2015年12月17日（木）に開催された第401回科学勉強会で発表した資料です。 科学勉強会/NSI　http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/ 作者：@tsujimotter http://tsujimotter.info

1. 素数は孤独じゃない！
日曜数学者 辻順平
@tsujimotter
http://tsujimotter.info
1
第 401 回 科学勉強会@札幌 (http://tehiro.sakura.ne.jp/nsi/) 2015/12/17
3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, …
5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, …

2. 落ちつくんだ…
「素数」を数えて
落ちつくんだ…
「素数」は１と自分の数でしか
割ることのできない孤独な数字……
わたしに勇気を与えてくれる
荒木飛呂彦「ジョジョの奇妙な冒険 Part6 ストーンオーシャン」より
2

3. 落ち着いて素数を
数えましょう
今日お話ししたいこと
3

4. それぞれの素数は強い法則によって
相互に結びついている
今日お話ししたいこと
決して孤独ではない
4

5. 素数は勝手気ままに現れる？
2 3 5 7 11 13 17 19
5

6. 鍵となるのは
時計の世界
6

7. …, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, …
一直線上に数が並ぶ
一般的な数の世界では・・・
7

8. 0
1
23
4
5
6
78
9
10
11
1213
14
15
16
1718
19
螺旋状に数を巻き付ける
8

9. 0
1
23
4
5
6
78
9
10
11
1213
14
15
16
1718
19
「５時間時計の世界」完成！
9

10. 0
1
23
4
5
6
78
9
10
11
1213
14
15
16
1718
19
5 時間時計では
1 = 6 = 11 = 16
時計の世界の
イコール
10

11. ５時間時計の足し算
0
1
23
4
0
1
23
4
0
1
23
4
＋ ＝
3 + 4 ＝ 2
7
11

12. ５時間時計の掛け算
0
1
23
4
0
1
23
4
0
1
23
4
x
＝
3 x 3 ＝ 4
9
12

13. 5 時間時計では平方数に
1, 4 な
る
な
ら
な
い
2, 3
1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 4
4 x 4 = 1
平方数・・・ 0 以外の数の自乗によって得られる数
平
方
数
13

14. 13 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 9, 10, 12 な
る
な
ら
な
い
2, 5, 6, 7, 8, 11
5 時間時計では平方数に
1, 4 な
る
な
ら
な
い
2, 3
11 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 5, 9 な
る
な
ら
な
い
2, 6, 7, 8, 10
7 時間時計では平方数に
1, 2, 4 な
る
な
ら
な
い
3, 5, 6
準備OK!!
14

15. バニラとチョコレート
の法則
15

16. 4 で割って 1 あまる素数 ・・・ バニラ素数
4 で割って 3 あまる素数 ・・・ チョコレート素数
13 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 9, 10, 12 な
る
な
ら
な
い
2, 5, 6, 7, 8, 11
11 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 5, 9 な
る
な
ら
な
い
2, 6, 7, 8, 10
16

17. 4 で割って 1 あまる素数 ・・・ バニラ素数
4 で割って 3 あまる素数 ・・・ チョコレート素数
13 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 9, 10, 12 な
る
な
ら
な
い
2, 5, 6, 7, 8, 11
11 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 5, 9 な
る
な
ら
な
い
2, 6, 7, 8, 10
17
ヒント

18. 13 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 9, 10, 12 な
る
な
ら
な
い
2, 5, 6, 7, 8, 11
5 時間時計では平方数に
1, 4 な
る
な
ら
な
い
2, 3
17 時間時計では平方数に
1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 な
る
な
ら
な
い
3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14
29 時間時計では平方数に
1, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 16,
20, 22, 23, 24, 25, 28
な
る
な
ら
な
い
2, 3, 8, 10, 11, 12, 14,
15, 17, 18, 19, 21, 25, 26
18

19. 11 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 5, 9 な
る
な
ら
な
い
2, 6, 7, 8, 10
7 時間時計では平方数に
1, 2, 4 な
る
な
ら
な
い
3, 5, 6
23 時間時計では平方数に
1, 2, 3, 4, 6, 8,
9, 12, 13, 16, 18
な
る
な
ら
な
い
5, 7, 10, 11, 14, 15,
17, 19, 20, 21, 22
19 時間時計では平方数に
1, 4, 5, 6, 7,
9, 11, 16, 17
な
る
な
ら
な
い
2, 3, 8, 10, 12,
13, 14, 15, 18
19

