Razon de Cambio

1. MATEMÁTICA I
Actividad Virtual IV 15%
Nombres y Apellidos: Julius David Oviedo. CI: 25646360.
Sección: BtoMat1Tec2014-2iS1. Fecha: 04/09/2014
EJERCICIOS
Facilitador: Prof. José E. Linárez
1. Un campo de béisbol, es un cuadrado de 90 pies de lado. Un jugador está corriendo de la primera base a la segunda
con una velocidad de 17 pies/seg. Hallar la velocidad con que se acerca el jugador a la tercera base en el instante
en que este se encuentra a 60 pies de la primera. Realice la figura que ilustre el problema.
2ra
60
3ra 1ra
90
HOME

2. Nos piden que
푑푦
푑푡 푥=30
Sean 푥 la distancia entre la primera y segunda base en el instante 푡.
Nos dicen que
푑푥
푑푡
= −17 pies/seg
Si consideramos que
푥
90
푦
Entonces, por teorema de Pitágoras se tiene que
푦2 = 푥 2 + 902 Ecuación [1]
Derivando implícitamente con respecto al tiempo ( 푡 en segundos)
2푦
푑푦
푑푡
= 2푥
푑푥
푑푡
Ecuación [2]
Pero ,
푑푥
푑푡
= 17 pies/seg. Además cuando 푥 = 30, de [1] se tiene que

3. 푦 = √302 + 902 = √9000 = 30√10
Sustituyendo estos valores en [2]:
2푦
푑푦
푑푡
= 2푥
푑푥
푑푡
⟹
푑푦
푑푡
=
푥
푦
푑푥
푑푡
푑푦
푑푡 푥=30
= 30
30√10
(−17 ) = 17
√10
≈ −5,38 pies/seg
En conclusión, cuando el jugador se encuentra a 60 pies de primera base, este se acerca a tercera base con una velocidad de
5,38 pies/seg.

4. 2. Un edificio de 60m. proyecta su sombra sobre el piso horizontal. El ángulo que forman los rayos solares con el piso
disminuye a razón de 15° por hora. En determinado instante del día la sombra del edificio es de 80m. hallar la razón
en que cambia la sombra en ese instante. Realice la figura que ilustre el problema.
SOL
60
휃
80m
Sean 푡0 el instante del día en que disminuye la sombra del edificio, o sea cuando
푑휃
푑푡 푡 =푡0
=15° por hora = 1
12
휋 푟푎푑/ℎ

5. Se pide hallar
푑푆
푑푡
donde S es la longitud sombra
Se tiene que:
cot 휃 =
푠
60
, o bien θ = cot−1 (
푆
60
)
Derivando respecto a t:
푑휃
푑푡
=
−1
1 + ( 푆
)
60
2 (
1
60
)
푑푆
푑푡
=
−3600
3600 + 푆 2 (
1
60
)
푑푆
푑푡
=
−60
3600 + 푆 2
푑푆
푑푡
Nos dicen que
푑푆
푑푡
= −
1
12
휋 푟푎푑/ℎ,, donde el signo negativo significa que la sombra S es decreciente.
푑휃
푑푡
=
−60
3600 + (80)2
푑푆
푑푡
=
−60
3600 + 6400
푑푆
푑푡
=
−60
10000
푑푆
푑푡
=
−3
500
푑푆
푑푡
Ahora,
푑푆
푑푡
=
500
−3
푑휃
푑푡
=
500
−3
1
12
휋 ≈ −43.63 푚/ℎ

6. 3. Un faro está situado a 2km. De una playa recta y su luz gira a razón de 2 revoluciones por minuto. Hallar la rapidez
con que se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa en el momento en que este pasa por un punto situado a 1km
del punto frente al faro. Realice la figura que ilustre el problema.
2 푘푚
휃
1 푘푚

