Formulas integrales

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integrales
integrales
cos cos
cos cos cos
cos
cos cos cos cos
cos cos
cos
cos cos cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
cot
cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos cos cos cos
cos
cos cos
cos cos
importantes
algunos
Para saber resolver hay que saber derivar muy muy bien
y conocer de memoria las seguientes formulas trigonometricas que se utilizan
muchisimo en las cuando hacemos cambio de variable
sen a b sen a b sen b a
a b a b sen a sen b
tan a b
tan a tan b
tan a tan b
sen a b sen a b sen a b
a b a b a b
sen a sen b a b a b
sen a sen b sen
a b a b
a b a b a b
a b sen
a b
sen
a b
tan a tan b
a b
sen a b
sen a a sena a
sen a sen a a a a sen a tan a
tan a
tan a
a
a
sen a
a
tan a
a
a
tan a
a
a
sen a x
sen x
sen x
x
a sena
a
sena
a
sena a
sena
a
sena
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a
sen a
a
sen a sen a
a
sen a
a
sen a
a
c a b
sen c
b
c
a
tan a
b
e ax isen ax ax isen ax
e ax isen ax
sen ax i
e e
ax
e e
a
a
a a b
a
a b
b
a b a a b a b
Pitagoras
Integrales antiderivadas
a b a b a a b a b a b
a b a b a a b a b a b
observacion de las potencias n
Demostracion
muy tenerlas memorizadas
Estas fracciones en ejercicios son muy utiles
Formulas de Integrales y como resolverlos
1
2
1
2
1
2
1
2 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
2
1 2
2
1 2
1 2
1 2
1
1
1
1 1
1
1
2
1
1 1
1
2
1
1 1
1
1 1 1 2
1
1 1
2
2
1
1
1 1
2
1
1
2
1 1 1
1
iax
iax
iax iax
iax iax
n n n n n n
n n n n n n
2 2
2 2
2
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2 2 2
2 2
1 2 3 2 4 3
1 2 3 2 4 3
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cos
cos
cot cot
cos
cot
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cosec cosec cot
arcsec
cosec
tanh
integrar
algo
sec
cos
cosec
y k cte y
y f x y n f x f x
y k f x y k f x
y f x g x y f x g x
y f x g x y f x g x f x g x
y
g x
f x
y
g x
f x g x f x g x
y fog x y f og x g x
y f x y
f of x
y f x y
n f x
f x
y f x y
f x
f x
Ln a
y a y a f x Ln a
y e y e f x
y sen f x y f x f x
y f x y sen f x f x
y tan f x y
f x
f x tan f x f x
y f x y
sen f x
f x f x f x
y arcsenf x y
f x
f x
y ar f x y
f x
f x
y arctanf x y
f x
f x
y ar f x y
f x
f x
y f x para esta formula se utiliza
asi que y solo queda aplicar formulas anteriores
y f x y f x f x f x
y f x y f x f x f x
y f x y
f x f x
f x
y ar f x y
f x f x
f x
y sh f x y ch f x f x
y ch f x y sh f x f x
y f x y
ch f x
f x
e a
e e
Hay que saber derivar muy bien y tener bien memorizadas las formulas para saber
Es parecido a la tabla de multiplicar si no la sabes no sabras dividir
x
x
x
sen x sh x e e
ch x e e
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
2
2
2
2
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
2 2
ln
n n
n
n
n
a
f x f x
f x f x
g x Ln a
f x g x Lnf x
x x x x
1
2
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
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6
7
7
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A
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2
3
4
5
6
7
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1
1
2
3
4
5
6
7
8
limite inferior limite superior
constante
ln
ln
cos
cos
cos
cot
arccos
cot
cos cos
cos
ln
ln
ln
integracion
integracion
a es el b es
a x b x a b
la curva de f x gira alrededor del eje x
f x en funcion de x ejemplo y f x x
a es el b es
a y b y a b
la curva de f y gira alrededor del eje y
f y en funcion de y ejemplo x f y y
k dx Kx siendo K una
K f x dx K f x dx
f x g x dx f x dx g x dx
f x f x dx n f x cte siendo n
f x f x dx f x cte
a f x dx a a cte
a dx se hace cambio de variable t f x
f x f x dx sen f x cte
f x senf x dx f x cte
f x
f x
dx tan f x cte
sen f x
f x
dx f x cte
f x
f x
dx
f x cte
arcsen f x cte
f x
f x
dx
ar ag f x cte
arctg f x cte
e bx dx
a b
e a bx b sen bx cte
e sen bx dx
a b
e a sen bx b bx cte
f x
f x
dx
f x
f x
cte
f x
f x
dx f x f x cte
f x
f x
dx f x f x cte
las formulas A B y C no es necesario memorizarlas porque mas adelante
aprenderemos a resolverlas haciendo cambio de variable y demostrandolas
f x dx
f y dy
C
por partes
utilizando
por partes
utilizando
Tabla de Integrales
2 1
2 1
1
1
1
1
1
1
1 2
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
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f x f x
f x
ax
ax
ax
ax
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b
a
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2
2
2
2
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2 2
2
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6
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6
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........... 6
...........
:
:
Algebraica
coseno
ln
ln logaritmica
algebraica
ln
algebraica
integracion
logaritmica
udv uv vdu dirais de donde sale esto pues a demostrarlo
sea u f x y v g x
como sabemos en derivadas que f x g x f x g x f x g x
f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x
uv vdu udv
La formula se utiliza en los seguientes casos
vea el ejercicio
vea el ejercicio
Funcion Inversa arco
Funcion Logaritmica
Funcion
Funcion Trigonometrica seno tan
Funcion Exponencial
Seguiendo el orden de la palabra
La que aparece corresponde a u y la corresponde a dv siempre seguiendo el orden
de la palabra
x x dx
x
x
u x y dv x
fijandonos en la palabra ILATE
x sen x dx
sen x trigonometrica
x
u x y dv sen x
fijandonos en la palabra ILATE
vea los ejercicios y
Division de dos polinomios
P x Q x C x R x
Q x
P x
C x
Q x
R x
asi que
Q x
P x
dx C x dx
Q x
R x
dx para hallar la de es facilisimo
solamente hay que saber la formula f x f x dx n f x
ahora para resolver la
Q x
R x
dx
Ejercicio
Q x x x x
Entonces
Q x
R x
x
A
x
A
x
A
x
A
luego se halla los valores de A A A A y por ultimo
Q x
R x
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
A
dx
Ejercicio Q x x
Entonces
Q x
R x
x
A
x
A
x
A
x
A
luego se halla los valores de A A A A y por ultimo
Q x
R x
dx
x
A
dx
x
A
dx
x
A
dx
n
n
ILATE
ILATE
n n
a
ojo el grado de R x es grado de Q x
si y son una de la otra n
si y son todas n
udv uv vdu a
a
cuando tenemos solamente funcion
cuando tenemos solamente funcion inversa
cuando tenemos producto de funciones pertenecientes a las funciones seguientes
paso es calcular Q x y sean las soluciones
Ejemplo
Ejemplo
Integrar por Partes
Integrar Fracciones
1 2
1
1
0
1 1
2 2
3
3 4
5
2 5
1 0
1
2
R
R
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
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n
n
n
n n
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1
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2
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1
2
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1
2
2
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1
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cos
cot cot
cos
cot cot
integrales
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cos
tan
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cot
cot cot
cot cot
cot cot
cot cot cot cot
cot
cot
cot
cot
Ejercicio
Entonces
Q x
R x
x
M x N
x
M x N
x
M x N
x
M x N
luego se calcula los valores de M M M M y N N N N y por ultimo
Q x
R x
dx
x
M x N
dx
x
M x N
dx
x
M x N
dx
se hace cambio de variable
Ahora bien si fuera Q x ax bx c siendo b ac hacemos lo seguiente
Q x ax bx c ax bx c ax bx a
b
a
b
c
llegaremos a una forma de Q x x
se hace exactamente igual que en el caso de las reales
con la unica diferencia que en el numerador se pone Mx N
y tanf x y tan f x f x
f x
f x
y f x y f x f x
sen f x
f x
x
tan x
sen x
x tanx x
los pasos a seguir para resolver esta clase de son dos
Vea los ejercicios
descomponer tan x
tan x tan x
x
tan x
si hemos utilizado
hacer aparecer tan x
tan x tan x tan x tan x
tan x
x
tan x
tan x tan x
Vea el ejercicio
metodo la sustituyendo x por
descomponer x
sen x
x
x x
si hemos utilizado
sen x
x x
x
sen x
x
x x x x
hacer aparecer x
si y son todas que no tiene soluciones reales n
si y son todas que no tiene soluciones reales
n n n
n
x tan t x tan t x tan t
tan x dx x dx
Paso o bien
Paso
Paso o bien
Paso
a
b
a
b
Recordad d f x f x derivada de f x
tan x dx
x dx
Mismo que tan x solo x
INTEGRALES DE LA FORMA
0 4 0
4 4
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
7
8 9 10
1
2
1
2
11
2
1
2
1
1
2
1
2
4 4
C
C
cos
n n
n n
n n
n n
n n
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m
m
m m m
m m
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m
m
m
m m
m m
m m m
n
n
n n
m m
m
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x
1
2
1
2
1 1
2
2
2
2
2 2
3
2
3
2
3 3
2 2
1 2 3 1 2 3
1
2
1
2
1 1
2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2 2
2
1 2 3
1 2 3
1 1 2 2
2 2
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A
A
A
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U
U U U
U
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U
U
! ! !
U
U
1
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a b a b a b a b
a b a b a b
a b
a a a a
a a a a
a b a b a b
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+
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-
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c
c c c
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06

