1. resto verdadero, se multiplica el resto obtenido
por la cantidad por la cual se dividió dividendo y
divisor.
En general: D = dq + R
dividiendo entre “m”:
D d R
–– = –– . q + ––
m m m
El resto verdadero = Resto obtenido . m
R
= –– . m = R
m
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Hallar la suma de coeficientes del polinomio:
P(x) = (8x3
-7x + 2)n+3
(5x5
- 3x + 7)n-1
- (10x - 1)n+1
(4x - 1)n-1
Solución:
Como se pide calcular la suma de coeficientes del
polinomio, se halla su valor para x = 1:
P(1) = (8 - 7 + 2)n+3
(5 - 3 + 7)n-1
- (10 - 1)n+1
(4 - 1)n-1
P(1) = (3)n+3
(9)n-1
- (9)n+1
(3)n-1
P(1) = (3n+3
) (32
)n-1
- (32
)n+1
(3)n-1
P(1) = 3n+3
. 32n-2
- 32n+2
. 3n-1
P(1) = 33n+1
- 33n+1
= 0
∴ ∑ coeficientes = P(1) = 0
Rpta.: ∑ coeficientes = 0
2.- Si el polinomio:
P(x) = (5x - 1)2n-1
(2x + 5)n
+ [(3x + 1)(x + 5)]n
+ (x2
+ n)(x - 2)
tiene como término independiente (-36)
Calcular n.
Solución:
Se halla el T.I., para lo cual se hace x = 0:
P(0) = (-1)2n-1
(5)n
+ [(1)(5)]n
+ (n)(-2)
2n - 1 es número impar, por lo tanto:
(-1)2n-1
= -1
entonces:
P(0) = (-1) (5)n
+ 5n
- 2n = -5n
+ 5n
- 2n
P(0) = -2n
Este es el T.I., según el enunciado su valor es -36.
Luego:
∴ -2n = -36
n = 18
Rpta.: n = 18
3.- Determinar E = abc si el polinomio:
x5
- 2x4
- 6x3
+ ax2
+ bx + c
es divisible entre (x - 1)(x + 1)(x - 3)
Solución:
si el polinomio es divisible entre (x -1)(x +1)(x - 3),
será divisible separadamente entre (x-1), (x + 1) y
(x-3).
Dividiendo tres veces consecutivas por Ruffini:
1 -2 -6 +a +b +c
1 +1 -1 -7 +a-7 +b+a-7
1 -1 -7 a-7 b+a-7 a+b+c-7
-1 -1 +2 +5 -a+2
1 -2 -5 a-2 b-5
3 +3 +3 -6
1 +1 -2 a-8
Los restos deben ser cero, así:
a + b + c - 7 = 0 (α)
b - 5 = 0 (β)
a - 8 = 0 (γ)
De (γ): a = 8
De (β): b = 5
De (α): 8 + 5 +c - 7 = 0
c = -6
∴ E = (8)(5)(06) = -240
- 116 -
α
α α

2. 4.- Determinar “a” y “b” si el polinomio:
ax8
+ bx7
+ 1
es divisible entre (x-1)2
Solución:
Como es divisible entre (x - 1)2
será divisible
doblemente por (x - 1). Dividiendo consecutiva-
mente entre (x - 1), por Ruffini:
a b 0 0 0 0 0 0 1
↓
1 a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b
a a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b a+b+1
↓
1 a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b
6a+5b 7a+6b
a 2a+b 3a+2b 4a+3b 5a+4b 6a+5b
7a+6b 8a+7b
Por ser divisible debe cumplirse que:
i) a + b + 1 = 0 ⇒ a + b = -1 (α)
-7b
ii) 8a + 7b = 0 ⇒ a = –––– (β)
8
Sustituyendo en (β) en (α):
-7b
–––– + b = -1
8
b = -8
Sustituyendo en (β):
-7b
a = –––– (-8)
8
a = 7
5.- Hallar el cociente entre “q” y “r” si el cociente es
exacto:
x5
- 5qx + 4r
–––––––––––––
(x-c)2
Solución:
Si el cociente es exacto, el polinomio dividendo
es divisible entre (x - c)2
y también dos veces es
divisible entre (x - c), dividiendo por Ruffini:
1 0 0 0 -5q +4r
↓
c c c2
c3
c4
-5qc+c5
1 c c2
c3
-5q+c4
4r-5qc+c5
↓
c c 2c2
3c3
+4c4
1 2c 3c2
4c3
-5q+c4
+4c4
Como el cociente es exacto, debe cumplirse que:
i) 4r - 5qc + c5
= 0 (α)
ii) -5q + 5c4
= 0
c4
= q (β)
Sustituyendo (β) en (α):
4r - 5c5
+ c5
= 0
r = c5
(γ)
De (β) a la quinta y (γ) a la cuarta potencia, se
obtiene:
c20
= q5
(ρ)
r4
= c20
(θ)
de estas dos últimas relaciones:
