Este documento presenta tres preguntas clave sobre la enseñanza de las matemáticas: 1) Cuál es el conocimiento matemático deseable para los estudiantes en el contexto social, 2) Cuál es el trabajo de aula que favorece ese conocimiento, y 3) Cuál es el papel de la evaluación en esta forma de trabajo. Discute la necesidad de enseñar matemáticas de una manera más contextualizada y significativa para los estudiantes.

1. Matemáticas escolares:
Aportes para orientar
procesos de innovación
Ministerio de Educación Nacional
República de Colombia

2. MINISTRA DE EDUCACIÓN NACIONAL
Cecilia María Vélez White
DIRECTOR INSTITUTO COLOMBIANO PARA EL
FOMENTO DE LA EDUCACIÓN SUPERIOR – ICFES
Daniel Bogoya Maldonado
SUBDIRECTORA DE ASEGURAMIENTO DE LA
CALIDAD
Magdalena Mantilla Cortés
AUTORES
Cecilia Barón Páez
Pedro Javier Rojas G.
Claudia Salazar
COORDINACIÓN ELABORACIÓN DEL
DOCUMENTO
Flor Patricia Pedraza Daza
Janneth Carvajal Alvarado
Claudia Lucia Sáenz Blanco
EDITOR: ICFES
PRIMERA EDICIÓN: 25.000 ejemplares
Diagramación: Claudia Consuelo Ladino
Banco de Pruebas - ICFES
preprensa digital,
impresión y terminados: Grupo de Procesos Editoriales de la
Secretaría General del ICFES
Bogotá, Febrero 2003
2003 Instituto Colombiano para el Fomento de la Educación
Superior - ICFES
Se permite la reproducción parcial o total de este documento
siempre y cuando se haga con propósitos educativos y se otorguen
los respectivos créditos.

3. 3
Contenido
PRESENTACIÓN
INTRODUCCIÓN
¿CUÁL ES EL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO
DESEABLE PARA EL ESTUDIANTE EN EL CONTEXTO
SOCIAL?
¿CUÁL ES EL TRABAJO DE AULA QUE FAVORECE ESE
CONOCIMIENTO MATEMÁTICO?
¿CUÁL ES EL PAPEL DE LA PREGUNTA Y DE LA
EVALUACIÓN EN ESTA FORMA DE TRABAJO?
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

5. 5
Presentación
La evaluación del estado de desarrollo de las competencias básicas
en las áreas de lenguaje y matemáticas ocupa un lugar prominente
en el plan de desarrollo del actual gobierno, ya que se reconoce la
necesidad inaplazable que tenemos todos los ciudadanos de
informarnos sobre las fortalezas y debilidades de la formación de
nuestros estudiantes en estas dos áreas.
Consecuentes con esta meta durante el año 2002, se aplicaron de
manera censal en algunas zonas del país, las pruebas SABER en las
áreas de matemáticas y lenguaje. Estos resultados, unidos a los
obtenidos en aplicaciones anteriores y a los que se tendrán en este
año, permitirán tener una línea de base nacional a partir de la cual
será posible llevar a cabo acciones más focalizadas para la
cualificación de la educación.
El presente documento es uno de los productos del análisis y
estudio de los resultados encontrados a lo largo de las aplicaciones
de las pruebas SABER. En éste, los autores a solicitud del ICFES,
aportan algunos elementos conceptuales en torno a tres preguntas
básicas para la educación matemática, con las cuales se pretende
motivar la reflexión de los docentes, en torno a su acción
educativa en el aula.
Esperamos que este documento cumpla con el propósito para el
cual fue escrito y se constituya en fuente consulta entre los
docentes del área, de tal manera que desencadene un intercambio
enriquecedor, necesario para mejorar día a día en la labor

7. El presente documento tiene como propósito aportar algunos
elementos conceptuales para que los profesores de matemáticas
interesados, inicien procesos de investigación curricular en sus
instituciones. Para ello el documento se ha estructurado
alrededor de tres preguntas fundamentales:
¿Cuál es el conocimiento matemático deseable para el estudiante
en el contexto social?
¿Cuál es el trabajo de aula que favorece ese conocimiento
matemático?
¿Cuál es el papel de la pregunta y de la evaluación en esta forma
de trabajo?
7
Introducción
En la primera, se presenta fundamentalmente el cambio que se ha
venido produciendo en lo que se considera el conocimiento
matemático pertinente y deseable para los ambientes escolares; se
desarrollan algunas caracterizaciones de los hechos, conceptos,
estructuras, destrezas, razonamientos y estrategias que configuran
el conocimiento matemático, y se destacan las relaciones que se
deben establecer entre éste y el contexto social.
En la segunda, se hace una propuesta sobre cuáles deberían ser los
ejes fundamentales de trabajo en la clase de matemáticas: el
conocimiento matemático, la comunicación y la formulación y
resolución de problemas. Así mismo, se exalta la importancia de las
interacciones que se producen en el aula entre los estudiantes, los
profesores y el saber matematico, buscando un ambiente propicio
para el desarrollo de competencias en los estudiantes. Se destacan
actividades como el trabajo colectivo, el debate, la socialización,
la confrontación y la argumentación, las cuales adquieren un
papel relevante en esta dinámica.
En la tercera, aparecen algunas especificaciones sobre las distintas
funciones que cumple la evaluación y los desarrollos de