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cos
cos cos cos cos
cos cos
cos
cos
cos cos cos cos
cos cos
integrales
cos
cos
cos
cos cos cos
ejercicios
Como se ve que las dos funciones trigonometricas tienen angulos
el paso pasarlas al mismo angulo y para ello utilizamos las formulas de abajo
sen a b sen a b sen a b
a b a b a b
sen a sen b a b a b
ejercicios
paso es descomponer y
paso es resolver por partes
v x
du m sen x x dx
ejercicios y
sen x con x dx sen x x x dx x sen x x dx
sen x con x dx sen x x sen x dx sen x x sen x dx
sen x con x dx se escoge la m o bien la n y se sigue los pasos del o
sen x con x dx se utilizara cambio de variable que veremos mas adelante
m
Esta clase de se resuelve por partes
siempre y cuando la potencia positiva la descompogamos en a a a
n n
n n
n n
si m y n
si m y n
si m y n
si m y n
sen mx nx dx
sen mx nx sen m n x sen m n x
sen x dx x dx
sen x x
sen x con x dx
sen x x
u sen x
sen x x
dv sen x dx
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
3
1 2
4
12 13
14 15
17 18
0 0
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0 0
0 0
2
1
N*
m
m n m n n
u
m
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m n m n m
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m m
m m
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m m
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1 1
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4 44444
4
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4 4444444444
4
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4444444444 4444444444
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07

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algunas
cos cos
cos cos
cos cos
cos
cot
integrar
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
ejercicios
Para esto lo es conocer formulas trigonometricas
sen x sen x x x tan x tan x
tan x
tan
x
tan
x
tag a b
tan a tan b
tan a tan b
tan x
x
x
sen x
c a b
para funciones trigonometricas utilizaremos la
cambio de variable x
t
Aplicando Pitagoras
t w w t
sen x t
x t
sen x dx dt t dx dt dx
t
dt
cambio de variable sen x t
Aplicando Pitagoras
t w w t
x t
senx
t
x dx dt t dx dt dx
t
dt
cambio de variable
Aplicando Pitagoras
w t w t
sen x
t
t x
t
tan x t
x
dx dt dx x dt dx
t
dt
regla de BIOCHE
teorema Pitagoras
n n n n n n
si f x f x t x
si f x f x t sen x
si f x f x t tan x
vea la imagen
vea la imagen
vea la imagen
INTEGRALES HACIENDO CAMBIO DE VARIABLE
1
1 2
2 2
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1 1
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1 1
1
1
1
1
1
18 19 20 21 22 23
1
2
3
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
A
A
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U U &
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U U
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r r r
r r r
r
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c c c c c c
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08

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tan
tan
tan
tan
cos
cos
cos
tan
integrales
el cambio de variable
sabemos que x x
x
x
t
t
Aplicando Pitagoras
w t t w t
sen x
t
t x
t
t
tan x
t
t
x
dx
t
t
dt dx x
t
t
dt dx
t
dt
ejercicios
ax bx c ax bx a
b
a
b
c ax
a
b
a
b
c
ax
a
b
ax
a
b
ax bx c
t siendo
t siendo
ax bx c ax bx c ax bx
a
b
a
b
c
ax
a
b
a
b ac
t
ax bx c t siendo
si no se cumplen ninguna de las anteriores t
x
n n n
si
si
para resolver estas sigue estos dos pasos
si a
si a
ax bx c dx
ax bx c
dx
caso
caso
caso
Paso
1 2
2 2
1
2
2 1 1
1
2
1
1
1
2 1
1
2 1
1
2 1
1
2
4 4 2 4
2
2
4 4
2 4
4
4 3 2
24 25 26
0
0
2
1
3
0
0
1
t
t
cambio por t
cambio por t
cambio por t
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2
2
2
1
1
2 2
2
2
2 2
2 2 2 2
2
2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2 2 2
2
2
2 2
2 2
U
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& & &
A
A
UU
UU
U
U
1
2
2
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a
a
b b a
b b a
a
b b a
a
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=- - -
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+ + =- + =
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a
a
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c c c
c
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4
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1 2 3
44444444 44444444
1 2 3
444444 444444
1 2 3
444444 444444
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09