7. Nos dicen que
푑휃
푑푡
= 2 푟푒푣/푚푖푛 y Nos piden
푑푥
푑푡
donde 푥 es la distancia desde el faro hasta donde se proyecta la luz en
el instante y 푦 es la altura del faro
Se tiene que
tan 휃 =
푦
푥
, o bien 휃 = tan−1 (
푦
푥
)
Derivando implícitamente
푑휃
푑푡
=
−푦
푥 2 + 푦2
푑푥
푑푡
2 =
−2
푥 2 + (2)2
푑푥
푑푡
2 =
−2
푥 2 + 4
푑푥
푑푡
Ahora
푑푥
푑푡
= −(12 + 4) = −5푟푒푣/푚푖푛

8. 4. Sabiendo que un trozo de hielo esférico se derrite a una razón proporcional al área de su superficie.
a) Probar que la razón con que se contrae su radio es constante
b) Si, además se sabe que después de una hora el hielo que queda es de 1/8 de la cantidad inicial, hallar el
tiempo que tardara en derretirse completamente.
Solución:
Sean:
푡:El tiempo medido en horas.
푟: El radio de la superficie del globo en el instante 푡.
푉: El volumen del trozo de hielo al derretirse en el instante 푡.
푆: El Área del trozo de hielo al derretirse el gas en el instante 푡.
Nos dicen que
푑푉
푑푡
=
1
푘
푑푆
푑푡

9. a) El volumen del trozo de hielo, es una esfera, viene dado por:
푉 =
4
3
휋푟3
Derivando implícitamente con respecto al tiempo ( 푡 en minutos) y considerando que
푑푉
푑푡
=
1
푘
푑푆
푑푡
,
obtenemos:
푑푉
푑푡
= 4휋푟2 푑푟
푑푡
⟹
1
푘
푑푆
푑푡
= 4휋푟2 푑푟
푑푡
Ecuación [1]
La superficie del trozo de hielo, viene dado por:
푆 = 4휋푟2
Derivando implícitamente con respecto al tiempo ( 푡 en minutos)
푑푆
푑푟
= 8휋푟
Ecuación [2]
푑푡
푑푡
Ahora; sustituyendo [2] en [1], nos queda:
1
푘
8휋푟
푑푟
푑푡
= 4휋푟2 푑푟
푑푡
⟹
1
푘
8 = 4푟 ⟹
1
푘
=
4푟
8
⟹
1
푘
=
1
2
푟 = 0,5푟
Así, la razón con que se contrae su radio es constante, es decir 0,5푟

10. 푏) Como despues de 1 hora tenemos 푆 = 1
8
(4휋푟2) ⟹ 푆 = 1
2
휋푟2 , entonces
푑푉
푑푡
=
1
8
1
2
푟 (8휋푟
푑푟
푑푡
)
Ahora, dado que después de una hora el hielo que queda es de 1/8 de la cantidad inicial

11. 5.El gas de un globo esférico se escapa a razón de 360 pies3/min. Hallar:
a) La rapidez que disminuye el radio en el instante en que este es de 3 pies.
b) La rapidez con que disminuye el área de la superficie en el instante en que el radio es de 3 pies.
Solución:
Sean:
푡:El tiempo medido en minutos.
푟: El radio medido en pies de la superficie del globo en el instante 푡.
푉: El volumen del globo al escarparse el gas en el instante 푡.
푆: El Área del globo al escarparse el gas en el instante 푡.

12. Nos piden hallar
푑푟
푑푡 푟=3
y
푑푆
푑푡 푟=3
푑푉
푑푡
Nos dicen que
= 360 pies3/푚푖푛
b) El volumen del globo, el cual es una esfera, viene dado por:
푉 =
4
3
휋푟3
Derivando implícitamente con respecto al tiempo ( 푡 en minutos)
푑푉
푑푟
= 4휋푟2 푑푡
푑푡
⟹
푑푟
푑푡
=
1
4휋푟2
푑푉
푑푡
Ahora
푑푟
푑푡 푟=3
=
1
4휋(3)
2 (360) =
10
휋
≈ 3,18 푝푖푒푠/푚푖푛
c) La superficie del globo, el cual es una esfera, viene dado por:
푆 = 4휋푟2
Derivando implícitamente con respecto al tiempo ( 푡 en minutos)
푑푆
푑푟
= 8휋푟
푑푡
푑푡