20. 法則
p が バニラ素数 のとき
p 時間時計では (p–1) が平方数である
p が チョコレート素数 のとき
p 時間時計では (p–1) が平方数でない
20

21. ２つの素数の
間にある相互法則
21

22. 17 時間時計では平方数に
1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 な
る
な
ら
な
い
3, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 14
13 vs 17
13 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 9, 10, 12 な
る
な
ら
な
い
2, 5, 6, 7, 8, 11
17 は 13 時間時計では 4 に等しい
22

23. 13 vs 5
13 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 9, 10, 12 な
る
な
ら
な
い
2, 5, 6, 7, 8, 11
5 時間時計では平方数に
1, 4 な
る
な
ら
な
い
2, 3
13 は 5 時間時計では 3 に等しい
23

24. 11 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 5, 9 な
る
な
ら
な
い
2, 6, 7, 8, 10
13 vs 11
13 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 9, 10, 12 な
る
な
ら
な
い
2, 5, 6, 7, 8, 11
13 は 11 時間時計では 2 に等しい
24

25. 29 時間時計では平方数に
1, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 16,
20, 22, 23, 24, 25, 28
な
る
な
ら
な
い
2, 3, 8, 10, 11, 12, 14,
15, 17, 18, 19, 21, 25, 26
13 vs 29
13 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 9, 10, 12 な
る
な
ら
な
い
2, 5, 6, 7, 8, 11
29 は 13 時間時計では 3 に等しい
25

26. どちらか一方が バニラ素数 の場合
q が p 時間時計の平方数になる p が q 時間時計の平方数になる
q が p 時間時計の平方数にならない p が q 時間時計の平方数にならない
法則
26

27. 23 時間時計では平方数に
1, 2, 3, 4, 6, 8,
9, 12, 13, 16, 18
な
る
な
ら
な
い
5, 7, 10, 11, 14, 15,
17, 19, 20, 21, 22
19 時間時計では平方数に
1, 4, 5, 6, 7,
9, 11, 16, 17
な
る
な
ら
な
い
2, 3, 8, 10, 12,
13, 14, 15, 18
19 vs 23
23 は 19 時間時計では 4 に等しい
27

28. 11 時間時計では平方数に
1, 3, 4, 5, 9 な
る
な
ら
な
い
2, 6, 7, 8, 10
19 時間時計では平方数に
1, 4, 5, 6, 7,
9, 11, 16, 17
な
る
な
ら
な
い
2, 3, 8, 10, 12,
13, 14, 15, 18
11 vs 19
19 は 11 時間時計では 8 に等しい
28

29. どちらも チョコレート素数 の場合
q が p 時間時計の平方数になる p が q 時間時計の平方数にならない
q が p 時間時計の平方数にならない p が q 時間時計の平方数になる
法則
29

30. • バニラ素数 か チョコレート素数 か（４で割ったあまり）
によって素数が２グループに分類できる
• ２つの素数 p, q の間に関係がある
30

31. 平方剰余の
相互法則
31

32. カール・フリードリヒ・ガウス
（1777 - 1855） 32

33. この法則超やばい！
これは人生をかけてでも
意味を解明しないと！！
結果、証明を７通りも発見
33

34. 34

35. 『全く別のことのはずなのに，その２
つのことが平方剰余の相互法則によっ
て直結してしまうのです．これは全く
ふしぎなことで，素数たちが互いに孤
立せず強く関係しあっていることを示
しています． p 太君の心に映る q 子さ
んの姿と，q 子さんの心に映る p 太郎君
の姿が，関係しあっているのです．
・・・（中略）・・・
素数たちもお互いを深くわかりあって
いるのでしょう．』
加藤和也 著「数論への招待」より抜粋

36. それぞれの素数は平方剰余の相互法則によって
結びついている
まとめ
決して孤独ではない！
36

37. 37
8 で割って 1, 7 であまる素数
2 が平方数である
補足：平方剰余の第２補充則
8 で割って 1, 3 であまる素数
(p-2) が平方数である

38. 38
✓
q
p
◆
= (-1)
p-1
2 · q-1
2
✓
p
q
◆
✓
q
p
◆
= 1
✓
q
p
◆
= -1 （ q 時間時計で p が平方数でない）
（ q 時間時計で p が平方数である）
補足：ルジャンドル記号を使った平方剰余の相互法則