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ln
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cos arccos
cos arcos
cos
cos
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t
t
nos hace recordar
luego el cambio sera u
t u t aplicando al triangulo y pitagoras
t w w t
u t sen u du
t
dt
sen u t
t
t
t
nos hace recordar
luego el cambio sera tan u
t
aplicando al triangulo y pitagoras
t w w t
tan u t
u
du dt
u
t
t
t
nos hace recordar
luego el cambio sera sen u
t
aplicando al triangulo y pitagoras
t w w t
sen u t u du dt
u
t
para entenderlo mejor vea los ejercicios arriba indicados pero antes
recordemos las formulas que necesitaremos
f x
f x
dx f x f x cte
f x
f x
dx f x f x cte
f x
f x
dx
f x cte
arcsen f x cte
sen arcsen x x x x
arcsen x x sen x x
En el caso
En el caso
En el caso
tan x
x
tan x
x
x sen x
vea la imagen
vea la imagen
vea la imagen
Paso
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
2
3
1
1
1
1
1
2
2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2
2 2 2 2
2
2
2
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2
2
2
2
2 2
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UU
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b b
b
b
b
b b
b b
b
b b
b
b
b b
b b
b
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b
b
b b
b
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k
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h
h
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g
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determinar
determinar
integrales
integrales
minimo exponente
cos
Denominada
ejercicios y y
Q x ax bx c
ax bx c
m
siendo
Q x un polinomio de coeficientes a
Grado de Q x grado de P x
m numero real a
Para esta clase de se hace
cambio de variable
asi poder transformarla en
se hace cambio variable
ejercicio
para estos tipos de se hace el cambio de variable
cx d
ax b
t siendo n m c m q s v
m c m comun multiplo se cogen todos los factores y elevado a mayor
ver ejercicio
dividir
a x b cx d
cx d
a x b
cx d
cx d ax bx c
a x b
dx
ax bx c
dx
cx d ax bx c
dx
Para A
ax bx c
dx
utilizar a
b
para transformarlo de la seguiente forma
x
dx
x
dx
x
dx
y
n n n
n
n
ax bx c
P x
dx
ax b ax bx c
dx
a dx
ax bx c
P x
ax b ax bx c
dx
ax bx c
P x
dx
a dx
R x cx d
ax b
cx d
ax b
cx d
ax b
dx
cx d ax bx c
a x b
dx
f x a
f x dx
Ln f x f x a cte
Ln f x f x a cte
a f x
f x dx
ar a
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cte
arcsen a
f x
cte
f x a
f x dx
Ln f x f x a cte
metodo Aleman
ax b t
t f x
utilizar las formulas
Recordatorio
Paso
Paso
Paso
Integrales de la forma
1
4
1 2 3
27 28 29
1
2
3
30
114
1
1
2
3
n
A B
n
f x
n
f x
q
p
s
r
v
n
2
2
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
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q
q
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q
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q
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q
q
q
q
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11

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integral
ln
ln
ln
limite inferior
limite superior
terminos
termino
termino
ln
si no se recuerda de las formulas utilizad cambio de variables trigonometricas
Para B
cx d ax bx c
dx
hacemos cambio de variable cx d t
La B se transformara en una parecida a la A es deecir de la forma seguiente
B
t t
dt
hacemos lo del y quedara resuelto
ver ejercicio
x x dx
x cte
n
x x
n cte
ver ejercicio
ax b dx
a n
n ax b cte siendo a
ejercicios
f x dx
f x es una funcion continua en a b
Representa el area comprendida entre el eje ox la
curva de f x y las dos abscisas x a y x b
las situadas debajo del eje ox son
las areas situadas encima del eje ox son y
f x dx
eje x
eje x
f x dx f x F b F a siendo F la primitiva de f
f F d f d F f F
La suma de n a a a a a a a se denota por
a a a a a a
k es el indice de la suma
y son el primero e ultimo de la sumatoria
a es el k esimo
k k
n
n
n n n
Integral de Riemann
Regla de Barrow
Definicion de la notacion Sigma
x x dx
ax b dx
a
Paso
paso
n
Ejemplo
si n
si n
b
Integrales Definidas
1
2
1
1 1
1
1
0
1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8
164
161
31 32 33
4
3
1
1
1
k
k
n
n
n n
a
b
a
b
a
b
n
k
n
k k
n
n
a
n
b
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4
2
2
2
1
1
7
3 3 3 3 3 3 3 3
2
8
1
n 1
AA
$
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U
U
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c c c
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12

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2
3
5 6 7
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terminos
termino
termino
Algunas importantes
cte a cte a
a b a b
a a a con m n
a a
R n R
k
n n
k
n n n
k k k
n n n n n
k n e
m m
m
m m
m m
k k n k k n
La productoria de n a a a a a a a se denota por
a a a a a a
k es el indice de la productoria
y son el primero e ultimo de la productoria
a es el k esimo
k k
k n n m m m m m m m
cte a cte a a b a b
a a a a a a
a
a
a
con a
Propiedades
Propiedades
Sumatorias
Euler
n
Ejemplo
Definicion de la notacion Pi
1
1 2 3 4 2
1
1 2 3 6
1 2 1
30
1 2 1 3 3 1
1
0
1
1
1
2
1
3
1 1
1
1
1
1
1
1 1
1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8
1 2 3 4
0
1
2
3
4
5
1
1
4
1
k
k k
k k k
k
k
k
k
k
n
k
n
k k
k
n
k
n
k
n
k
n
k
m
k m
n
k m
n
k r
k m r
n r
k
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k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
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k
k
n n
k
k
n n
k
n
k
n
n
k
n
k k
k
n
k
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k
k
n
n
k
k
n
k k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
k
k
k
n
k
k
n
n
k
k
k
n
n
k
n
n veces m
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4
1
1 1
1 1 1
1 1 1
1
1 1
2 2 2
3
1 1
2
4
1
2
0
0
1
1
1
1 0
1
7
3 3 3 3 3 3 3 3
2
8
1 1
1 1 1 1 1
1 1
1
1
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U U
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lim lim
limite
lim
lim acotada
lim acotada
lim lim
bastante integrales
lim
integrales
limitado
limitado
f x dx f x dx f x dx
f x g x dx f x dx g x dx k f x dx k f x dx
f x dx f x dx f x dx c a b
si f x en a b f x dx si f x en a b f x dx
si f x g x en a b f x dx g x dx
f una funcion continua en a b c a b f x dx f c b a
I f x dx si f x no es continua en c a b
I f x dx f x dx
si el existe y es finito I es convergente
si el ite es I es divergente
f x dx f x dx siendo f en a
f x dx f x dx siendo f en b
un error frecuente en impropias hacer que
f x dx f x dx
La solucion es realizarla en dos impropias es decir
ejercicios y
siempre es
eje OX por x a y x b
al girar la curva de f x al rededor del
Volumen del solido de revolucion formado por la rotacion de f x g x al rededor
del eje x y por x a y x b tal que f x y g x continuas en a b
ES
Propiedades
Teorema del valor medio
Integrales Impropias
Propiedades
Cambio de variable n n
Area A
A
Longitud S
Volunen V
Observacion
f g x g x dx f u du
f x dx parte que esta encima del eje x la parte que esta por debajo del eje x
Area de funciones f y g es A f x g x dx
f x dx
f x dx
V f x g x dx
0
0 0 0 0
0
1 2
3 4
5
6 7
8
34 35
2
1
a
a
a
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
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a
c
c
b
a
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a
b
a
b
a
b
a
b
a
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x c a
c
x c c
b
b
a a
b
a
b
a
b
a a
c
b c
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a t
t
a
a
a
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g a
g b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
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# #
# #
#
#
#
#
14