13. Ahora
푑푆
푑푡
= 8휋푟
푑푟
푑푡
푑푆
푑푡 푟=3
= 8휋(3)(3,18 ) ≈ 239,76 푝푖푒푠/푚푖푛
4. Un barco navega con dirección nortea razón de 6 km/h. otro barco navega con dirección este a 8km/h. a las 11 am.
El segundo barco cruzo la ruta del primero en el punto en el cual este paso 2 horas antes. ¿Cómo está cambiando la
distancia de los barcos a las 10am?
Solución:

14. 7.Un avión vuela horizontalmente a una altura constante de 900m. de altura y con velocidad constante. La trayectoria
pasa sobre una estación de radar desde donde el operador observa el avión. Cuando el ángulo de inclinación de la línea
de observación es de π/3, este ángulo está cambiando a razón de de 1/45 rad/seg. Hallar la velocidad del avión.
Solución:
ℎ
휃
푥
Sean
ℎ: la altura del avión medida en metros.
푥: la distancia que avanza el avión a medida que se acerca a la estación en el instante 푡.
휃:el ángulo de la línea de observación de la estación respecto al avión.

15. Nos piden hallar
푑푥
푑푡
y Nos dicen que
푑휃
푑푡
= 1
45
rad /푠푒푔
Se tiene que:
tan 휃 =
ℎ
푥
⟹ 푥 =
ℎ
tan 휃
=
900
tan (휋
3
)
=
900
√3
√3
√3
=
900√3
3
= 300√3 퐸푐푢푎푐푖ó푛 [1]
Por otro lado, si nuevamente usamos
tan 휃 =
ℎ
푥
⟹ 휃 = tan−1 (
ℎ
푥
)
Derivando implícitamente con respecto al tiempo
푑휃
푑푡
=
1
1 + (ℎ
푥
)
2 (−
ℎ
푥2)
푑푥
푑푡
=
−푥 2
푥 2 + ℎ2 (
ℎ
푥2)
푑푥
푑푡
=
−ℎ
푥 2 + ℎ2
푑푥
푑푡
퐸푐푢푎푐푖ó푛 [2]
Sustituyendo ℎ = 900 y la ecuación [1] en [2]
1
45
rad /푠푒푔 =
−900
2
+ (900)2
(300√3)
푑푥
푑푡
=
−900
2700 + 810000
푑푥
푑푡
=
−900
1080000
푑푥
푑푡
=
1
1200
푑푥
푑푡

16. De donde
푑푥
푑푡
= − (
1
45
rad /푠푒푔) 1200푚 = −
80
3
m /푠푒푔
8.Las dimensione de un cilindro circular recto están variando. En un cierto instante el radio y la altura son de 8cm y
20cm, respectivamente. Si el volumen permanece constante y el radio aumenta a razón de 3cm/seg. Hallar la variación
de la altura en ese instante.
Solución:
푟

17. Sean:
푡:El tiempo medido en minutos.
푟: El radio del cilindro medido en centímetros (cm)
푉: El volumen del cilindro.
Nos piden hallar
푑ℎ
푑푡
y Nos dicen que
푑푟
푑푡
= 3 cm /푠푒푔
Sabemos que el volumen del cilindro
푉 = 휋푟2ℎ
Derivando implícitamente el radio con respecto al tiempo
푑푉
푑푡
= 2휋푟ℎ
푑푟
푑푡
= 2휋(8)(20)(3) = 960 cm3 /푠푒푔
Ahora, derivando implícitamente la altura con respecto al tiempo
푑푉
푑푡
= 휋푟2 푑ℎ
푑푡
⟹ 960 cm3 /푠푒푔 = 휋(8푐푚) 2 푑ℎ
푑푡
⟹
푑ℎ
푑푡
=
960 cm3 /푠푒푔
64휋푐푚2 =
15
휋
cm /푠푒푔