r4
= q5
6.- Hallar “n” y “a” si la división es exacta:
(x2
+ x + 2)4
- a [(x + 1)2
- x + 1]3
- nx4
(x + 1)4
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x3
- 1
Solución:
Como el divisor es:
x3
- 1 = (x - 1)(x2
+ x + 1)
Por productos notables, el dividendo será divisi-
ble entre (x - 1)(x2
+ x + 1) y también entre cada
uno de ellos. Si es divisible por (x - 1), aplicando
el Teorema del resto se obtiene:
Á L G E B R A
- 117 -

3. R =P(1)= (1+1+2)4
- a(4-1+1)3
- n(1)4
(2)4
= 0
256 - 64a - 16 n = 0
4a + n = 16 (α)
Si es divisible entre (x2
+ x + 1), aplicamos el Teore-
ma del Resto, previo cambio de forma del dividen-
do, de esta manera:
(x2
+ x + 2)4
- a(x2
+ 2x + 1 - x + 1)3
- n(x2
+ x)4
o: (x2
+ x + 2)4
- a (x2
+ x + 2)3
- n(x2
+ x)4
(Dividendo)
Igualando a cero el divisor:
x2
+ x + 1 = 0 x2
+ x= -1
Sustituyendo en el dividendo:
R = (-1 + 2)4
- a(-1 + 2)3
- n(-1)4
= 1 - a - n
Como la división es exacta el resto es cero, esto es:
1 - a - n = 0
a + n = 1 (β)
Restando (α) - (β):
3a = 15
a = 5
Sustituyendo en (α):
n = -4
7.- Calcular “a” y “b” si el polinomio:
2x4
+ ax3
+ bx2
+ 27x - 10
es divisible entre x2
- 6x + 5
Solución:
Transformando a producto el divisor por produc-
tos notables, entonces el polinomio será divisible
separadamente por (x - 5) y (x - 1)
x2
- 6x + 5 = (x - 5)(x - 1)
Dividiendo por Ruffini dos veces:
2 +a +b 27 -10
↓
1 2 a+2 a+b+2 a+b+29
2 a+2 a+b+2 a+b+29 a+b+29-10
↓
5 10 5a+60 30a+5b+310
2 a+12 6a+b+62 31a+6b+339
Por condición del problema:
a + b + 29 - 10 = 0
a + b = -19 (α)
También:
31a + 6b + 339 = 0
31a + 6b = -339 (β)
De (α):
b = -19 - a
sustituyendo en (β):
31a + 6(-19 - a) = -339
a = -9
sustituyendo en (α):
-9 + b = -19
b = -10
8.- Un polinomio de tercer grado cuyo primer coefi-
ciente es 1, es divisible por (x - 2) y (x - 1) y al
ser dividido por (x - 3) da resto 20. Hallar su tér-
mino independiente.
Solución:
Datos:
i) P(x) es de tercer grado
ii) Primer coeficiente es 1
iii) P(x) ÷ (x - 2), R = 0
iv) P(x) ÷ (x - 1), R = 0
v) P(x) ÷ (x - 3), R = 20
Incógnita: T.I. = P(0)
- 118 -
α
α α

4. De los datos (3) y (4) se obtiene:
P(x) ÷ (x - 2)(x - 1), R = 0
En toda división:
D = dq + R
si R = 0, la división es exacta, para este problema,
por lo tanto:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1) q(x)
Por dato (1), P(x) es de tercer grado:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1) q(x)
123 14243 123
3er.grado 2do.grado 1er.grado
se concluye que q(x) es de primer grado y es de
la forma:
q(x) = ax + b
Luego: P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(ax - b)
Por dato (2) el primer coeficiente es 1, luego:
a = 1
Por lo tanto se puede escribir:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(x + b) (α)
Por dato (5); P(3) = 20
Sustituyendo x = 3 en (α) e igualando a 20:
(3 - 2) (3 - 1) (3 + b) = 20
b = 7
El polinomio buscado es:
P(x) ≡ (x - 2)(x - 1)(x + 7)
P(0) = (0 - 2)(0 - 1)(0 + 7) = 14
9.- Un polinomio P(x) divisible entre:
(xn-1
+ 1)
tiene como T.I. -3 y grado “n”. Calcular el valor
de “n” si se sabe que al dividirlo separadamente
entre (x - 1) y (x - 3), los restos que se obtienen
son: -2 y 732 respectivamente.