.
. .
rectangulos
rectangulos
rectangulo
Para hallar el area de una funcion respecto al eje x
se hacen cortes verticales al eje x n isema
en forma de de y
luego el Area es el sumatorio de todas las areas de
los como se ve en la imagen
r altura y esta definida por f x
dx anchura del
Luego A f x dx f x dx
altura r anchura dx
Area A r dx r dx
Area de una funcion respecto al eje x
i
x a
x b
a
b
i
i
i
n
i
a
b
1
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g g
g
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15

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y
rectangulos
rectangulos
rectangulo
interseccion
integral
Para hallar el area de una funcion respecto al eje y se hacen cortes verticales al eje y n isema
en forma de de y luego el Area es el sumatorio de todas las
areas de los como se ve en la
r altura y esta definida por f x
dy anchura del
Luego A f y dy f y dy
Area de f x
Area de g x
puntos de entre f x y g x
f x g x x b
x a
con a b luego a y b
esbozar las graficas y luego calcular la
Area formada entre dos funciones respecto al eje x
los pasos a seguir son los seguientes
altura r anchura dy
Area A r dx r dy
ladrillos azules
imagen
ladrillos marrones
Area de una funcion respecto al eje
1
2
i
x a
x b
a
b
i
i
i
n
i
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b
1
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16

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sectores discos
discos
determinado
discos
discos
determinado
discos
determinado
Discos
Consiste en girar una region del plano al rededor de un eje X asi obtenemos
un solido de revolucion
Dividiendo el solido en circulares
Haciendo cortes perpendiculares al eje de rotacion
El radio r del disco siempre va dirigido del eje de rotacion
hacia la funcion original
En los el radio varia de un disco a otro pero siempre queda
por la funcion en cuestion
su grosor es el mismo para todos los
En la imagen el eje de rotacion es el eje x
r radio del disco f x
dx altura del disco
V V de los
Asi que el volumen queda por V r dx
V V r dx f x dx
Es exactamente igual que lo anterior lo unico que cambia es el eje de rotacion y
r radio del disco f y cortes al eje de rotacion
dy altura del disco V V de los
Asi que el volumen queda por V r dy
V V r dy f y dy
Metodo de los
Hallar el volumen del solido de revolucion generado al girar sobre el eje Y
no hacia el reflejo
ver imagen
ver imagen Pag seguiente
i
i i
i
i
i n
a
b
a
b
i
i i
i
i
i n
a
b
a
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2 2
2
1
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U
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17

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R Radio de la funcion f x
r Radio de la funcion g x
V volumen de disco R r dx
V V R r dx f x g x dx
V volumen de disco R r dy
V V R r dy f y g y dy
Volumen generado entre dos funciones
Ver imagen para entenderlo mejor
Rotacion respecto al eje x
Rotacion respecto al eje y
i
i
i i i
i
i
n
a
b
a
b
i i i
i
i
n
a
b
a
b
2 2
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2 2 2 2
2 2
1
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B
B
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18

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intervalo
Otro metodo que permite la obtencion del volumen generado por el giro de una area
comprendida entre dos funciones cualesquiera f x y g x en un a b
tal que f x g x en a b al rededor de un eje de revolucion paralelo al eje de ordenadas
x k cte la formula del volumen es
V x k f x g x dx
x k la recta x k
comprendida entre f x y g x
se encuentra a la izquierda de la region
siendo h x
funcion de derecha la de izquierda
funcion de arriba la de abajo
siendo h y
funcion de derecha la de izquierda
funcion de arriba la de abajo
Rotacion paralela al eje de ordenadas eje y
Para los ejes de rotaciones Verticales
Para los ejes de rotaciones Horizontales
Observacion
V x h x dx
V y h y dy
0
2
0
2
2
a
b
a
b
a
b
U
U
U
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2
2
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Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
Calcula I Ln x dx Calcula I arcsen x dx
Calcula I x x dx Calcula I x x dx
Calcula I
x x
x x
dx Calcula I
x x
x x
dx
Calcula I
x x x
x
dx Calcula I tan x dx
Calcula I tan x dx Calcula I x dx
Calcula I x dx Calcula I sen mx nx dx
Calcula I sen mx mx dx Calcula I sen x dx
Calcula I x dx Calcula I sen x x dx
Calcula I sen x x dx Calcula I
sen x
dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
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dx
Calcula I x
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Calcula I x dx
Calcula I sen x dx Calcula I
x x
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Calcula I
x x
dx
Calcula I x x dx
Calcula I
x x
x x
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x x x
dx
Calcula I e dx Calcula I
x x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I x dx Calcula I x x dx
1 2
3 4
5 6
7 8
9 10
11 12
13 14
15 16
17 18
19 20
21 22
23 24
25 26
27 28
29 30
31 32
33 34
1
2
2 5
4 4
3
2 1
4
1 1 2
5 3
2 5
3 4
4 5
2 5 2 1 3 4
1 2 1 2
1
2 1 1
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2
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2
2
2
3
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3
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ln ln ln
ln
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Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
Calcula I r x dx Calcula I
a x
dx
Calcula I
a x
dx
Calcula I
a x
a x
dx
Calcula I
dx
Calcula I
f x
f x
dx
Calcula I
a f x
f x
dx Calcula I
x
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Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
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Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
a f x
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Calcula I
x
dx
Calcula I
x
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Calcula I
x
dx
Calcula I
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f x dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I x
x
dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I
x
x
dx
Calcula I e bx dx Calcula I e sen bx dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
x
x
dx
35 36
37 38
39 40
41 42
43 44
45 46
47 48
49 50
51 52
53 54
55 56
57 58
59 60
1 6
6 6
7
4
1
1
1
2
5
2
1
3
2
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2
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2
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1
1
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1
1
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3
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2 4
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22

