El documento presenta 5 casos de estudio de problemas de programación lineal. El primer caso trata sobre la asignación óptima de recursos agrícolas a la siembra de 4 productos en 3 granjas. El segundo caso trata sobre la distribución óptima de carga en 3 bodegas de un barco. El tercer caso trata sobre el problema de cortes óptimos de papel. El cuarto caso trata sobre la selección óptima de proyectos de inversión sujetos a restricciones presupuestarias y de selección. El quinto caso plantea
Unmsm fisi - estudio de casos de problemas de programación lineal - io1 cl05
1. 1
Estudio de casos de
problemas de
Programación Lineal
Docente : Lic. Gabriel Solari Carbajal
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingeniería de Sistemas e Informática
Investigación Operativa I
2
CASO 1: ASIGNACION DE RECURSOS AGRICOLAS
Una Cooperativa opera 3 granjas.
Los datos acerca de las granjas son las siguientes:
TERRENO AGUA
UTILIZABLE DISPONIBLE
(ha) (m3
)
1 700 2000
2 800 2400
3 600 1500
GRANJA
La Cooperativa considera sembrar 4 productos A, B, C
y D.
Estudio de Casos de PPL
2. 2
3
No se puede mostrar la imagen en este momento.
CANTIDAD CONSUMO UTILIDAD
MAXIMA DE DE ESPERADA
TERRENO AGUA POR HECTAREA
(ha) (m3/ha) ($)
A 500 5 2000
B 700 4 1500
C 400 3 1000
D 600 4 1500
PRODUCTO
Además para mantener una carga uniforme de trabajo,
se establece que en todas las granjas se debe utilizar el
mismo porcentaje de terreno.
Determine el plan óptimo de sembrío para maximizar la
utilidad esperada.
Estudio de Casos de PPL
4
SOLUCION:
Determinando los posibles sembrios en cada granja:
1 2 3
A A1 A2 A3
B B1 B2 B3
C C1 C2 C3
D D1 D2 D3
Estudio de Casos de PPL
5. 5
9
Por no negatividad
A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3, D1, D2, D3 ≥ 0
Función objetivo:
Maximizamos la utilidad
Max Z = 2000 (A1 + A2 + A3) + 1500 (B1 + B2 + B3) + 1000 (C1 + C2 + C3) +
1500 (D1 + D2 + D3)
Estudio de Casos de PPL
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Un barco tiene tres bodegas: en la proa, en el centro y
en la popa. Los límites de capacidad son:
Capacidad
Peso Volumen
(Ton) (Pies
3
)
Proa 2,000 100,000
Centro 3,000 135,000
Popa 1,500 30,000
Bodega
CASO 2: CARGA DEL BARCO
Estudio de Casos de PPL
6. 6
11
Se ofrecen los siguientes cargamentos y los dueños de
los barcos pueden aceptar el total o una porción
cualquiera de cada artículo.
Cantidad Ganacia
Peso Vol/Ton por Ton
(Ton) (Pies
3
) ($)
A 6,000 60 6
B 4,000 50 8
C 2,000 25 5
Artículo
Estudio de Casos de PPL
12
Para preservar el equilibrio de barco, el peso en cada
bodega debe ser proporcional a la capacidad en
toneladas.
¿Cómo debe distribuirse la carga para hacer máxima la
ganancia?
Estudio de Casos de PPL
7. 7
13
La siguiente gráfica permite visualizar el problema e
identificar las variables de decisión.
POPA
CENTRO
PROA
A
B
C
A1
A2A3
B1
B2
B3
C1 C2
C3
SOLUCION:
Estudio de Casos de PPL
14
Variables de decisión:
Ai i = 1, 2, 3
Bi i = 1, 2, 3
Ci i = 1, 2, 3
Ejemplo
C1: cantidad de toneladas del producto C que se
transporta en la bodega 1 (proa)
i = 1 (Proa), 2 (Centro) y 3 (Popa)
Estudio de Casos de PPL
9. 9
17
Por no negatividad
A1, A2, A3, B1, B2, B3, C1, C2, C3 ≥ 0
Función objetivo:
Maximizamos la ganancia
Max Z = 6 A1 + 6 A2 + 6 A3 + 8 B1 + 8 B2 + 8 B3 + 5 C1 + 5 C2 + 5 C3
Estudio de Casos de PPL
18
CASO 3: PROBLEMA DE LOS CORTES DE PAPEL
Una compañía papelera produce rollos de 3
dimensiones:
Rollo Dimensión
(cm.)
A 100
B 150
C 200
Estudio de Casos de PPL
10. 10
19
La compañía tiene los siguientes pedidos de papel:
Dimensión Cantidad pedida
(cm.) (und.)
50 180
70 200
80 150
90 80
Estudio de Casos de PPL
20
Además se sabe que para la próxima semana sólo se
tendrán disponibles:
Rollo Disponible
(und.)
