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「時計の世界の整数論」第2回プログラマのための数学勉強会 #maths4pg
- 13. 時計の世界とは
…, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, …
一直線上に数が並ぶ
一般的な整数の世界では・・・
2015/3/31 13
- 27. n n1 n2 n3 n4
3 3 4 2 1
33 ≡ 2 (mod 5)31 ≡ 3 (mod 5)
32 ≡ 4 (mod 5)
34 ≡ 1 (mod 5)
べき乗を並べて表を作る
2015/3/31 27
- 28. n n1 n2 n3 n4
1 1 1 1 1
3 3 4 2 1
べき乗を並べて表を作る
2015/3/31 28
- 29. n n1 n2 n3 n4
1 1 1 1 1
2 2 4 3 1
3 3 4 2 1
4 4 1 4 1
べき乗を並べて表を作る
2015/3/31 29
- 31. n n1 n2 n3 n4 n5 n6
1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 1 2 4 1
3 3 2 6 4 5 1
4 4 2 1 4 2 1
5 5 4 6 2 3 1
6 6 1 6 1 6 1
7 時間時計 の世界
2015/3/31 31
0
1
2
34
5
6
7 時間時計
- 32. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
11 時間時計 の世界
2015/3/31 32
0 1
2
3
4
56
7
8
9
10
11 時間時計
- 33. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10 n11 n12
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 3 6 12 11 9 5 10 7 1
3 3 9 1 3 9 1 3 9 1 3 9 1
4 4 3 12 9 10 1 4 3 12 9 10 1
5 5 12 8 1 5 12 8 1 5 12 8 1
6 6 10 8 9 2 12 7 3 5 4 11 1
7 7 10 5 9 11 12 6 3 8 4 2 1
8 8 12 5 1 8 12 5 1 8 12 5 1
9 9 3 1 9 3 1 9 3 1 9 3 1
10 10 9 12 3 4 1 10 9 12 3 4 1
11 11 4 5 3 7 12 2 9 8 10 6 1
12 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1
13 時間時計 の世界
2015/3/31 33
- 35. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
つじのほうそく:
1 のべき乗はすべて 1
たとえばこんな法則が・・・
2015/3/31 35
- 36. 問題
5 時間時計, 7 時間時計, 11 時間時計, 13 時間時計, 17 時間時計, …
の世界で「できる限り多くの法則」を見つけてみましょう(2分間)
怪しいところを見つけたら,○で印をつけてみましょう
資料をお持ちの方は,そちらを使ってください。
Webで観ている方は,http://tsujimotter.info/maths4pg/2/
にある表を使ってください。
2015/3/31 36
- 38. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
解答例
2015/3/31 38
- 39. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
n10 が
すべて
1に合同フェルマーの小定理:
p が素数のとき 𝑛𝑛 ≢ 0 (mod 𝑝𝑝) である n に対して
𝑛𝑛𝑝𝑝−1 ≡ 1 mod 𝑝𝑝
2015/3/31 39
解 (1)
- 40. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
原始根定理:
𝑝𝑝 が素数のとき 𝑛𝑛1, 𝑛𝑛2, 𝑛𝑛3, … , 𝑛𝑛𝑝𝑝−1 (mod 𝑝𝑝) の列が
1, 2, 3, … , 𝑝𝑝 − 1 のすべての数を通るような
数 𝑛𝑛(原始根)が存在する。
1つの行に 1 から 10 までのすべての数が登場
2015/3/31 40
解 (2)
- 41. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
0
1
2
3
9
4
56
7
8
10 21
22
23
24
25
26
27
28
29
210
原始根のべき乗によって,0 以外のすべての数を巡回できる!
原始根 n = 2
2015/3/31 41
- 42. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
2015/3/31 42
解 (3)
n2 列(超重要!)
n2 列 に{1, 3, 4, 5, 9} のみが現れる
- 43. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
2015/3/31 43
解 (3)
n5 列(オイラーの基準)
オイラーの基準が
1 となるような
n は {1, 3, 4, 5, 9} だけ
一致!
