Ejercicios plano tangente, derivada direccional y gradiente

1. CÁLCULO 3
UNIDAD I: FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
SESIÓN 03: DERIVADA PARCIAL, DIRECCIONAL Y PLANO TANGENTE
NIVEL I:
1. Si U  sen( x  ct )  cos( x  ct ) , entonces:
 2U
 2U
 c2 2
t 2
x
2. Sea f ( x, y)  3x 2 y 4  12 x 6  2 xy 5 Verifique: x
f
f
y
 6 f ( x, y)
x
y
3. Hallar f (4,2) si f ( x  y, x  y)  xy  y 2
4. Calcule la derivada direccional de la función f ( x, y)  5x 2 y 3 en el punto p(1,1)
a) en la dirección del vector que va de p al punto (3,-2)
b) en la dirección del vector tangente al círculo x 2  y 2  2 en el punto p
5. Calcule la derivada direccional de la función f ( x, y)  xseny en el punto (3,0), en la
dirección del vector tangente a la parábola y  x 2 en el punto (1,1)
NIVEL II:
 xy ( x 2  y 2 )

; si x, y   0,0
1. Sea g ( x)   x 2  y 2

0 si ( x, y )  (0,0)

g
g
(0,0) y
(0,0) si es que existe
Halle
x
y
2. Dada la función f ( x, y)  x 2  4 x  y 2  6 y  4 halle los puntos en los cuales
f
( x, y )
y
no existe.
3. Interprete y responda cada caso:
a) Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie
z  x 3 y  5y 2 con el plano x  2 en el punto en el que y  1
b) Calcule la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie
z  x 2  y 3 x con el plano y  2 en el punto en el que x  1
4. z   ( x, y) es una función real de variable real, diferenciable en R . Demuestre que la
función dada satisface la expresión indicada:
a) Si: f ( x, y)  x 2 ( x 2 y) entonces: x
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1
f
f
 2y
 2z
x
y
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2.  f
f 
b) Si: f ( x, y)  y ( x  y) entonces: y
 y  x   z



5. Sea f ( x, y, z )  x 2 y 2 (2 z  1) 2 . Halle la derivada direccional de f en el punto A(1; 1 ;-1),
en la dirección de la recta tangente a la curva de intersección de las superficies
S1 : x 2  y 2  2( y  x)  2  0
S 2 : x  y  2z  2  0
de modo que al mirar la curva, desde el origen, el sentido es horario.
6. Dada la función f ( x, y)  Ax 3  3Bx 2 y  3Cxy 2  Dx3 . Determine qué relación debe
existir entre los coeficientes A,B,C y D para que f xx  f xx f yy sea un cuadrado perfecto.
NIVEL III:
1. Considere la placa rectangular que se muestra en la figura siguiente.
La temperatura en un punto ( x, y ) de la placa está dada por : T ( x, y)  5  2 x 2  y 2
Determine la dirección en la que se debe mover un insecto que está en el punto (4,2) para
que se enfríe lo más rápido posible. Observe que (0,0) es el punto más frío de la placa.
Encuentre la trayectoria que el insecto (que busca el frío) debe seguir hacia el origen,
partiendo del punto (4,2).
2. Se estima que la producción semanal en cierta planta está dada por la función:
Q( x, y)  1200 x  500 y  x 2 y  x 3  y 2
Donde x es el número de trabajadores calificados e y el
número de trabajadores no calificados empleados en la
planta. En la actualidad, la fuerza laboral está conformada
por 30 trabajadores calificados y 60 no calificados. Aplicar
el análisis marginal para calcular el cambio que resultante
en la producción semanal al adicionar un trabajador
calificado, si no cambia el número de trabajadores no calificados.
3. Una partícula rastreadora de calor como se muestra en la figura:
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3. Está situada en el punto A(5,4) de una placa metálica cuya temperatura en ( x, y ) es
T ( x, y)  100  x 2  3 y 2 . Halle la trayectoria de la partícula al moverse de forma continua
en la dirección de más rápido crecimiento de la temperatura
4. La distribución de la temperatura sobre una placa metálica viene dada por la función:

T ( x, y)  10 xe  y  ye ( x2)
Una mosca se sitúa en el punto P0 (2,0) se pide:
2
2

a) Determinar la razón de cambio de la temperatura al desplazarse hacia el punto Q0 (2,2)
b) ¿En qué dirección desde el punto P0 debe moverse la mosca para que la temperatura
disminuya lo más rápidamente posible?
c) ¿En qué dirección desde el punto P0 debe moverse la mosca para que la temperatura
disminuya lo más rápidamente posible? Si sigue esta dirección ¿Cuál es la rapidez de
cambio de la temperatura?
d) Si la mosca no quiere apreciar ningún cambio de temperatura, ¿Qué dirección debe tomar?
5. La altura de una montaña sobre el nivel del mar es dada por la ecuación:
z  900  2 x 2  2 y 2 , donde x e y medidas en metros son las coordenadas este-oeste y surnorte respectivamente. Un hombre se encuentra en el punto A(6,5).
a) ¿ A qué altura se encuentra el hombre?
b) ¿En qué dirección desde el punto A debe caminar el hombre para escalar la montaña lo
más rápido posible?. Si sigue esta dirección ¿Cuál es la rapidez de cambio del
hombre?(considere la unidad de tiempo en segundos)
c) ¿Cuál es la dirección que apunta a la cima de la montaña desde el punto A? Si sigue esta
dirección ¿Cuál es el valor de la pendiente de esta montaña?
d) ¿Si el hombre se mueve en la dirección sur-oeste ¿esta ascendiendo o descendiendo?,
Cuál es su rapidez?
6. La altura de una montaña como se muestra en la figura:
x2 y2

Si un alpinista
4
2
comienza su ascenso al nivel del mar en x  20 10 e y  20 5 ¿Cuál es la trayectoria en
el plano xy que corresponde a la ruta más empinada de ascenso a la montaña?
En metros sobre el nivel del mar, está dada por: z  2000 
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4. Bibliografía:
#
[1]
[2]
[3]
CÓDIGO-L
515 THOM
2007
515 CLA PITA
2009
515 LARS
2008
AUTOR
TÍTULO
PÁGINAS
Calculo en Varias Variables
973-974
CLAUDIO PITA.
Cálculo Vectorial
111-112
LARSON, RON
Cálculo II
895-896
THOMAS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
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