2. El leguaje ordinario y el lenguaje algebraico Esta información se puede expresar de la siguiente forma: El largo de una mesa de ping pong es el doble del ancho menos 30 centímetros. Al ancho de la mesa lo llamamos x . El doble sería 2 · x . El largo de la mesa será entonces 2 · x – 30 . El lenguaje algebraico utiliza números, letras y signos de las operaciones para expresar la información que nos ofrece el lenguaje ordinario. (Puede ponerse 2x – 30 ) (Puede ponerse 2x , sin el signo de multiplicación) largo ancho x 2 · x – 30
3. Un número aumentado en 5 unidades Un número disminuido en 7 unidades El triple de un número El siguiente a un número El doble de un número más 5 unidades El perímetro del cuadrado El área del cuadrado n + 5 n – 7 3 ·a (se puede poner 3a) a + 1 2a + 5 4x x 2 Veamos algunos ejemplos Lenguaje ordinario Lenguaje algebraico Representamos un número cualquiera con la letra n Representamos un número cualquiera con la letra a Representamos el lado de un cuadrado con la letra x x + x + x + x x · x x x x x x x
4. 1. Expresa en lenguaje algebraico Lenguaje ordinario Lenguaje algebraico Hoja de Ejercicios 1 3n+7 a 3 –6 x–1 ab/2 Dado un número n , halla su triple disminuido en 6 unidades. El cuadrado del número b más 12 . La cuarta parte de un número n . 2. Escribe ahora una frase que corresponda con la expresión de la derecha 6l ¿Cuál será el perímetro de un rombo de lado a ? Paca tiene 12 años ¿Cuántos tenía hace y años? Evaristo tiene 14 años ¿Cuál tendrá dentro de x años?
5. Expresiones algebraicas Las fórmulas que empleamos en geometría, en estadística, en otras asignaturas como Ciencias, contienen números y letras. Veamos algunos ejemplos: Espacio recorrido por un camión que circula a 80Km/h = 80t El factor 1 no se escribe Expresión algebraica es un conjunto de números y letras unidos entre sí por signos de las operaciones aritméticas, suma, resta, multiplicación, división y potenciación. Tres cosas que tienes que recordar: (Donde t es el tiempo en horas) El exponente 1 tampoco El signo de multiplicación no suele ponerse 1 ·x 2 ·y 1 =x 2 ·y 1 x 2 ·y 1 =x 2 ·y x 2 ·y=x 2 y Resumiendo 1 ·x 2 ·y 1 = x 2 y r b a
6. Valor numérico de una expresión algebraica Sabemos que el área de un cuadrado de lado x es igual a x 2 . ¿Qué ocurre cuando el lado vale 8 cm.? Que el área del cuadrado será el resultado de sustituir x por 8 . O sea 8 2 = 64 . El valor 64 es el valor numérico de la expresión x 2 , cuando la x se sustituye por 8. Valor numérico de una expresión algebraica, es el valor que toma al sustituir las letras por valores y realizar las operaciones indicadas. Vamos a ver algunos ejemplos: Tenemos la expresión 3x 2 – 5 . Se pide: Hallar su valor numérico para x = 2 . Será: 3 · 2 2 – 5 = 3·4– 5 = 12 – 5 = 7 Tenemos la expresión 4a + 5b . Se pide: Hallar su valor numérico para a = –3 y b = 2 . Será: 4 ·( –3 ) + 5· 2 = – 12+10 = – 2 x x
7. Hoja de Ejercicios 2 3. Halla el valor numérico a=–3 b=4 a 2 –b 2 x=–3 y=–1 x 2 y x=3 3x 2 –5x+6 x=2 3x 2 –12 n=–3 3n+10 a=–1 b=0 4a–8b Valor numérico Valores Expresión algebraica a=12 x=4
8. Sumas y restas de expresiones algebraicas x x x x ¿Cuál será la longitud total del segmento? Tenemos un segmento que mide 5 x 7x Y otro que mide 2x x x x Suma 5x+2x= 7x ¿Cuál será la longitud diferencia de los dos segmentos? x x x x x 5x 2x 3x Resta 5x – 2x= 3x Hay que tener en cuenta que: 2x 2 + 5 x No se pueden sumar Se dejaría como está. x x x x 2x 5x x x x x x
