4°

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Robert Letourneau” Cuarto Año
Geometría 1
INDICE
 Punto y Recta …..…………………….
 Poliedros ……………………………..
 Prisma …….…………………………..
 Pirámide ……………………………….
 Cono ……..…………………………….
 Cilindro ….……………………………..
 Esfera ………………………………….

TEMA: PUNTO Y RECTA
NOCIONES FUNDAMENTALES
• Espacio.- Extensión indefinida y sin límites conocidos, que es el medio en
el cual se hallan cuantas cosas existen en el universo tiene naturaleza
material.
• Geometría del Espacio o Estereometría.- Estudia la forma y extensión de
la figuras geométricas cuyos puntos no están en un mismo plano
(espacio tridimensional)
1) RECTAS Y PLANOS
POSTULADO DEL PLANO
El plano es una superficie ilimitada en todas sus partes que contiene
exactamente a toda recta que pase por dos puntos cualesquiera de dicha
superficie.
* La idea del plano, la recta y el punto es un concepto intuitivo puramente
experimental.
REPRESENTACION DEL PLANO
El plano puede considerarse como ilimitado en los sentidos, no tiene
figura alguna y seria imperceptible para nuestros sentidos si no
señalaremos en el ciertos, limites, los limites con que señalamos una
parte del plano son arbitrarios, así podemos limitarlo en forma de
triángulo, de polígono, de círculo, pero la costumbre de limitar un
rectángulo o romboide como se ve en el suelo, paredes, en los cuadrado,
en las mesas, etc.
DETERMINACION DE UN PLANO
Determinar un plano significa escoger uno de los infinitos planos que
existen en el espacio:
Geometría 2

a) Tres puntos no colíneales determinan un plano.
A
B
C
P
b) Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano.
P
A
c) Dos rectas secantes determinan un plano.
P
d) Dos rectas paralelas determinan un plano.
P
Geometría 3

POSICIONES ENTRE RECTAS Y PLANOS
I) ENTRE RECTAS:
• Rectas Secantes.- Si tienen un punto común.
P
2L1L
• Rectas Paralelas.- No tienen ningún punto en común y además ellos
pueden estar contenidas en un mismo plano.
P
2L1L
• Rectas Alabeadas.- No tienen ningún punto en común y además
ellas nunca deben estar contenidas en un mismo plano.
P
2L1L
Geometría 4
↔↔
31 LaantesecesL
↔↔
21 L//L
alabeadassonLyL 21
↔↔

* Ángulo formado por dos rectas Alabeadas.- Para determinar la
medida del ángulo que forman dos rectas alabeadas se trazan 2
rectas paralelas a dichas rectas alabeadas, entonces el ángulo
formado por las rectas trazadas será el ángulo entre las 2 rectas
alabeadas.
P
2L
1L a
b
→ α: Ángulo formado por
↔↔
21 LyL
II) ENTRE PLANOS:
• Planos Secantes.- Se intersectan una recta.
Geometría 5
↔↔
↔↔
•
•
2
1
L//b
L//a

P
Q
• Planos Paralelas.- Son planos que no se intersectan.
P
Q
III) ENTRE RECTA Y PLANO:
• Secante.- Se intersectan determinando un punto.
Geometría 6
Plano “P” secante al plano “Q”
Plano “P” // plano “Q”

P
A
L
• Paralelas.- Si no tienen ningún punto en común.
P
L
DETERMINACION DE ÁNGULOS
• Entre Rectas.- Para hallar el ángulo que forman dos rectas
alabeadas, se toma un punto exterior o ambas y se trazan paralelas a
cada una p se toma un punto de una de ellos y se traza una paralela a la
otra.
Geometría 7
↔
L
es secante al plano “Q”
↔
L
es paralelo al plano “P”

* Se traza: m // L1 y m // L2 ⇒ θ : ángulo entre L1 y L2
* Se traza: t // L1 ⇒ θ : ángulo entre L1 y L2
• Entre Recta y Plano.- Para hallar el ángulo entre un plano y la recta
secante, se proyecta sobre le plano y se halla el ángulo “θ” entre la recta
“L” y su proyección “BT”.
Geometría 8

P
B θ
t
L
• Entre Planos (Ángulo Diedro).- Es la figura formada por dos semiplanos la
recta común se denomina arista y a dichos semiplanos se denomina caras.
Q
P
2L
1L
θA B
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Y PLANOS
• Si una recta es perpendicular a un plano entonces será perpendicular a
todas las rectas al plano.
Geometría 9
BT → proyección de L sobre P
⇒ θ : ángulo entre L y P
P y Q: son caras del Diedro
AB: aristas del Diedro
Notación: Diedro AB
ABL
ABL
2
1
⊥
⊥

P
mn
L
Teorema de tres perpendiculares: Si tenemos una recta “L” perpendicular
el plano “P”; y del pie de esta trazamos una segunda perpendicular a una
recta “m” contenida en el plano entonces toda recta que pase por un punto de
la recta “L” y por “B” será perpendicular a “m”.
P
m
L
A
B
Geometría 10
Si
)Pn(nL
)Pm(mL
PL
∈⊥
∈⊥⇒
⊥
↔
↔
↔

PROBLEMAS PARA LA CLASE
1) Indique Verdadero (V) o Falso
(F), según corresponda:
I) Tres puntos determinan un plano.
II) Un punto y una recta
determinan un plano.
III) El plano esta conformado
por puntos y por rectas.
IV) Dos rectas siempre
determinan un plano.
Rpta.:
2) Indicar verdadero (V) o falso (F)
I) Si una recta es paralela a
un plano; es paralela a
todas las rectas del plano.
II) Si una recta es
perpendicular a un plano;
es perpendicular a todas
las rectas del plano.
III) Los planos pueden ser
solamente paralelas osecantes.
IV) Si dos rectas son paralelas
a un plano, estas son
siempre paralelas entre si.
Rpta.:
3) En el grafico AB = 10 , AD =
13, CE = 20 AC = BC ; hallar
CD, si CD ⊥ al plano P.
P
B
E
A
D
C
Rpta.:
4) Un punto P dista 12m de un
plano, un segmento de recta
AB es te en el plano.
Encontrar la distancia desde
AB al pie de la perpendicular
bajada desde P, si
13BPAP == y AB = 8
Rpta.:
5) Un punto P dista 12m, de un
plano. Hallar la distancia de
dicho punto hacia el segmento,
AB contenido en el plano, si
13BPAP == y 8AB =
Rpta.:
6) Se dan dos planos paralelas P
y Q distante entre si 10m.
Calcular la longitud de la
proyección de AB sobre el
plano Q, si 14AB = , siendo
“A” un punto del plano P y B un
punto del plano Q.
Rpta.:
7) Un segmento de recta
m12AB = , une el punto A
del plano P con el punto B del
plano Q, siendo P y Q
paralelas, la proyección de
AB sobre cualquiera de las
dos planos mide 8m. Hallar la
distancia entre dichos planos.
Rpta.:
8) Calcular el área del triángulo
equilátero ABC del baricentro
G, si se traza GD perpendicular
al plano del triángulo, formando
DC con el plano ABC un
ángulo de 60° y 8DC =
Rpta.:
Geometría 11

9) Por el vértice A de un cuadrado
ABCD se traza una
perpendicular 6AP = al
plano ABCD. Hallar el área del
triángulo PDC, si 4BC =
Rpta.:
10) Se tiene un cuadrado ABCD de
centro “O” y de lado “a”, por “B”
se levanta la perpendicular
BP = a, al plano ABCD.
Calcular el área del triángulo
POM, si “M” es el punto medio
de CD
Rpta.:
11) En el grafico “O” es centro,
DP es perpendicular al plano
“Q” si BC están en el plano.
Hallar PC , si 13OP = , r = 3
, 22BC =
P
Q
Or
B
C
Rpta.:
12) ABC es un triángulo equilátero
de lado PB4 es
perpendicular al plano. Hallar
PQ , si 1AQ = y
32PB =
P
B
C
Q
A
Rpta.:
13) ABC es un triángulo rectángulo
isósceles 2BCAB == . Por
“C” se levanta CT
perpendicular a su plano.
Hallar TM , siendo “M” en el
punto medio de AB además
ACTC =
Rpta.:
14) Se tiene un cuadrado ABCD de
lado igual a 4. Por “B” se
levanta BP perpendicular a
su plano, tal que 5BP = , si
“M” es punto medio de CD .
Hallar la medida del ángulo
formado por PM y AD
Rpta.:
15) Desde la cima de un poste, un
pájaro “P” observa los puntos
“A” y “B” del suelo a una misma
distancia, además el ángulo
°=
∧
60BPA . Hallar la altura
del poste sabiendo que el
Geometría 12

ángulo que forma PA con el
suelo es 45°; y que 10AB =
Rpta.:
16) Se tiene rectas cruzadas L1 y
L2, siendo AB la distancia
entre ellas (A en L1 y B en L2).
Se toma “C” en L1 y “D” en L2,
de manera que la
m∠CDB = 90° y además
BD2AC = . Hallar el ángulo
con el que se cruzan L1 y L2.
Rpta.:
17) Por el baricentro “G” de un
triángulo equilátero ABC de
lado 36 se levanta una
perpendicular al triángulo hasta
un punto “P” de modo que
6PG = , hallar l ángulo diedro
formado por el triángulo ABP y
el triángulo equilátero.
Rpta.:
18) Desde un punto “A” exterior a
un plano “H”, trazamos la
perpendicular AO y dos
oblicuas AM y AN (O, M y
N pertenecen al plano H).
Calcular la distancia de “O” a
MN , si 4AO = , 4MN = ,
AM = AN = 5
Rpta.:
19) Desde un punto “A” exterior a
un plano “H”, trazamos la
perpendicular AO , la
perpendicular OB a una recta
L contenida en dicho plano, se
ubica un punto “D” en la recta
L, tal que cm29AD = ,
cm4AO = , cm3OB = .
Calcular el área de l región
triangular OBD.
Rpta.:
20) En el plano “H” se tiene una
circunferencia de diámetro
PQ de longitud igual a
cm50 . Por el extremo “P”
se levanta la circunferencia se
toma un punto “R”, tal que
PQAR = , cm14PR = .
Calcular AQ
Rpta.:
Geometría 13