A gran cantidad
B 115
C 90
Plantee un modelo para determinar una planificación
óptima de cortes y resuelva utilizando LINDO/PC.
Estudio de Casos de PPL
11. 11
21
SOLUCION:
Determinando las modalidades de cortes
Rollo A = 100 cm.
Corte A1 A2 A3 A4
50 cm 2 - - -
70 cm - 1 - -
80 cm - - 1 -
90 cm - - - 1
Desperdicio 0 30 20 10
Estudio de Casos de PPL
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Rollo B = 150 cm.
Corte B1 B2 B3 B4 B5 B6
50 cm 3 1 1 1 - -
70 cm - 1 - - 2 1
80 cm - - 1 - - 1
90 cm - - - 1 - -
Desperdicio 0 30 20 10 10 0
Rollo C = 200 cm.
Corte C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10
50 cm 4 2 2 2 1 1 - - - -
70 cm - 1 - - 2 1 1 - - -
80 cm - - 1 - - 1 - 2 1 -
90 cm - - - 1 - - 1 - 1 2
Desperdicio 0 30 20 10 10 0 40 40 30 20
Estudio de Casos de PPL
12. 12
23
Variables de decisión:
Ai i = 1, 2, 3, 4
Bi i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
Ci i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Ejemplo
C5: número de veces que se utiliza el proceso de
corte C5
Estudio de Casos de PPL
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Restricciones:
Por cantidad pedida
2 A1 + 3 B1 + B2 + B3 + B4 + 4 C1 + 2 C2 + 2 C3 + 2 C4 + C5 + C6 = 180
A2 + B2 + 2 B5 + B6 + C2 + 2 C5 + C6 + C7 = 200
A3 + B3 + B6 + C3 + C6 + 2 C8 + C9 = 150
A4 + B4 + C4 + C7 + C9 + 2 C10 = 80
Por disponibilidad
B1 + B2 + B3 + B4 + B5 + B6 ≤ 115
C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6 + C7 + C8 + C9 + C10 ≤ 80
Estudio de Casos de PPL
13. 13
25
Por enteros no negativos
A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4, B5, B6, C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9,
C10 enteros ≥ 0
Función objetivo:
Minimizamos el desperdicio
Min Z = 30 A2 + 20 A3 + 10 A4 + 30 B2 + 20 B3 + 10 B4 + 10 B5 + 30 C2 + 20
C3 + 10 C4 + 10 C5 + 40 C7 + 40 C8 + 30 C9 + 20 C10
Estudio de Casos de PPL
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CASO 4: SELECCIÓN DE PROYECTOS
Una compañía tiene que escoger un conjunto de
proyectos de la siguiente lista para un horizonte de
planeación de 3 años.
Su objetivo es maximizar el Valor Presente Neto Total,
pero sin gastar más de lo presupuestado en cualquiera
de los 3 años.
Unidad monetaria: $ 1000.
Estudio de Casos de PPL
14. 14
27
AÑO 1 AÑO 2 AÑO 3
1 30 80 10 80
2 40 70 50 96
3 50 60 70 88
4 60 60 10 92
5 70 40 10 76
6 20 30 90 87
7 20 50 20 78
8 25 80 60 81
9 40 20 15 94
PRESUPUESTO 300 320 220
PROYECTO
REINVERSIONES VALOR
PRESENTE
NETO
Estudio de Casos de PPL
28
Unidad monetaria: $ 1000.
Además se dan las siguientes condiciones:
a) La compañía debe escoger de todas maneras uno
de los proyectos 1 o 9, (o ambos).
b) Si el proyecto 6 es seleccionado, entonces el
proyecto 8 también debe ser seleccionado.
c) Los proyectos 1 y 3 no deben ser seleccionados a
la vez.
Estudio de Casos de PPL
15. 15
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SOLUCION:
Variables de decisión:
Estudio de Casos de PPL
⎩
⎨
⎧=
0
1Pi
si el Proyecto i es seleccionado
en caso contrario
i = 1, 2, 3, ...., 9
30
Restricciones:
Por presupuesto
30 P1 + 40 P2 + 50 P3 + 60 P4 + 70 P5 + 20 P6 + 20 P7 + 25 P8 + 40 P9 ≤ 300
80 P1 + 70 P2 + 60 P3 + 60 P4 + 40 P5 + 30 P6 + 50 P7 + 80 P8 + 20 P9 ≤ 320
10 P1 + 50 P2 + 70 P3 + 10 P4 + 10 P5 + 90 P6 + 20 P7 + 60 P8 + 15 P9 ≤ 220
Por selección del proyecto 1 o 9
P1 + P9 ≥ 1
Estudio de Casos de PPL
Por posible selección de los proyectos 6 y 8
P6 - P8 ≤ 0
16. 16
31
Por binarios
P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9 binarios {0,1}
Función objetivo:
Maximizamos el Valor presente Neto
Max Z = 80 P1 + 96 P2 + 88 P3 + 92 P4 + 76 P5 + 87 P6 + 78 P7 + 81 P8 + 94
P9
Estudio de Casos de PPL
Por la no selección de los proyectos 1 y 3 a la vez
P1 + P3 ≤ 1
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CASO 5: PLANIFICACION FINANCIERA
Un inversionista dispone de un capital de $ 100,000 y
trata de determinar en que actividades le será más
conveniente invertir durante un horizonte de
planificación de 6 años.
