las figuras sombreadas que aparecen.
24. Algo parecido en el rectángulo inferior. O el polígono con forma de hueso. Se pueden conseguir figuras en forma de estrella.
25. 11 – Mosaicos Muchas de estas figuras las podemos encontrar en los diseños nazaríes de La Alhambra de Granada y esta puede ser una nueva vía para enfocar la investigación, el conseguir baldosas que, por repetición a base de traslaciones, giros y simetrías, den lugar a mosaicos que recubran el plano. La Alhambra es el reino del cuadrado. Lo encontramos de forma explícita en azulejos que recubren las paredes con combinaciones de colores que no nos dejan indiferentes.
26. Otras veces los cuadrados quedan ocultos tras otras formas. Como la solución de los cuatro trapecios utilizando traslaciones de la baldosa.
27. La solución de los rombos aparece en el Patio de los Leones de La Alhambra utilizando simetrías axiales según los lados del cuadrado.
28. En una de las columnas que rodean al Patio de los Leones encontramos un mosaico como este.
29. También podemos reproducir la baldosa con las agujas con la mitad del cuadrado. Después utilizaremos simetrías rotacionales en los centros de los lados del cuadrado para conseguir el mosaico.
30. La misma baldosa cuadrada utilizando dos movimientos distintos; simetría (izquierda) y traslaciones (derecha).
31. Las estrellas que hemos encontrado anteriormente y que también encontramos en una de las primeras salas en la visista a los palacios nazaríes, con una orientación distinta ha podido ser reproducida con una de las soluciones de la mitad del cuadrado.
32. Otra forma de conseguir algunas de las figuras anteriores proviene de trazar una línea con centro de rotación en el centro del cuadrado y colorear dos regiones opuestas de las cuatro en que se ha dividido el cuadrado. La repetición de estas baldosas se hace por simetría axial. De esta forma conseguimos la baldosa con forma de hoja.
33. Y la que tiene forma de hueso para acabar esta muestra.
37. Todo el planteamiento teórico está basado en el desarrollo de un enunciado que aparenta pocas dificultades, con el fin de que todos los alumnos puedan obtener respuestas con cierta rapidez y les sumerja en el trabajo. Es fácil obtener resultados. Pero este planteamiento teórico está dividido en compartimentos que implican, de manera progresiva, un mayor grado de dificultad ante las nuevas situaciones que se les plantea. Para que los alumnos asimilen la exposición teórica del proyecto, se les ha ido entregando distintas fichas, para cada uno de los compartimentos, con una serie de pautas a cumplir: dar nombre a cada figura obtenida, con definiciones lo más precisas posibles; la descripción del proceso seguido para obtener las distintas figuras, con una utilización de la terminología lo más correcta posible; y probar, mediante la utilización de fórmulas matemáticas (áreas de las distintas figuras), que cada solución obtenida corresponde a la mitad del cuadrado. La puesta en común de las experiencias de cada uno sobre su trabajo, han merecido también una atención especial.
59. Las fichas que los alumnos han ido realizando durante el proceso de estudio, han resultado un trabajo estupendo para entender el mismo. Sin embargo, exponer este trabajo personal a la vista del público, resultaba poco apropiado. Desde el momento en que se decide que esta actividad salga fuera del aula de Plástica, hubo que pensar en presentar las fichas de trabajo, de manera más adecuada, sin que perdiera su carácter. Para ello, la parte de la ficha en la que se planteaba la situación sobre la que se llevaría a cabo el trabajo de ese momento, y algunas de las figuras geométricas resultantes del mismo, se sacaron de su contexto original y se ampliaron a tamaño DIN-A3, con el fin de componer distintos paneles. Piezas claves en el montaje de la exposición prevista sobre el trabajo. De la misma manera, distintas ilustraciones sacadas del planteamiento teórico, que probaban la utilización del cuadrado en la decoración de la Alhambra, y su localización dentro de la misma, compondrían otros paneles explicativos.
60. ENUNCIADO Dado un cuadrado, una forma de construir, dentro de él, un polígono cuya área sea la mitad, consiste en tomar los puntos medios de dos lados opuestos y unirlos con un segmento.
61. PRIMEROS PASOS El enunciado no aparenta mayores dificultades ya que la pregunta es muy abierta y pronto se producen resultados.
64. PROCESO DE GENERALIZACIÓN A partir de los triángulos rectángulos e isósceles aparecidos al principio generalizamos tomando dos vértices contiguos y un punto en el lado opuesto.
65. PROCESO DE GENERALIZACIÓN A partir de los triángulos rectángulos e isósceles aparecidos al principio generalizamos tomando dos vértices contiguos y un punto en el lado opuesto.