8. innovación y renovación que pueden favorecerse con los procesos
generados a partir de la evaluación. Por otra parte, se establece una
distinción necesaria entre la información que ofrece una evaluación
masiva como las pruebas SABER y la evaluación que el maestro realiza en
el aula, enunciando fortalezas, alcances y limitaciones de cada una, de tal
modo que puedan apreciarse como complementarias.
8

9. uál es el conocimiento matemático
deseable para el estudiante
en el contexto social?
¿C
Desde mediados del siglo XX, la idea de la matemática como un
cuerpo estático y acabado de conocimientos, producido por la
genialidad de algunas mentes, fue reevaluada en dirección a
reconocer que tales conocimientos han surgido, en las diferentes
culturas, como respuesta a necesidades sociales (contar, medir,
localizar, diseñar, explicar, jugar,...), y a su interdependencia con
otras disciplinas, así mientras nuevos conceptos ganan vigencia,
otros la pierden, y por tanto, es pertinente que la escuela también
discuta acerca de la manera como las nuevas perspectivas, tanto en
matemáticas como en didáctica, se reflejan en el currículo
desarrollado con los niños.
No se discute, por ejemplo, la pertinencia e importancia de
realizar un trabajo orientado al aprendizaje de las operaciones
aritméticas, pero la forma en que usualmente se abordan refleja
que el conocimiento matemático se concibe más como un hacer
que como una forma de conocer a partir de la reflexión sobre las
acciones, pues es ampliamente aceptado como propósito
fundamental de la matemática en la básica primaria el dominio de
“las cuatro operaciones” y producto de esta creencia es el énfasis
en la mecanización de un procedimiento de cálculo, usualmente
el algoritmo clásico, que en nuestra cultura se utiliza para cada
una de las operaciones: suma, resta, multiplicación y división de
números naturales, incluso desde los primeros grados.
En algunos grupos, como el de vendedores en plazas de mercado o
de productos al detal, es usual que se privilegie el hacer cuentas en
forma oral antes que en forma escrita, haciendo uso de
procedimientos diferentes a los enseñados en la escuela, pero tan
válidos como éstos, que además evidencian una comprensión del
sistema de numeración desde la representación verbal-oral,
aunque ésta no necesariamente se refleje en el trabajo con
representaciones simbólicas. En tal sentido, la escuela, antes que
mantener la hegemonía en el cálculo escrito y segregar a quien no
9

10. lo hace, debería utilizar el saber manifiesto en el trabajo desde lo
verbal-oral para potenciar apropiación de la representación
simbólica que socialmente es requerida. Por ejemplo, si un niño
representa el número “dos mil cinco” como 2.0005, ¿qué
posibilidades de éxito tendrá al aplicar los procedimientos de
cálculo tradicionalmente enseñados?.
Algunos niños, a quienes se les ha enseñado a sumar vertical-mente
unidades, decenas y centenas, realizan procedimientos
399 +
1
3910
En el aprendizaje de una operación, antes de abordar estos
procedimientos de cálculo (algoritmos) es necesario que los niños
hayan alcanzado comprensión profunda del sistema de
numeración de valor posicional, a través de la experiencia
10
como éste:
¿Qué refleja esta respuesta sobre el sentido numérico del niño?
¿Qué comprensión del algoritmo y del sistema numérico se
aprecia?
Acciones con material didáctico, como el ábaco y los bloques
multibase, o el trabajo con billetes y monedas (equivalencias,
pagos y cambios).
Uso de diversas representaciones, tanto a nivel verbal-oral,
como gráfico y simbólico, partiendo de las diversas
propuestas de los niños, para posteriormente contrastarlas
con las establecidas culturalmente.
Procesos de argumentación acerca de las acciones que los
modelos concretos, gráficos o simbólicos sintetizan
Uso significativo de la operación en múltiples casos
particulares, pues sin valorar hechos y relaciones que se
repiten en un gran número de casos carece de sentido
pretender generalizar un procedimiento de cálculo.