n2 列 に{1, 3, 4, 5, 9} のみが現れる
- 45. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 (-1) 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 (-1) 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 (-1) 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 (-1) 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
(-1) (-1) 1 (-1) 1 (-1) 1 (-1) 1 (-1) 1
n2 列に (-1) が存在しない
2015/3/31 45
n5 列(オイラーの基準)n2 列
(11 – 1) / 2 = 奇数 ⇔
11 は 4N+3 型
11時間時計の場合:
- 46. n n1 n2 n3 n4
1 1 1 1 1
2 2 (-1) 3 1
3 3 (-1) 2 1
(-1) (-1) 1 (-1) 1
2015/3/31 46
n2 列に (-1) が存在する
n2 列
(5 – 1) / 2 = 偶数 ⇔
5 は 4N+1 型
5 時間時計の場合: N(5-1)/2 列(オイラーの基準)
- 47. •5 = 22 + 12
•13 = 32 + 22
•17 = 42 + 12
•29 = 52 + 22
•7
•11
•19
•23
フェルマーの
二平方定理 素数 p が二平方の和で表せる ⇔ p は 4N + 1 型
2015/3/31 47
4N+3 型4N+1 型
- 48. オイラーの基準
より p 時間時計で (-1) は n2 列に存在する ⇔ p は 4N + 1 型
フェルマーの
二平方定理 素数 p が二平方の和で表せる ⇔ p は 4N + 1 型
2015/3/31 48
深い関係!
ちょっと寄り道
- 50. n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
ここまでは,1つの時計の世界で完結する話
2015/3/31 50
- 51. n n1 n2 n3 n4
1 1 1 1 1
2 2 4 3 1
3 3 4 2 1
4 4 1 4 1
n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
最後は,2つの時計の世界を「結ぶ」法則
2015/3/31 51
- 52. 5 時間時計 の世界 11 時間時計 の世界
n n1 n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1
3 3 9 5 4 1 3 9 5 4 1
4 4 5 9 3 1 4 5 9 3 1
5 5 3 4 9 1 5 3 4 9 1
6 6 3 7 9 10 5 8 4 2 1
7 7 5 2 3 10 4 6 9 8 1
8 8 9 6 4 10 3 2 5 7 1
9 9 4 3 5 1 9 4 3 5 1
10 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1
1 ≡ 11
n n1 n2 n3 n4
1 1 1 1 1
2 2 4 3 1
3 3 4 2 1
4 4 1 4 1
5 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡1) がある
⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 5 がある
2015/3/31 52
- 53. 2015/3/31 53
5 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡1) がある
⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 5 がある
5 時間時計 の世界で n2 列に 7 (≡2) がない
⇔ 7 時間時計 の世界で n2 列に 5 がない
- 54. 5 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡1) がある
⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 5 がある
5 時間時計 の世界で n2 列に 7 (≡2) がない
⇔ 7 時間時計 の世界で n2 列に 5 がない
2015/3/31 54
7 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡4) がある
⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 7 がない
ひっくり返る!ちょっとした例外?
- 55. 平方剰余の相互法則
5 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡1) がある
⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 5 がある
5 時間時計 の世界で n2 列に 7 (≡2) がない
⇔ 7 時間時計 の世界で n2 列に 5 がない
2015/3/31 55
4N+1型
4N+1型
4N+3型
4N+3型
7 時間時計 の世界で n2 列に 11 (≡4) がある
⇔ 11 時間時計 の世界で n2 列に 7 がない4N+3型
4N+3型
両方 4n+3型のとき
ひっくり返る!
- 59. まとめ
STEP 1:
時計の世界のキソ知識
• 時計の世界とは
• 足し算/掛け算ができる
• べき乗の表を作る
STEP 2:
時計の世界の中の法則
• フェルマーの小定理
• 原始根定理
• オイラーの基準
STEP 3:
2つ時計の世界をつなぐ法則
• 平方剰余の相互法則
ガウスが見つけた整数論の真理
手を動かして
法則を見つけよう!
美しい法則を
鑑賞しよう!
2015/3/31 59
- 61. 先に進みたい方へ
• 加藤和也 著「数論への招待」丸善出版
• 加藤和也 著「素数の歌が聞こえる」ぷねうま舎
• kamiyama2 さん「ゆっくり整数論(ニコニコ動画)」
http://www.nicovideo.jp/watch/sm24669239
シリーズ12回で「平方剰余の相互法則」を証明する
• TSKiさん「美的数学のすすめ」
http://biteki-math.hatenablog.com/
2015/3/31 61
- 66. 補足:平方剰余の定義
• p 時間時計において n2 の列に a が存在する
⇔ a は p の平方剰余
⇔
𝑎𝑎
𝑝𝑝
= 1
• p 時間時計において n2 の列に a が存在しない
⇔ a は p の平方非剰余
⇔
𝑎𝑎
𝑝𝑝
= −1
2015/3/31 66