18. Graficar la siguiente función 푓(푥) = 푥 3 − 6푥 2 + 9푥 + 1 (3 puntos)
Para ello de buscar
a) Dominio
b) Simetría y periodicidad
c) Intersección con los ejes
d) Continuidad y asíntotas
e) Estudio de la primera derivada: intervalos de monotonía, máximos y mínimos
f) Estudio de la segunda derivada: concavidad y puntos de inflexión
g) Esbozar el grafico
Solución:
a) Dominio: 퐷표푚 (푓 ) = ℝ
b) Simetría y Periodicidad.
Dado que 푓 es polinómica, no existe un periodo T, entonces no se cumple que 푓(푥 + 푇) = 푓(푥) es decir 푓 no
es periódica.
Veamos las simetrías respecto al
Eje 푥: Si al sustituir 푦 por −푦 en la función y se obtiene la función original.

19. Eje 푦 ∶ Si al sustituir 푥 por −푥 en la función y se obtiene la función original.
Origen: Eje 푦: ∶ Si al sustituir 푥 por – 푥 y 푦 por −푦 en la función y se obtiene la función original.
En consecuencia, 푓 no es simétrica con ninguna de las posibilidades por no cumplir las condiciones de simetría.
c) Intersección con los Ejes
Eje 푦 Si 푥 = 0 ⟹ 푓(0) = 1
Eje 푥: Si 푦 = 0 ⟹ 푥 3 − 6푥 2 + 9푥 + 1 = 0
Al tratar de factorizar por regla de Ruffini NO existen valores enteros que anulen la ecuación y solo un método
numérico llamado NEWTON-RAPHSON nos daría los puntos de corte con el eje 푥.
d) Continuidad y Asíntotas:
Por se 푓 una función polinómica, no tiene asíntotas y además es continua en todo su dominio; es decir
퐷표푚 (푓 ) = ℝ.
e) Estudio de la primera derivada: Intervalos de monotonía. Máximos y Mínimos.
푓´(푥) = 3푥 2 − 12푥 + 9 = 3(푥 2 − 4푥 + 3) = 3(푥 − 3)(푥 − 1)
Puntos Críticos:
푓´(푥) = 0 ⟺ 3(푥 − 3)(푥 − 1) = 0

20. ⟺ (푥 − 3)(푥 − 1) = 0
⟺ (푥 − 3) = 0 ∨ (푥 − 1) = 0
⟺ 푥 = 3 ∨ 푥 = 1
Así, los valores críticos son 푥 = 3 y 푥 = 1
Intervalos de Monotonía:
−∞ 1 3 +∞
푥휖(−∞, 1]; si 푥 = 0 ⟹ 푓´(0) = 9 > 0
푥휖(−1, 3]; si 푥 = 2 ⟹ 푓´(2) = 3(2 − 3)(2 − 1) = 3(−1)(1) = −3 < 0
푥휖(3, +∞); si 푥 = 4 ⟹ 푓´(4) = 3(4 − 3)(4 − 1) = 3(1)(3) = 9 > 0
Por lo tanto, los intervalos de monotonía para 푓 son:
푓 es Creciente en (−∞, 1] y (3; +∞) y 푓 es Decreciente en (−1, 3]
Por Criterio de la primera derivada podemos establecer que:
푓(1) = (1)3 − 6(1)2 + 9(1) + 1 = 1 − 6 + 9 + 1 = 5 (MÁXIMO)

21. 푓(3) = (3)3 − 6(3)2 + 9(3) + 1 = 27 − 54 + 27 + 1 = 1 (MÍNIMO)
f) Estudio de la segunda derivada: Intervalos de Concavidad y Puntos de Inflexión.
푓´´(푥) = 6푥 − 12
Valores de Inflexión:
푓´´(푥) = 0 ⟺ 6푥 − 12 = 0
⟺ 푥 = 2
Así, el único valor de inflexión son 푥 = 2