11. Realización de cálculos mentales y aplicación de estrategias de
estimación.
“Un currículo dirigido al desarrollo de técnicas no puede ayudar a
comprender, no puede desarrollar significados, no puede capacitar
al alumno para que adopte una postura crítica dentro o fuera de
las matemáticas. Por tanto mi opinión es que un currículo dirigido
al desarrollo de técnicas no puede educar. Sólo puede instruir y
adiestrar, siempre y cuando tenga éxito, pero por mucho éxito que
tenga en estos cometidos, por sí mismo no puede educar. Además si
fracasa en instruir y adiestrar, entonces no hace nada positivo por
el niño. Para el niño que tiene éxito es como mucho, un
adiestramiento; pero para el niño que fracasa es un desastre.”
(Bishop, 1999, p.26)
Aunque se acepta la necesidad de contar con algoritmos como
procedimientos eficientes para obtener el resultado de
operaciones, no se justifica el excesivo espacio dedicado a trabajar
el algoritmo usual para cada operación, sin posibilitar a los
estudiantes ampliar su comprensión sobre las operaciones
aritméticas mediante la explicación y valoración tanto de sus
propias maneras de calcular, en las cuales suelen hacer explícito el
uso de propiedades matemáticas, como del ingenio y la facilidad o
complejidad de los algoritmos construidos por otras culturas.
69x35 = (60+9)x(30+5)
= 60x(30+5)+9x(30+5)
= 60x30+60x5+9x30+9x5
= 1800+300+270+45
= 2415
70x35 = [7x(30+5)]x10
= [210+35]x10
= 245x10
= 2450
69x35 = 2450-35
= 2415
11

12. Multiplicación Egipcia
(a partir de duplicaciones) (por celosías)
12
Multiplicación Hindú
69x35 = 2415
69 1 *
138 2 *
276 4
552 8
1104 16
2208 32 *
1 + 2 + 32 = 35
69 + 138 + 2208 = 2415
69x35 = 2415
6
2 3
4 5
1
9
5
1 2
8 7
3 4
0 5
Por otra parte, aunque en ámbitos diferentes al escolar, cuando se
requiere hacer cuentas es indiscutible la necesidad de una
calculadora, algunos docentes aún no permiten a los niños usarlas
en la clase de matemáticas. Pero encontrar el resultado de una
operación ya no es un problema fundamental en la actualidad,
pues la tecnología ha dispuesto herramientas para la ejecución
rápida y precisa de los cálculos; en el presente se requiere
contribuir al desarrollo de un razonamiento cuantitativo más
general para encontrar caminos en la resolución de un problema,
valorar la pertinencia de la estrategia de cálculo a emplear, discutir
la coherencia de las respuestas obtenidas, e incluso comprender
cómo se han desarrollado y cómo funcionan las herramientas de
cálculo.

13. Es importante insistir en que para desarrollar el pensamiento
numérico de los niños y jóvenes no es suficiente con generar
habilidades y destrezas de cálculo, pues además se requieren
procesos de comparación, estimación, etc., así como la
comprensión acerca de las relaciones cuantitativas inmersas en
diversos contextos en los cuales el estudiante participa y frente a
los cuales debe actuar haciendo uso del conocimiento que posee.
Otro campo que además de requerir del pensamiento numérico
también permite profundizar en relaciones de tipo cualitativo es
el relacionado con la estadística, cuya alusión no es muy frecuente
en la tradición curricular, pues al parecer no se ha reconocido su
importancia para la toma de decisiones en situaciones de la vida
cotidiana que requieren de la obtención, organización y análisis
de datos. Sin embargo, cuando estos temas son abordados, se
enfatiza un tratamiento formal de los conceptos y
procedimientos, basado en una concepción de enseñanza que ha
1 tenido arraigo en nuestro medio , la cual da prioridad a la
organización del conocimiento, sin dar suficiente importancia o
incluso sin considerar el sentido que pueda tener para el
estudiante, ni el significado que éste pueda construir, hecho que
puede observarse en ciertas “rutinas de acción” que se desarrollan
en el aula, por ejemplo, en relación con la enseñanza de medidas
de tendencia central como media, mediana y moda, es muy
frecuente desarrollar una secuencia que comprende:
Definiciones dadas por el maestro (por ejemplo, la media aritmética es
definida como el promedio de los datos, la moda como el dato de
mayor frecuencia y la mediana como el dato ubicado en el sitio
intermedio al hacer una ordenación de los mismos).
Explicación de los procedimientos (cálculos que permiten obtener la
media, moda o mediana a partir de los datos considerados).
Ejercicios de aplicación (los estudiantes hacen cálculos sobre algunos
grupos de datos, teniendo en cuenta las definiciones y los
procedimientos explicados previamente por el maestro).
1. Concepción que suele ser “reforzada” con la presentación que de los diversos
temas se hace en los textos escolares.
713

