Ce diaporama a bien été signalé.
Nous utilisons votre profil LinkedIn et vos données d’activité pour vous proposer des publicités personnalisées et pertinentes. Vous pouvez changer vos préférences de publicités à tout moment.
ÁLGEBRA
ÁLGEBRA MANUAL DE PREPARACIÓN PRE-UNIVERSITARIAIDEA, DISEÑO Y REALIZACIÓNDepartamento de Creación Editorial de Lexus Edito...
PRESENTACIÓNSi usted, estimado lector, considera que la matemática es una de las materiasde mayor complejidad en los plane...
SUMARIO                                                                                         Pag.Conceptos Fundamentale...
Polinomios Especiales … … … … … … … … … … … … … … … … …                             59Polinomio ordenado / polinomio compl...
Cocientes Notables … … … … … … … … … … … … … … … … … …                                     126Definición … … … … … … … … …...
Métodos de sumas y restas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 153Cambio variable … … … … … … … … … … … … … … … …...
Variaciones / Permutaciones / Combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … …             185Propiedades de las combinacione...
Primer caso / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …            235Segundo caso / Ejercicios Resuelt...
Ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 277Principales conceptos / Igualdad / Ecuaciones equivalentes … … …...
Discución de las raíces de la ecuación de segundo grado … … … … … … … … … … … … …        327Propiedades de las raíces de u...
Interpolación de medios aritméticos … … … … … … … … … … … … … … … … … … …                 376Ejercicios Resueltos … … … … ...
Á L G E B R A        CONCEPTOS FUNDAMENTALESEl álgebra es la parte de la matemática que estudia a     Es necesario aclarar...
Ejemplos:                                                  α                    Ejemplos:                                 ...
Á L G E B R A   Partes de un Término Algebraico                         LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES                  ...
Exponente Negativo                                                  α    Potencia Negativa de un Cociente.                ...
Á L G E B R A   Ejemplos:                                               Raíz de un Cociente.       5         __      __   ...
[+]     a) ––– = [+]                                       [+]                                    b) ––– = [-]            ...
Á L G E B R A3.- Hallar el valor de la expresión:                              multiplicando potencias de bases iguales:  ...
2   -   2+3                   –––           2       -   5                                             –                   ...
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
38187212 algebra
Prochain SlideShare
Chargement dans…5
×

38187212 algebra

  • Identifiez-vous pour voir les commentaires

38187212 algebra

  1. 1. ÁLGEBRA
  2. 2. ÁLGEBRA MANUAL DE PREPARACIÓN PRE-UNIVERSITARIAIDEA, DISEÑO Y REALIZACIÓNDepartamento de Creación Editorial de Lexus Editores© LEXUS EDITORES S.A.Av. Del Ejército 305 Miraflores, Lima-Perúwww.lexuseditores.comPrimera edición, febrero 2008Hecho el Depósito Legal en la BibliotecaNacional del Perú: 2008-01600ISBN: 978-9972-209-44-4 EDICIÓN 2008
  3. 3. PRESENTACIÓNSi usted, estimado lector, considera que la matemática es una de las materiasde mayor complejidad en los planes de estudio escolar, pre-universitario ysuperior, o desea profundizar y repasar temas y ejercicios que le permitirán eldominio progresivo y la maestría avanzada en el tema, ha abierto el libro apro-piado.Desde siempre Lexus Editores ha desarrollado recursos metodológicos ten-dientes a mejorar la articulación teórica y práctica entre el nivel secundario yla universidad. Esta vez, ha deseado crear un manual educativo que sirvacomo herramienta de auto-evaluación para los alumnos que se encuentran enetapa pre-universitaria. De esta manera, ellos mismos serán capaces de juzgarsus capacidades con vista a iniciar sus estudios superiores.Se ha tenido el especial cuidado de seleccionar un grupo altamente calificadopara la redacción de esta obra, conformado por estudiantes universitarios ydocentes especializados, a fin de lograr un manual de preparación pre-univer-sitaria en Álgebra en la que se destaca el desarrollo de complejos ejercicios,usando métodos apropiados, fáciles y amigables.Este manual conduce al lector de una manera didáctica a lo largo de la asigna-tura, pasando de lo más sencillo a lo más complejo, con numerosos ejerciciosresueltos y propuestos, brindándole de esta manera una base muy sólida paraque destaque durante su paso por las aulas universitarias, al ostentar adecua-do conocimiento y dominio de la materia.Un DVD, producido con la más alta tecnología digital e infográfica, acompañaesta obra, para demostrar al estudiante que lo dificultoso puede verse siempreen términos entendibles y amenos. Es prácticamente como tener un profesoren casa a tiempo completo. Los Editores