PROBLEMAS PARA LA CASA
1) De las siguientes afirmaciones:
I) Una recta que interfecta a
una de las dos rectas que
se cruzan siempre
interfecta también a la otra.
II) La proyección de toda
poligonal sobre un plano es
otra poligonal.
III) La intersección de dos
planos cualquiera es una
recta.
Son verdaderas
a) Todas b) Solo I
c) Solo I y II d) Solo III
e) II y III
2) Mercar verdadero (V) o Falso
(F):
I) Por un punto de una recta
pasa un solo plano
perpendicular a la recta
dada.
II) Dos rectas perpendiculares
al mismo plano son
paralelas.
III) En un punto hay
exactamente una recta
perpendicular al plano.
a) VFV b) FVV
c) VFF d) VVV
e) FFF
3) Al mediodía, dos personas
observan un globo aerostatito
detenido en el aire a una
distancia de 100m. si las dos
personas están distanciadas
120m, hallar la altura a la cual
se encuentra el globo
aerostatito; si uno observa que
la sombra del globo en tierra
esta a 80m de él.
a) 40m b) 50m
c) 60m d) 70m
e) 80m
4) Las distancias de 2 puntos A y
B a un plano ”B“ son 6 y 2.
Estando dichos puntos a
ambos lados del plano, de
modo que la proyección de
AB sobre el plano es 15.
Hallar AB .
a) 10 b) 12
c) 15 d) 17
e) 8
5) Sean M y N dos planos
paralelas que distan entre si
40m, se ubican los puntos A y
B en M y N respectivamente.
La proyección de AB sobre el
plano N mide 30m. Calcular
AB.
Geometría 14

a) 35m b) 42m
c) 48m d) 50m
e) 60m
6) Por un punto A exterior a un
plano “H” se trazan la
perpendicular AO y la oblicua
AP tal que cm12AO = ,
cm13AOP = . Calcular la
longitud del lugar geométrico
de los puntos OP.
a) 10πcm b) 12πcm
c) 16πcm d) 20πcm
e) 26πcm
7) En la figura, el triángulo QPR
esta por encima del plano “B”,
con Q y R puntos del plano.
Hallar FE , si m6ES = , “E”
punto medio de PR .
B
9 m
F E
S
P
5 m
Q
a) 3m b) 5/2m
c) 12/7m d) 15/2m
e) 23/4m
8) En la figura, los planos ABE y
ABCD son perpendiculares, si
cm4BC = , cm6MQ = y
CM = MD, hallar la distancia de
“C” a AE
4
6
M
P
Q
A
E
B
D
C
4
a) 6cm b) 7cm
d) 8cm d) 9cm
e) 10cm
9) La distancia del punto “P” del
espacio, a un plano “H” es 15m
y la proyección de PQ sobre
el plano “H” mide 8m, Q ∈ L y
L ⊂ “H”. Hallar la distancia de
“P” a L.
a) 17m b) 18m
c) 19m d) 20m
e) m215
Geometría 15

10) Los puntos P y Q se
encuentran en distintas
semicircunferencias respecto al
plano “H” y distan ambos 24m
de él. Calcular PQ si los pies
de las perpendiculares
trazadas desde ellas a dicho
plano determinan un segmento
de 64m.
a) 60m b) 70m
c) 75m d) 80m
e) 82m
11) Determinar la longitud del
segmento PQ en el espacio,
cuyas proyecciones sobre dos
planos perpendiculares
determinan segmentos cuyas
longitudes difieren en 5m y si
PQ es 10m. Mayor que la
menor proyección.
a) m215 b)
m220
c) 25m d)
m225
e) 30m
12) Dos segmentos AB y CD
se cruzan ontogonalmente; si
m12AB = y m16CD = .
Hallar la longitud del segmento
que une los punto medios de
AC y BD .
a) 12m b) 10m
c) 15m d) 6m
e) 8m
13) Dos rectas
↔
AB
y
↔
CD se
cruzan formando un ángulo de
60°; si AC es la mínima
distancia entre ellas y
AB = AC = CD = A. Hallar BD
a) 3a b) 5a
c) 2a d) 3a
e) 2a
14) Dado el cuadrado ABCD se
construye el triángulo
equilátero ABE en un plano
perpendicular al cuadrado; si
“P” es punto medio de AE y
“Q” es un punto medio de BC
y el área del triángulo PBQ es
2
cm38 , ¿Cuánto mide el
lado del triángulo ABE?
a) 8cm b) 6cm
c) 4cm d) 10cm
e) 5cm
15) Dado el rectángulo ABCD,
AB = 2m y BC = 4m. Por el
vértice “B” se levanta un
segmento BE de longitud 3m
perpendicular al plano del
rectángulo. Si “M” es punto
medio de AD . Hallar EM
a) m13 b) m17
c) m8 d) m19
e) m21
Geometría 16

TEMA: POLIEDROS
Es el sólido limitado por cuatro o mas regiones poligonales planos
denominadas caras; a los lados de las caras se les denomina ARISTAS del
poliedro y al segmento que tiene extremos; dos vértices que no pertenecen a
una misma cara se le denomina diagonal.
A r is ta
C a r a
V é r tic e
D ia g o n a l
Clasificación:
1) Por el número de caras: Se clasifican los poliedros en tetraedros,
pentaedros, exaedros,….
2) Según sus características:
a. Poliedro Convexo.- Si todos los ángulos diestro son convexos; una
recta secante lo corta siempre en dos puntos.
1
2
b. Poliedro Cóncavo.- Si tiene por lo menos un diedro cóncavo. Una
recta secante lo corta en más de dos puntos.
Geometría 17

1
2
3
4
5
6
c. Poliedro Regular.- Todas sus caras son polígonos regulares iguales.
d. Poliedro Irregular.- Es aquel poliedro que no es regular.
TEOREMA DE EULER
En todo polígono se cumple que el número de caras mas el número de
vértices es igual al número aristas más dos unidades
Donde: C = # de caras
V = # de vértices
A = # de aristas
Geometría 18
2AVC +=+

Propiedad: Si un polígono esta formado de diferente número de lado, el
número de aristas se calcular de la siguiente manera.
2
........pmpmpm
A 332211 +++
=
Donde:
m1 , m2 , m3 , …… es el número de lados de cada polígono.
p1 , p2 , p3 , …...… es el número de polígonos que nos dan.
POLIEDROS REGULARES
Son aquellos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares
iguales entre si:
- Los ángulos y los diedros son respectivamente iguales
- Todo poliedro regular se pude inscribir o circunscribir en un esfera donde
el centro de las esferas viene a hacer el centro del poliedro regular.
TEOREMA:
Solamente existen 5 poliedros regulares: tetraedro regular, exaedro regular,
octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular.
• Tetraedro Regular.- Sus caras son cuatro regiones triangulares equiláteros
A
B
C
O
G
l
Geometría 19

Notación: Tetraedro Regular O – ABC
Altura: OG ; siempre cae en el baricentro (G)
3
6l
OG =
Volumen (V):
12
2l
V
3
=
Superficie total o Área (A):
3lA 2
=
• Exaedro Regular.- Sus caras son seis regiones cuadradas, también se
le denomina cubo
l
B
A
G
C
E
D
F
H
Notación: Exaedro Regular ABCD – EFGH
Diagonal ( BH ):
3lBH =
Volumen (V):
2
lv =
Geometría 20

2
l6A =
• Octaedro Regular.- Sus caras son ocho regiones triangulares equiláteras.
l
B
C
DA
M
NNotación: Octaedro Regular M – ABCD – N
Diagonal ( MN ):
2lMN =
Volumen (V):
3
2l
V
3
=
3l2A 2
=
• Dodecaedro Regular.- Sus caras son doce regiones pentagonales iguales.
Geometría 21

l
Volumen (V):
10
52147
2
l5
V
3
+
=
5
525
l15A 2 +
=
• Icosaedro Regular.- Sus caras son veinte regiones triangulares equiláteras.
l
Volumen (V):
Geometría 22

2
537
6
a5
V
2
+
=
3a5A 2
=
POLIEDROS CONJUGADOS
Dos poliedros son conjugados cuando el número de cada uno de ellos es
igual al número de vértices del otro.
• El tetraedro regular es conjugado consigo mismo, es decir en un tetraedro
regular solamente se puede inscribir una esfera u un tetraedro regular.
• El exaedro regular y el octaedro regular son conjugados, es decir en el
exaedro regular solamente se puede inscribir una esfera y el octaedro
regular y viceversa.
• El dodecaedro regular y el icosaedro regular son conjugados
Poliedro # caras # vértices # aristas
Tetraedro 4 4 6
Exaedro 6 8 12
Octaedro 8 6 12
Dodecaedro 12 20 30
Icosaedro 20 12 30
NÚMERO DE DIAGONALES DE UN POLIEDRO
Ad#CD# caras
v
2poliedro −−=
Donde:
poliedroD# = Número de diagonales del poliedro.
v
2C = Combinación del número de vértices de dos en dos.
#dcaras = Número de diagonales de todas las caras del poliedro.
A = # de aristas del poliedro.
Para el exaedro regular Para el tetraedro regular Para el octaedro regular
#dcaras = 0 ; A = 12
Geometría 23

#dcaras = 2(6) = 12 ; A = 12
28
)!2()!6(
!8
CC 8
2
v
2 ===
. Reemplazando en la
ecuación
#D = 28 – 12 – 12 = 4
#Dcubo = 4
#dcaras = 0 ; A = 6
6CC 4
2
v
2 ==
ecuación
#D = 6 – 0 – 6 = 0
#Dtetraedro = 0
15
)!2()!4(
!6
CC 6
2
v
2 ===
ecuación
#D = 15 – 0 – 12 =3
#Doctaedro = 3
Para el dodecaedro regular Para el icosaedro
60
2
)35)(5(12
d# caras =
−
= ; A =
30
190
)!2()!18(
!20
CC 20
2
v
2 ===
* Reemplazando en la ecuación
#D = 190 – 60 – 30 = 100
#Ddodecaedro = 100
#dcaras = 0 ; A = 30
66
)!2()!10(
!12
CC 12
2
v
2 ===
* Reemplazando en la ecuación
#D = 66 – 0 – 30 =36
#Dicosaedro = 36
Geometría 24

1) Si la diagonal de un cubo es
“d”, halar el volumen del cubo.
Rpta.:
2) ¿Cuántos vértices tiene un
icosaedro regular?
Rpta.:
3) Al unir los puntos medios de
las aristas del cubo de la figura,
de volumen 64cm3
; se obtiene
una región poligonal. Hallar su
área.
Rpta.:
4) Si las arista de un octágono es
el triple de la arista de un
icosaedro, la relación en que
se encuentra sus áreas totales
es:
Rpta.:
5) El área total de un tetraedro es
336 , hallar la altura de una
de sus caras.
Rpta.:
6) Hallar el área total de un
tetraedro regular si la suma de
las longitudes de sus aristas es
36.
Rpta.:
7) En la siguiente figura, el cubo
tiene una arista de 2m. ¿Cuál
es la longitud menor para IR de
M a D; recorriendo la superficie
del cubo?
A
B C
D
M
L P
N
Rpta.:
8) En el cubo que se muestra en
la figura, calcular la medida del
ángulo que forman las rectas L1
y L2.
Geometría 25