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8 8
8 8
8 8
8 9
9 9
9 9
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Ejercicio Ejercicio
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Ejercicio Ejercicio
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Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
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n n
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n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
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n n
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Calcula I x x dx Calcula I
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dx
Calcula I
sen x x
dx
Calcula I
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dx
Calcula I
a x
dx
Calcula I a wt bsen wt dx
Calcula I
sen x x
dx
Calcula I
f x a
f x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
sen x
dx
Calcula I
x sen x
x
dx Calcula I
sen x x
sen x x
dx
Calcula I
sen x x
x
dx Calcula I
sen x x
sen x x
dx
Calcula I
a b
a b
dx Calcula I x a dx
Calcula I tan x dx Calcula I
sen x x
sen x
dx
Calcula I x
dx
Calcula I
x
x x sen x
dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
sen x
x
dx
Calcula I tan x dx Calcula I x tan x dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
x sen x
dx
Calcula I x tan x x dx Calcula I x
x
dx
Calcula I
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dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
sen x x
x
dx
65 66
67 68
69 70
71 72
73 74
7 7
7 7
7 0
1 2
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5 6
7 8
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1 2
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5 6
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1
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Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
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Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
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n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
Calcula I
x
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dx Calcula I
x x
x x sen x
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Calcula I
x x a
dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I x
dx
Calcula I sen x dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I
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Calcula I
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dx Calcula I
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Calcula I
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x
x x
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dx Calcula I
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Calcula I
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dx Calcula I x
x
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Calcula I x dx Calcula I
x x
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dx
Calcula I
x
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dx Calcula I
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Calcula I x x dx Calcula I sen x dx
Calcula I sen x x dx Calcula I x e dx
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dx
Calcula I
e
dx
y x Calcula
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entre f x y eje x
e f x eje y
Calcula I
x
dx
dx Calcula I
x
dx
dx
x x
dx
9 9
9 00
01 10
103 10
105 10
107 10
109 1 0
111 1 2
113 1 4
115 1 6
117 1 8
119 1 0
121 1 2
123 1 4
125 1 6
127 1 8
2
2
1
2 1
1
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2
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ln
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limitada
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Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
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n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
n
n
n
Calcula I
x x
x x
dx Calcula I x x dx
Calcula I
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dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I
x
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Calcula I
f x f x a
f x dx
Calcula I
f x f x a
f x dx
Calcula I
f x a f x
f x dx
Calcula I
x x
x dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I x e dx Calcula I x x dx
Calcula I x
x
dx Calcula I
x
arctan x
dx
Calcula I
x
x
dx Calcula I
x
x
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Calcula I
x x
x
dx Calcula I
x x
dx
Calcula I
Calcula I
x x
x
dx Calcula f x dx f x
a
a si x
a si x
arctan x dx Calcula I
x
x dx
Halla el area entre entre la grafica de las funciones y x e y x
Calcula el area comprendida entre f x x y g x x
Halla el area de la region del plano encerrado por la curva de y Ln x
entre el punto de corte con el eje X e el punto de abscisa x e
Calcula el area del por la curva y x x y el eje X
129 130
131 132
133 134
135 136
137 138
139 140
141 142
143 144
1 5 1 6
147 148
149 150
151
152
153
154
5
4
1 1
2
4 1
1
1 1 1 1
4
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0
1
1
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tan
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Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
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n n
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n n
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n n
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n n
n n
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Calcula I x
x
dx Calcula I a e dx con a
Calcula I a sena dx con a Calcula I
e e
e e
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Calcula I
a
a
dx con a Calcula I
x
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dx
Calcula I ax b dx Calcula I x dx
Calcula I x dx Calcula I x x dx
Calcula I
x x x
dx
Calcula I sen x x dx
Calcula I sen x dx Calcula I x
x
dx
Calcula I
x arcsen x
x dx
Calcula I
x x arctan x
dx
Calcula I x
sen x
dx Calcula I
sen x x
dx
Calcula I x
dx
Calcula I
x x
x x
dx
Calcula I
sen x x
dx
Calcula I
sen x x
sen x
dx
Calcula I x
dx
Calcula I
x x x
dx
Calcula I
x x x
x x
dx Calcula I x
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ax b cx d
x
dx
Calcula I
a
a
dx Calcula I
Calcula I Calcula I
e
e
dx
a x sen a x
dx
sen x
dx
155 156
157 158
159 160
161 162
163 164
165 166
167 168
169 170
171 172
173 174
175 176
177 178
179 180
181 182
183 184
185 186
1
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0
1
0
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1 1
2 1
3 1
3 6 8
2
1
1 2 2 1 2 1
1
1
2 2
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5 1
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# #
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# #
# #
26

9
,
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cos
cos
cos
tan
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n n
n n
n
n
Calcula I Calcula I
Calcula I Calcula I
Calcula I
x
x
dx
sen x x
x
dx
x
x
dx
sen x
dx
x x dx
Sea un circulo de centro A y de radio r
Calcula la longitud del circulo
187 188
189 190
1 1
192
1
1
1
0 0 3
2
4
2
= =
= =
=
- +
+
+ +
=
c c
c c
c
c
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g
g
h
g
g
g
g
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27

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. . . . . . . . . .
ln ln
ln ln
cos
cos
cos
cos
cos
cos
ln
distintas
ln logaritmica
algebraica
ln
ln
tanto ln ln ln
ln
ln
I x dx aqui
dv dx v x
u x du x dx
luego I x x x x dx x x x
I arcsen x dx aqui
dv dx v x
u arcsen x du
x
dx
luego I x arcsen x
x
x dx
x nos hace pensar en sen x x asi que hacemos cambio de variable
x sen t x
sen t dx t dt y
se deduce que t x
luego J t
sen t t dt
t x
por ultimo I x arcsen x x cte
I x x dx
tenemos funciones x es
x es
la en aparecer en es la
dv xdx v x
u x du x dx
Por lo I x x x x dx x x x x x x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
ILATE
n
Respuesta resolver por partes u dv u v v du
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I x dx
Calcula I arcsen x dx
Calcula I x x dx
Recuerda
por pitagoras del triangulo debajo
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
2 1
2
1
1
2
1
2
1 1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
1
2
3
J
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2
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(
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(
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-
- - =
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= =- =- -
= + - +
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= - = - = - +
= -
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=
=
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
c
c
c
c
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g
g
g
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Z
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6 7 8
44444 44444
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28