9. Son aquellas expresiones algebraicas que tienen la misma parte literal (mismas letras con los mismos exponentes) Expresiones algebraicas semejantes 3x 3 es el coeficiente x es la parte literal 5x – 2x x 40x – x Una expresión algebraica consta de dos partes: El coeficiente y la parte literal. Todas las expresiones algebraicas de arriba son semejantes todas tienen la misma parte literal x . Vamos a ver un ejemplo: x+5x–9x= Se suman o se restan los coeficientes y se deja la misma parte literal 1 x+5x–9x= (1+5–9)x= – 3x Sólo se pueden sumar o restar las expresiones algebraicas semejantes, las que tienen la misma parte literal. ¿Qué son expresiones algebraicas semejantes? ¿Cómo se suman o restan expresiones algebraicas semejantes? Recuerda
10. 4. Realiza las siguientes operaciones con expresiones algebraicas. 5. Vamos a complicarlo un poco Hoja de Ejercicios 3 e) 2x 2 y+8x 2 y= d) –3x 2 +4x 2 –7x 2 = c) 2ab–5ab–ab= b) –x+4x–2x+x= a) 3a+5a–7a–14a= (3+5–7–14) a = –13a i) h) 2x 2 +3x–5x+x 2 = g) 2x–3y+5x–7y= f)
11. Hoja de Ejercicios 4 6. Expresa en lenguaje algebraico el perímetro de un rectángulo de lados a y b. ¿Cuál es el valor numérico para el caso de tener a = 3 cm y b = 5 cm? 7. Expresa en lenguaje algebraico el significado de las siguientes frases: a) El doble de un número. b) La tercera parte de un número. c) El cubo de un número menos el mismo número. d) La diferencia de un número y su mitad. e) El cuadrado de un número aumentado en 4. 8. Lee correctamente las siguientes expresiones algebraicas: a) x – y= b) x 2 – y 2 = c) 3(x + y)= d) x 2 + (x + 1) 2 = e) (x + y) 3 = a b
12. Hoja de Ejercicios 5 11. Calcula la expresión algebraica del perímetro de un triángulo donde las longitudes de sus lados son 3 números consecutivos. 9. Expresa en lenguaje algebraico el significado de las siguientes frases: a) El doble de un número más el triple de otro. b) A la quinta parte de un número, le restamos 10. c) El cubo de un número menos su doble. d) La suma de dos números consecutivos. e) El cubo de un número disminuido en 3. 10. Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas. (Si no es posible escribe no se puede reducir ) a) 4x 2 + 2x 2 = b) 7a + 3b= c) 8x – 5x + x= d) x 2 – x= e) x 3 + 3x 2 = f) 9x 2 – 2x 2 + 5x 2 = ( 4+2 )x 2 =6x 2 7a+3b (No se puede reducir)
13. Hoja de Ejercicios 6 12. Expresa en lenguaje algebraico el área de un cuadrado de lado x. ¿Qué valor toma el área en el caso en que el lado mide 7 cm? ¿Y si mide 2'5 cm? 14. Calcula el valor numérico de la expresión algebraica 4x + 8 para x = 7 , x = 3 y x = 15 . 13. Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas: a) −x 2 +2x 2 −x 2 = b) 7a+3b+2a–b= c) 8x–5x+x–4x= d) x 2 –x+3x 2 −2x= e) x 2 +3x 3 = f) x 2 –2x 2 +3x 2 –x 2 = x=15 x=3 x=7 4x+8 4x+8 4x+8
14. Operar expresiones algebraicas con paréntesis Vamos a efectuar operaciones con expresiones algebraicas en las que aparecen paréntesis x+5x–2(x+3)= x+5x –2 · x –2 · 3= x+5x–2x–6= ( 1+5–2 )x–6= 4x–6 Vamos a ver otro ejemplo: Primero: Quitamos los paréntesis, haciendo uso de la propiedad distributiva Tercero: Juntamos los términos semejantes Cuarto: Sumamos los coeficientes Segundo: Efectuamos las operaciones 2(x+6)–3(5x–4)= 2 · x+ 2 ·6 –3 · 5x + 3 · 4= Primero: Quitamos los paréntesis, haciendo uso de la propiedad distributiva Segundo: Efectuamos las operaciones 2x+12–15x+12= Tercero: Juntamos los términos semejantes ( 2–15 )x+12+12= Cuarto: Sumamos los coeficientes – 13x+24
15. Hoja de Ejercicios 7 15. Reduce, cuando sea posible, las siguientes expresiones algebraicas: a) 2(3x–4)+5(3+4x)= b) 3a+5(a–7)= c) 7(x–6)–4(8+x)= d) 2x–7(x–3)+5(2–3x)= e) –3(7x–4)–5x+3(x–5)= f) 3(x 2 –2x+2)+5(2x–6)=