2L
1L
Rpta.:
9) En un cubo, la distancia de un
vértice al centro de la cara
opuesta es m6 . Hallar la
medida de la arista.
Rpta.:
10) En el cubo mostrado, calcular
la medida del ángulo que
forman las rectas L1 y L2.
2L
1L
Rpta.:
11) Se tiene 27 cubitos de 1cm de
arista y se forma con ellos un
cubo mayor que es pintado en
forma total por su exterior. Al
desarmar el cubo se desea el
área total que ha quedado sin
pintar en todos los cubitos.
Rpta.:
12) En la figura adjunta se
presenta un cubo de arista
“a”cm. Cual es el perímetro del
triángulo ABC.
Rpta.:
13) La siguiente figura representa
un cubo cuya arista mide
“a”cm. Cual es le área de la
parte sombreada.
Rpta.:
Geometría 26

14) Si el lado del cubo es 3cm y el
lado de otro cubo es de 12cm.
Cual es la razón de sus
superficies totales
Rpta.:
15) Calcular el volumen del
hexaedro regular cuya diagonal
mide cm320 .
Rpta.:
16) En la figura se muestra un
octaedro regular. Hallar el
ángulo que hacen AB y CD
al cruzarse.
A D
C
B
F
E
Rpta.:
17) En un tetraedro regular
A – BCD, M es un punto medio
de su respectiva altura AH ,
H es el pie de dicha altura.
Calcule la m∠DMB.
Rpta.:
18) En un tetraedro regular
A – BCD cuya arista mide 2m,
calcule el área de la región
cuadrangular cuyos vértices
son puntos medio de
CB,DC,AD,AB
respectivamente.
Rpta.:
19) En un exaedro ABCD – EFGH
cuya arista mide 4m; en HG
se ubica el punto “P” tal que
2HP = , en FP se ubica el
punto “M” tal que 2MP = .
Calcule BM
Rpta.:
20) En un exaedro regular
ABCD – EFGH cuya arista
mide 2 , calcular el volumen
del poliedro ACFH.
Rpta.:
Geometría 27

1) En un poliedro, la suma del
número de caras, vértices y
aristas es 32. Calcular el
número de aristas de aristas de
dicho poliedro.
a) 12 b) 13
c) 14 d) 15
e) 15
2) En un cubo de 2m de lado se
unen tres vértices de modo que
se forma un triángulo equilátero.
Determinar el área del triángulo.
a) 5m2
b) 4m2
c) 1m2
d) 2
m3
e) 2
m32
3) Un cubo de madera de xcm de
arista es pintado totalmente
luego se corta en cubos de
9cm de aristas cada uno. Si
entonces hay exactamente 96
cubos que tiene dos de sus
caras pintadas, hallar la
longitud de “x”
a) 70 b) 80
c) 90 d) 100
e) 110
4) Si el volumen de un tetraedro
regular es “V”. Hallar el volumen
del poliedro conjugado.
a) V b) V2
c) 2V d) 3V
e) V3
5) Si la altura de un tetraedro
regular es 6m. hallar su volumen.
a) 3
m327 b)
3
m33
c) 3
m35 d)
3
m3
e) 3
m6
6) Calcular el volumen de un
tetraedro regular sabiendo que su
área total equivale al área total de
un icosaedro de arista “a”
a) 2Q3
b)
4
2Q3
c)
5
2Q2 3
d)
12
3Q5 3
e)
12
10Q5 3
7) Si la arista del cubo es 2T .
Hallar el área del la región
sombreada.
a) T2
b) 22T 2
c) 2T2
d)
2/2T2
e) 3T2
Geometría 28

8) Dado un cubo de arista “a”. Hallar
el área del triángulo sombreado.
F
E
C
D
B
A
H
G
a) a b) 2a2
c) 2
2
a2
d) 2a3 2
e) a2
9) Los planos del cuadrado ABCD
y el hexágono ABEFGH son
perpendiculares, si
m
53
2
AB
−
= . Hallar el área
de la proyección del círculo
inscrito en el triángulo GFC
sobre el plano del cuadrado.
a)
2
m
2
π
b)
2
m5π
c) 2
m5π d) 2
m6π
e)
2
m
5
2
π
10) Una circunferencia esta inscrita
en un a cara de un tetraedro
regular cuyo lado mide 6m.
hallar el área de la proyección
del círculo sobre la otra cara.
a)
2
m
2
P b) 2
Pm2
c) 2
Pm d)
2
Pm
2
3
e)
2
m
3
P
11) En la figura, AH es la altura
del tetraedro regular ABCD,
donde OHAO = . Hallar la
longitud de la arista si:
( ) ( ) ( ) 3222
m216DOCOBO =++
H
A
B
C
D
O
a) 3m b) 6m
c) 9m d) 12m
e) 15m
12) La arista de un exaedro regular
mide m34 . Hallar la
distancia entre la diagonal de
una cara lateral y la diagonal
de una cara lateral y l diagonal
de una de las bases del sólido
que no se intersecan.
a) 2m b) m32
c) m62 d) 4m
e) m24
13) En la figura ABCDEF es un
hexágono en el plano “P”, tal
Geometría 29

que, los planos HBC y P
forman un diedro de 45°. Si el
área de la región triangular
AHF es 2
cm28 , hallar el
área de la región triangular
HBC.
P
C
D
B
H
F E
A
a) 15cm2
b)
2
cm212
c) 2
cm210 d)
2
cm18
e) 2
cm16
14) Hallar el área del área de la
región triangular PQR, si su
proyección sobre un plano “A”
es una región triangular
isósceles PTR si:
cm10RTPT == y
cm12PR = , además QT
es perpendicular al plano “A” y
cm38QT =
a) 2
cm82 b)
2
cm272
c) 2
cm96 d)
2
cm348
e) 2
cm102
15) En la figura “O” es el centro de
la cara del tetraedro regular
ABCD cuya arista mide “a”cm.
Calcular AF
A
B
D
O
C
F
a) cm57
9
a
b)
cm59
7
a
c) cm47
3
a
d)
cm53
7
a
Geometría 30

e) cm71
8
a
Geometría 31

TEMA: PRISMA
Es el poliedro donde sus caras son paralelas y congruentes denominados bases
y sus otras caras son regiones paralelogramicas. Un prisma se nombra según la
cantidad de lados que tenga la base.
Ejm: Si la base tiene seis lados se le denomina Prisma Hexagonal
A
B C
F E
D
H
J
KL
G
I
B a s e
A lt u r a
d e l
P r is m a
A r is ta
b á s ic a
A r is ta
la t e r a l
B a s e
C a r a
la t e r a l
Notación: ABCDF – GHIJKL
CLASES DE PRISMA
Los prismas se clasifican según la inclinación de su arista lateral con respecto al
plano se de su base.
• Prisma Oblicuo: Tiene los cristales laterales oblicuas con respecto al la base.
* En la figura se tiene un prisma triangular ABC – DEF
B a s eD
A
E
F
C
B
B a s e
HS R
a
* SR: Sección recta es perpendicular a todas las aristas. En todo prisma se
realizan los siguientes cálculos:
Geometría 32

 Área de la superficie lateral (ASL)
a)P2(A SRSL ⋅= En donde:
2Psr: Perímetro de la
sección recta.
a : Longitud de la arista
lateral.
 Área de la superficie total (ABASE)
)A(2AA BASESLST += En donde:
ABASE: Área de la base
 Volumen (V)
H)A(V BASE ⋅= En donde:
H : Altura
a)A(V ST ⋅= En donde:
ASR : Área de la sección
recta
• Prisma Recto: Es el que tiene las aristas perpendiculares a la base, puede
ser triangular cuadrangular, etc.; según sea la base.
B a s e
B a s e
B
E
FD
A C
a h
* La arista es igual a la altura
• Área de la superficie lateral (ASL)
a)A(A BASESL ⋅= En donde:
2PBASE : Perímetro de la base
Geometría 33
En la figura se
muestra el prisma
recto ABC – DEF

a : longitud de la asista lateral
• Área de la superficie total (AST)
)A(2AA BASESLST += En donde:
ABASE : Área de la base
• Volumen (V)
h)A(V BASE ⋅= En donde:
h : Altura
* Tronco de Prisma Triangular Recto
C
B
A
a b
Área de la Superficie Lateral (ASL)
lateralescaraslasdeAreasASL =
Área de la Superficie Total (AST)
BdeAreaAdeAreaAA SLST ++=
Volumen (V)
3
cba
)BdeArea(V
++
⋅=
* Paralelepípedo rectángulo ó Rectoedro ó Ortoedro: Es aquel cuyas caras son
regiones rectangulares.
Geometría 34

H
GF
E
D
CB
A
b
a
c
d
* a , b , c → Son dimensiones del paralelepípedo rectangular
* Tiene 4 diagonales las cuales son congruentes y de igual longitud.
• Diagonal (d)
2222
cbad ++=
Nota:
(a +b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2(ac + bc + ab)
↓ ↓ ↓
2
ensionesdim
3las
desuma










= d2
+ ASR
• Superficie Lateral (ASL)
c)ba(2ASL ⋅+=
• Superficie Total (AST)
)ecbcab(2AST ++=
• Volumen (V)
cbaV ⋅⋅=
Geometría 35

1) La diagonal de un
paralelepípedo rectángulo mide
10m y su área es 384m2
.
Calcular la suma de sus
longitudes de todas las aristas.
Rpta.:
2) Las dimensiones de un
paralelepípedo rectangular
están en la relación de
2 , 3 y 4. Donde la diagonal del
sólido es m58 . Calcular el
volumen del paralelepípedo.
Rpta.:
rectoedro. Si se sabe que las
rectangulares que concurren
en un vértice tienen un área de
8m2
, 9m2
, 18m2
Rpta.:
4) El volumen de agua contenido
en el sólido mostrado en la
figura es:
3 m
5 m
6 m
1 0 m
Rpta.:
5) Si las aristas de un cubo se
aumenta respectivamente en
2 , 4 y 6 entonces el volumen
del paralelepípedo obtenido
excede en 568m3
al volumen
del cubo dado. Determinar la
longitud de la diagonal de este
cubo.
Rpta.:
6) Se tiene un prisma hexagonal
regular donde el área de una
cara lateral es igual al área de
la base. Si la arista básica mide
dm43 . Determinar el
volumen del sólido.
Rpta.:
7) En un prisma cuadrangular
oblicuo; la sección recta es un
cuadrado de 2m de lado. Calcular
la relación entre el área lateral y
el volumen del sólido.
Rpta.:
8) Un prisma triangular oblicuo
tiene como base a un triángulo
equilátero de 4dm de lado;
12dm de arista lateral y 9dm de
altura. Determinar el área de la
sección recta del sólido.
Rpta.:
Geometría 36