  4. 4. SUMARIO Pag.Conceptos Fundamentales ……………………………………… 13Expresión algebraica / Clasificación de las expresiones algebraicas ……………………… 13Término algebraico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 14Teoría de exponentes ……………………………………………………………… 14Potenciación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 15Leyes que rigen a los exponentes …………………………………………………… 15Multiplicación de potencias de bases iguales ………………………………………… 15División de potencias de bases iguales / Exponente cero … … … … … … … … … … … … … 15Exponente negativo / Potencia de un producto / Potencia de un cociente ………………… 15Potencia negativa de un cociente / Potencia de potencia / Raíz de una potencia …………… 16Raíz de un producto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17Leyes de los signos en las operaciones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … 17Multiplicación / División … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 17Potenciación / Radicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 18Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 18Ejercicios Propuestos ……………………………………………………………… 25Ecuaciones exponenciales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26Solución de una ecuación exponencial ……………………………… ……………… 26Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 26Valor numérico de las expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … 31Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 31Ejercicios Propuestos ……………………………………………………………… 35Grado de las Expresiones Algebraicas … … … … … … … … … … … 39Grado … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 39Grado de un monomio / Grado de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … 39Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 40Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 47Notación Polinómica … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50Polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50Valor numérico de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50Cambio de variable en un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 50Ejercicios Resueltos ……………………………………………………………… 51Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 56
  5. 5. Polinomios Especiales … … … … … … … … … … … … … … … … … 59Polinomio ordenado / polinomio completo …………………………………………… 59Polinomio homogéneo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 59Polinomios idéntico / Polinomio idénticamente nulos ………………………………… 60Polinomio entero en “x” …………………………………………………………… 60Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 60Ejercicios Propuestos ……………………………………………………………… 68Expresiones Algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … 70Suma y resta … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 70Supresión de signos de colección / Introducción de signos de colección … … … … … … … 70Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 70Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 72Multipicación de expresiones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74Propiedades de la multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 74Casos que se presentan en la multiplicación … … … … … … … … … … … … … … … … 76Productos notables … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 76Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 77Valor numérico de una expresión algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … 82Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 83Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 88División algebraica / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 90Propiedades de la división / Casos de la división … … … … … … … … … … … … … … … 90Método normal … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 90Método de coeficientes separados / Método de Horner … … … … … … … … … … … … … 91Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 92Regla de Ruffini … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 99Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 100Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 102Teorema del resto o de Descartes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 105Regla práctica para hallar el resto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 105Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 106Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 112Divisibilidad Algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … 115Principios de la divisibilidad algebraica … … … … … … … … … … … … … … … … … … 115Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 116Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 123
  6. 6. Cocientes Notables … … … … … … … … … … … … … … … … … … 126Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 126Forma general de los coeficientes notables … … … … … … … … … … … … … … … … … 126Estudio del primer caso / Estudio del segundo caso … … … … … … … … … … … … … … 126Estudio del tercer caso / Estudio del cuarto caso … … … … … … … … … … … … … … … 127Desarrollo del cociente notable … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 127Reglas prácticas para escribir el desarrollo de cualquier cociente notable … … … … … … … 127Determinación de un término cualquiera de un cociente notable … … … … … … … … … … 128Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 129Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 133Factorización … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 136Definición / Método para factorizar … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 136Factor común / Factor común monomio / Factor común polinomio … … … … … … … … … … 136Factor común por agrupación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 136Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 137Método de identidades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139Diferencia de cuadrados … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139Trinomio cuadrado perfecto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139Suma o diferencia de cubos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 139Método del aspa … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 142Aspa simple … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 142Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 143Aspa doble … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 143Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 145Aspa doble especial … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 146Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 147Método de divisores binomios … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149Finalidad / Divisor binomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149Fundamento teórico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149Ceros de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149Determinación de los posibles ceros de un polinomio … … … … … … … … … … … … … … 149Formas de factorización … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 149Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 150Método de artificios de cálculo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 152Reducción a diferencia de cuadrados … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 152Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 152
  7. 7. Métodos de sumas y restas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 153Cambio variable … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 155Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 155Factorización recíproca … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157Polinomio recíproco … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157Procedimiento para factorizar un polinomio reciproco … … … … … … … … … … … … … … 157Ejercicicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 157Factorización simétrica y alternada … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159Polinomio simétrico … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159Representación de expresiones simétricas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 159Propiedad fundamental de un polinomio simétrico … … … … … … … … … … … … … … … 160Polinomio alterno … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 160Propiedades fundamentales de un polinomio alterno … … … … … … … … … … … … … … … 160Propiedades de los polinomios simétricos y alternos … … … … … … … … … … … … … … … 160Factorización de un polinomio simétrico y alternos … … … … … … … … … … … … … … 160Otros artificios … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 163Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 163Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 164Máximo Común Divisor y Mínimo Común Múltiplo … … … … … 169Máximo común divisor … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 169Mínimo común múltiplo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 169Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 169Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 171Fracciones Algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … 173Principales conceptos / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 173Signos de una fracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 173Cambios de signo en una fracción … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 173Simplificación de fracciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 174Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 174Operaciones con fracciones algebraicas … … … … … … … … … … … … … … … … … … 175Suma y resta … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 175Multiplicación y división … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 176Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 176Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 180Introducción el Binomio de Newton … … … … … … … … … … … … 183Factorial de un número … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 183Propiedades de los factoriales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 183Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 183
  8. 8. Variaciones / Permutaciones / Combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … 185Propiedades de las combinaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 186Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 187Desarrollo del binomio de Newton / Método de inducción … … … … … … … … … … … … 190Fórmula del término general … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 191Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 191Término central … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 194Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 194Triángulo de Pascal o de Tartaglia … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 196Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 197Desarrollo del binomio de Newton con exponente negativo y/o fraccionario … … … … … … 200Propiedades del desarrollo del binomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … 200Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 200Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 204Radicación ……………………………………………… 206Principales conceptos / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 206Elementos de una raíz / Signo de las raíces … … … … … … … … … … … … … … … … … 206Raíz de un monomio … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 206Raíz cuadrada de un polinomio / Regla práctica … … … … … … … … … … … … … … … … 207Raíz cuadrada por el método de coeficientes indeterminados … … … … … … … … … … … 207Raíz cúbica de polinomios / Regla práctica general …………………………………… 208Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 209Raíces dobles / Concepto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 212Transformación de radicales dobles en radicales simples o sencillos … … … … … … … … … 212Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 212Descomposición de radicales múltiples en simples … … … … … … … … … … … … … … … 219Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 219Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 224Operaciones con Raíces … … … … … … … … … … … … … … … … 227Principales conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 227Valor Aritmético de un radical / Valor algebraico de un radical ………………………… 227Radicales homogéneos / Homogenización de radicales … … … … … … … … … … … … … 227Radicales semejantes / Teorema fundamental de los radicales … … … … … … … … … … … 227Suma de radicales / Multiplicación de radicales ……………………………………… 228Potencia de radicales / Raíz de radicales … … … … … … … … … … … … … … … … … … 228Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 228Racionalización … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 234Fracción irracional / Factor racionalizante … … … … … … … … … … … … … … … … … 234Casos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 235
  9. 9. Primer caso / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 235Segundo caso / Ejercicios Resueltos ………………………………………………… 235Tercer caso / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 237Cuarto Caso / Ejercicios Resueltos ………………………………………………… 238Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 240Verdadero Valor de Fracciones Algebraicas … … … … … … … … … 243Principales conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 243Formas singulares o determinadas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 243Formas indeterminadas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 243Verdadero valor / Cálculo del verdadero valor … … … … … … … … … … … … … … … … 243Forma 0/0 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 243Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 244Forma ∞/∞ / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 247Forma ∞ - ∞ / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 249Forma 0 . ∞ / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 251Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 252Cantidades Imaginarias y Números Complejos … … … … … … … 255Principales conceptos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 255Cantidades imaginarias / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 255Unidad imaginaria, Potencias de la unidad imaginaria … … … … … … … … … … … … … 255Transformación de la potencia im donde “m” es entero y positivo … … … … … … … … … … 255Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 256Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 261Números complejos, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264Clase de números complejos / Complejo real / Complejo puro … … … … … … … … … … … 264Complejo nulo / Complejos iguales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264Complejos conjugados / Complejos opuestos … … … … … … … … … … … … … … … … 264Representación gráfica de un complejo … … … … … … … … … … … … … … … … … … 264Representación cartesiana / Representación polar o trigonométrica … … … … … … … … … 264Operaciones con complejos / Suma de complejos … … … … … … … … … … … … … … … 265Multiplicación de complejos / Propiedades … … … … … … … … … … … … … … … … … 265División de complejos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 265Potencia de un complejo / Propiedades … … … … … … … … … … … … … … … … … … 266Raíz de un complejo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 266Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 267Raíces cúbicas de la unidad … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269Propiedades / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 269Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 274
  10. 10. Ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 277Principales conceptos / Igualdad / Ecuaciones equivalentes … … … … … … … … … … … … 277Clases de Igualdades / Igualdad absoluta / Igualdad relativa o ecuación … … … … … … … … 277Clasificación de las ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 277Principios fundamentales que permiten transformar las escuaciones …………………… 277Ecuaciones de primer grado con una incógnita / Discución de la solución … … … … … … … 278Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 278Problemas Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 282Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 287Sistema de ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 290Sistema de ecuaciones lineales / Sistemas equivalentes … … … … … … … … … … … … … 290Solución del sistema … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 290Clasificación de los sistemas de ecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … 290Principios fundamentales para la trasformación de sistema de ecuaciones … … … … … … … 290Métodos de eliminación y resolución / Método de sustitución ………………………… 290Método de igualación / Método de reducción … … … … … … … … … … … … … … … … 291Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 292Problemas Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 298Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 304Determinantes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307Signos de un elemento … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307Determinante