Solución:
Datos:
i) P(x) ÷ (xn-1
+ 1), R = 0
ii) P(x) es de grado “n”
iii) P(x) ÷ (x - 1), R = -2
iv) P(x) ÷ (x - 3), R = +732
v) T.I. de P(x) es -3
Incógnita: n
Por el dato (1):
P(x) ≡ (xn-1
+ 1) q(x)
Por el dato (2):
P(x) ≡ (xn-1
+ 1) q(x)
123 14243 123
grado n grado (n-1) grado (1)
144424443
grado n
por lo tanto, q(x) es de primer grado y de la forma:
q(x) = ax + b
y, el polinomio adopta la forma:
P(x) ≡ (xn-1
+ 1) (ax + b)
Por dato 5:
T.I. = P(0) = -3 (α)
P(0) ≡ (0 + 1)(0 + b) (β)
Igualando (α) y (β)
(0 + 1)(0 + b) = -3
b = -3
Con lo cual el polinomio hasta este momento
tiene la forma:
P(x) ≡ (xn-1
+ 1) (ax - 3)
Por el dato (3):
P(1) = -2
P(1) = (1n-1
+ 1)(a - 3) = -2
Á L G E B R A
- 119 -

5. Esto es:
(1n-1
+ 1)(a - 3) = -2
a = 2
El polinomio finalmente será:
P(x) ≡ (xn-1
+ 1)(2x - 3)
Por el dato (4):
P(3) = 732 (ρ)
P(3) = (3n-1
+ 1)(6 - 3) (π)
Igualando (ρ) y (π):
(3n-1
+ 1)(6 - 3) = 732
3n-1
+ 1 = 244 ; 3n-1
= 243 3n-1
= 35
Como las bases son iguales, los exponentes tam-
bién serán iguales:
n - 1 = 5 ; n = 6
10.- Un polinomio P(x) de sexto grado tiene raíz
cuadrada exacta, es divisible separadamente
por (x2
+1) y (x + 3) y si se le divide por (x + 2)
el resto es 225.
Hallar la suma de sus coeficientes.
Solución:
Datos:
i) P(x) es de sexto grado
ii) P(x) tiene raíz exacta
iii) P(x) ÷ (x2
+ 1), R = 0
iv) P(x) ÷ (x + 3), R = 0
v) P(x) ÷ (x + 2), R = 225
Por los datos (2), (3) y (4):
P(x) ÷ (x2
+ 1)2
, R = 0
P(x) ÷ (x + 3)2
, R = 0
de aquí se concluye que:
P(x) ÷ (x2
+ 1)2
(x + 3)2
, R = 0
luego:
P(x) ≡ (x2
+ 1)2
(x + 3)2
q(x)
Por dato (1):
P(x) ≡ (x2
+ 1)2
(x + 3)2
q(x)
123 123 123 123
6to. grado 4to. 2do. 0
144424443
6to.grado
se concluye que q(x) es de grado cero y toma la
forma de:
q(x) = A
el polinomio será:
P(x) ≡ (x2
+ 1)2
(x + 3)2
A
Por el dato (5):
P(-2) = 225
P(-2) ≡ (4 + 1)2
(-2 + 3)2
A = 225
(5)2
(1)2
A = 225
A = 9
El polinomio es:
P(x) = (x2
+ 1)2
(x + 3)2
(9)
La suma de coeficientes será:
P(1) = (1 + 1)2
(1 + 3)2
9 = (4)(16)9 = 576
P(1) = 576
11.- Determinar el polinomio P(x) de 5to. grado que
sea divisible entre (2x4
- 3) y que al dividirlo
separadamente entre (x + 1) y (x - 2) los restos
obtenidos sean 7 y 232 respectivamente.