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I x x dx dv x x v x x
u x du dx
I x x x dx x x x
x x x x x x
I
x x
x x
dx
aqui P x x x Q x x x
haciendo la division de los polinomios
asi que P x Q x x
x x
x
ahora hallemos las soluciones de x x x x
ahora
x x
x
x x
x
asi que
x x
x
x
A
x
B
x x
A x B x
x A x B x
si x A A
si x B B
asi que
x x
x
x x
por ultimo I x x x dx x dx x dx x dx
I x x Ln x Ln x cte
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
x
x x
x x
x x x
x x
x
x x
Calcula I x x dx
Calcula I
x x
x x
dx
raices reales
A B
A B
1 1 1
2
1
1
1
1 3
2
1
1
3
2
1 3
2
1 3
2
1 3
2
3
2
1
1
1
3
2
1 3
2
5
2
1 3
2
1 15
4
1
2
2 5
2 5 2
3
2
5 1
2 5 0 1 2 0
2
5 1
1 2
5 1
2
5 1
1 2 2
2 1
5 1 2 1
1 4 3 4
3
2 11 3 3
11
2
5 1
1
4
3
2
3
11
3 1
4
3
2
3
11
3 4
3
1
1
3
11
2
1
2
1
3 1 3
11
2
4
5
5 1
3 3 6
3 2 5
2
2 5
3
2
1
2
2 5
5 1 1 3 0
5 2 1 0 3
2
1
2
1
1 2
3
2
3
2
3
2
3
3
2
1
2
3
2
5
2
3
2
5
2
3 2
3 2 2
2
3 2
2
2 2
2
2
2
2
3 2
3 2 2
2
3 2
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-
+ -
-
= - + + =
+ -
+ + -
- = + + -
= = =
=- - =- =
+ -
-
= - + +
= - + - + + = - + - + +
= - + - + + +
-
+ -
- + +
- - +
- +
-
+ -
= +
=
+ -
- +
- = +
- - = -
- - - - - - - - - -
+
+
c
c
l
l
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29

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6
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7
:
. . . . . . . . . .
denominador
integral
aparezca
denominador
I
x x
x x
dx P x x x Q x x x
haciendo la division de los polinomios
asi que I
x x
x x
dx dx
x x
x
dx
factorizando x x x luego
x x
x
x
A
x
B
x
A x B
si x B
si x A B A
luego I dx x dx
x
dx x Ln x x cte
I x Ln x
x
cte
I
x x x
x
dx
Aqui no tenemos P x porque el grado de numerador grado asi que
x x x
x
x
A
x x
Mx N
x x x
A x x Mx N x
si x A A
si x A N N N
si x A M N M M
asi que I x dx
x x
x
dx
como se ve en la segunda que d x x dx x pero en
el numerador tenemos x que habra que descomponer para que x
x x asi que
I x dx
x x
x
dx
x x
dx
Ejercicio
Ejercicio
raices reales iguales
x A x B A B B
x A x B A B
raices complejas
y otra compleja de x x
tiene una solucion real
n
Respuesta
x
x x
x x x x
n
Respuesta
Calcula I
x x
x x
dx
Calcula I
x x x
x
dx
4 4
3
3 4 4
4 4
3
1
4 4
5 1
4 4 2
4 4
5 1
2 2 2
2
2 9
0 1 2 5
1 2
5
2
9
5 2 9 2 1
1
2
5 2
2
9
2 1
4
2 1
4
2 1
2 1
1 2
2 2 7 7
2
0 4 2 7
2
2 7
13
1 5 3 3 5 7
2
3 7
39
7
2
7
2
2
1
7
1
1
2 13
1 2 1
2 13 2 1
2 13 2 1 12
7
2
2
1
7
1
1
2 1
7
1
1
12
5 1 2 2 1 0 9
5 1 2 5 1 2
1
5 1
4 4
3
1
4 4
4 4
3
2 1
4
Ln x Ln x x
H
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2 2 2
2
2 1
2
2 2
2
2
2
2
7
2
2
2
7
1
1
2
2
2
2 2
2
2
2
directa
directa
2
&
& &
& &
& &
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(
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,
1
!
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+ +
= + + = - +
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- +
+ +
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- +
-
- + = -
- +
-
= - +
-
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-
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= - =- + =
= + - +
-
= + - + - + - +
= + - -
-
+
=
- + +
-
- + +
-
= - +
+ +
+
=
- + +
+ + + + -
= - = =
-
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-
- =
=- - = + - - =
-
+ - =
=
-
- +
+ +
+
+ + = +
+ +
+ = + +
=
-
- +
+ +
+
+
+ +
- = - + - = + =
- = - + - =- +
+ +
-
- + -
+ + - +
=
- +
+ +
=
- + +
-
- - - - - - - - - -
- +
-
- + +
c
c
l
l
l l
l
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h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h h
h
6
6
@
@
,
1 2 3
4444444
4 4444444
4 1 2 3
444444444 444444444 1 2 3
444444444 444444444
g
d n
#
#
# #
#
#
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#
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30