de un segundo orden … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 307Valor determinante de segundo orden … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 308Determinante de tercer orden … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 308Regla de Sarrus … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 308Forma práctica de la regla de Sarrus … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 309Menor complementario de un determinante … … … … … … … … … … … … … … … … … 309Desarrollo de un determinante por menores complementarios … … … … … … … … … … … 310Propiedades de los determinantes … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 310Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 312Método de los determinantes para hallar la solución de un sistema de ecuaciones ………… 310Regla de Cramer … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 310Discusión de la solución de los sistemas lineales / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … 317Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 322Ecuaciones de Segundo Grado … … … … … … … … … … … … … … … … 326Resolución de una ecuación de segundo grado con una incógnita … … … … … … … … … … 326Deducción de la fórmula general … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 326
  11. 11. Discución de las raíces de la ecuación de segundo grado … … … … … … … … … … … … … 327Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado … … … … … … … … … … … 327Forma de una ecuación de segundo grado conociendo raíces … … … … … … … … … . 327Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 327Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 335Ecuaciones reductibles a cuadráticas / Ecuaciones bicuadradas ………………………… 339Propiedades de las raíces de una ecuación bicuadrada … … … … … … … … … … … … … … 339Formación de una ecuación bicuadrada … … … … … … … … … … … … … … … … … … 339Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 339Ecuaciones recíprocas … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 340Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 340Ecuaciones binomias y trinomias … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 343Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 343Ecuaciones que se resuelven mediante artificios / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … 345Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 350Sistema de ecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos ………………………… 352Sistemas diversos / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 356Ecuaciones exponenciales … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 358Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 359Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 360Desigualdad e Inecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … 363Desigualdades, definiciones importantes … … … … … … … … … … … … … … … … … … 363Propiedades de las desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 363Ejercicios sobre desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 364Clases de desigualdades … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 365Inecuaciones de primer grado con una incógnita … … … … … … … … … … … … … … … 365Solución a una inecuación … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 366Intervalo abierto / Intervalo cerrado ………………………………………………… 366Valor absoluto / Ejercicios Resueltos ……………………………………………… 366Inecuaciones / Sistema de inecuaciones … … … … … … … … … … … … … … … … … … 367Sistema de inecuaciones con una incógnita … … … … … … … … … … … … … … … … … 367Sistemas de inecuaciones con dos o más incógnitas … … … … … … … … … … … … … … 367Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 367Inecuaciones de segundo grado / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … 370Inecuaciones irracionales / Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … 372Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 373Progresiones … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 375Progresión aritmética (P.A.) o “progresión por diferencia” / Propiedades … … … … … … … … 375Medios aritméticos o diferenciales / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … 375
  12. 12. Interpolación de medios aritméticos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 376Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 376Progresión geométrica (P.G.) o “progresiones por cociente” … … … … … … … … … … … … 379Representación de una progresión geométrica / Propiedades … … … … … … … … … … … … 379Medios geométricos o proporcionales / Definición … … … … … … … … … … … … … … … 380Interpolar medios geométricos entre dos números dados … … … … … … … … … . . … 380Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 380Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 385Logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 388Principales conceptos / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 388Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 388Sistema de logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 389Propiedades generales de los logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … 390Cologaritmo / Antilogaritmo … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 390Cambio de un sistema de logaritmos a otro … … … … … … … … … … … … … … … … … 390Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 391Logaritmos como progresiones / Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … 396Base del sistema de logaritmos definido por