9) Se tiene una piscina de 40m de
largo, 12m de ancho y 3,5 de
altura. Se vierte 1500 litros de
agua. Calcular a que distancia
quedara el agua al borde la
piscina.
Rpta.:
prisma cuya sección recta es
un triángulo equilátero
circunscrito a una
circunferencia de 4m de radio y
una área total que es 24m2
.
Rpta.:
11) La altura de un prisma
triangular es igual al diámetro
de la circunferencia circunscrita
a su base. Determinar el
volumen de dicho prisma si el
productote los 3 lados de las
base es igual a “P”
Rpta.:
12) Se tiene un caja de fósforo
cuyas dimensiones son
3 , 4 y 5cm respectivamente
mas largo que se puede
introducir en dicha caja.
Rpta.:
13) Calcular el volumen de un prisma
regular tal que su base es un
pentágono, cuyo apotema mide
4m y conociendo además que el
área de una cara lateral es 16m2
.
Rpta.:
14) Dado el vértice de la base de
un prisma cuadrangular
regular, se trazan: la diagonal
del sólido y la diagonal de la
base las cuales forman 45°. Si
el área lateral del sólido es
2
m216 . Hallar su volumen.
Rpta.:
15) En la figura se tiene un prisma
recto, sobre la arista AF se
ubica un punto “H” tal que
HF5AH7 = . Si el volumen
del tronco de prisma H – ABC
es 35m3
. calcular el volumen
del prisma ABCDEF.
D
EF
H
C
BA
Rpta.:
Geometría 37

16) En la figura ABCD es un
rectángulo de 23m2
de área.
Hallar el volumen del sólido
ABCDEFG, siendo las aristas
DE , BF y CG
perpendiculares al plano del
rectángulo y de longitudes
5m , 7m y 6m respectivamente.
E
C
A
F
D
B
G
Rpta.:
17) Las longitudes de las aristas de
un paralelepípedo rectangular
son entre si como 3 , 4 y 12
respectivamente, su diagonal
mide 6,5m. Hallar su área total.
Rpta.:
18) La diagonal de un
paralelepípedo mide 10m y su
área total es 261m3
. Calcular la
suma de las longitudes de
todas sus aristas laterales.
Rpta.:
19) Se tiene un prisma recto de
m25 de largo, 5m de ancho
y 5m de altura. Determinar el
mayor ángulo que forman sus
diagonales.
Rpta.:
20) La base y del desarrollo de la
superficie lateral de un prisma
recto son cuadrado siendo “a”
la lado del cuadrado mayor.
Hallar el volumen del prisma.
Rpta.:
Geometría 38

1) Se tiene un prisma cuadrangular
regular cuya base tiene el lado
que mide 4 y su altura mide 3.
Hallar su volumen.
a) 24 b) 36 c) 48
d) 60 e) 72
2) La base de un prisma triangular
recto es un triángulo rectángulo
cuyos catetos miden 5 y 12. Su
altura es igual a la hipotenusa.
Calcular el área lateral.
a) 370 b) 380 c) 390
d) 500 e) 450
3) La arista mide 4. Calcular la
distancia de un vértice al centro
de una da de las caras que no
contenga el vértice mencionado.
a) 6 b) 62 c) 63
d) 64 e) 65
4) Las dimensiones de un
rectoedro forman una progresión
aritmética de razón 2, su
volumen es igual a 105. calcular
la diagonal del rectoedro.
a) 10 b) 9 c) 83
d) 179 e) 77
5) Se tiene en la figura un prisma
regular ABC – DEF, si BC = 4 y
AD = 3, calcular el volumen.
D
F
A
C
B
E
a) 310 b) 311 c)
312
d) 313 e) 314
6) El desarrollo de la superficie lateral
de un prisma regular triangular es
un rectángulo cuya altura mide 6 y
su diagonal mide 12. Calcular el
volumen del prisma.
a) 310 b) 312
c) 314 d) 316
e) 318
7) La suma de las diagonales
espaciales de un cubo es
316 . Calcular su volumen.
a) 64 b) 27
c) 125 d) 8
e) 216
8) En un rectoedro las diagonales
de sus caras miden 13 ,
45 y 40 . Calcular su
volumen.
a) 32 b) 64
c) 48 d) 54
Geometría 39

e) 36
9) Calcular la suma de las
longitudes de las tres
dimensiones de un
paralelepípedo rectangular, si su
área total es 160m2
y su
diagonal es 6m.
a) 13m b) 15m
c) 14m d) 12m
e) 16m
prisma recto cuadrangular
regular de altura 3m y de área
lateral 60m2
.
a) 150m3
b) 250m3
c) 100m3
d) 80m3
e) 75m3
11) Tres caras de un ladrillo
rectangular tiene por áreas 6 , 8
y 10cm2
. Hallar el volumen del
ladrillo.
a) 3
cm202 b)
3
cm403
c) 3
cm404 d)
3
cm305
e) 3
cm405
12) De una lamina rectangular de
12cm de ancho y 21cm de largo,
se construye una caja abierta,
cortando un cuadrado de 2cm de
lado en cada esquina. El volumen
de la caja es cm3
; es:
a) 136 b) 190
c) 292 d) 272
e) 324
13) La altura de un prisma
rectangular es igual al diámetro
de la circunferencia circunscrita
a la base. Hallar el volumen, si el
producto de los lados de la base
es “A”.
a) A/3 b) A/4
c) A/2 d) A/5
e) A/6
14) La sección de un tronco de
prisma triangular oblicuo es un
triángulo equilátero de lado “a”,
la suma de las aristas laterales
es “b”. Hallar el área lateral.
a) a7
b b) ab2
c) ab d) ab
e) a
15) Hallar el volumen de un tronco
de prisma oblicuo que tiene
como base un triángulo
equilátero cuyo lado mide
cm24 , sus aristas laterales
miden 3cm , 4cm , 5cm , y están
inclinadas 60° respecto a la
base.
a) 3
cm48 b) 3
cm47
c) 3
cm46 d) 3
cm45
e) 3
cm44
Geometría 40

TEMA: PIRÁMIDE
Es un polígono limitado por una región poligonal llamada base y en su parte
lateral limitada por regiones triangular consecutivas quien tiene un vértice
común, el cual a su vez es el vértice de la pirámide.
En toda pirámide la perpendicular trazada desde su vértice al plano de la
base se le denomina altura de la pirámide.
Notación: Pirámide O – ABCD
A
B
C
O
D
A r is ta
b á s ic a
A r is ta
b á s ic a
B a s e
V é r tic e
A lt u r a
Pirámide Regular:- Una pirámide es regular si sus aristas laterales son
congruentes y su base es un polígono regular. En toda pirámide regular el pie
de su altura coincide con el centro de su base y la perpendicular trazada
desde su vértice a cualquiera de las aristas básicas se denomina apotema.
En la figura se muestra una pirámide regular:
Geometría 41

O
DA
C
P
B
M
A p o t e m a ( A p )
A p o t e m a ( a p )
P – ABCD
- Ap: Apotema de la pirámide (PM)
- ap: Apotema del polígono regular ABCD (OM)
- PO : Altura de la pirámide; “O” es el pie de dicha altura y centro del
polígono regular.
- α: Medida del diedro formado por una cara lateral con la base.
En toda pirámide se cumple:
• Área de la Superficie Lateral (SL):
Apotema
baselade
troSemiperíme
SL ⋅





=
Nota: POM
222
)OP()ap()Ap( +=
• Área de la Superficie Total (ST):
baseladeAreaSS LT +=
• Volumen (V):
3
Altura)baseladeArea(
V
⋅
=
TRONCO DE PIRAMIDE REGULAR
Geometría 42

Es aquel tronco de pirámide cuyas bases son regiones poligonales regulares de
modo que sus centros están sobre una misma recta perpendicular a dichas bases.
Sus caras laterales son regiones trapeciales congruentes entre si, la altura de
cada una de ellas se denomina apotema del tronco de pirámide.
B a s e 1
B a s e 2
a
L K
J
IH
G
F E
D
CB
A
h
Notación: Pirámide Hexagonal Regular
ABCDEF – GHIJKL
a
2base
lade
troSemiperíme
1base
lade
troSemiperíme
SL ⋅










+=
2Area1AreaSS LT ++=
( )
3
)2Area)(1Area(2Area1AreaAltura
V
++
=
PIRAMIDES SEMEJANTES
Geometría 43

Si se traza un plano paralelo a la base ABC de una pirámide O – ABC, este
determinara una sección MNL (Sección Transversal) la cual será la base de
otra pirámide O – MNL semejante a la pirámide.
B
C
A
O
M
L
N H
h
Si ∆MNL // ∆ABC
⇒ Pirámide O – MNL ∼ Pirámide O – ABC
Luego se cumple:
1) )ciastanDis(.........
H
h
OC
OL
BC
NL
OA
OM
====
2) 2
2
2
2
2
2
2
2
)ABCO(T
)MNPO(T
H
h
)OC(
)OL(
)BC(
)NL(
)OA(
)OM(
S
S
====
−
−
3) 3
3
3
3
3
3
3
3
)ABCO(
)MNLO(
H
h
)OC(
)OL(
)BC(
)NL(
)OA(
)OM(
V
V
====
−
−
Geometría 44

