1. 1
Casos Especiales de
Problemas de
Programación Lineal
Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
Investigación Operativa I
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
2
Casos Especiales
Según la
región factible que
se forma

2. 2
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
3
REGION FACTIBLE ACOTADA:
Una región factible es acotada si queda representada
por una región cerrada.
Ejemplo
Graficar el siguiente conjunto de restricciones:
Casos Especiales
16xx2 21
≤+
04x5x2 21
≤+
0x,x 21
≥
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
4
Casos Especiales
REGION
FACTIBLE
ACOTADA
X2
X1
85
6
8

3. 3
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
5
REGION FACTIBLE NO ACOTADA:
Una región factible es no acotada si queda
representada por una región abierta.
Ejemplo
Graficar el siguiente conjunto de restricciones:
Casos Especiales
50x7x2- 21
≤+
12x3x4- 21
≤+
0x,x 21
≥
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
6
Casos Especiales
REGION
FACTIBLE
NO ACOTADA
X2
X1
(10,10)
3
4
8

4. 4
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
7
Ejemplo
Graficar el siguiente conjunto de restricciones:
Casos Especiales
7xx2 21
≥+
27x7x3 21
≥+
0x,x 21
≥
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
8
Casos Especiales
X2
X1
REGION
FACTIBLE
NO ACOTADA
3
7
92

5. 5
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
9
NO SE FORMA REGION FACTIBLE:
El conjunto de restricciones no forma una región
factible. Decimos que la región factible es un conjunto
vacío.
Ejemplo
Graficar el siguiente conjunto de restricciones:
Casos Especiales
40x8x5 21
≤+
72x9x8 21
≥+
0x,x 21
≥
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
10
Casos Especiales
NO SE FORMA
REGION
FACTIBLE
X2
X1
8
5
8
9

6. 6
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
11
RESTRICCION REDUNDANTE:
Una restricción es redundante cuando no participa en la
delimitación de la región factible. El sistema puede ser
resuelto sin esta restricción.
Ejemplo
Graficar el siguiente conjunto de restricciones:
Casos Especiales
40x8x5 21
≤+
72x9x8 21
≤+
0x,x 21
≥
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
12
Casos Especiales
X2
X1
RESTRICCIÓN
REDUNDANTE
8
5
8
9

7. 7
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
13
Casos Especiales
Según la
solución del
P.P.L.
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
14
SOLUCION UNICA:
El P.P.L. presenta una única solución óptima.
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
Casos Especiales
0x,x 21
≥
21
x5x5ZMax +=
sujeto a
16xx2 21
≤+
04x5x2 21
≤+

8. 8
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
15
Casos Especiales
X2
X1
SOLUCIÓN
ÚNICA
85
6
8
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
16
Casos Especiales
Z x1 x2 x3 x4 Sol.
Z 1 -5 -5 0 0 0
x3 0 2 5 1 0 40 20
x4 0 2 1 0 1 16 8
1 0 -5/2 0 5/2 40
x3 0 0 4 1 -1 24 6
x1 5 1 1/2 0 1/2 8 16
1 0 0 5/8 15/8 55
x2 5 0 1 1/4 -1/4 6
x1 5 1 0 -1/8 5/8 5
Θ

9. 9
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
17
Casos Especiales
5x1
=
Solución:
6x2
=
0x3
=
0x4
=
55Z =
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
18
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
Casos Especiales
7xx2 21
≥+
27x7x3 21
≥+
0x,x 21
≥
21
x5x5ZMin +=
sujeto a

10. 10
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
19
Casos Especiales
X2
X1
3
7
92
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
20
Casos Especiales
Primera Fase:
Z x1 x2 x3 x4 w1 w2 Sol.
Z 1 0 0 0 0 -1 -1
w1 1 3 7 -1 0 1 0 27
w2 1 2 1 0 -1 0 1 7
1 5 8 -1 -1 0 0 34
w1 1 3 7 -1 0 1 0 27 3,86
w2 1 2 1 0 -1 0 1 7 7,00
1 11/7 0 1/7 -1 -8/7 0 22/7
x2 0 3/7 1 -1/7 0 1/7 0 27/7 9,00
w2 1 11/7 0 1/7 -1 -1/7 1 22/7 2,00
1 0 0 0 0 -1 -1 0
x2 0 0 1 -2/11 3/11 2/11 -3/11 3
x1 0 1 0 1/11 -7/11 -1/11 7/11 2
Θ