14. Ahora bien, dentro de los fines de la educación en la actualidad, a
diferencia de las perspectivas aceptadas décadas atrás, se considera
que la formación matemática no puede restringirse a la
memorización de definiciones y a la ejecución de procedimientos,
o dominio de destrezas de cálculo, sino que ella debe aportar
elementos para que el estudiante construya colectivamente
interpretaciones, representaciones y explicaciones de su mundo
natural y social. Así, una formación matemática que contribuya a
que el niño pueda hacer interpretaciones más apropiadas de su
realidad, consideraría los mencionados temas ya no a partir de su
ubicación dentro de las matemáticas como disciplina, sino a
través del estudio de situaciones del mundo que se modelan
mediante tales conceptos; estas situaciones se encontrarían
vinculadas, por ejemplo, con proyectos tendientes a obtener para
los niños de la escuela un suplemento alimenticio por parte de
una institución externa, proyectos en los cuales es indispensable
hacer argumentaciones sobre medidas que representen de la
manera más adecuada el peso y la talla de los niños (media o
promedio), para contrastarlas con los parámetros establecidos por
organismos de salud para valorar deficiencias nutricionales.
Similarmente, en un proyecto de organización de una tienda en la
escuela, sería necesario tener datos sobre los comestibles,
refrescos, helados, etc., de mayor demanda (la moda para cada
tipo de producto), para evitar las pérdidas que se generarían si los
artículos ofrecidos no fueran comprados.
Sin embargo, cuando se pretende encontrar una medida
representativa en conjuntos de datos que sean muy dispersos o
que correspondan a una escala ordinal, como en el caso de
encontrar la talla de los trajes o del calzado que podría ser más
solicitada por los habitantes de cierto municipio, la mediana,
obtenida al ordenar los datos de una muestra y escoger el que tiene
la misma cantidad de datos tanto por encima como por debajo de
él, es una medida más adecuada que la moda; e incluso carecería
de sentido calcular un promedio a partir de datos cualitativos o de
valores que, si bien son numéricos, no representan cantidad o
medida, sino que son usados más como etiquetas que asignan un
orden; por ejemplo, el número treinta (asociado a la talla 30) no
14

15. equivale a los tres cuartos del cuarenta (asociado a la talla 40). Así,
los objetos de las matemáticas escolares pueden actuar
simultáneamente como organizadores, interpretadores,
generadores de realidad y orientadores de la acción.
Formar un ciudadano que pueda ser interlocutor de la cultura,
participando en los procesos y las dinámicas sociales actuales,
requiere que la escuela aporte elementos para el manejo de
información amplia y diversa, que puede demandar el uso
comprensivo de herramientas tecnológicas o la organización de la
información (en diagramas, tablas,...) para clasificar, ordenar,
reconocer regularidades que faciliten la toma de decisiones.
Esto significa que el conocimiento matemático que se genere en la
escuela, además de estar fundamentado en procesos de
construcción, debe posibilitar tanto comprensión de los
conceptos, formas de representación y uso del lenguaje
matemático, como reconocimiento de su utilidad en contextos y
situaciones específicas, y debe brindar elementos para explicar o
sustentar no sólo los procedimientos, sino también la pertinencia
de las decisiones tomadas.
De Guzmán (1989) considera que lo importante en la educación
matemática actual es generar en la escuela una cultura
matemática que contribuya a la “preparación para el diálogo
inteligente con las herramientas que ya existen, de las que algunos
ya disponen y otros van a disponer en un futuro que ya casi es
presente”.
715

16. En este sentido, el conocimiento matemático no se considera un
cúmulo de saberes rígidos y sin conexiones, por el contrario, en
términos de Rico (1990), es concebido como una estructura
configurada a partir de dos componentes fundamentales: La
Conceptual y la Procedimental, que no pueden pensarse una
independiente de la otra, pues la historia muestra que la
estructuración de un concepto como una entidad estática ha sido
antecedida por largos periodos durante los cuales se ha
concebido como un procedimiento; pero también en el trabajo
matemático se reconoce la potencia de las estructuras
conceptuales para seleccionar procedimientos adecuados al
abordar problemas complejos.
Componentes del conocimiento matemático
Conceptual
Procedimental
Rico reconoce tres niveles en el campo conceptual:
Hechos: Unidades de información que sirven como registro
de acontecimientos, pero que pueden carecer de significado
aisladamente.
Conceptos: Serie de unidades de información conectadas
entre sí por medio de relaciones.
Estructuras conceptuales: Uniones o relaciones entre
conceptos que constituyen conceptos de orden superior.
16
Hechos
Conceptos
Estructuras
conceptuales
Destrezas
Razonamientos en
Matemáticas
Estrategias