22. Intervalos de Concavidad:
∩ ∪
−∞ 2 +∞
푥휖(−∞, 2]; si 푥 = 0 ⟹ 푓´´(0) = −12 < 0
푥휖(2, +∞); si 푥 = 4 ⟹ 푓´(4) = 6(4) − 12 = 12 > 0
Así, los intervalos de concavidad para 푓 son:
푓 es Cóncava hacía abajo en (−∞, 2] y 푓 es Cóncava hacía arriba en (2, +∞)
Pr Criterio de la Segunda Derivada, se tiene que:
푓(2) = (2)3 − 6(2)2 + 9(2) + 1 = 8 − 24 + 18 + 1 = 3 (PUNTO DE INFLEXIÓN)

23. g) Esbozo del Grafico
10
0
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-10
-20
-30
-40
-50
-60
Eje Y
Eje X

25. Las siguientes funciones calcula sus derivadas.
ퟏ. 풇(풙) =
[(− ퟏ
ퟖ
풙ퟑ − ퟑ
ퟓ
풙 − ퟓ)
ퟐ⁄ퟑ
(−ퟒ풙ퟒ + ퟑ)ퟏ⁄ퟓ]
(− ퟕ
ퟖ
풙ퟒ − ퟑ)
ퟐ⁄ퟓ

26. Solución: Para facilitar el cálculo de la derivada podemos transformar este cociente de funciones usando la propiedad del
exponente negativo 풃−풏 = ퟏ
풃풏, es decir:
풇(풙) = (−
ퟏ
ퟖ
풙ퟑ −
ퟑ
ퟓ
풙 − ퟓ)
ퟐ⁄ퟑ
∙ (−ퟒ풙ퟒ + ퟑ)ퟏ⁄ퟓ ∙ (−
ퟕ
ퟖ
풙ퟒ − ퟑ)
−ퟐ⁄ퟓ
Como 푓 se transformo en el producto de tres funciones entonces la derivada de esta función viene dada por
푑
푑푢
푑푣
푑푧
[푢 ∙ 푣 ∙ 푧] = 푣 ∙ 푧 ∙
+ 푢 ∙ 푧 ∙
+ 푢 ∙ 푣 ∙
푑푥
푑푥
푑푥
푑푥
Donde 푢 = (− 1
8
푥 3 − 3
5
푥 − 5)
2⁄3
, 푣 = (−4푥4 + 3)1⁄5, 푧 = (− 7
8
푥 4 − 3)
−2⁄ 5
Por otro lado
푑푢
푑푥
=
2
3
(−
1
8
푥 3 −
3
5
푥 − 5)
−1⁄3 푑
푑푥
(−
1
8
푥 3 −
3
5
푥 − 5) =
2 (− 3
8
푥 2 − 3
5
)
3 (− 1
8
푥 3 − 3
5
푥 − 5)
1⁄3
푑푣
푑푥
=
1
5
(−4푥4+ 3)−4⁄5 푑
푑푥
(−4푥 4 + 3) =
(−16푥 3)
5(−4푥4+ 3)4⁄5 =
−16푥 3
5(−4푥4 + 3)4⁄5