Estudio de Casos de PPL
17. 17
33
Plantee un modelo de Programación Lineal para
determinar un plan óptimo de inversiones.
A 1, 2, 3, 4, 5 1.4 al cabo de 2 años
B 1, 2, 3, 4 1.6 al cabo de 3 años
C 6 1.3 al cabo de 1 año
D 2, 3 1.8 al cabo de 4 años
E 4 1.8 al final del año 6
RETORNO POR CADA
DÓLAR INVERTIDO
ACTIVIDAD
DISPONIBLE
A INICIO DEL
AÑO
Estudio de Casos de PPL
34
SOLUCION:
Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad A:
Estudio de Casos de PPL
año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6
A1 A2 A3 A4 A5
18. 18
35
Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad B:
Estudio de Casos de PPL
año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6
B1 B2 B3 B4
Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad C:
año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6
C6
36
Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad D:
Estudio de Casos de PPL
Grafiquemos el plan de inversiones para la actividad E:
año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6
D2 D3
año 1 año 2 año 3 año 4 año 5 año 6
E4
19. 19
37
Variables de decisión:
Ai i = 1, 2, 3, 4, 5
Bi i = 1, 2, 3, 4
Ci i = 6
Ejemplo
B2: cantidad a invertir en la actividad B a inicio del
año 2.
Estudio de Casos de PPL
Di i = 2, 3
Ei i = 4
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Estudio de Casos de PPL
1 100,000 A1 + B1 S1
2 S1 A2 + B2 + D2 S2
3 S2 + 1.4 A1 A3 + B3 + D3 S3
4 S3 + 1.4 A2 + 1.6 B1 A4 + B4 + E4 S4
5 S4 + 1.4 A3 + 1.6 B2 A5 S5
6 S5 + 1.4 A4 + 1.6 B3 + 1.8 D2 C6 S6
CANTIDAD DISPONIBLEA
INICIO DEL AÑO i
CANTIDAD A
INVERTIR EN EL
AÑO i
CANTIDAD
DISPONIBLEAL
FINAL DEL AÑO i
AÑO i
21. 21
41
CASO 6: PROGRAMACION DE TURNOS DE
VIGILANTES
Una compañía requiere la siguiente cantidad de
vigilantes durante las 24 horas de cada día.
2 - 6 8
6 - 10 6
10 - 14 7
14 - 18 10
18 - 22 12
22 - 2 9
HORAS
CANTIDAD
MINIMA
Estudio de Casos de PPL
42
Cada vigilante trabaja 8 horas/día en forma continua y
cobra según los siguientes turnos:
Estudio de Casos de PPL
Plantee un modelo de Programación Lineal para
minimizar el costo de vigilantes necesarios para cubrir
los requerimientos.
TURNO PERIODO Costo-hora ($)
1 6 - 14 10
2 14 - 22 12
3 22 - 6 18
22. 22
43
SOLUCION:
Grafiquemos el requerimiento de vigilantes:
Estudio de Casos de PPL
2 6 10 14 18 22 2
76 10 12 98
Los posibles ingresos de vigilantes:
2 6 10 14 18 22 2
76 10 12 98
V2 V6 V10 V14 V18 V22
44
Estudio de Casos de PPL
2 6 10 14 18 22 2
V2
V6
V10
V14
V18
V22
23. 23
45
Variables de decisión:
V2, V6, V10, V14, V18, V22
Ejemplo
V10: número de vigilantes que entran a trabajar a las
10.
Estudio de Casos de PPL
46
Restricciones:
Por cubrimiento
V2 + V6 ≥ 6
V6 + V10 ≥ 7
V10 + V14 ≥ 10
V14 + V18 ≥ 12
Estudio de Casos de PPL
Por no negatividad
V2, V6, V10, V14, V18, V22 enteros ≥ 0
V18 + V22 ≥ 9
V2 + V22 ≥ 8
24. 24
47
Estudio de Casos de PPL
2 6 10 14 18 22 2
TURNO 3
V2 V6 V10 V14 V18 V22
TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3
VIGILANTES TURNO 1 TURNO 2 TURNO 3 TOTAL
V2 40 72 112
V6 80 80
V10 40 48 88
V14 96 96
V18 48 72 120
V22 144 144
48
Función objetivo:
Minimizamos el pago por vigilantes
Min Z = 112 V2 + 80 V6 + 88 V10 + 96 V14 + 120 V18 + 144 V22
Estudio de Casos de PPL