17. Una situación particular del currículo podría ilustrar los niveles
antes descritos: Es usual caracterizar un triángulo (como objeto
matemático) a partir de enunciados como “tiene tres lados” o
“tiene tres vértices”, los cuales podrían ser reconocidos por los
niños en figuras que aunque cumplen con una de estas
propiedades no son representaciones de un triángulo, como
podrían ser:
Así, dichos enunciados, como hechos aislados, no son suficientes
para caracterizar este objeto, en tanto no lo diferencian de otros.
La construcción del concepto de triángulo requiere del
reconocimiento de conexiones y relaciones entre diversos hechos:
estar conformado por tres segmentos de recta, ser línea
(poligonal) cerrada, tener tres vértices, tres ángulos, la longitud de
cualquiera de sus lados no puede exceder la suma de las longitudes
de los otros dos, además del reconocimiento de características que
se conservan bajo transformaciones (traslaciones, giros,
reflexiones, ampliaciones,...), entre otros, y la estructura
conceptual está dada, por ejemplo, por la posibilidad de construir
criterios de clasificación para los triángulos (según la longitud de
sus lados, o la amplitud de los ángulos), y de reconocimiento
como un tipo particular de polígonos: regulares, irregulares,
convexos; así como, posteriormente, reconocer los criterios de
semejanza y sus relaciones con los conceptos de la trigonometría.
Ahora bien, en el campo procedimental, Rico reconoce como
niveles:
Destrezas: Aritméticas, geométricas, métricas, gráficas y de
representación; que suponen el dominio de los hechos y
tienen significado para quien las utiliza y su ejecución debe
darse al interior de una estructura conceptual.
717

18. Razonamientos en matemáticas: Enunciados, procesos para
fundamentar una idea a partir de datos o premisas y reglas de
inferencia.
Estrategias: Formas de responder a una determinada situación
dentro de una estructura conceptual, como estimación,
aproximación, construcción de tablas, simplificación de tareas
difíciles, comprobación y establecimiento de conjeturas.
Generar este tipo de conocimiento matemático en la escuela, hace
necesario pensar en el trabajo de aula que favorecería tal
conocimiento, trabajo que no puede estar orientado por la
memorización de definiciones y hechos aislados, sino por la
construcción de estructuras conceptuales y de diversas
estrategias.
18

19. ¿Cuál es el trabajo de aula que
favorece ese conocimiento
matemático?
Cuando se aborda el tema del diseño curricular surgen
inquietudes relativas no sólo a las concepciones y saberes del
profesor, a las concepciones y saberes de los estudiantes y al
conocimiento matemático escolar, sino también, a las dinámicas
de aula o interacciones que entre profesor, estudiantes y saber se
producen.
La atención explícita a estas interacciones, es considerada en la
actualidad como un eje fundamental de la clase de matemáticas,
en tanto es a partir de la discusión de los distintos puntos de vista,
de los distintos argumentos (descriptivos, explicativos,
comparativos o metafóricos, pruebas no formales,...), propuestas
y contrapropuestas que se producen en el aula, como se construye
colectivamente el saber y se legitima al otro como parte
fundamental en el proceso de construcción de conocimiento y de
competencias individuales. Por ello, en esta dinámica de
construcción, el papel de la comunicación es fundamental para
establecer consensos y construir criterios de validación colectivos
ante el conocimiento que se pone en juego.
Este tipo de trabajo supone, por una parte, que el maestro cumple
con un papel fundamental como mediador entre el razonamiento
y los significados personales de los estudiantes y los
razonamientos, argumentos y significados institucionales de las
matemáticas como conocimiento cultural y, por otra, que es en la
interacción de saberes, producida en el aula, donde se reconocen y
se ubican las matemáticas como una actividad humana situada en
un contexto; y que son precisamente estas interacciones entre
situaciones problema–estudiantes–profesor, las que hacen
aparecer la discusión sobre lo matemático, permitiendo construir
criterios colectivos de validación (qué se considera como solución
para un problema, cuándo dos soluciones son realmente
719