27. 푑푧
푑푥
= −
2
3
(−
7
8
푥 4 − 3)
−7⁄5 푑
푑푥
(−
7
8
푥 4 − 3) = −
2 (28
8
푥 3)
3(5푥4 − 3푥)7⁄5 =
28
4
푥 3
3(5푥4 − 3푥)7⁄5 =
7푥 3
3(5푥4 − 3푥)7⁄5
Finalmente; la derivada de 푓 nos queda
푓´(푥) =
(−4푥4 + 3)1⁄5
(− 7
8
푥 4 − 3)
2⁄ 5 ∙
2 (− 3
8
푥 2 − 3
5
)
3 (− 1
8
푥 3 − 3
5
푥 − 5)
1⁄3 +
(− 1
8
푥 3 − 3
5
푥 − 5)
2⁄3
(− 7
8
푥 4 − 3)
2⁄ 5 ∙
−16푥3
5(−4푥4 + 3)4⁄5
+ (−
1
8
푥 3 −
3
5
푥 − 5)
2⁄3
(−4푥4 + 3)1⁄5 ∙
7푥 3
3(5푥4 − 3푥)7⁄5
풇´(풙) =
ퟐ (− ퟑ
ퟖ
풙ퟐ − ퟑ
ퟓ
) (−ퟒ풙ퟒ + ퟑ)ퟏ⁄ퟓ
ퟑ (− ퟏ
ퟖ
풙ퟑ − ퟑ
ퟓ
풙 − ퟓ)
ퟏ⁄ퟑ
(− ퟕ
ퟖ
풙ퟒ − ퟑ)
ퟐ⁄ ퟓ −
ퟏퟔ풙ퟑ (− ퟏ
ퟖ
풙ퟑ − ퟑ
ퟓ
풙 − ퟓ)
ퟐ⁄ퟑ
ퟓ(−ퟒ풙ퟒ + ퟑ)ퟒ⁄ퟓ (− ퟕ
ퟖ
풙ퟒ − ퟑ)
ퟐ⁄ ퟓ
+
ퟕ풙ퟑ (− ퟏ
ퟖ
풙ퟑ − ퟑ
ퟓ
풙 − ퟓ)
ퟐ⁄ퟑ
(−ퟒ풙ퟒ + ퟑ)ퟏ⁄ퟓ
ퟑ(ퟓ풙ퟒ − ퟑ풙)ퟕ⁄ퟓ
ퟐ. 풇(풙) =
퐥퐨퐠 [(ퟑ − ퟏ
ퟖ
풙ퟑ )
ퟐ⁄ퟑ
∙ (풙 − ퟏ
ퟐ
풙ퟓ )
ퟏ⁄ퟑ
ퟏ
ퟔ
]
(ퟑ
ퟓ
풙ퟑ − 풙)
ퟐ⁄ퟑ
Solución:
Para derivar esta función empecemos usando la propiedad logarítmica de la potencia para bajar el exponente
ퟏ
ퟔ
,luego la
derivada del cociente de funciones, la derivada del logaritmo y la derivada del producto de funciones respectivamente:

28. 풇(풙) =
ퟏ
ퟔ
퐥퐨퐠 [(ퟑ − ퟏ
ퟖ
풙ퟑ )
ퟐ⁄ퟑ
∙ (풙 − ퟏ
ퟐ
풙ퟓ )
ퟏ⁄ퟑ
]
(ퟑ
ퟓ
풙ퟑ − 풙)
ퟐ⁄ퟑ
Ahora,
푑
푑푥
log (푚)
[
푛
] =
1
6
[푛 ∙ 1
푚
∙ 1
ln (10)
∙ 푑푚
푑푥
− log (푚) ∙ 푑푛
푑푥
]
푛2
Donde, 푚 = (3 −
1
8
푥 3)
2⁄3
∙ (푥 −
1
2
푥 5)
1⁄3
y 푛 = (
3
5
푥 3 − 푥)
2⁄3
Para determinar
푑푚
푑푥
, podemos considerar 푢 = (3 −
1
8
푥 3)
2⁄3
y 푣 = (푥 −
1
2
푥 5)
1⁄3
푑
푑푥
[푢 ∙ 푣] = 푣 ∙
푑푢
푑푥
+ 푢 ∙
푑푣
푑푥
Entonces
푑푢
푑푥
=
2
3
(3 −
1
8
푥 3)
−1⁄3 푑
푑푥
(3 −
1
8
푥 3) =
2
3
− 3
8
푥 2
(7
8
− 3푥 3)
1⁄3 =
− 1
4
푥 2
(7
8
− 3푥 3)
1⁄3
푑푣
푑푥
=
1
3
(푥 −
1
2
푥 5)
−2⁄3 푑
푑푥
(푥 −
1
2
푥 5) =
1 − 5
2
푥 4
3 (푥 3 − 3
5
푥 2)
2⁄3