Solución:
Datos:
P(x) ÷ 5to. grado
P(x) ÷ (2x4
- 3), R = 0
P(x) ÷ (x + 1), R = 7
P(x) ÷ (x - 2), R = 232
- 120 -
α
α α

6. a) Como P(x) ÷ (2x4
- 3), da R = 0
P(x) = (2x4
- 3) q(x)
b) Como P(x) es de 5to. grado, q(x) es de primer
grado:
q(x) = ax + b
Luego: P(x) = (2x4
- 3) (ax + b) (α)
c) Aplicando el Teorema del resto:
P(x) ÷ (x + 1)
haciendo: x + 1 = 0
x = -1
R = P(-1) = 7
En (α):
P(-1) = [2(-1)4
- 3][a(-1) + b] = 7
(-1)(-a + b) = 7
+a - b = 7 (β)
d) P(x) ÷ (x - 2)
haciendo: x - 2 = 0
x = 2
R = P(2) = 232
En (α):
P(2) = [2(2)4
- 3][a(2) + b] = 232
29(2a + b) = 232
2a + b = 8 (γ)
Sumando (β) y (γ):
3a = 15
a = 5
En (β):
5 - b = 7
b = -2
e) Reemplazando valores en (a):
P(x) = (2x4
- 3)(5x - 2)
efectuando:
P(x) = 10x5
- 4x4
- 15x + 6
12.- Hallar el resto de la división:
(x - 3)8
+ (x - 4)5
+ 6
–––––––––––––––––––
(x - 3)(x - 4)
Solución:
En toda división se cumple:
D = dq + R
En este caso:
(x -3)8
+ (x - 4)5
+ 6 ≡ (x - 3)(x - 4) q(x) + ax + b
Como es una identidad, se cumple para cualquier
valor de x, así:
para x = 3 se obtiene:
(3 - 3)8
+(3 - 4)5
+ 6 ≡ (3 - 3)(3 - 4) q(3) + 3a + b
-1 + 6 = 3a + b
3a + b = 5 (α)
para x = 4 se obtiene:
(4 -3)8
+ (4-4)5
+ 6 ≡ (4 - 3)(4 - 4) q(4) + 4a + b
4a + b = 7 (β)
restando (β) - (α):
a = 2
En (α): 6 + b = 5
b = -1
R = ax + b
R = 2x - 1
13.- Hallar el resto en:
(x - 5)3
(x + 4)2
(x3
- 3x - 17)n
–––––––––––––––––––––––––––
(x - 2)(x + 4)(x - 5)
Solución:
Dividiendoaldividendoyaldivisorentre(x-5)(x+4),
se obtiene:
(x - 5)2
(x + 4) (x3
- 3x - 17)n
––––––––––––––––––––––––––
(x - 3)
Á L G E B R A
- 121 -

7. Aplicando el Teorema del resto:
x - 3 = 0
x = 3
Sustituyendo en el dividendo:
R =(3 - 5)3
(3 + 4)(27 - 9 -17)n
= (4)(7)(1)n
= 28
Como previamente se dividió, dividendo y divi-
sor entre el producto (x-5) (x+4), para obtener el
resto verdadero se tendrá que multiplicar el resto
28 por (x-5) (x+4), así:
R.verdadero = 28(x - 5)(x + 4)
efectuando:
R = 28x2
- 28x - 560
14.- Hallar el resto en:
x102
- x51
-x4
+ 2
––––––––––––––––
x2
- x + 1
Solución:
Multiplicando el dividendo y divisor por (x+1) se
obtiene:
(x102
- x51
- x4
+ 2)(x + 1)
––––––––––––––––––––––
(x2
- x + 1)(x + 1)
efectuando:
x103
- x52
- x5
+ 2x + x102
- x51
- x4
+ 2
–––––––––––––––––––––––––––––––––
x3
+ 1
descomponiendo parcialmente en potencias de “x3
”:
(x3
)34
(x) - (x3
)17
(x) - (x3
)(x2
) + 2x + (x3
)34
––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x3
+ 1
- (x3
)17
- (x3
)(x) + 2
–––––––––––––––––
aplicando Teorema del resto:
x3
+ 1 = 0
∴ x3
= -1
R = (-1)34
(x) - (-1)17
(x) - (-1)(x2
) + 2x
+ (-1)34
- (-1)(x) + 2 - (-1)17
R = x + x + x2
+ 2x + 1 + x + 2 + 1
R = x2
+ 5x + 4 = (x + 1)(x + 4)
Como se ha multiplicado dividendo y divisor por
(x + 1), se tendrá que dividir por este mismo
valor el resto para obtener el verdadero.
El resto verdadero será:
(x + 1)(x + 4)
R. verdadero = –––––––––––––
(x + 1)
R. verdadero = x + 4
15.- Si se divide un polinomio P(x) entre (x - 1) se
obtiene un resto que es 3; al cociente se divide
entre (x + 1), el resto es 5; al nuevo cociente se
divide entre (x + 2), el resto es 8. Hallar el resto
de la división P(x) entre (x - 1)(x + 1)(x + 2)
Solución:
Datos:
i) P(x) ÷ (x - 1) = q(x), R = 3
ii) q(x) ÷ (x +1) = q1
(x), R = 5
iii) q1
(x) ÷ (x + 2) = q2
(x), R = 8
Operando para resolver el ejercicio:
Por el dato (1):
P(x) = (x - 1) q(x) + 3 (α)
Por el dato (2):
q(x) = (x + 1) q1
(x) + 5 (β)
Por el dato (3):
q1
(x) = (x + 2) q2
(x) + 8 (γ)
Sustituyendo (γ) en (β):
q(x) = (x + 1) [(x + 2) q2
(x)+8] + 5
q(x) = (x + 1) (x + 2) q2
(x) + 8(x + 1) + 5 (φ)
Sustituyendo (φ) en (α):
P(x) = (x - 1) [(x + 1)(x + 2) q2
(x)
+ 8(x + 1) + 5] + 3
- 122 -
α
α α