1) Calcular el área total de una
pirámide cuadrangular, si su
altura mide m3 y el área
total de la cara lateral es igual
a la de la base.
Rpta.:
2) Se tiene un pirámide regular
cuadrangular cuyo apotema es
igual a la arista de la base y su
área lateral es 128m2. Calcular
la altura de la pirámide.
Rpta.:
3) A que distancia de la cúspide
de una pirámide de 6m de lato,
se debe trazar un plano
paralelo a la base, a fin que la
pirámide generada sea 1/8 del
volumen de la pirámide total.
Rpta.:
4) La base de una pirámide regular
es un triángulo equilátero
inscrito en un círculo de 2m de
radio. La superficie lateral de
esta pirámide es igual al doble
de la superficie de la base.
Calcular el volumen.
Rpta.:
5) En el grafico se muestra un
paralelepípedo rectangular. Si
la pirámide cuya base es la
región sombreada y cuyo
vértice es “P”, tiene volumen
igual a 72m3. Calcular el
volumen del paralelepípedo.
Rpta.:
6) El área total de una pirámide
cuadrangular regular es los 3/2
de su área lateral. Calcular el
volumen de la pirámide si la
arista básica mide 2m.
Rpta.:
7) Calcular el volumen de una
pirámide cuadrangular regular. Si
el área lateral es igual a
5
13
del
área de la base y el circunradio de
la base mide m25 .
Rpta.:
8) Hallar el volumen de un tetraedro
regular si la distancia entre dos
aristas que se cruzan es m25 .
Rpta.:
9) Hallar el volumen de una pirámide
cuadrangular regular si la arista
lateral mide 10m y forma con la
base un ángulo de 53°.
Rpta.:
10) Hallar el volumen de un
pirámide triangular regular si la
apotema de la pirámide es el
doble del apotema de la base y
la arista lateral mide m72
Rpta.:
11) En una pirámide de base
cuadrad, el lado de la base y la
Geometría 45

altura miden 5cm y 10cm
respectivamente. Hallar el área
de la sección paralela a la base
que dista 8cm de esta.
Rpta.:
12) Hallar el área total de un tronco
de pirámide, cuadrangular regular
si los lados de las base miden
respectivamente 16cm y 4cm y la
arista lateral mide 10cm.
Rpta.:
13) Hallar el volumen de un tronco de
pirámide triangular regular si los
lados de las bases miden
respectivamente cm32 y
cm34 , el ángulo diedro entre la
cara lateral y la base mayor mide
60°.
Rpta.:
14) Calcular el volumen de una
pirámide hexagonal regular, si
la longitud de su arista lateral
es el triple de la longitud de la
arista básica y la longitud de su
altura es 2 .
Rpta.:
15) En una pirámide cuadrangular
regular P – ABCD de volumen
36µ3
; “G” es el baricentro de la
cara PAB y “M” es un punto de
CD . Calcular el volumen de
la pirámide.
Rpta.:
pirámide cuadrangular regular,
sabiendo que las aristas
básicas y laterales mide
m24 y 5m
respectivamente.
Rpta.:
17) En una pirámide regular de
base cuadrangular de 10m de
lado. ¿Cuál es el área de la
sombra que proyecta una de
sus caras laterales en su base
a los 12 meridianos?
Rpta.:
18) Una pirámide regular de base
cuadrangular es cortada por su
altura dividiéndola en tres
partes iguales. Hallar la
relación entre le volumen
mayor y el menor.
Rpta.:
19) Hallar el área total de un
tetraedro regular si su altura
mide 4cm.
Rpta.:
20) Si una pirámide hexagonal
regular tiene 8cm de arista
básica y 14cm de altura, hallar:
a) Apotema en la base.
b) Arista lateral.
c) Apotema de la pirámide.
Rpta.:
Geometría 46

1) El área lateral de una pirámide
hexagonal regular es igual a
202,5m2
. La apotema mide 9m
calcular el lado de la base.
a) 7,1m b) 7,2m c) 7,3m
d) 7,4m e) 7,5m
2) El área total de un tetraedro
regular es igual a 6,92µ2
.
Calcular la longitud de su arista.
a) 1 b) 2 c) 3
d) 32 e) 4
3) Calcular el área total de una
pirámide cuadrangular regular
cuyas caras laterales, son
triángulos equiláteros y cuya
arista básica mide “a”.
a) )13(a2
+ b)
)23(a2
+
c) )13(
2
a2
+ d)
)23(
2
a2
+
e) )132(a2
+
4) Calcular la arista básica de un a
pirámide cuadrangular regular
de 600m2
de área total y 25m de
apotema.
a) 6m b) 7m c) 8m
d) 9m e) 10m
5) Calcular el área lateral de una
pirámide hexagonal regular en
donde su base se encuentra
circunscrita a una circunferencia
e radio igual a 3 y además la
arista lateral hace con la base
un ángulo que mide 60°
a) 7 b) 106 c)
138
d) 1415 e) 1518
6) Las aristas laterales de una
pirámide de base triangular son
perpendiculares entre si y miden
6, 8 y 12. Calcular el volumen de
la pirámide.
a) 92 b) 94 c) 90
d) 96 e) 98
7) Se tiene una pirámide de 27m3
de volumen en ella se trazan
dos planos secantes paralelas a
la base que dividen a la altura
en tres partes iguales. Calcular
el volumen de la porción central.
a) 6m3
b) 7m3
c) 9m3
d) 10m3
e) 1m3
8) La arista de un octaedro regular el
igual a 6m. Calcular el área total.
Geometría 47

a) 370 b)
372
c) 380 d) 382
e) 390
9) La base de una pirámide
regular de base cuadrada cuyo
lado mide 12m. La arista lateral
de la pirámide mide 10m.
calcular el área total.
a) 144 b) 192 c) 196
d) 289 e) 366
10) En el cubo mostrado “P” es un
punto de la cara ABCD. Calcular el
volumen de la pirámide P – DEFG.
F
E
C
D
B
A
H
G6
a) 70 b) 72 c) 74
d) 76 e) 78
11) En la figura se muestra el
desarrollo de la superficie de
una pirámide cuadrangular
regular. Calcular el volumen de
la pirámide.
1 3
A
B
C
D
A
O
a) 100 b) 150 c) 200
d) 250 e) 300
12) El volumen de un cubo es igual
a 12µ2
. Calcular el volumen del
sólido que se forma al unir los
centros de su cara.
a) 1µ3
b) 2µ3
c) 3µ3
d) 4µ3
e) 5µ3
13) ¿?
14) ¿?
15) ¿?
Geometría 48

TEMA: CONO
El estudio sistemático de las pirámides y el circunscrito y el conocimiento de
la circunferencia y algunas otras líneas curvas, han conllevado a la obtención
y subsiguiente estudio de otras figuras, entre las cuales destaca el cono, el
cual es muy parecido a una pirámide con la diferencia de que su base es una
región curva en lugar de una poligonal.
A lt u r a
B a s e
S u p e r f ic ie
L a t e r a l
V é r tic e o
c ú s p id e
* Cono de Revolución o Cono Circular Recto.- Es aquel sólido
geométrico generado por una región triangular rectangular al girar 360°
en torno a uno de sus catetos.
Geometría 49

r
E je d e g ir o
g
3 6 0 °
r
h
g
O
S u p e r f ic ie
L a t e r a l
V é r tic e o
c ú s p id e
B a s e
G e n e r a t r iz
V
Nota: En un cono recto siempre se cumple: h2
+ r2
= g2
. Área de la Superficie Lateral (SL)
rgSL π=
. Área de la Superficie Total (ST)
2
LT rSS π+=
. Volumen (V)
3
h)R(
V
2
⋅π
=
Geometría 50

* Desarrollo de la superficie lateral del cono.- El desarrollo de la
superficie lateral del cono es un sector circular cuyo radio es la generatriz
del cono y su superficie es equivalente a la superficie lateral del cono.
r
h
g
g
O
g g
θ
* Sección axial de un cono circular recto.- La sección axial de un cono
circular recto es un triángulo isósceles cuyos lados congruentes son dos
generatrices diametralmente opuestos ya que su base es un diámetro de
la base del cono y su vértice; el del cono.
Geometría 51
g
R
360
=
°
θ

gg
r r
H
V
En la figura ∆AVB, es la sección axial del cono mostrado.
* Conos semejantes
H
h
P Q
R
A
O
B
r
Se cumple:
*
h
H
r
R
OQ
OB
OP
OA
===
Geometría 52

* 2
2
2
2
2
2
2
2
h
H
r
R
)OQ(
)OB(
)OP(
)OA(
menorconodelArea
mayorconodelArea
====
* 3
3
3
3
3
3
3
3
h
H
r
R
)OQ(
)OB(
)OP(
)OA(
menorconodelVolumen
mayorconodelVolumen
====
* Tronco de cono recto de revolución
g
r
R
g)rR(SL ⋅+π=
22
LT rRSS π+π+=
)RrrR(
3
H
V 22
++⋅
π⋅
=
Geometría 53

Geometría 54

1) Calcular el área total del cono
generado por la rotación de un
triángulo equilátero de 12m de
lado, girando alrededor de su
altura.
Rpta.:
2) En un cono de revolución, el
área de la base es la mitad del
área lateral. Calcular la medida
del ángulo que la generatriz
forman con la base.
Rpta.:
3) Calcular la altura de un cono
sabiendo que el área lateral
mide 2
cm516 π y el radio
de la base mide 4cm.
Rpta.:
4) El diámetro de la base de un
cono de revolución mide 20cm.
Si las generatrices del cono
están inclinadas a 60 con
respecto al plano de la base.
Calcular el área total en cm2
.
Rpta.:
5) El área total de un cono de
revolución es 175πcm3
y su
generatriz mide 30cm. Calcular
el radio de la base.
Rpta.:
6) Calcular el área total de u cono
de revolución, si el área de su
base mide 150πm2
y la
revolución que hay entre el
radio y la altura es de 3/4.
Rpta.:
7) Se muestran un cilindro recto y
un cono inscrito. Calcular la
relación de volúmenes.
r
r
Rpta.:
Geometría 55

8) En el grafico, calcular el
volumen del cono de
revolución. si el volumen del
cilindro des de 21cm3
.
Rpta.:
9) En la figura. Calcular el
volumen del sólido interior al
cilindro de revolución y exterior
a los dos conos circulares
rectos.
a
Rpta.:
10) Se tiene un cono cuyo radio de
base y generatriz son
proporcionales a 3 y 5
respectivamente. Hallar el área
total del cono si el volumen es
96πm3
.
Rpta.:
11) La altura de un cono circular
recto mide 6m, si el desarrollo
de su área lateral es un
semicírculo, hallar el volumen
del cono.
Rpta.:
12) La altura de un cono circular
recto mide 4cm. Hallar su
volumen si el área lateral es el
triple del área de la base.
Rpta.:
13) Hallar el volumen de un cono
circular recto si las medidas del
radio de su base y la altura.
Están en una relación de 5 a
12 y el área lateral de dicho
cono es 260πcm2
.
Rpta.:
14) Hallar el área total de un cono
equilátero si la distancia del
centro de la base a la
generatriz mide 3m.
Rpta.:
Geometría 56

15) En un cono circular recto, una
cuerda de 18m. esta en la base
225πm2
de área hallar el
volumen del cono si la
distancia del vértice del cono a
dicha cuerda mide 13m.
Rpta.:
16) El área de un triángulo
rectángulo isósceles es 18m2
,
hallar el volumen del sólido
generado al girar alrededor de
su hipotenusa.
Rpta.:
de revolución de área lateral
igual a “m” la distancia del
centro de la base a una de sus
generatrices es “m”.
Rpta.:
18) En la figura, calcular la
distancia de “P” a la base
superior del cilindro recto
mostrado es equivalente a 18
conos de revolución como el
que se indica en su interior, la
altura de dicho cono mide 8cm.
P
Rpta.:
19) El área lateral de un tronco de
cono es igual la suma de las
áreas de sus bases, cuyos
radios miden 1m y 2m. Hallar el
volumen del tronco de cono.
Rpta.:
20) Hallar el área lateral de un
tronco de cono de 3m de
altura, si su generatriz forma
con la base mayor un ángulo
de 69° y el radio de la base
mayor es el doble del radio de
la base menor.
Rpta.:
Geometría 57