66. PROCESO DE GENERALIZACIÓN También se puede generalizar a partir del cuadrado. Tomando una línea que pase por el centro del cuadrado.
67. PROCESO DE GENERALIZACIÓN No es necesario que la línea sea recta, basta con que sea diseñada de forma que tenga un centro de simetría en el centro del cuadrado para que el polígono construido tenga por área la mitad.
68. PROCESO DE GENERALIZACIÓN Tomando los puntos medios de los lados construimos un nuevo cuadrado en su interior. Pero no es necesario que sean esos puntos y podemos llegar a la cometa, el trapecio isósceles o el paralelogramo.
69. LOS POLÍGONOS COMO PUNTO DE PARTIDA De los trabajos anteiores han aparecido varios tipos de triángulos, pero también rectángulos, cuadrados y trapecios.
70. LOS POLÍGONOS COMO PUNTO DE PARTIDA Para el rombo podemos considerar la mitad del cuadrado y, en ella tomar su diagonal como base de un triángulo que tendría por altura la mitad de la otra diagonal.
71. FIGURAS DE LA ALHAMBRA A un cuadrado se le puede quitar dos pequeños triángulos en dos lados apouestos y añadirselos en los otros lados.
72. FIGURAS DE LA ALHAMBRA Al rectángulo de la parte superior le podemos quitar y poner las figuras sombreadas que aparecen.
73. FIGURAS DE LA ALHAMBRA Al rectángulo de la parte superior le podemos quitar y poner las figuras sombreadas que aparecen.
74. FIGURAS DE LA ALHAMBRA Se puede conseguir figuras en forma de estrellas.
75. FIGURAS DE LA ALHAMBRA Se puede conseguir un polígono en forma de hueso.
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77. Una de las columnas que rodean al Patio de los Leones de La Alhambra
90. Al mismo tiempo que los alumnos realizaban las fichas propuestas para el desarrollo del programa, y con el fin de diversificar las actividades y variar las propuestas, se fueron elaborando distintos trabajos para experimentar de manera creativa, con estas figuras, en este caso el cuadrado, creando redes modulares sencillas y apreciar la importancia de la geometría plana como medio para comprender la realidad y la obra artística. Todos estos trabajos, digamos prácticos, han animado el desarrollo de la actividad general.
102. Además del estudio geométrico de un monumento como La Alhambra, era necesario adentrarse en el conocimiento histórico del mismo. Para ello, nada mejor que hacer uso de la información que nos brinda Internet sobre cualquier aspecto del tema, tanto artístico como histórico en páginas como www.alhambradegranada.org www.alhambra-patronato.es www.alhambra.org www.arsvirtual.com/monum/alhambra.htm www.geocites.com/SoHo/Gallery/5885 Por eso, se ha podido también realizar una visita virtual al conjunto. Para los trabajos sobre los aspector históricos de La Alhambra hemos contado también con la ayuda importante del cuadreno de trabajo publicado por el Gabinete Pedagógico de Bellas Artes de Granada y distintos folletos publicados por el Patronato de La Alhambra. Y aprovechando toda la información obtenida, seleccionamos un grupo de fotografías que pudieran ilustrar bellamente el trabajo realizado.
124. Para que la visita a la exposición de trabajos llevada a cabo por los alumnos de 2º de Educación Secundaria Obligatoria, por parte de los alumnos pertenecientes a otros cursos no fuera un simple trámite contemplativo, se nos ocurrió la posibilidad de hacerla un poco más participativa y lúdica. Por eso ideamos que, ya que lo realizado sobre papel no era más que una puesta en escena de distintos modelos de mosaicos, podríamos elaborar dichos mosaicos para que fueran “manejables”, se pudieran manipular y jugar con ellos. En pequeñas piezas de DM, de 6 centímetros de lado, pintamos un par de modelos, de los más representativos, que aparecen en la decoración de La Alhambra, y que nosotros ya habíamos realizado en papel. Con ellas creamos dos puzzles que los visitantes podrían montar y formar con ellos pequeños paneles de mosaicos. Por otra parte, también se realizaron fotocopias de algunos de los dibujos diseñados antes de colorear para que aquellos que visitaran la exposición intentaran localizar, el cuadrado base que forma la trama de cada una de las composiciones. Todos los que se acercaran a ver la exposición podrían coger una copia e intentarlo.
131. A veces, los pequeños detalles, hacen mucho más atractivo el resultado final de un trabajo ya de por sí bien hecho. La casualidad de contar con una maqueta de uno de los rincones más destacados de La Alhambra, publicada hace años por la Editorial Miguel A. Salvatella S.A., nos animó a intentar el monteje, para incluirlo en la exposición, consiguiendo un acabado bastante aceptable y que una vez montado todo el trabajo, ha resultado pieza clave del mismo.
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