20. distintas, reconocimiento de la validez de los argumentos y
procedimientos,...) y normas sociales para la convivencia,
discusión y concertación en el aula de clase.
SITUACIONES PROBLEMA
PROFESOR ESTUDIANTES
Pero la pregunta fundamental es ¿cómo organizar toda esta
postura epistemológica, metodológica y pedagógica en un diseño
curricular coherente con sus fundamentos? Para dar respuesta a
este interrogante se requiere realizar un análisis del enfoque
direccionador de la clase, ya que es a partir de éste que se pueden
“definir” o “redefinir” las temáticas a considerar o los ejes
conceptuales fundamentales que articularán el conocimiento
matemático escolar, y por ende, afinar algunos elementos
metodológicos para que se produzcan las condiciones apropiadas
para la consecución de los objetivos perseguidos.
En oposición a la presentación del conocimiento matemático
como un cuerpo de conocimiento producto de deducciones a
partir de enunciados cuya validez debe ser asumida como
principio, en las últimas décadas ha ganado aceptación el enfoque
de resolución de problemas para el trabajo en el aula en la clase de
matemáticas, en tanto que los procesos, razonamientos y
dinámicas en las que tienen que involucrarse los estudiantes
cuando resuelven y formulan problemas, son comparables con
acciones que a través de la historia se han realizado para la
construcción de conocimiento matemático: planteo de hipótesis,
exploración de estrategias de verificación o refutación,
realización de inducciones y generalizaciones e incluso valoración
2 del trabajo producto de concepciones erróneas .
2. Los errores que el profesor evidencia en el trabajo de los niños suelen ser
producto de concepciones diferentes, lo cual no implica que los procedimientos y
razonamientos por ellos realizados carezcan de validez; por tanto, penalizar el error
podría impedir la exploración de estrategias alternativas y generar temores que
obstaculizarían el desarrollo del pensamiento creativo.
20

21. FORMULACIÓN Y RESOLUCIÓN
DE PROBLEMAS
CONOCIMIENTO MATEMÁTICO COMUNICACIÓN
En este orden de ideas, el conocimiento matemático, la
comunicación y las interacciones que se producen en torno a las
matemáticas, y en ellas la formulación y resolución de problemas, se
constituyen en tres aspectos fundamentales sobre los que el
profesor debe fijar su atención en los desarrollos individuales y
grupales de sus estudiantes, pues de esta manera estará dando
cuenta y trabajando en el desarrollo de competencias matemáticas
(interpretativa, argumentativa y propositiva), pues son
precisamente estos tres aspectos los que las configuran y las hacen
ser.
Así, los problemas no se reducirían a simples ejercicios de
mecanización y aplicación de conocimientos previamente
estudiados, pues la resolución de problemas puede verse como
una actividad que involucra procesos cognoscitivos superiores,
como visualización (más allá de lo puramente perceptivo),
asociación, abstracción, comprensión, razonamiento, análisis,
síntesis y generalización. Algunos estudios han demostrado que la
reflexión realizada por el estudiante sobre sus propias acciones en
el proceso de resolver problemas posibilita la modificación de sus
estructuras cognoscitivas y desarrolla habilidades para
comunicarse matemáticamente, además de posibilitarle generar
procesos de investigación alrededor de conceptos y
procedimientos matemáticos, y explorar diversas estrategias de
solución.
El análisis de dos situaciones permitiría apreciar posibilidades de
trabajo desde el enfoque de resolución de problemas.
721

22. SITUACIÓN 1
Realice las siguientes sumas:
70 + 60 =
100 + 130 =
100 + 150 =
100 m META
Existe una diferencia radical entre las acciones que demandan las
dos situaciones, pues mientras en la primera realizar la operación
es un fin en sí mismo y el énfasis se ubica en el procedimiento de
cómputo para encontrar un resultado, en la segunda, la operación
es sólo uno de los medios para abordar la pregunta, pues sin
acudir a ella también es posible decidir cuál ruta es más corta, por
ejemplo, estableciendo relaciones entre las longitudes de los
distintos tramos. Esta situación permitiría también establecer
conexiones con otros temas, como combinatoria (análisis de
todas las posibles rutas), medida (estimación de las posibles
longitudes y áreas de un terreno donde se ubique la pista),
velocidad (análisis acerca de cuando se recorre mayor o menor
distancia en una unidad de tiempo). Además se da lugar a
prácticas que contribuyen a la formación ciudadana, al elaborar
argumentos con el propósito de convencer, reconocer al otro al
tomar en cuenta sus opiniones y buscar consensos sobre lo que es
aceptado como solución.
22
60 m
70 m
A
100 m B
150 m
C
D
60 m
¿Cuál es la ruta
más corta para
llegar a la meta
partiendo del
punto A?
SITUACIÓN 2

