FORMULARIO: GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

1. FORMULARIO: GEOMETRÍA ANALÍTICA
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS ÁREA DE UN POLÍGONO PUNTO P (x; y) DE DIVISIÓN DE UN
P1(x1, y1); P2(x2, y2) x1 y1 SEGMENTO ENTRE P1(x1, y1) y P2(x2, y2)
d= (x2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 x2 y 2 MEDIANTE UNA RAZÓN r=
PP
1
1 PP2
PENDIENTE DE UNA A= x3 y3
RECTA ENTRE P1(x1, y1) y 2 x1 + r ⋅ x2 y1 + r ⋅ y2
P2(x2, y2) x4 y 4 x= y=
1+ r 1+ r
y2 − y1
tan θ = m = x1 y1
x2 − x1
DISTANCIA DE UN PUNTO P 1 (x1, y1) ECUACIONES DE LA RECTA
A UNA RECTA Ax + By + C = 0
PENDIENTE – ORDENADA PUNTO – PENDIENTE
Ax1 + By1 + C EN EL ORIGEN y − y1 = m(x − x1 )
d=
y = mx + b
± A +B
2 2
CUANDO SE CONOCEN
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS L1 y L2 REDUCIDA Ó ABSCISA – DOS PUNTOS: CARTESIANA
m2 − m1 y2 − y1
ORDENADA EN EL ORIGEN
tan α = x y
+ =1
y − y1 = (x − x1 )
1 + m2 ⋅ m1 x2 − x1
a b
RECTAS PERPENDICULARES
1 ECUACIÓN NORMAL GENERAL
L1 ⊥ L2⇔ m1 = − x cos ω + ysenω − p = 0 Ax + By + C = 0
m2
RECTAS PARALELAS
L1 ‖ L2⇔ m1 = m2
CIRCUNFERENCIA
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA ECUACIÓN GENERAL
DE CENTRO (h, k) Y RADIO r
(x − h )2 + ( y − k )2 = r 2 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ⎛ D E⎞
C⎜ − , − ⎟ r =
1
D2 + E 2 − 4F
⎝ 2 2⎠ 2
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Si D 2 + E 2- 4F > 0, la circunferencia es real.
DE CENTRO (0,0) Y RADIO r
Si D 2 + E 2- 4F < 0, la circunferencia es imaginaria..
x2 + y 2 = r 2
Si D 2 + E 2- 4F = 0, el radio es cero y la circunferencia
es el punto ⎛ − D ,− E ⎞
⎜ ⎟
⎝ 2 2⎠
LA PARÁBOLA
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA Y P(x, y) ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA CON
CON VÉRTICE EL ORIGEN VÉRTICE EL ORIGEN
y 2 = ±4ax x 2 = ±4ay
EJE EL x EJE EL y
0 X
VÉRTICE (h, k)
(x − h )2 = ±4a( y − k )
VÉRTICE (h, k) F(a, 0)
(y − k ) 2
= ±4a(x − h )
EJE PARALELO A y
EJE PARALELO A x
ECUACIÓN DE LA DIRECTRÍZ ECUACIÓN DE LA DIRECTRÍZ
x±a=0 LADO RECTO y±a=0
x-h±a=0 4a y-k±a=0
ECUACIÓN GENERAL
y + Dx + Ey + F = 0 ; x 2 + Dx + Ey + F = 0
2
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2. LA ELIPSE
ECUACIÓN DE LA ELIPSE Y ECUACIÓN DE LA ELIPSE
CON CENTRO EN EL D’ (0,b) D CON CENTRO EN EL
ORIGEN, EJE MAYOR EN P(x, y) ORIGEN, EJE MAYOR EN
X Y
x2 y2 x2 y 2
+ =1 + =1
a 2 b2 (-a, 0) (a, 0) X b2 a2
F’(-c, 0) 0 F(c, 0)
CON CENTRO (h; k), EJE CON CENTRO (h; k), EJE
MAYOR PARALELO A X MAYOR PARALELO A Y
(x − h )2 + ( y − k )2 =1
(x − h )2 + ( y − k )2 =1
(0, -b)
a2 b2 b2 a2
F’P + PF = 2a EXCENTRICIDAD
RELACIÓN DE a, b y c
a2 = b 2 + c 2 c a 2 − b2
LADO RECTO e= =
a a
2b 2
ECUACIONES DE LAS DIRECTRICES a ECUACIONES DE LAS DIRECTRICES
a a a a
x+ =0 y x− =0 y+ =0 y y− =0
e e e e
ECUACIÓN GENERAL
a a a a
x−h+ =0 y x−h− =0 Ax + By 2 + Dx + Ey + F = 0
2
y−k + =0 y y−k − =0
e e e e
LA HIPÉRBOLA
ECUACIÓN DE LA Y ECUACIÓN DE LA
HIPÉRBOLA CON HIPÉRBOLA CON CENTRO
CENTRO EN EL ORIGEN, EN EL ORIGEN, EJE REAL
EJE REAL EN X EN Y
x2 y2 (0, b) 2
y2
x
− =1 − =1
a2 b2 a 2
b2
(-a, 0) V(a, 0)
CON CENTRO (h; k), EJE F’(-c, 0) 0 F(c, 0) CON CENTRO (h; k), EJE
REAL PARALELO A X REAL PARALELO A Y
(x − h )2 − ( y − k )2 =1 (0, -b)
( y − k )2 − (x − h )2 =1
a2 b2 a2 b2
RELACIÓN DE a, b y c EXCENTRICIDAD
c2 = a 2 + b 2 F’P – PF = 2a
c a 2 + b2
e= =
LADO RECTO a a
ECUACIONES DE LAS ASÍNTOTAS 2b 2
b
y=± x EJE REAL X a ECUACIONES DE LAS ASÍNTOTAS
a a
y=± x EJE REAL Y
b
y−k =±
b
(x − h ) EJE REAL
ECUACIÓN GENERAL
a
PARALELO A X Ax 2 − By 2 + Dx + Ey + F = 0 y−k =±
a
(x − h ) EJE REAL
b
PARALELO A Y
ECUACIONES DE LAS DIRECTRICES
a a ECUACIONES DE LAS DIRECTRICES
x+ =0 y x− =0 EJE REAL EN X a a
e e y+ =0 y y− =0 EJE REAL EN Y
a a e e
x−h+ =0 y x−h− =0 a a
e e y−k + =0 y y−k − =0
EJE REAL PARALELO A X e e
EJE REAL PARALELOA Y
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3. TRASLACIÓN DE EJES
x = x' + h , y = y' + k Y Y’
M P (x, y)
M‘ P ‘ (x’, y’)
0 ‘ (h, k) N‘ X‘
0 N X
ROTACIÓN DE EJES
Y
X P(x, y)
x = x' cos θ − y' senθ , Y‘ P ‘ (x‘, y‘)
y = x' senθ + y cos θ
x’ θ y’
M’
N’
Θ
0 M N X
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