una P.G. una P.A. … … … … … … … … … … … 396Sistema de logaritmos neperianos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 397Sistema de logaritmos decimales / Vulgares o de Briggs … … … … … … … … … … … … … 398Propiedades del sistema logaritmos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 398Cálculo de la mantisa … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 398Transformar un logaritmo totalmente negativo en otroparcialmente negativo y viceversa … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 398Cálculo logaritmico / Suma de logaritmos / Resta de logaritmos … … … … … … … … … … 399Producto de logaritmos / Multiplicación y división de logaritmos entre si … … … … … … … 399Conversión de logaritmos decimales a logaritmos neperianos … … … … … … … … … … … 400Conversión de logaritmos neperianos a logaritmos decimales … … … … … … … … … … … 400Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 400Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 401Interés Compuesto … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 404Principales conceptos / Deducción de la fórmula … … … … … … … … … … … … … … … 404Caso en que el tiempo es múltiplo del período de capitalización … … … … … … … … … … 405Anualidades, Definición … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 405Anualidad de capitalización (Ac) / Deducción de la fórmula … … … … … … … … … … … 405Anualidad de amortización (Aa) / Deducción de la fórmula … … … … … … … … … … … … 406Ejercicios Resueltos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 406Ejercicios Propuestos … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 413
  13. 13. Á L G E B R A CONCEPTOS FUNDAMENTALESEl álgebra es la parte de la matemática que estudia a Es necesario aclarar que todas las expresiones quela cantidad en su forma más general obteniendo ge- tienen números y letras son expresiones algebraicas;neralizaciones sobre el comportamiento operacional a excepción de las últimas tres, que reciben el nom-de los números. Estudia de esta manera, funciones bre de funciones trascendentes y que son utilizadasnuméricas; para lo cual se emplea números, letras y muy a menudo en el cálculo superior. Para unasignos de operación. mayor ilustración, indicaremos la definición de las siguientes funciones trascendentes:Como el estudio de una función conduce finalmenteal planteamiento de una ecuación o igualdad, se dice Función exponencial.- Representada por una base nu-también que el álgebra es la ciencia que estudia las mérica y un exponente literal, como por ejemplo:ecuaciones. Utiliza conceptos y leyes propias. Estos 7x (base = 7, exponente = x).son analizados a continuación: Función logarítmica.- Representada por el símboloEXPRESIÓN ALGEBRAICA “log.” y que se toma en una cierta base a un determi- nado número. Ejemplo: logb N y se lee logaritmo enEs el conjunto de números y letras unidos entre sí base b del número N.por los signos de operación de la suma, la resta, lamultiplicación, la división, la potenciación y la radi- Función trigonométrica.- Representada por las fun-cación.(*) ciones seno, coseno, tangente y sus complementos Ejemplos: aplicados sobre un número real. Ejemplo: sen x, que se lee: “seno de x”. Son expresiones algebraicas las siguientes: i) x CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS ii) 4x Según el tipo de número o variable de sus expo- 2 2 iii) 4x + 5y + 7z 2 nentes, radicales o denominadores las expresiones al- _________ gebraicas pueden clasificarse en: 3x5 + 7 √ x2 - 5xy4 iv) ________________ 3x2y - 3xy7 { { Enteras No son expresiones algebraicas: Racionales Expresiones Fraccionarias i) 5x Algebraicas ii) loga x Irracionales iii) sen x (*)Las letras son empleadas tanto para repre- sentar valores conocidos o datos (en este a) Expresión algebraica racional caso; por convención, se usa las primeras Es aquella que se caracteriza porque tiene expo- letras del alfabeto) como valores desconoci- nentes enteros o no tiene letras en su cantidad su- dos (se usa las últimas letras del alfabeto). bradical (es decir, al interior de la raíz). - 13 -
  14. 14. Ejemplos: α Ejemplos: α i) 4ax2 + 5y3 + 7z4 i) 5x1/2 + 7y1/3 + 8z1/5 ii) 4x -7 + 2y -3 + 11z -7 ii) 4x -1/3 + 8y -1/5 + 7z -1/8 1 1 1 ________ __ iii) –– x4 + –– x8 + –– x4 3 5 3 iii) √4x2 + 5y2 + 8 √z x2 4z2 2z3 2 7 8 iv) –––– + –––– + –––– iv) –––– + –––– + –––– 3yz 7xy 2 9y4 __ __ __ √x √y √z NOTA: ___ v) 4x20 + 5y8 +7x14 + 9 √xyz Se entiende por cantidad subradical a la parte de una raíz que se encuentra en el interior del radical. De este modo: Resumen de las características de las expresiones __ algebraicas. n √A , se lee “raíz n de A” Donde n = índice, A = cantidad subradical α { { Racionales Enteras Exponente Exponentea.1) Expresión algebraica racional entera entero entero positivo Es aquella que se caracteriza porque tiene expo- Subradical Denominador nentes enteros positivos o no tiene letras en su sin letras sin letras denominador. Ejemplos: Fraccionarias Expresiones Exponente i) 2x2 + 5y7 + 12y15 Algebraica entero negativo 1– 1– 1– Denominador ii) –– + –– + –– z4 con letras 3x 5y 4 iii) 4x2 y3 z4 - 8w4 t5 Irracionales Exponentea.2) Expresión algebraica racional fraccionaria fracción Subradical Es aquella que se caracteriza porque tiene expo- con letras nentes negativos o tiene letras en su denominador. Ejemplos: TÉRMINO ALGEBRAICO i) 4x -3 + 7y -9 + 12z -4 Es aquella expresión algebraica cuyas partes no es- 1– 2– 7– ii) –– + –– + –––2 tán separadas ni por el signo más ni por el signo 3x 5y 4z menos. En otras palabras, un término algebraico es 4x2 + 3y3 + 7z4 un monomio. iii) –––––––––––– 4x5 + 5yz Ejemplos: iv) 4x4 + 5y3 + 8z5 + 9t-2 i) 4x2b) Expresión algebraica irracional ii) +5y3z4 Es aquella que se caracteriza porque tiene expo- nentes fraccionarios o tiene letras en su cantidad iii) -3x4y5z8 subradical. - 14 -