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. . . . . . . . . .
integrales
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
tan
cos
tan
cos
tan
tan
tan
tan
tenemos que hacer que coincida con la formula n de la tabla de
como x x x x x
x
H
x
dx
x
dx arctan
x
por ultimo I Ln x Ln x x arctan
x
cte
tan x dx tan x tan x dx tan x tan x tan x dx
tan x tan x dx tan x dx
tan x d tan x
x
sen x
dx tan x Ln x cte
tan x dx
x
tan x dx tan x
x
dx tan x dx
tan x d tan x
x
sen x
dx tan x Ln x cte
tan x d tagx tan x dx
tan x d tan x tan x dx tan x tan x dx
tan x tan x tan x tan x dx
tan x tan x tan x dx tan x tan x tan x dx
tan x tan x d tan x dx tan x tan x tan x x cte
H
Metodo
Metodo
tan x tan x Ln x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta d tan x x tan x dx
x
dx d tan x x
x
n
Respuesta x tan x
n
Respuesta
Calcula x dx
Calcula x dx
Calcula x dx
Recordad
Recordad
Recordad
13
1 4
1
4
1
1 2
1
4
3
4
3
3
2
3
1
1
7
12
4
3
3
2
3
1
1
1
21
48
2
3
3
2
3
1
1
3
2
42
48 3
3
2
3
1
7
2
2 7
1
1 7
8 3
3
2
3
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
5
1
5
1
1
5
1
3
1
5
1
3
1
1 1 1
5
1
3
1
1 1 5
1
3
1
1
2
4
1
2
1
8
1
1
1
1
9
1
10
.
ejer anterior
2 2
2 2
2 2
2
3 2 2
2
2
3
2 2
2
5 2 3 2 3 3
3 3
6 2 4 2 4 4
4 4 5 4
5 2 2 2
5 3 2 5 3 2
5 3 5 3
4 2
2
2
2
2
2
3
5
6
+ + = + + - + = + + = + +
=
+ +
=
+ +
= +
=
-
- + + + + + +
= = + - =
= + -
= - = + +
= - = -
= - = + +
= = + - =
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= - = - =
= - + -
= - + = - + + -
= - + - = - + - +
- + +
= = +
= + =
= +
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
c
c
c
c
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l
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cot cot cot cot cot cot
cot cot cot
cot cot
cos
cot
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos cos
cos cos cos cos cos
cot cot cot
cos
cot
cos
cos
x dx x x dx x x x dx
x x dx x dx
x d x senx
x
dx x Ln sen x cte
I sen mx nx dx sen m n x dx sen m n x dx
m n
m n x
m n
m n x cte
I sen mx mx dx m sen mx d sen mx m sen mx
sen x dx sen x senx dx asi que
dv sen x dx v x
u sen x du sen x x dx
I u v vdu x sen x x sen x dx
I x sen x x d x x sen x x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta d x x x dx
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta d x senx dx
Calcula x dx
Calcula I sen mx nx dx
Calcula I sen mx mx dx
Calcula I sen x dx
Recordad
Recordad
si m n
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
2 3
2
11
1
12
13
14
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2
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2 2 2 3
2
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g
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cos cos cos
cos
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cos cos cos cos cos
cos cos cos cos cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos cos cos
cos
cos
cos cos
cos
cos cos
cos cos cos
cos cos
cos
cos
I x dx x x dx asi que
dv x dx v sen x
u x du x sen x dx
sen x x x sen x dx sen x x x x dx
sen x x x dx x dx I senx x x dx
x dx x x dx asi que
dv x dx v sen x
u x du x sen x dx
sen x x x sen x dx sen x x x x dx
sen x x x dx x dx sen x x x dx
sen x x
x
dx sen x x dx x dx
sen x x x sen x sen x x x sen x
Sabemos que I sen x x H I sen x x H
y Por ultimo I sen x x sen x x x sen x cte
I sen x x dx x sen x x dx
dv sen x x dx v sen x
u x du sen x dx
I sen x x sen x dx sen x x
sen x
dx
I sen x x
x
sen x
x
sen x
dx
I sen x x Ln x Ln x cte
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta sena a
sena
a
sena
Calcula I x dx
H
H
H H
Recordad
5
5 5 1
5 5 6 5
3
3 3 1
3 3 4 3
3 2
1 2
2
3
1 2
4 2
3
4
3 2
4
1
8
3
16
3 2
6 5 6
1
5
6
1
4
5
8
15
16
15 2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
4
1
1 1
2
1
4
1
1 4
1
1
15
16
1
2
1
1 1
u dv
I
u dv
sen x
u dv
H
H
6 5
5 4
5 4 2 5 4 2
5 4 6 5 4
4 3
3 2
3 2 2 3 2 2
3 2 4 3 2
3 3
2
1
2
3 3
5 5
5 3
3 2 3
3 2
2 1 2
2
2
6
3 2
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444
4 444
4
6 7 8
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4 444
4
6 7 8
44444 44444
6 7 8
44444 44444
6 7 8
44
4 44
4
6 7 8
4444444 4444444
6 7 8
44444444444 44444444444
6 7 8
4444444 4444444
6 7 8
444444
4 444444
4
6 7 8
44444
4 44444
4
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33

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cos cos
cos cos cos cos
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cos cos
cos cos
cos
cos cos cos
cos cos
cos cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
tan
cos cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
cos cos cos
cos
cos cos
cos
cos cos cos cos cos
I sen x x dx sen x sen x x dx
dv x sen x dx x d x v x
u sen x du x dx
I sen x x x dx
sen x x sen x x x sen x
I sen x x x sen x
sen x x x sen x x sen x x sen x x
I sen x x sen x x
sen x
x x
I
sen x x x sen x x x x sen x cte
I sen x x dx sen x x dx sen x dx
x
dx
dx x dx x sen x cte
I
sen x
dx
sen
x x
dx
x
sen
x
x
dx
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x x
dx
I tan
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x dx tan
x
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Ln tan
x
cte
I
sen x
dx
x
sen x
x
sen x
dx
I Ln x Ln x I Ln x
x
cte Ln x
x
cte
por ultimo I Ln tan
x
cte
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta sen x sen x x x x sen x
sen a
a
n
Respuesta
sen x x
sen x
x
sen x
Calcula I senx
dx
Recordad
Recordad
Recuerda
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
x x x sen x x x
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
4
1
8
3
16
3 2
4
1
8
1
16
1 2
4
1
16
1 2
8
1
8
1 2
16
1 2
8
1
16
2
2 16
1
2 8
1
16
2
1 2 8
1
16
2 2
8
1
16
1
2 2 8
1
8
1
32
1 4
4
1 2
4
1
2
1 4
8
1
8
1 4
8
1
32
1 4
2 2 2
2
2
2
2
2 2
2
1
2 2
1
2
1
2 2 2
2
1
1 1
2
1
1 2
1
1 2
1
1
1
1
1
2
17
2 2 2
2
1 2
18
1
2
1
1 1
1
2
1
1 2 1 2
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tan
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u dv
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x
x sen x x sen x
ejer es H
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2 2 3
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3
2 2
2 2
2 2 2 2
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2
1
2
2
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2 2
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1 1
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15
2 2 2 2 2
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4444444 4444444
6 7 8
44444 44444
6 7 8
444 444 6 7 8
4444444444 4444444444
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34