29. 푑푚
푑푥
= (푥 −
1
2
푥 5)
1⁄3
∙
− 1
4
푥 2
(7
8
− 3푥 3)
1⁄3 + (3 −
1
8
푥 3)
2⁄3
∙
1 − 5
2
푥 4
3 (푥 3 − 3
5
푥 2)
2⁄3
푑푚
푑푥
=
−푥 2 (푥 − 1
2
푥 5)
1⁄3
4 (7
8
− 3푥 3)
1⁄3 +
(1 − 5
2
푥 4) (3 − 1
8
푥 3)
2⁄3
3 (푥 3 − 3
5
푥 2)
2⁄3
Para derivar
푑푛
푑푥
sólo debemos usar la regla de la cadena una vez mas
푑푛
푑푥
=
2
3
(
3
5
푥 3 − 푥)
−1⁄3 푑
푑푥
(
3
5
푥 3 − 푥) =
2
3
9
5
푥 2 − 1
(푥3 − 푥)1⁄3 =
2
3
9푥 2 − 5
5(푥3− 푥)1⁄3 =
2
15
9푥 2 − 5
(푥3 − 푥)1⁄3
Ahora sustituyendo la derivadas anteriores ; Obtenemos la derivada de 푓
푑푓
푑푥
=
푛 ∙ 1
푚
∙ 1
ln(10)
∙ 푑푚
푑푥
− log (푚) ∙ 푑푛
푑푥
6푛2
푑푓
푑푥
=
(3
5
푥3−푥)
2⁄3
(3−
1
8
2⁄3
푥3)
1
2
∙(푥−
푥5)
1⁄3 ∙ 1
ln(10)
−푥2(푥−
∙ [
1
2
푥5)
1⁄3
4 (7
8
1⁄3 +
−3푥3 )
(1−
5
2
푥4)(3−
1
8
푥3)
2⁄3
3 (푥3−
3
5
푥2)
2⁄3 ] −
log [(3 − 1
8
푥 3)
2⁄3
∙ (푥 − 1
2
푥 5)
1⁄3
] ∙ [ 2
15
9푥2 −5
(푥3−푥)1⁄3]
6 [(3
5
푥 3 − 푥)
2⁄3
2
]

30. 3. 푓(푥) =
1
8
푒−
푥−2+푥3⁄2 − 1
8
푥 7
푒3푥−
7
8 − 3푥 −
1
3
Solución: Para derivar esta función solo debemos usar de la derivada del cociente de funciones y la derivada del producto,
es decir:
푑
푑푥
[
푚
푛
] =
푛 ∙ 푑푚
푑푥
− 푚 ∙ 푑푛
푑푥
푛2
Donde, 푚 = 푒−
1
8
푥−2+푥3⁄2 −
1
8
푥 7y 푛 = 푒3푥−
1
3
7
8 − 3푥 −
Para derivar
푑푚
푑푥
, podemos considerarla derivada de la exponencial de base 푒
푑
푑푥
[푒푢] = 푒푢 ∙
푑푢
푑푥
Entonces
푑푚
푑푥
= −
1
8
1
8
푒−
푥−2 + 3
2
푥1⁄2 −
7
8
푥 6
Para derivar
푑푛
푑푥
, podemos considerarla derivada de la exponencial de base 푒 yla derivada de la potencia
푑푛
푑푥
=
푑
푑푥
[푒3푥−
1
3 ] = 3푒3푥−
7
8 − 3푥 −
4
3
7
8 + 푥 −

31. Ahora, sólo debemos sustituir las derivadas anteriores y obtendremos 푓´
푑푓
푑푥
=
(푒3푥−
1
3 ) ∙ (− 1
7
8 − 3푥 −
8
1
8
푒−
2푥1⁄2 − 7
푥−2 + 3
8
1
8
푥 6) − (푒−
푥−2+푥3⁄2 − 1
8
푥 7) ∙ (3푒3푥−
4
3 )
7
8 + 푥 −
(푒3푥−
1
3 )
7
8 − 3푥 −
2