11. 11
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
21
Casos Especiales
Segunda Fase:
Z x1 x2 x3 x4 Sol.
Z 1 -5 -5 0 0
x2 5 0 1 -2/11 3/11 3
x1 5 1 0 1/11 -7/11 2
1 0 0 -5/11 -20/11 25
x2 5 0 1 -2/11 3/11 3
x1 5 1 0 1/11 -7/11 2
Θ
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
22
Casos Especiales
2x1
=
Solución:
3x2
=
0x3
=
0x4
=
25Z =

12. 12
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
23
MÚLTIPLES SOLUCIONES:
El P.P.L. presenta más de una solución óptima.
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
Casos Especiales
0x,x 21
≥
21
x10x4ZMax +=
sujeto a
16xx2 21
≤+
04x5x2 21
≤+
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
24
Casos Especiales
X2
X1
MÚLTIPLES
SOLUCIONES
85
6
8

13. 13
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
25
Casos Especiales
Z x1 x2 x3 x4 Sol.
Z 1 -4 -10 0 0 0
x3 0 2 5 1 0 40 8,00
x4 0 2 1 0 1 16 16,00
1 0 0 2 0 80
x2 10 2/5 1 1/5 0 8
x4 0 8/5 0 -1/5 1 8
1 0 0 2 0 80
x2 10 0 1 1/4 -1/4 6
x1 4 1 0 -1/8 5/8 5
Θ
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
26
Casos Especiales
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
0
0
6
5
λ)(1
8
0
8
0
λ
x
x
x
x
4
3
2
1
Solución:
1λ0 ≤≤
donde

14. 14
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
27
Casos Especiales
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
4
0
7
2.5
0
0
6
5
)5.0(1
8
0
8
0
5.0
Ejemplo:
0.5λ =
80)4(0)0(0)7(10)5.2(4Z =+++=
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
28
Casos Especiales
SOLUCIÓN NO ACOTADA:
La solución del P.P.L. crece indefinidamente debido a
que la búsqueda se realiza sobre una región no
acotada. Este modelo no tiene solución.
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
21
x5x5ZMax +=
sujeto a
50x7x2- 21
≤+
12x3x4- 21
≤+
0x,x 21
≥

15. 15
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
29
Casos Especiales
X2
X1
SOLUCIÓN
NO ACOTADA
(10,10)
3
4
8
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
30
Casos Especiales
Z x1 x2 x3 x4 Sol.
Z 1 -5 -5 0 0 0
x3 0 -4 3 1 0 12 4,00
x4 0 -2 7 0 1 50 7,14
1 -35/3 0 5/3 0 20
x2 5 -4/3 1 1/3 0 4
x4 0 22/3 0 -7/3 1 22
1 0 0 -45/22 35/22 55
x2 5 0 1 -1/11 2/11 8
x1 5 1 0 -7/22 3/22 3
Θ

16. 16
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
31
Casos Especiales
La variable que debe ingresar a la base es x3, se
verifica la condición de optimalidad, pero no es posible
seleccionar una variable de salida, no se cumple la
condición de factibilidad. El modelo planteado no
presenta solución.
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
32
Casos Especiales
SOLUCIÓN SIN REGION FACTIBLE:
El conjunto de restricciones no forma una región
factible. Este modelo no tiene solución.
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
21
x5x5ZMax +=
sujeto a
40x8x5 21
≤+
72x9x8 21
≥+
0x,x 21
≥

17. 17
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
33
Casos Especiales
X2
X1
8
5
8
9
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
34
Casos Especiales
Z x1 x2 x3 x4 w1 Sol.
Z 1 0 0 0 0 -1 0
w1 1 8 9 -1 0 1 72
x4 0 5 8 0 1 0 40
Z 1 8 9 -1 0 0 72
w1 1 8 9 -1 0 1 72 8,00
x4 0 5 8 0 1 0 40 5,00
Z 1 19/8 0 -1 -9/8 0 27
w1 1 19/8 0 -1 -9/8 1 27 11,37
x2 0 5/8 1 0 1/8 0 5 8,00
Z 1 0 -19/5 -1 -8/5 0 8
w1 1 0 -19/5 -1 -8/5 1 8
x1 0 1 8/5 0 1/5 0 8
Θ
Primera Fase:

18. 18
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
35
Casos Especiales
Se alcanza un tablero óptimo, pero la variable artificial
no ha salido de la base. El modelo planteado no
presenta región factible.
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
36
SOLUCIÓN DEGENERADA:
Una vez localizada la variable que ingresa, (condición
de optimalidad, para casos de empate, se elige
arbitrariamente cualquiera de ellas).
Para la variable de salida, (condición de factibilidad), si
ocurre un empate en los cocientes entre 2 o más
variables básicas, puede ocasionar un problema de
ciclaje, o el retorno a una solución anterior.
También origina que algunas variable básicas tomen el
valor cero.
Casos Especiales

19. 19
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
37
Ejemplo
Determinar la solución óptima de:
21 10xx4ZMax +=
40x8x5 21 ≤+
30x6x5 21 ≤+
0x,x 21 ≥
sujeto a
Casos Especiales
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
38
Casos Especiales
2
1
X2
X1

20. 20
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
39
Casos Especiales
La solución óptima resulta:
0x1 =5x2 =
0x3 =0x4 =
50Z =
Z x1 x2 x3 x4 Sol.
Z 1 -4 -10 0 0 0
x3 0 5 6 1 0 30 5
x4 0 5 8 0 1 40 5
Z 1 4.333 0 1.667 0 50
x2 10 0.833 1 0.167 0 5
x4 0 -1.667 0 -1.333 1 0
Θ
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
40
Casos Especiales
La solución óptima resulta:
0x1 =5x2 =
0x3 = 0x4 =
50Z =
Z x1 x2 x3 x4 Sol.
Z 1 -4 -10 0 0 0
x3 0 5 6 1 0 30 5
x4 0 5 8 0 1 40 5
Z 1 2.25 0 0 1.25 50
x3 0 1.25 0 1 -0.75 0
x2 10 0.625 1 0 0.125 5
Θ

21. 21
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
41
Ejemplo de E.M.L. Beale
Determinar la solución óptima de:
4321 x6x5.0x02x75.0ZMax −+−=
0x3x0.5x12x0.5 4321 ≤+−−
0x9xx8x0.25 4321 ≤+−−
0x,x,x,x 4321 ≥
sujeto a
Casos Especiales
1x3 ≤
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
42
Casos Especiales
Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 Sol. Θ
Z 1 -0.75 20 -0.5 6 0 0 0 0
x5 0 0.25 -8 -1 9 1 0 0 0 0
x6 0 0.5 -12 -0.5 3 0 1 0 0 0
x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1
Z 1 0 -4 -3.5 33 3 0 0 0
x1 0.75 1 -32 -4 36 4 0 0 0
x6 0 0 4 1.5 -15 -2 1 0 0
x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1
Z 1 0 0 -2 18 1 1 0 0
x1 0.75 1 0 8 -84 -12 8 0 0 0
x2 -20 0 1 0.375 -3.75 -0.5 0.25 0 0 0
x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1

22. 22
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
43
Casos Especiales
Z 1 0.25 0 0 -3 -2 3 0 0
x3 0.5 0.125 0 1 -10.5 -1.5 1 0 0
x2 -20 -0.047 1 0 0.188 0.063 -0.125 0 0 0
x7 0 -0.125 0 0 10.5 1.5 -1 1 1 0.095
Z 1 -0.5 16 0 0 -1 1 0 0
x3 0.5 -2.5 56 1 0 2 -6 0 0 0
x4 -6 -0.250 5.333 0 1 0.333 -0.667 0 0 0
x7 0 2.5 -56 0 0 -2 6 1 1
Z 1 -1.75 44 0.5 0 0 -2 0 0
x5 0 -1.25 28 0.5 0 1 -3 0 0
x4 -6 0.167 -4 -0.167 1 0 0.333 0 0
x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1
Z 1 -0.75 20 -0.5 6 0 0 0 0
x5 0 0.25 -8 -1 9 1 0 0 0
x6 0 0.5 -12 -0.5 3 0 1 0 0
x7 0 0 0 1 0 0 0 1 1
Lic. Gabriel Solari C. Investigación Operativa I
44
Casos Especiales
Después de 6 iteraciones se alcanza el tablero inicial.
Decimos que ha ocurrido un ciclaje. Para resolver el
ciclaje se utilizan las reglas lexicográficas.