1) Se tiene un cono recto, tal que
visto de frente se ve como un
triángulo rectángulo. Si el
diámetro de la base del cono
mide 12. Calcular el volumen del
cono.
a) 16π b) 54π c) 48π
d) 72π e) 81π
2) Un cono circular recto, cuya
altura mide 8, esta circunscrito a
una esfera cuyo radio mide 3.
Calcular el volumen del cono.
a) 100π b) 144π c) 96π
d) 128π e) 84π
3) En que relación se hallan los
volúmenes de un cono recto y
del cilindro circunscrito a el.
a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5
d) 1/6 e) 1/7
4) Calcular el área total de un cono
equilátero sabiendo que el radio
de la esfera inscrita en el mide
“r”.
a) 9πr2
b) 2πr2
c) 3πr2
d) 4πr2
e) 5πr2
5) Calcular el volumen del cono
recto cuya generatriz mide 6 y
forma con el plano de la base un
ángulo que mide 60°.
a) π39 b) π36 c)
π33
d) π32 e) π312
6) Si el área lateral de un cono de
revolución es el doble del área
de la base, calcular la medida
del ángulo que forman la
generatriz y la altura.
a) 30° b) 45° c) 60°
d) 37° e) 53°
7) El volumen del cono menor es 48,
calcular el volumen del cono mayor.
8
2
a) 375/8 b) 375/4 c) 375/2
d) 375 e) 172
8) En un círculo, la distancia del
centro a una cuerda que mide 8
es 2. Calcular el área lateral de
un cono cuya base es el círculo
y cuya altura mide 4.
a) π515 b) π56
c) π513
Geometría 58

d) π512 e)
π524
recto cuya área lateral es igual
al doble del área de la base, si
el medio de la base mide 2.
a) 3π b)
3
38π
c)
3
16π
d)
3
64π
e)
2
33π
10) Calcular el área total de un cono
de revolución. Si la generatriz y la
altura se diferencian en 1. además
el radio de la base mide 5.
a) 90π b) 45π c) 36π
d) π327 e) 27π
11) Un cono equilátero esta inscrito
en un cilindro de revolución de
modo que sus bases coinciden.
Si el área total del cono es 27π.
Calcular el volumen del cilindro.
a) π318 b)
π324 c) π36
d) π327 e) π27
12) Un cono circular recto cuya
altura mide 10, esta circunscrito
a una esfera de radio 4, calcular
el volumen del cono.
a)
3
680π
b)
3
780π
c)
3
800π
d)
3
85π
e)
3
90π
equilátero inscrito en una esfera
cuyo radio mide “R”.
a)
3
R
8
2
π b) 3
R
2
3
π c)
3
R
4
3
π
d)
3
R
8
3
π e)
3
R
8
5
π
14) En un cono de 9cm de altura y
cuya base tiene 8cm de diámetro
se inscribe un cilindro cuyo radio e
mayor que 1 y cuya área lateral es
10π. Hallar dicho radio.
a) 12/5 b) 5/3 c) 10/3
d) 8/5 e) 1/5
15) Un triángulo isósceles de base
10cm y altura 8cm. Gira
Geometría 59

alrededor de una perpendicular
a la base levantada en uno de
sus extremos. Hallar el
volumen generada al rotar 360°
a) 100πcm3
b) 20πcm3
c) 400πcm3
d) 500πcm3
c) 20πcm3
Geometría 60

TEMA: CILINDRO
Es aquel sólido geométrico comprendido entre sus planos paralelos entre si y
secantes a una superficie curva cerrada denominada superficie lateral cilindro
y en los planos paralelos se determinan secciones planos congruentes, las
cuales se denominan bases del cilindro.
En la superficie lateral del cilindro se ubican segmentos paralelos entre si y
congruentes, cuyos extremos son los puntos del contenido de las bases,
dichos segmentos se denominan generatrices.
A lt u r aG e n e r a t r iz
S u p e r f ic ie L a t e r a l
B a s e
B a s e
Cilindro Circular Recto o Cilindro de Revolución
Es aquel cilindro recto cuyas bases son circulares. También denominado
Cilindro de Revolución porque es generado por una región rectangular al girar
360° en torno a uno de su lados.
Geometría 61

h
r
h
r
r
O 1
O 2
x
E je d e g ir o
* Sección axial de un cilindro recto.- Toda sección producida en un
cilindro recto determinada por un plano secante que contenga a los
centros de las base del cilindro se denomina sección axial, la cual
generalmente es una región rectangular.
r
r
r
r
A
B
C
D
g
Geometría 62
En la figura ABCD es la
sección axial del cilindro
recto:
SABCD = 2g . r

* Desarrollo de la superficie lateral de un cilindro circular recto.- Es el
desarrollo del al superficie lateral del cilindro circular recto.
r
r
g g
r2 π
. Área de la Superficie Lateral (SL)
rg2SL π=
. Área de la Superficie Total (ST)
)rg(r2ST +π=
. Volumen (V)
grV 2
π=
Geometría 63

* Cilindro Oblicuo
B
B
S R
g
h
g)RSdePerimetro(SL ⋅⋅=
BLT Area2SS ⋅+=
g)R.SdeArea(V ⋅=
h)BdeArea(V ⋅=
En donde:
SR : Sección Recta
ÁreaB : Área de la base B
h : Altura
g : generatriz
* Tronco de Cilindro Recto
Geometría 64

E je
O 2
B
B a s e
O 1
g
G
Eje =
2
gG
Eje
+
=
G : Generatriz Mayor.
g : Generatriz Menor
eje)baseladePerimetro(SL ⋅=
BdeAreabaseladeAreaSS LT ++=
eje)baseladeArea(V ⋅=
Geometría 65

cilindro de revolución, si su
altura es igual al diámetro de la
base, su área total es 12π.
Rpta.:
2) La relación numérica entre le
volumen y el área lateral de un
cilindro de revolución es 1/4.
Calcular la altura, si el área de
la base es 3/2 del área lateral.
Rpta.:
3) Un vaso cilíndrico de radio de
las base “R” y de altura “h” esta
lleno de agua, si se vierte esta
agua a otro vaso cuyo radio
mide “2R”. hallar la altura que
alcanza el agua.
Rpta.:
4) Un rectángulo cuya área es 18,
gira una vuelta completa
alrededor de uno de sus lados,
la longitud de la circunferencia
que describe al centro del
rectángulo es 2π. Hallar el
volumen del cilindro que se
genera.
Rpta.:
5) Un cilindro de revolución se
encuentra en el interior de un
cuarto, sus proyecciones sobre
el techo tienen un área de 9π y
sobre una de las paredes tiene
un área de 24. Hallar el
volumen del cilindro.
Rpta.:
6) Un cuadrado cuyo lado mide 4
gira una vuelta completa
alrededor de uno de sus lados.
Determinar el volumen del
sólido que se obtiene.
Rpta.:
7) Si se hace girar un rectángulo
de lados “a” y “b”; alrededor del
lado “b” se genera un cilindro;
si se le hace girar alrededor del
lado “a” se genera otro cilindro.
Hallar la relación de los
volúmenes de los dos cilindros.
Rpta.:
8) El área total de un cilindro de
revolución es 25, su altura es
igual el diámetro de la base.
Hallar su altura.
Rpta.:
Geometría 66

9) Hallar el volumen de un cilindro
de revolución de 10cm de
altura, si el desarrollo de la
superficie tiene un área de
100πcm2
.
Rpta.:
10) El área total de un cilindro de
revolución es “S” y la media
armónica entre le radio de la
base y la altura es “M”. Hallar
su volumen.
Rpta.:
11) Hallar el volumen de un tronco
de cilindro, si su sección recta
es un círculo y la generatriz
mayor es 8, la menor es cero,
las bases son congruentes y
forman un diedro de 60°.
Rpta.:
12) Un cilindro esta lleno de agua
hasta la mitad. Se suelta un
pedazo de metal y el agua
sube 3,5cm. Si el radio de la
base del cilindro es 4cm. Hallar
el volumen del pedazo de
metal.
Rpta.:
13) La relación numérica entre el
volumen y el área lateral de un
cilindro de revolución es 1/4,
calcular su altura, si el área de
la base es 3/2 del área total.
Rpta.:
14) Si se hace girar un rectángulo
de lados “a” y “b” alrededor de
“b” se genera un cilindro. Hallar
la relación de los volúmenes de
los dos cilindros.
Rpta.:
tronco de cilindro de revolución
recto si el eje del tronco es
igual al diámetro de la base y el
área lateral es 64π.
Rpta.:
16) Las generatrices de u tronco de
cilindro de revolución
circunscrito a una esfera miden
5 y 4. Hallar el volumen del
tronco del cilindro.
Rpta.:
17) En el grafico, calcular el
volumen del cilindro circular
recto. Si cm5AP = ,
cm4AB = y mBP = 60°.
Geometría 67

A
B
P
Rpta.:
18) Si “N” es punto medio de AB
y NH = 2(HC); hallar el
volumen del cilindro de
revolución si 32CD = .
H
A
B D
C
N
Rpta.:
19) Un rectángulo cuyos lados
miden 5m y 7m gira
sucesivamente alrededor de
cada uno de sus lados,
originando dos cilindros. ¿Cuál
es la diferencia a de sus
revoluciones?
Rpta.:
20) Dos cilindros so equivalentes,
la altura del primero mide 6cm
y la del segundo mide 24cm. El
radio del primero es de 8cm.
Calcular la medida del radio del
segundo.
Rpta.:
Geometría 68