  15. 15. Á L G E B R A Partes de un Término Algebraico LEYES QUE RIGEN A LOS EXPONENTES Multiplicación de Potencias de Bases Iguales. coeficiente Se escribe la base común y como exponente se escri- be la suma de ellos. (-7) x4 exponente am. an = am+n parte literal Ejemplos: i) x5 . x7 = x5+7 = x12TEORIA DE EXPONENTES ii) x8. x6. x-3. x-8. x12 = x8+6-3-8+12 = x15La Teoría de Exponentes tiene por objeto estudiar to-das las clases de exponentes que existen y las relacio- iii) 2m+3. 2m+4. 24-2m = 2m+3+m+4+4-2m = 211 = 2 048nes que se dan entre ellos. División de Potencias de Bases Iguales.La operación que permite la presencia del exponentees la potenciación, la cual se define así: Se escribe la base común y como exponente se escri- be la diferencia de dichos exponentes.POTENCIACIÓN amEs la operación que consiste en repetir un número ––– = am-n anllamado base tantas veces como factor, como lo indi- Ejemplos:que otro llamado exponente; al resultado de esta ope-ración se le denomina potencia, y se representa así: x8 i) ––– = x8-3 x3 Potencia = (base)exponente x12 ii) ––– = x12-(-3) = x12+3 = x15 Ejemplos: x-3 i) 27 = 144424443= 128 2m+3 2.2.2.2.2.2.2 iii) –––– = 2m+3-(m-3) = 2m+3-m+3 = 26 = 64 2m-3 7 factores 2 5x+2 . 5x+3 5x+2+x+3 52x+5 ii) 55 = 5 . 5 . 5 . 5 . 5 = 3 125 iv) –––––––– = –––––– = –––– 14243 52x+1 52x+1 52x+1 5 factores 5 = 52x+5- (2x+1) = 54 = 625 iii) 46 = 4 . 4 . 4 . 4 . 4 . 4 = 4 096 Exponente Cero. 1442443 6 factores 4 Toda cantidad diferente de cero, con exponente cero, es igual a la unidad. Así: En general: a0 = 1, donde: a ≠ 0 an = a . a . a . a . … . a 1442443 “n” factores a Ejemplos: 0 NOTA: i) 57 = 51 = 5 0 Recuerdese que para efectos del estudio algebrai- 2 9 1 co, la base es literal y el exponente es numérico: ii) 4 = 42 = 42 = 16 x5, y4, z8, etc. iii) 24 0 + 57 0 + 87 0 = 2 + 5 + 8 = 15 - 15 -
  16. 16. Exponente Negativo α Potencia Negativa de un Cociente. αToda cantidad diferente de cero, elevada a un expo- Se invierte el cociente y la potencia se transforma ennente negativo, es igual a una fracción cuyo numera- positiva. Luego, puede procederse como en el casodor es 1 y cuyo denominador es igual a la misma ex- anterior.presión pero con el signo del exponente cambiado apositivo. Así: 1 () () –– = -n a b –– bn a-n = –– , donde: a ≠ 0 Ejemplos: an Ejemplos: i) () () 2 -2 5 2 52 25 –– = –– = –– = ––– 5 2 22 4 2 1 a i) x-3 = –– ii) –– = a2b4 x3 b4 () () 1 -3 5 3 ii) –– = –– = 53 = 125 5 1 1 a-3 b5 iii) 2-1 = –– = 0,5 iv) –– = –– () () () () () () 1 -2 1 -3 1 -4 2 2 3 3 4 2 b-5 a3 5 iii) –– + –– + –– = –– + –– + –– 2 3 5 1 1 1Potencia de un Producto.Es igual a elevar cada factor a dicha potencia. Potencia de Potencia. = 4 + 27 + 625 = 656 Se escribe la misma base y el nuevo exponente es α (a.b)n = an. bn igual al producto de los exponentes. Ejemplos: (am)n = am . n i) (a . b)5 = a5.b5 Ejemplos: ___ 2 ii) (√3x ) = 3x2 i) (x2)3 = x(2)(3) = x6 iii) x4y4 = (xy)4 ii) [(x3)4]5 = x(3)(4)(5) = x60 3x . 2x (3 . 2)x 6x iii) (x-3)-4 = x12 iv) –––––– = ––––––– = –– 6x 6x 6x iv) (x-2)5 = x-10Potencia de un Cociente.Se eleva tanto el numerador como el denominador a Nota:dicha potencia. Para el caso de tener muchos exponentes, se puede generalizar la regla como sigue: ()a n an –– = –– b bn { [(am)n]r }s = am . n . r . s Ejemplos: RAÍZ DE UNA POTENCIA () () 4 4 7 7 x x x x i) –– = –– ii) –– = –– Se escribe la base y como nuevo exponente, la divi- y y4 y7 y sión del exponente de la potencia entre el índice del radical. () 3 3 33 27 iii) –– = –– = ––– 5 53 125 8n 2n 8 n 2 () iv) ––– = –– = 4n n __ √ap = an p _ - 16 -
  17. 17. Á L G E B R A Ejemplos: Raíz de un Cociente. 5 __ __ 10 Se extrae la raíz tanto del numerador como del deno- i) √ x10 = x 5 = x2 minador, y luego se procede a dividir estas raíces ___ resultantes. ______ ___ ____ __ __ 48 12 ii)√ 3 4 √ √x48 = x 4 = 3√x12 = x 3 = x4 __ n a n √a __ iii)√√ __________ _______ _____ ____ 64 _______ √ _____ ____ _ _____ ____ √ √ x = √ √ x = √ √x16 = x8 = x4 32 b √ –– = –––– n √b __ Ejemplos: Nota: _____ ___ 5 5 x20 √x20 = –– ––– = ––––– x 4 Cuando se tiene muchos radicales, se puede gene-ralizar la regla como sigue: _________ ______ i) √ ___ y35 _____ 5 √x20 y7 ___ ____ ___ __ ___ 4 √√ √ 1 √ √ a = mnsr a = a mnsr ii) 4 √ ––– y35 √x20 2 16 = –––––– = –– ____ 4 √625 5Exponente Fraccionario Introducción de un Factor en un Radical.Toda cantidad elevada a un exponente fraccionario es Se multiplica el exponente del factor por el índice deligual a la raíz de dicha cantidad, cuyo índice es el radical, de la siguiente forma.denominador de la fracción y el numerador per- __ n ______ nmanece como exponente. Por lo tanto: ap √b = √apn . b _ n __ p Ejemplos: n a = √ap _ 5 ______ 5 ____ _ 5 Ejemplos: i) x2 √y = √x(2)(5)y = √x10y _ 5 __ 3 3 _ _ 3 _______ 3 ____ _ i) a 5 = √a3 i) x2 √y2 = √x(5)(3)y2 = √x15y2 _ 3 __ 1 ii) 8 3 = √8 = 2 LEYES DE LOS SIGNOS EN LAS OPERACIONES ALGEBRAICAS _ 2 3 __ 2 iii) 64 3 = ( √64 ) = (4)2 = 16 MULTIPLICACIÓN El producto de dos términos de signos iguales es po-RAÍZ DE UN PRODUCTO sitivo, y de signos diferentes es negativo.Es igual a extraer la raíz de cada factor, y luego efec-tuar el producto. a) [+] . [+] = [+] __ __ __ n n n b) [-] . [-] = [+] √ab = √a . √b c) [+] . [-] = [-] Ejemplo: ______ 5 ___ 5 ___ d) [-] . [+] = [-] 5 i) √x10y25 = √x10 . √y25 = x2y5 DIVISIÓN 7 __ 7 __ 7 __ ii) √xy = √x . √y La división de dos términos de signos iguales es po- sitivo, y de signos diferentes es negativo: - 17 -
