ゼータへ続く素数の階段物語第13回数学カフェ「素数！！」

12 99
ごーせーすー
2, 3, 5, 7, 11, …

http://page.freett.com/hougi/contents/prime.html

2
3 4
5 6
7 8 9 10
11
2, 3, 5, 7, …

1 100
何か法則がありそう
25
20
15
10
5
10 20 30 40 50 60 70 80 90
x
x

X X X / X ( )
10 4 2.5 - 8 %
100 25 4.0 +15 %
1,000 168 6.0 +16 %
10,000 1,229 8.1 +13 %
100,000 9,592 10.4 +10 %
1,000,000 78,498 12.7 + 8 %
÷
÷
÷
÷
÷
÷
x

25
20
15
10
5
10 20 30 40 50 60 70 80 90
Li(x) =
1
log 2
+
1
log 3
+
1
log 4
+ · · · +
1
log x

1826 - 1866
素数階段を
再現する公式
みつけたった

•  「素数階段マーク２」厳密な公式

•  「素数階段マーク２」簡単な関係
•

素数階段マーク２
25
20
15
10
5
10 20 30 40 50 60 70 80 90
21 1
31 1
22 1/2
23 1/3
32 1/2
m 1/m

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15
10
5
10 20 30 40 50 60 70 80 90

素数階段マーク２素数階段
メビウス
変換
NEW

⇣(s) = 1 +
1
2s
+
1
3s
+
1
4s
+
1
5s
+ · · ·
(Re s > 1)

関数のイメージ
x y
f
関数値
１次元（数直線）１次元（数直線）
２次元（平面）２次元（平面）
引数
s u
関数値引数

ゼータ関数の3Dプロット（見えるゼータ関数）
y 軸: 虚部
z 軸: ゼータ関数の絶対値
x 軸: 実部

素数公式可視化アプリ

http://tsujimotter.info/works/prime-number-formula/
"Visualization of Riemann's Prime Number Formula“

素数の世界
数の根源だが捉えどころが
なかったもの
ゼータ関数の世界
素数の分布を理解する鍵
2
3 4
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7 8 9 10
11
リーマンの素数公式

⇣(s) = 1 +
1
2s
+
1
3s
+
1
4s
+
1
5s
+ · · ·
=
1X
n=1
1
ns
(Re s > 1)

Y
p
1
1 - p-s
=
1
1 - 2-s
·
1
1 - 3-s
·
1
1 - 5-s
·
1
1 - 7-s
· · · ·
1
1 - x
= 1 + x + x2
+ x3
+ · · · (|x| < 1)
Y
p
( 1 + p-s
+ p-2s
+ p-3s
+ · · · )

{2, 3}
( 1 + 2-s
+ 2-2s
+ 2-3s
+ · · · )
⇥( 1 + 3-s
+ 3-2s
+ 3-3s
+ · · · )
= 1 + 2-s
+ 3-s
+ 2-2s
+ 2-s
3-s
+ 2-3s
+ 3-2s
+ · · ·
= 1 + 2-s
+ 3-s
+ 4-s
+ 6-s
+ 8-s
+ 9-s
+ · · ·
“2 3 ”

1X
n=1
1
ns
=
Y
p
1
1 - p-s
s = 1
1.
⇣(1) = 1

⇣(1) = 1
⇣(1) > 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+
1
7
+
1
8
+ · · · +
1
2m - 1
> 1 +
1
2
+
1
4
+
1
4
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+
1
8
+ · · · +
1
2m - 1
> 1 +
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+
1
2
+ · · · +
1
2
m
m!1
----! +1

1
2
Hn
=
1
2
1 +
1
2
+
1
3
+ · · · +
1
n

y 軸:
虚部
x 軸:
実部
=
1X
n=1
1
ns
(Re s > 1)
s 1
⇣(s) = 1 +
1
2s
+
1
3s
+
1
4

f(x), g(x)
f(x), g(x)
f(x) g(x)

f(x)
f(x) = g(x)

g(x)

f(x)
f(x) = g(x)

g(x)
s = 1

⇣(s) = 2s
⇡s-1
sin
⇣⇡s
2
⌘
(1 - s)⇣(1 - s)
Re(s) = 1/2
⇣(s) ! ⇣(1 - s)

=
1X
n=1
1
ns
(Re s > 1)
⇣(10)
⇣(s) ! ⇣(1 - s)
⇣(-9)
⇣(s) = 1 +
1
2s
+
3

⇣(s) = 2s
⇡s-1
sin
⇣⇡s
2
⌘
(1 - s)⇣(1 - s)
⇠(s) = ⇠(1 - s)
⇠(s) = (s - 1)⇡-s/2
⇣ s
2
+ 1
⌘
⇣(s)