Geometría 69

1) Calcular el área total de un
cilindro de revolución circunscrita
una esfera de radio “r”
a) 2πr2
b) 3πr2
c) 4πr2
d) 6πr2
e) 8πr2
2) El área total de un cilindro recto
es igual a “S” y la media
armónica entre el radio de la
base y la altura del cilindro es
“m”. Calcular el volumen del
cilindro.
a)
4
Sm
b)
2
Sm
c)
6
Sm
d)
8
Sm
e)
10
Sm
3) Un vaso cilíndrico de diámetro
“d” y altura “h” esta lleno de
agua, si se vierte esta agua en
otro vaso de diámetro “2d”.
¿Hasta que altura “H” subirá el
agua?
a) h/2 b) h/6
c) h/4 d) h/12
e) h/16
4) Si la relación entre el volumen y
el área lateral de un cilindro de
revolución es 1/4. Calcular la
altura si el área de la base es
3/2 del área lateral.
a) 1/2 b) 1/4
c) 1/8 d) 2/3
e) 1/6
5) Un cilindro esta lleno de agua
hasta la mitad, se suelta un
pedazo metálico y el nivel de
agua sube 3,5. Si el volumen del
cilindro es 8. Calcular el
volumen del pedazo.
a) 221π b) 232π
c) 224π d) 223π
e) π
6) Un cilindro de revolución esta
circunscrito a una esfera cuyo
volumen es 36π. Calcular el
área total del cilindro.
a) 36π b) 48π
c) 54π d) 72π
e) 27π
7) Calcular el área lateral del
cilindro recto en el cual el área
del rectángulo generador es
igual a “A”.
a) 2Aπ b) Aπ/2
c) Aπ d) 2π/A
d) 4πA
8) Un cilindro recto es generado
por la rotación de un rectángulo
Geometría 70

cuya área es 10. Calcular el
área lateral del cilindro.
a) 30π b) 20π c) 10π
d) 9π e) 8π
9) El desarrollo de la superficie
lateral de un cilindro tiene una
diagonal igual a 13. si la altura
del cilindro mide 5, calcular su
volumen.
a) 720/π b) 180/π c) 90/π
d) 45/π e) 360/π
cilindro de revolución de altura
igual a 8. Si el desarrollo de su
superficie lateral tiene una
diagonal igual a 10.
a) 72/π b) 36/π c) 18/π
d) 9/π e) 3/π
11) En un prisma triangular regular
se inscribe un cilindro ¿Qué
relación existe entre las áreas
laterales de estos dos cuerpos?
a)
π
33
b)
3
π
c)
π
23
d)
π2
3
e)
π2
53
12) Un vaso cilíndrico cuyo diámetro
mide 20 y su altura 40, esta
lleno de agua. Si se vierte esta
agua en otro vaso cuyo
diámetro mide 40. ¿Cuánto
medirá la altura que subirá el
agua?
Geometría 71

a) 7 b) 9 c) 10
d) 12 e) 15
13) Si el número que expresa el
área lateral de un cilindro de
revolución y el número que
expresa su volumen son
iguales. ¿Cuánto mide el radio
de su base?
a) 1 b) 1,5 c) 2
d) 2,5 e) π
14) En un cilindro recto, si la altura
aumenta en 12, el volumen
aumenta en “x”, Si el radio de la
base del cilindro aumenta en 12,
el volumen aumenta en “x”.
Calcular el radio original si la
altura original mide 4.
a) 4 b) 8 c) 10
d) 12 e) 14
15) Calcular el volumen del cilindro
recto circunscrito a un exaedro
regular cuya diagonal mide
36 .
a) 24π b) 36π c) 154π
d) 72π e) 108π
Geometría 72

TEMA: ESFERA
Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar 360° en
tono a su diámetro.
Grafico
2
SE R4A π=
ASE: Área de la Superficie Esférica.
Nota: Si el plano H es tangente a la superficie esférica
HOT ⊥
ZONA ESFÉRICA
Es la porción de superficie esférica comprendida ente dos circunferencias
determinadas por dos planos paralelos y secantes a la superficie esférica.
Grafico
Rh2AZE π=
CASQUETE ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica que se determina por un plano secante a
ella.
Grafico
Rh2ACE π=
2
CE )AB(A π=
HUSO ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica comprendida entre dos
semicircunferencias máximas del mismo diámetro.
Geometría 73

Grafico
°
απ
=
90
R
A
2
HE
AHE: Área del Huso Esférico.
α : Medida del ángulo del huso o ángulo de giro
SECTOR ESFÉRICO
Es aquel sólido generado por un sector circular al girar 360° en torno a un
diámetro del círculo correspondiente, estando el sector en un mismo
semiplano respecto del eje de giro.
Grafico
hR
3
2
A 2
SE π=
h : Longitud de la proyección ortogonal del arco AB sobre le eje de giro.
VSE: Volumen del sector esférico.
ANILLO ESFÉRICO
Definición:
Es el sólido generado por un segmento circula al girar 360° entorno a un
diámetro del círculo correspondiente, estando el segmento circular en un
mismo semiplano respecto del eje de giro.
Grafico
h
6
1
A 2
AE π=
h : Longitud de la proyección ortogonal del arco AB sobre el eje de giro.
 : Longitud de la cuerda AB.
VAE: Volumen del anillo esférico.
Geometría 74

SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES
Definición
Es la porción de esfera comprendida entre dos planos para de los entre si y
secantes a la esfera
Grafico
2
hr
2
hr
6
h
V
2
2
2
1
3
SE
π
+
π
+
π
=
VSE: Volumen del segmento esférico de dos bases.
h : Distancia entre los planos paralelos.
¿Qué es un segmento esférico de una base?
Es aquella porción de esfera determinada por un plano secante a ella.
Grafico
2
3
SE r
2
h
6
h
V
π
+
π
=
VSE : Volumen del Segmento Esférico de una base
TEOREMA DE PAPPUS – GULDIN
Superficie de Revolución
El área de la superficie generada por un alínea plana al girar 360° en torno a
una recta coplanar y no secante a dicha línea es igual al producto de las
longitudes de la línea y de la circunferencia que describe su centroide.
Grafico
X2LASG π=
ASG: Área de la superficie generada.
L : Longitud de la línea AB
Geometría 75

C : Centroide de la línea AB
X : Radio de la circunferencia descrita por el centroide.
SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
El volumen del sólido generado por una región plana al girar 360° en torno a
una recta coplanar y no secante a dicha región es igual al área de la región
multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe su centroide.
Grafico
X2AVSG π=
VSG : Volumen del sólido generado.
A : Área de la región generadora.
C : Centroide de la región generadora.
X : Radio de la circunferencia descrita por el centroide.
Geometría 76

1) Cual es la diferencia de
volúmenes si una esfera esta
inscrita en un cilindro de
generatriz igual a 6.
Rpta.:
2) En una esfera de radio R, se
inscribe un cono de altura “h”
y base de radio “r”, la relación
entre r , h y R es:
Rpta.:
3) Calcular el volumen del cono de
revolución que se muestra, si el
volumen de la esfera es 36πµ3
.
Rpta.:
4) Se tiene una esfera de radio
“r” y un cilindro de revolución
donde “r” es el medio de la
base, además la superficie
esférica y la superficie lateral
del cilindro son equivalentes.
Calcular la razón de volumen
de dichos sólidos.
Rpta.:
5) Calcular el volumen del sólido
generado por la región sombreada
al girar 360°, alrededor de la recta
↔
L
, si NB = 7.
Rpta.:
6) Los radios de dos esferas son
entre si como 2 es a 3. si el área
de la primera es 400cm2
; calcular
el área de la segunda esfera.
Rpta.:
7) La generatriz mayor y menor
de un tronco de cilindro
circular recto miden 6m y 2m,
Hallar el radio de la esfera
inscrita en dicho tronco.
Rpta.:
8) La altura y el radio de la base de
un cono recto son iguales al
radio de una esfera, además el
volumen del cono es 1m2
, hallar
el volumen de la esfera.
Rpta.:
9) Una esfera de volumen “V” es
calentada hasta que su radio
aumenta en un décimo. ¿Cuál es
el nuevo volumen d la esfera?
Rpta.:
Geometría 77

10) El radio de la base de un
cilindro recto, circunscrito a
una esfera de 3m. Hallar la
relación de sus volúmenes.
Rpta.:
11) Sean E1 y E2 dos esfera, si el
volumen de E2 es el doble que el
volumen E1, y el radio de E1 es
cm163 . Hallar el volumen de
E2.
Rpta.:
12) Se circunscribe un cono
circula recto a 2 esferas
tangotes exteriormente de
radio 2 y 6. Evaluar la altura
del cono.
Rpta.:
13) Del problema anterior. Hallar
su volumen.
Rpta.:
14) Del problema #12. Hallar el
radio del cono.
Rpta.:
equilátero, sabiendo que la
esfera inscrita tiene un radio
que mide 6m.
Rpta.:
16) La relación entre el área de
dos superficies esféricas
concéntricas es 2568/215.
Cual es la relación entre las
medida de sus radios.
Rpta.:
17) Hallar el área de la superficie
limitada por una esfera, un
círculo menor de esta, cuyo
radio mide 4m y un círculo
máximo de radio 5m paralelo
a dicho círculo menor.
Rpta.:
18) El volumen de una cuña
esférica de 60° es de
3
cm212 π . Hallar el área
total de la cuña esférica.
Rpta.:
19) Un cilindro de altura 4m y
radio de la base 1,5m esta
inscrito en una esfera. Hallar
la relación de volúmenes.
Rpta.:
20) Se tiene un tronco de pirámide
cuadrangular regular cuyos
lados de las bases miden 4m
y 8m respectivamente. Hallar
el volumen de la esfera
inscrita en dicho tronco.
Rpta.:
Geometría 78

1) A una distancia igual a 3m del
centro de una esfera se traza
una secante la cual determina
una sección cuya área es
igual a 16π. Calcular el radio
de la esfera.
a) 5 b) 7
c) 8 d) 10
e) 11
2) De una esfera, cuya área es
“A”, se han obtenido dos
semiesferas. Calcular el área
total correspondiente a una
semiesfera.
a)
2
A
b)
3
A
c)
8
A3
d)
3
A2
e)
4
A3
3) Una esfera esta inscrita en un
cubo; el radio de la esfera es 4.
Calcular la diagonal del cubo.
a) 34 b) 38
c) 310 d) 313
e) 316
4) La esfera circunscrita a un
cubo tiene un radio igual a
3 . Calcular la arista del
cubo.
a) 1 b) 1,5
c) 2 d) 2,5
e) 3
5) Si el área de la superficie
esférica es numéricamente
igual al volumen de la esfera,
calcular el radio.
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) 5
6) Calcular el volumen de la
esfera máxima que se puede
inscribir en una semiesfera de
radio “R”
a)
4
R3
π
b)
5
R3
π
c)
6
R3
π
d)
7
R3
π
e)
8
R3
π
Geometría 79