  18. 18. [+] a) ––– = [+] [+] b) ––– = [-] α 1.- Calcular el valor de: α [+] [-] 2x+4 + 36(2x-2) E = –––––––––––––––––––––––––––––– [-] [-] 2x+5 - 2(2x+3) - 4(2x+1) - 6(2x-1) c) ––– = [+] d) ––– = [-] [-] [+] Solución: Por la ley de la teoría de exponentes se conocePOTENCIACIÓN que: mLa potencia de una base con exponente par, siempre am+n = am . an ; am-n = a n ––es positiva; pero la potencia de una base con expo- anente impar, depende del signo de la base: Aplicando al ejercicio: ( ) x 2 a) [+]par = [+] 2x . 24 + 36 ––– 22 E = –––––––––––––––––––––––––––––––––––– b) [+]impar = [+] [-] par 2x 2x . 25 - 2(2x . 23) - 4(2x . 21) - 6 ––– 2 ( ) α c) = [+] Operando apropiadamente: impar d) [-] = [-] 16 . 2x + 9 . 2x E = ––––––––––––––––––––––––––––RADICACIÓN 32 . 2x - 16 . 2x - 8 . 2x - 3 . 2xSi el índice es impar, el resultado tendrá el mismo Se hace el cambio de 2x = a, para hacer más sim-signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y ple las operaciones:la cantidad subradical es positivo, el resultado tendrádoble signo; positivo y negativo;pero, si la cantidad 16a + 9a 25a E = –––– ––––––––––––– = –––– = 5 –subradical es negativa el resultado será una cantidad 32a - 16a - 8a - 3a 5aimaginaria, que no existirá en el campo real. ___ Rpta.: = 5 impar a) √[+] = [+] 2.- Calcular el valor de: impar ___ -n b) √[-] = [-] par ___ ( ) 4 – 43 8 3 E = –––––––––– c) √[+] = [±] [4(4-1)n]2 ___ par Solución: d) √[+] = cantidad imaginaria Transformemos el numerador, para escribir con base 4: Nota: -n -n -n Para efectos de estudio, se empleará, en el caso (c), raíces de índice par y cantidad subradical po- (8 ) [ ] _ 4 3 _ 4 = (23)3 [ ] = (24)n = (22)2 = 4 sitivas; el signo aritmético de la raíz; es decir, el Reemplazando en la expresión original: valor positivo. 43 . 4-2n 43 . 4-2n 43-2n E = –––––––– = ––––––– = – – – ––– (41 . 4-n)2 (41-n)2 42-2nEJERCICIO RESUELTOS E = 43-2n(2-2n) = 43-2n-2+2n = 41 = 4Sobre las leyes de la teoría de exponentes y lossignos en las operaciones algebráicas. Rpta.: = 4 - 18 -
  19. 19. Á L G E B R A3.- Hallar el valor de la expresión: multiplicando potencias de bases iguales: ___________ n 20n+1 36 . 79 . 56 . 212 √ E = –––––––––– 4n+2 + 22n+2 E = –––––––––––––– 36 . 79 . 56 . 211 Solución: simplificando: Transformando el denominador: 12 E = 2 = 212-11 = 21 = 2 ––– 4n+2 + 22n+2 = 4n+2 + 22(n+1) 211 Rpta.: 2 = 4n+2 + (22)n+1 = 4n+2 + 4n+1 5.- Calcular el valor de: _ _ -6 3 = 4n+1 (41+1) _ ___ _ = 4n+1 . 5 E= [√ ] 3 √3 __ 3√3 √ reemplazando en la expresión, y transformando Solución: el numerador: __________ Escribimos la raíz principal en la forma expo- n nencial: (4 . 5)n+1 √ E = ––––––––– 4n+1 . 5 -6 – _ √3 – operando en el numerador: n __________ n+1 E = 4 n+1. 5 1 n+1 E= 3 [ ] √3 ––– 3 √3 _ √ ––––––––– 4 .5 luego, transformamos los exponentes: simplificando y descomponiendo la potencia: [ ] [ ] 31/2 3-1/6 ( ) 1 1 -1/6 –– - –– _______ ––– 1/3 2 3 3 __ 3 3 n 5n . 51 n E = (3) = (3) √ E = ––––––– = √5n = 5n = 5 41 1 -– [ ] 1 6 1 1 1 1 Rpta.: 5 – 3 6 – -– 6 6 –-– 6 6 0 3 . 3 3 = 3 = (3) = (3) = 33 = 31 = 34.- Calcular el valor de: 3 216 . 353 . 803 Rpta.: 3 E = ––––––––––––– 154 . 149 . 302 6.- Simplificar la expresión: Solución: { [ ]} 1 1 -2 Se sabe que: (a . b)n = an . bn – – E= m-1 m(m3) 2 5 descomponemos en factores primos, para aplicar esta ley: Solución: 6 3 4 3 (3 . 7) (7 . 5) (2 . 5) E = ––––––––––––––––––––– Efectuando operaciones: (3 . 5)4 (2 . 7)9 (2 . 3 . 5)2 aplicando la ley anterior: [ 1 – E = (m-1)-2 (m1)5 ] {[(m )– ]–} -2 1 3 2 1 -2 5 36 . 76 . 73 . 53 . 212 . 53 2 3 2 3 E = –––––––––––––––––––––– -– -– 2-–-– 34 . 54 . 29 . 79 . 22 . 33 . 52 E = m2 . m 5 . m 5 = m 5 5 - 19 -
  20. 20. 2 - 2+3 ––– 2 - 5 – α Luego: _________________ α 5 5 E=m =m = m2-1 = m1 = m n 10n + 15n + 6n –––––––––––––– –––––––––– Rpta.: m7.- Calcular: n _________ n+1 2__ E= √ 1 –––––––––––––– = [10n + 15n + 6n –––––––––––– (5 . 2 . 3)n ] √ n (5 . 2 . 3)n ––––––––– 1 E= √√ –––––– __ n+2 ____ –––– 4 √4n Simplificando: n ––– n – n E = √(30)n = 30 = 301 = 30 Solución: Rpta.: 30 Trabajando con el denominador: _____ ___ _____ n+2 n+2 9.- Calcular: √ 4 √4n = √4 . 4n/2 _ 1 2n+1 . 5n+1 - 2n . 5n n n+2 ___ __ n+2 ____ [ E = ––––––– –––––––– – 23 . 52 + 5n ] √4 = √4 n n+2 α 1+ –– ––– 2 2 = Solución: ___ ____ √(2) = √_2_____ = 2 Separemos los exponentes que aparecen suma- n+2 n+2 n+2 ___ ––– n+2 2 2 n+2 n+2 =2 = dos: _ 1 reemplazando, descomponiendo y simplificando: 2n . 21 . 5n . 51 - 2n . 5n n n –––––– ___ _ [ E = ––––––––––––––––––– 23 . 52 + 5n ] n E= √ 2n . 21 n –––––– = √2n = 2n = 21 = 2 2 Hagamos que: 2n = a; 5n = b: _ 1 _ 1 _ 1 Rpta.: 2 10ab - ab n 9ab n8.- Calcular: [ E = –––––––– 8b + b ] [ ] = –––– 9b =an _____________ _ _ 1 n n n n 10n + 15n + 6n E= √ –––––––––––– 5-2 + 2-n + 3-n reponiendo: E = (2n) = 2 = 21 = 2 Rpta.: 2 Solución: 10.- Calcular: En primer lugar transformemos el denominador: _____________ (3n + 6) veces (2n + 3) veces n n 10 + 15 + 6 n n 6447448 6447448 E= √ –––––––––––– 1 1 1 –– + –– + –– 5n 2n 3n [ x.x.x.….x x.x.x.….x 1442443 x.x.x….x (4n - 2) veces x 6 ][ 1 E = –––––––––––––– –––––––––––– –––– xn+2 ][ ] Dando común denominador en el denominador de la raíz: Solución: _________________ n Cada expresión se reduce: 10n + 15n + 6n E= √( –––––––––––––– 6n + 15n + 10n –––––––––––– 5n . 2n . 3n ) [ ][ ][ ] x3n+6 x2n+3 x4n-2 x6 1 E = –––– –––– –––– xn+2 - 20 -

×