23. ¿Cuál es el papel de la pregunta
y de la evaluación en esta
forma de trabajo?
Como se ha propuesto en párrafos anteriores, este trabajo en el
aula orientado desde el enfoque de formulación y resolución de
problemas, acerca al estudiante a situaciones que lo retan y
cuestionan, sobre las cuales puede actuar en búsqueda de
comprensión; para ello, pone en juego saberes de distinta
naturaleza que le permiten, entre otros, acercarse, establecer
caminos posibles (aunque no todos sean pertinentes) y tomar
decisiones. En estas acciones del estudiante respecto a la situación
problema, la pregunta es el lugar de encuentro entre los saberes, la
experiencia natural o la experiencia vivida y los conocimientos
matemáticos, sus lógicas y razonamientos plausibles.
Una reflexión sobre el papel de la pregunta aportaría elementos
para actuar ante la actitud de algunos estudiantes que se dedican a
oprimir teclas para obtener el resultado de las operaciones o a
seleccionar, copiar y pegar textos de las enciclopedias virtuales y
de la red internet para elaborar sus trabajos escritos. En lugar de
prohibir el uso de calculadora o la presentación de trabajos
escritos en computador se tendría que cambiar el sentido de la
pregunta, pues es la pregunta planteada por el docente la que
direcciona el tipo de actividad y de acciones mentales en que se
involucra el estudiante. Así las preguntas que exigen comprender,
explicar, generalizar, tendrían que desplazar a las que buscan sólo
un resultado o una información.
La pregunta en la clase de matemáticas debería ser entonces un
elemento que permita problematizar (analizar pertinencia y
validez, reconocer alcances y limitaciones,...), complejizar (lo
cual no significa complicar, sino favorecer el establecimiento de
relaciones, de perspectivas diversas,...), y orientar el
conocimiento en discusión; la pregunta en tanto permite
comunicar los significados compartidos y no compartidos entre
estudiantes y docente, no tiene que ser responsabilidad exclusiva
del profesor.
723

24. A través de las preguntas que se formulen en la clase, puede darse
la posibilidad de validación del saber, la generación y
construcción de discursos que favorezcan el uso de distintas
formas de argumentación. Además, es a partir de las preguntas de
sus estudiantes, como el profesor puede dar cuenta de los
significados y los sentidos que ellos dan a los conocimientos que
circulan en el aula, por lo cual, ésta se constituye también en una
alternativa importante para la evaluación.
Así, ante los nuevos retos constituidos como fines para las
matemáticas escolares, determinados en parte por las necesidades
de la cultura y la sociedad, la evaluación aparece como un
elemento fundamental para la consecución de estos objetivos y
para el establecimiento de criterios de calidad en los procesos
educativos, que toman como saber de referencia las tendencias
planteadas desde la Educación Matemática como disciplina,
intentando con esto, incidir en las prácticas tradicionales de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Este interés ha motivado la construcción y aplicación de diversos
instrumentos y estrategias de evaluación, propuestos a los
distintos estamentos involucrados en el sistema educativo:
instituciones, currículos, profesores y estudiantes. Estas
evaluaciones, de naturaleza distinta y con objetos de evaluación
diferenciados, responden a propósitos diferentes y están sujetas a
algunas limitaciones. Tal es el caso de las evaluaciones de carácter
masivo que se vienen llevando a cabo en el país, con el propósito
de establecer una caracterización nacional de las competencias
matemáticas de los estudiantes de grados tercero, quinto, séptimo
y noveno.
Estos instrumentos de evaluación o pruebas, permiten establecer
algunas caracterizaciones generales de las competencias
matemáticas de los estudiantes, como por ejemplo:
“Nueve de cada 10 niños de grado quinto pueden usar los algoritmos de las
operaciones básicas o establecer relaciones de orden” (MEN-ICFES, 1997,
p.77)
24

25. “De 45.416 estudiantes de noveno grado, 104 pueden abordar problemas
que requieren un conocimiento matemático más formal que implica el
reconocimiento de estructuras matemáticas que involucran más de un
concepto, relación o procedimiento para su resolución, utilizando un
lenguaje que exige mayor formalidad sintáctica y semántica”. (MEN-ICFES,
También ofrecen información más específica en relación con
tópicos o conceptualizaciones puntuales de las matemáticas
escolares, como es el caso de:
725
1999, p.7)
“En cuanto el tópico de geometría el rendimiento presentado por los
estudiantes de grado quinto es medio, en este tópico se analiza el
reconocimiento de figuras geométricas y sus propiedades, transformaciones
en el plano (rotaciones y traslaciones); ángulos; perpendicularidad y
paralelismo y área por recubrimiento.
El rendimiento de éstos estudiantes fue significativamente bajo cuando se
enfrentaron con situaciones en donde se hace referencia a la interpretación y
representación de gráficas, al conteo, la proporcionalidad y las
posibilidades; las cuales se analizan en el tópico de estadística”. (MEN-ICFES,
1999, p.45).
.
.
Tales caracterizaciones se constituyen en un indicador
importante sobre el desempeño de los estudiantes colombianos,
aunque tienen limitaciones para establecer diferencias que se
pueden vislumbrar en los estudiantes como individuos o grupos
de individuos (cuestión que claramente no debe ser propósito de
estas evaluaciones); los mencionados aspectos tendrían que ser
abordados desde la evaluación que docente y estudiante hacen en
el aula, quienes por estar comprometidos en las interacciones
suscitadas en ella en torno a las matemáticas escolares, pueden
llevar a cabo descripciones más elaboradas sobre los desempeños,
progresos, prácticas, comprensiones y argumentos que en estos
espacios se generan y se constituyen en determinantes para los
propósitos escolares.
Además del seguimiento sobre competencias matemáticas, es
importante el reconocimiento de las actitudes de los estudiantes
en el trabajo que desarrollan en el aula y fuera de ella: persistencia,