7) Determinar a que distancia del
centro de una esfera de radio
m)52(R += se debe
seccionar con un plano para
que la diferencia de las áreas
de los casquetes esféricos
determinados sea igual al área
de la sección que divide a la
esfera de dichos casquetes.
a) 0,6m b) 0,8m
c) 1m d) 11,2m
e) 1,1m
8) Determinar el volumen de un
segmento esférico de dos
bases. Si la distancia entre
sus bases es 4m y el radio de
la sección equidistante a las
bases es igual a 3m.
a)
3
m
3
92
π b)
3
m
3
82
π
c)
3
m
3
102
π d)
3
m
3
76
π
e)
3
m
3
86
π
9) En una esfera de radio “R” se
halla inscrito un cono circular
recto de altura “h”. Hallar la
superficie lateral del cono.
a) R)hR2(h −π
b) R)hR2(
2
h
−
π
c) )hR2(R2h −π
d) Rhhπ
e) R)hR3(h ⋅−π
10) Se tiene una esfera cuyo radio
mide 1m, un cilindro y un cono
equilátero circunscritos a esta
esfera. Hallar la suma de los
volúmenes de los 3 sólidos.
a)
3
m
3
19π
b)
3
m
3
26π
c)
3
m
3
13π
d)
3
m6π
e)
3
m
3
14π
11) Calcular el volumen de la
esfera circunscrita a un
Geometría 80

octaedro regular de
3
m
1
π
de
volumen.
a) 1m3
b) 0,5m3
c) 1,5m3
d) πm3
e) 2πm3
12) Hallar el área de la base de un
segmento esférico cuyo
Casquete es de 2m2 de
superficie correspondiente a
una esfera cuyo radio mide
m
1
π
.
a) 1m2
b) 1,5m2
c) 2m2
d) 2,5m2
e) 3m2
13) En la figura, hallar el ara del
Casquete menor que
determina la intersección del
cono con la esfera inscrita en
un cilindro de revolución, “O”
centro de la esfera.
O
m5
Geometría 81

a) 2πm2
b) 4πm2
c) 8πm2
d) 12πm2
e) 16πm2
14) Una esfera de 6m de radio es
interceptada por un plano, el
cual dista 4m del centro de la
esfera, calcular el ara del
menor Casquete esférico
determinado.
a) πm2
b) 24πm2
c) 12πm2
d) 4πm2
e) 6πm2
15) Que cantidad de pintura se
debe de utilizar para pintar
una esfera cortada en cuatro
partes iguales. El radio d la
esfera mide “R” en:
a) 4πR2
b) 6πR2
c) 8πR2
d) 10πR2
e) 12πR2
Geometría 82

MISCELÁNEAS
01. Se tienen los puntos colineales
A, E, B, C, F y D siendo “E” y
“F” puntos medios de AB y CD
respectivamente, calcular EF
siendo AC +BD= 20m.
a) 20 v b) 15
c) 10 d) 5
e) 1
02. Se tienen los puntos
colineales A, B, C y D, siendo
“B” punto medio de AC .
Calcular AB siendo 3BD = 4AC,
además AD = 2..
a) 2m b) 3
c) 4 d) 6
e) 1
03. Se tiene los puntos colineales
A, B, C, D y E dispuestos de
manera que AC + BD + CE = 45,
calcular AE siendo 2AE = 3BD
a) 7 m b) 21
c) 27 d) 29
e) 30
colineales: P, A, B, C y D,
dispuestos de modo que:
Y PC = 2PD+ 5PB, además
15 = 2AD + 5ANB, hallar AC.
a) 1 m b) 2m
c) 1/2m d) 24 m
e) 15m
05. Se tiene los puntos colineales
A, B, C, D, E y F, siendo AC +
BD + CE + DF = 39 8BE =
5AF, Calcular AF
a) 12 m b) 16m
c) 18 m d) 24m
e) 36 m
colineales A, B, C, D, E,…, Z.
De modo que:
AB = 1, BC = 1/2, CD = ¼,
DE = 1/8, EF = 1/6 …
Calcular AZ
a) 1 m b) 2m
c) 4m d) 8m
e) 6 m
07. Se tienen los puntos colineales
A, B y C, siendo AC = 3m, AB .
AC = 2(AB2
– BC2
), hallar AB.
a) 3 b) 6
c) 9 d) 12
e) 15
colineales A, B, C y D de
modo que AB, BC y CD, se
hallan en progresión
aritmética. CD excede a AB en
6m. AD = 27, hallar CD.
a) 3 b) 6
c) 9 d) 12
e) 18
colineales A, B, M, C y D,
siendo “M” punto medio de
AD, AB + CD = 10,
BM – MC = 2, calcular CD.
a) 3 b) 6
c) 9 d) 12
e) 15
Geometría 83

10. Los puntos L; O; V y E de una
recta son de la forma que lo
es la media aritmética de LV y
VE. Hallar LE si OE2
+ 1 = OE
a) 1 b) 3
c) 1.5 d) 2
e) 4
11. Se tienen los ángulos
consecutivos BOA

,
COB

y DOC

. Calcular
el ángulo COˆA siendo OC,
bisectriz del DOB

. BOA

+ DOA

= 56º
a) 56º b) 28º
c) 14º d) 7º
e) 18º
12. Se tienen los ángulos
consecutivos BOA

y
COB

, el 1ro
mayor que el 2do
,
siendo su diferencia 44º, OX es
la bisectriz del COˆA , Calcular
XOB

.
a) 44º b) 22º
c) 11º d) 9º
e) 10º
13. La diferencia entre el
suplemento y el complemento
de “α” es igual al sextuplo de
“α”. Calcular “α”.
a) 5º b) 10º
c) 15º d) 20º
e) 25º
14. El suplemento de α excede
en sus 4/7 a la medida de “α”.
Calcular “α”.
a) 54º b) 27º
c) 36º d) 21º
e) 15º
15. Calcular la m  AOC en la
figura adjunta.
2 K
3 K + 2 0 º
3 K - 2 0 º
A
C
D
BO
a) 22º30’ b) 45º
c) 36º d) 54º
e) 90º
16. Un ángulo llano es dividido en
5 ángulos parciales en
progresión aritmética. Calcular
el menor si su cuadrado es
igual al ángulo mayor.
a) 2º b) 4º
c) 6º d) 8º
e) 10º
17. La suma de 2 ángulos es
120º. El complemento del 1ro
es igual a 11 veces el
complemento del 2do
. Calcular
la relación de los ángulos.
a) 13/5 b) 11/3
c) 15/7 d) 17/7
e) 14/7
18. Los ángulos BOA

y
COB

forman un par lineal y
sus medidas están en la
relación 2 a 3. Hallar la
diferencia de las medidas de
los ángulos formados por las
Geometría 84

bisectrices respectivas y el
lado común.
a) 18º b) 36º
c) 37º d) 15º
e) 12º
19. En la figura L1 // L2 // L3 y θ + Ø
200º. Hallar x.
L
L
L
1
2
3
x
a) 40º b) 60º
c) 80º d) 100º
e) 50º
20. Si la diferencia entre el
suplemento y el complemento
de un ángulo es igual al triple
de la medida del ángulo, hallar
el suplemento del
complemento de dicho ángulo.
a) 120º b) 90º
c) 135º d) 150º
e) 100º
21. En el triángulo ABC, AB = 6.
AC = 10, las bisectrices,
interior de “A” y exteriores de
“C” y “B” se cortan en “F”, se
traza FH  AC AH = 14m.
a) 9 b) 12
c) 15 d) 18
e) 21
22. En el triángulo rectángulo ABC
C

= 15º. BD es la bisectriz de
B

DAC

= 30º, calcular
DCA

.
3 0 º
1 5 º
X
4 5 º
A
B
C
D
4 5 º
a) 5º b) 10º
c) 15º d) 20º
e) 25º
23. EN el + AB, m  BAP = 10º m
 APQ = C = 60º, BP = 6m.
Calcular PQ.
a) 6m b) 9m
c) 12m d) 15m
e) 5m
24. En el + ABC se traza la
ceviana BR, en cuya
prolongación se ubica “D” de
modo que DA = AB = BC m 
DRC = 30º. Calcular m  ADR.
a) 30º b) 45º
c) 53º d) 60º
e) 15º
25. En el triángulo ABC, B

=100,
O

=10º en la prolongación de
la bisectriz BM se ubica el
punto “O” de modo que m 
DAM = 30º. Hallar m  DCM.
a) 5º b) 10º c) 15º
d) 20º e) 30º
26. Sobre los lados AB , BC y
AC de un triángulo ABC se
ubican los puntos “P”, “Q”, “R”
de modo que QRPR = , m 
Geometría 85

DRQ = 90º además QPB

+
CQR

= 65º, calcular
PRA

si AB = BC.
a) 5º b) 10º c) 15º
d) 20º e) 25º
27. Calcular “α” en la siguiente figura:
2
6
a) 10º b) 15º c) 20º
d) 25º e) 60º
28. Calcular X

en la figura:
5 0 º 8 0 º
1 0 0 º 3 0 º
a) 30º b) 45º
c) 60º d) 75º
e) 90º
29. Sabiendo que m  RBS = 90º
m  A = 30º, m  C 15º AR =
CS. Calcular m  x
A
B
CR
3 0 º 1 5 º
S
a) 5º b) 7º30’
c) 10º d) 15º
e) 20º
30. Calcular
P
A
B
C
a) 10º b) 15º
c) 20º d) 30º
e) 40º
31. Calcular el número de lados del
polígono regular en el cual, su
ángulo interior es el cuádruple
de su ángulo exterior.
a) 4 b) 6
c) 8 d) 10
e) 15
32. Calcular el número de lados
del polígono regular en el cual,
al dividir la medida de un
ángulo interior entre la de su
ángulo central, se obtiene 3,5
de cociente.
a) 7 b) 8
Geometría 86

c) 9 d) 10
e) 11
33. La medida del ángulo interior
de un polígono regular cuyo
número de vértices es un
tercio del número de
diagonales es:
a) 120º b) 130º
c) 140º d) 150º
e) 60º
34. Calcular el número de lados
del polígono regular en el cual,
el cuadrado de su ángulo
central es 15 veces la medida
de su ángulo interior.
a) 2 b) 6
c) 10 d) 12
e) 18
35. ¿Cuántas diagonales tiene un
polígono regular si su ángulo
interior es el triple de su
ángulo central?.
a) 10 b) 15
c) 20 d) 25
e) 30
36. En cierto polígono, desde (n-
4) vértices consecutivos se
trazan 32 diagonales, hallar n.
a) 6 b) 8
c) 10 d) 12
e) 16
37. Hallar el número de lados de
un polígono, en el cual al
duplicar su número de lados,
su número de diagonales
queda multiplicado por siete.
a) 5 b) 7
c) 9 d) 11
e) 16
38. Hallar el máximo número de
ángulos interiores agudos de
un polígono.
a) 3 b) 5
c) 7 d) 4
e) 5
39. Hallar el número de
diagonales de un polígono,
cuya suma de ángulos
interiores es 900º.
a) 7 b) 14
c) 21 d) 28
e) 16
40. Si se aumentan tres lados a
un polígono, su número de
diagonales aumenta en 15.
Hallar el número de lados del
polígono original.
a) 5 b) 7
c) 9 d) 11
e) 13
Geometría 87

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