• 
• 
⇠(s) = (s - 1)⇡-s/2
⇣ s
2
+ 1
⌘
⇣(s)

⇠(s) = (s - 1)⇡-s/2
⇣ s
2
+ 1
⌘
⇣(s)
s s 0

J(x) = Li(x) - log 2 -
X
⇢
Li(x⇢
) +
Z1
x
dt
t(t2 - 1) log t
ρ

J(x) = Li(x) - log 2 -
X
⇢
Li(x⇢
) +
Z1
x
dt
t(t2 - 1) log t

対数積分の再定義
Li(x) =
1
log 2
+
1
log 3
+
1
log 4
+ · · · +
1
log x
Li(x) =
Zx
0
dt
log t

= lim
"!+0
Z1-"
0
dt
log t
+
Zx
1+"
dt
log t
✏
Li(x) =
Zx
0
dt
log t

⇠(s) = ⇠(0)
Y
⇢
✓
1 -
s
⇢
◆
log ⇣(s) = log ⇠(0) +
X
⇢
log
✓
1 -
s
⇢
◆
- log
⇣s
2
+ 1
⌘
+
s
2
log ⇡ - log(s - 1)
⇠(s) = (s - 1)⇡-s/2
⇣ s
2
+ 1
⌘
⇣(s)

log ⇣(s) = s
Z1
0
J(x)x-s-1
dx (Re s > 1)

p-ns
= s
Z1
pn
x-s-1
dx (Re s > 1)
∵オイラー積
log ⇣(s) = log
Y
p
1
1 - p-s
=
X
p
log
1
1 - p-s
=
X
p
1X
n=0
p-ns

J(x)
21 1
31 1
22 1/2
23 1/3
32 1/2
m 1/m

⇥x-s-1
J(x)x-s-1J(x)
pn
1
n
Z1
pn
1
n
x-s-1
dx
p-ns
s
=

log ⇣(s) = s
Z1
0
J(x)x-s-1
dx
log ⇣(s)
s

log ⇣(s)
s
=
Z1
0
J(x)x-s-1
dx (Re s > 1)
J(x) =
1
2⇡i
Za+i1
a-i1
log ⇣(s)
s
xs
ds (a > 1)
log ⇣(s)/sJ(x)

J(x) =
1
2⇡i
Za+i1
a-i1
log ⇣(s)
s
xs
ds (a > 1)
J(x) = -
1
2⇡i
·
1
log x
Za+i1
a-i1
d
ds
✓
log ⇣(s)
s
◆
xs
ds (a > 1)

J(x) =
1
2⇡i
·
1
log x
Za+i1
a-i1
d
ds
✓
log(s - 1)
s
◆
xs
ds (a > 1)
-
1
2⇡i
·
1
log x
Za+i1
a-i1
d
ds
✓P
⇢ log(1 - s/⇢)
s
◆
xs
ds (a > 1)
-
1
2⇡i
·
1
log x
Za+i1
a-i1
d
ds
✓
log ⇠(0)
s
◆
xs
ds (a > 1)
Li(x)
-
X
⇢
Li(x⇢
)
Z1
x
dt
t(t2 - 1) log t
- log 2
-
1
2⇡i
·
1
log x
Za+i1
a-i1
d
ds
✓
log (s/2 + 1)
s
◆
xs
ds (a > 1)
s = ⇢
s = 1

J(x) = Li(x) - log 2 -
X
⇢
Li(x⇢
) +
Z1
x
dt
t(t2 - 1) log t
⇠(0) (s/2 + 1)⇢1/(s - 1)

⇠(0)
(s/2 + 1)
⇢
1/(s - 1)

⇣(1 + it) 6= 0
http://integers.hatenablog.com/entry/2016/04/17/012949
⇣(1 + ti) = 0
Z( ) := ⇣( )3
|⇣( + ti)|4
|⇣( + 2ti)|2
lim
!1+
Z( ) = 0
3 + 4 cos ✓ + 2 cos 2✓ = 0
Z( ) = 1

⇣(2) =
⇡2
6
⇣(3) 62 Q
⇣(2n) = (-1)n+1 B2n(2⇡)2n
2(2n)!
⇣(12) =
691⇡12
638512875
http://integers.hatenablog.com/archive

•  etc.
• 
etc.
•  etc.

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