26. perseverancia, establecimiento de metas a corto, mediano y largo
plazo, compromiso que asumen con sus propósitos, búsqueda de
soluciones a las dificultades encontradas, actitud crítica e
investigativa, entre otras.
Por otra parte, es necesario que profesores y estudiantes lleven a
cabo la evaluación de aspectos relacionados con su formación
como individuos, integrantes de una comunidad, esto es, su papel
como miembro de un grupo, las relaciones con sus pares, el
reconocimiento y legitimidad de los otros -que se evidencia en la
consideración y discusión de sus argumentos-, aspectos que como
ya se ha planteado pueden ser incorporados al trabajo en
matemáticas, a través del enfoque de resolución de problemas.
De este modo, es posible evidenciar los alcances y la potencia de la
evaluación en el aula, que sin lugar a duda, demanda un
seguimiento permanente e integral de los estudiantes y debe
cumplir con funciones de distinta naturaleza, según Jiménez
(1997), la evaluación tiene una misión social, ética y pedagógica.
La función social, le otorga como misión ayudar y orientar a los
estudiantes y satisfacer sus demandas, de esta manera, la
evaluación debe permitirle al estudiante llevar “un seguimiento
de su proceso”, de tal modo que pueda establecer estrategias que le
conduzcan a superar las dificultades que se le han presentado, a
través de la autoevaluación es posible contribuir con este
propósito.
Una situación particular de aula estaría relacionada con el
reconocimiento por parte del estudiante de su capacidad para
interpretar situaciones del mundo, lograr comprensión de
procesos sociales y culturales, tomar decisiones en diversas
situaciones y prácticas que le impliquen poner en “uso” las
competencias desarrolladas en torno a la interpretación, selección
y organización de la información, reconocimiento de diversas
formas de representación y el establecimiento de la pertinencia de
unas u otras, dependiendo del contexto.
26

27. La función ética y política, le señala a la evaluación el objetivo de
destacar la legitimidad del error como vía de acceso al
conocimiento -cuando esta vía es complementada por la crítica y
la superación del conocimiento anterior-, esto es, la evaluación
debe permitir encontrar en el error, en el obstáculo, una ruta
legítima para acercarse a la temática, a la solución del problema, a
la construcción del lenguaje; debe reconocerlo no como
indicador de fallas, sino como parte del proceso; y observar en él,
la posibilidad de vislumbrar diferencias, potencialidades y
miradas distintas.
Por último, la función pedagógica, que señala a la evaluación la
misión de incentivar el avance del estudiante en el dominio de
estructuras conceptuales, planteándole situaciones diversas, por
ejemplo, a partir del grado cuarto y hasta el grado séptimo, la
fracción es una temática importante para las matemáticas
escolares, en este proceso, la evaluación debe permitir hacer un
seguimiento a la construcción de distintas interpretaciones como
parte todo, razón, cociente, operador y a su vez a la construcción
de algoritmos, estrategias, razonamientos, estructuras en torno a
éstas.
Así, la evaluación que el profesor realiza en el aula de clase puede
proporcionar información cualificada acerca de los desarrollos
alcanzados por sus estudiantes y la manera como han ido
complejizando su competencia matemática, así como sobre el
desarrollo de una actitud de búsqueda; además debería posibilitar
a profesores y estudiantes reconocer y valorar la diversidad de
aportes realizados por los integrantes de los grupos, sin pretender
homogenizar. Esta evaluación debe arrojar información a la que el
profesor no puede acceder a través de los resultados de las
evaluaciones masivas, ya que estas intentan dar cuenta de ciertos
parámetros de calidad y no de los aprendizajes de los estudiantes o
los obstáculos que en estos procesos pueden identificarse.
Por lo tanto, es necesario reflexionar de qué manera estos dos
tipos de evaluación pueden complementarse y qué aspectos
27

28. pueden aportar en la reflexión sobre las prácticas pedagógicas
actuales, sobre las dinámicas de las instituciones educativas, sus
PEI, sus currículos, sus programas, sus proyectos, etc., así se
podrán determinar los posibles contextos en los que se debe
involucrar a los estudiantes para el desarrollo de su competencia
matemática y se hará posible el establecimiento de “condiciones”
para el mejoramiento de la calidad de la matemática escolar en el
país.
28

29. Referencias bibliográficas
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resolución de problemas. En: Currículum y cognición. p. 140 – 170.
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