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cos
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cos
cos
cos
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cos
cos
I senx
dx
aqui f x senx
dx
f x
sen x
d x
senx
dx
senx
dx
f x
f x f x luego el cambio sera de t x
Teorema de Pitagoras
t w w t
sen x t
x t
sen x dx dt
sen x t
t dx dt dx
t
dt
por lo I
t
t
dt
t
dt
t t dt
t dt t dt Ln t Ln t
asi que I Ln t
t
Ln x
x
cte ya que t x
Por ultimo I Ln
x
cte I Ln tan
x
cte
I
sen x
x
dx aqui f x
sen x
x
dx
f x
sen x
x
d x
sen x
x dx
sen x
x dx
f x
f x f x cambio de variable t senx
senx
t
aplicando Teorema de Pitagoras
t w w t
x t
sen x t x dx dt
x t
t dx dt dx
t
dt
I
t
dt
arctan t arctan sen x cte
sen x
x
dx es de la forma
u
u
arctan u
asi que I arctan senx cte
Metodo utilizando la regla de Bioche
Metodo
Metodo
Recuerda tan a
a
a
tan a
a
a
n
Respuesta
Ejercicio
Calcula I
sen x
x
dx
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1 2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2 2
1 1
1 1 1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1
3
1
1 2
1 2
1 2
1 2
19
1
.
aparece en el ejer
Ln t Ln t
u senx
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
2
2
2 2
2
1 1
2
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4 4444
4 6 7 8
4444
4 4444
4
6 7 8
4444 4444
6 7 8
44444 44444
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35

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cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos x
x
sen x
dx
f x
sen x
dx
f x
sen x
d x
sen x
dx
f x
luego el cambio de variable tan x t
aplicando Teorema de Pitagoras
w t w t
x
t
sen x
t
t
tan x t
x
dx dt
x
t
sen x
t
t
t dx dt dx
t
dt
I
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
dt
t
dt
arctan t
I arctan t arctan tan x cte
aqui f x
dx
y no cumple ninguna de los casos
luego el cambio de variable t tan
x
tambien sabemos que
t
t
tan x
t
t
aplicando teorema de pitagoras
w t t w t
tan x
t
t
como x
t
t
asi que dx
t
t
t
t
dt
t
dt
x
dx
t
t t t
dt
t
t t
dt
t
t
dt
I x
dx
t
t
t
dt
t
t
t
dt
t
dt
t
dt
t
dt
arctan
t
arctan tan
x
cte
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta sen x sen x senx
n
Respuesta
tan x
tan x
tan
x
Calcula I
sen x
dx
Calcula I x
dx
Recuerda
I
dx
de Bioche
1 2 1 2 1 2 1 2
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
1
1
1
1 3
1
1 3 3
1
1 3
3
3
1
3
3
1
3
3
1
3
5 3
3
2 1
2
1
2
1 2 1
1
2
1
1
1
2 1
1
1
1
2
1
1
2 1 2 2
1
2 2 4
1
2 1
5 3
5 3
1
1
1
2
1
8 2
1
2
2 4
2
4 1 2
4
1
2
1 2
2
1
2
1
2 2
1
2
1
2
20
2
1
2 2
1 2
5 3
5 3
derivando
directa
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2 2 2 2
2
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2 2
2
2 2
2 2
2 2
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2
2
2
2
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2 2 2
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2
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4444 4444
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36

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3
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4
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cos cos cos cos
cos
cos cos
cos cos
cos
cos cos
cos cos
cos
I x dx aqui f x x dx f x x d x x dx f x
luego el cambio de variable t senx senx
t
y aplicando teorema de pitagoras
t w w t
t senx dt x dx
I x x dx sen x dt t dt t t senx sen x cte
aqui f x sen x dx f x sen x d x sen x dx f x
luego el cambio de variable t x x t
y aplicando teorema de pitagoras
t w w t
t x dt sen x dx
sen x t
I sen x dx t t
t
dt
t dt t t
I x x cte
x x x x aqui t dt dx y
luego I
t
dt
t
dt
t
dt
Ln
t t
I Ln
x x
cte
Ejercicio
Ejercicio Bioche
Ejercicio
x x
es el ejercicio n aplicaremos la regla de
I sen x dx
n
Respuesta x x d x dx
n
Respuesta sen x sen x d x dx
n
Respuesta
Calcula I x dx
Calcula I sen x dx
Calcula I
x x
dx
Recuerda
Recuerda
1
1 1
1 1 3
1
3
1
1
1 1
1
1 1
1
1 3
1
3
1
2 5 2 5
2 2 2 1 2 1
2
1
2 2 1
2
1
2
1
1
1 1 1
14
2 2
22
2
2
1
2 5
dt
a
b
a
b
3 3 3 3
2 2 2
2 2 2 3 3
3 3 3
2 2 2
2
3 2 2
2
2 3
3
2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
3
4 4
3
3
2
2 2
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U &
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r r r
b
r r
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= + = -
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= - = - - = =
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= + = -
= =-
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- -
=- - =- + =
=- + +
- + = - + = + = =
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+
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+
= + + =
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-
+
-
+ +
- - -
=
=
- =- - =-
- =- - =-
+
=
=
=
- +
- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
c
c
c
c
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g
g
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k
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j
h
g
g
g
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i
h
j
g
h
h
h
h
h
h
j
h
g h
h
g
g
g
g
g
g
h
g
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E
E
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4 444
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37

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2
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cos
cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos cos
I
x x
dx
x x x x x
t x dt dx
dt
dx
luego I
t
dt
t
dt
t
dt
I
t
dt
Ln
t t
cte
x x x x x haciendo cambio x t dx dt
I t dt
t t
dt
lo que esta dentro de la raiz nos recuerda la formula trigon tag x
x
asi que hagamos por vez cambio de variable
u
t u t sen u du t dt dt
sen u
u
du
I
t
dt
u
dt tan u sen u
u
du
sen u u du sen u u sen u du
dv u d u v u
w sen u dw u du
I sen u u
u du
I senu u Ln senu
senu
ahora con la ayuda del triangulo vamos remplazando
w t w t
sen u t
t
u t u t
I t
t t
Ln
t
t
t
t
luego la t x
I
x x
x Ln
x x
x x
cte
Ejercicio
Ejercicio
a
b
a
b
n
Respuesta a x b x c a x b x c
n
Respuesta x sen x
x
sen x
x
Calcula I
x x
dx
Calcula I x x dx
Recordad
Recordad
3 4
3 4 3 12
1
12
1
4 3
2 3
1
2 3
7
3
2 3
1
3
3
2 3
7
3
2 3
7
7
2 3
1
3
7
2
7
2 3
1
7
2
2 3
7
7
2 3
1
7
2 3
3
3
7
2 3
7
2 3
1
4 5 4 4
16
4
16
5 2 3 2
3 3 3 1 3 3 1
1
1
1
3
3
3 3
9
3 3 1 3
1
1 3 3
9
9 9
2
1 2
1
2
1 1
2
1
4
1
1
1
3 3
3
3
3
2
1 3
3 4
1
1
3
1
3
2
2
1
3
4 5
2 4
1
1 4 5
1 4 5
4 4
25
2
1
2
1
1 1
3 4
4 5
t
t
2
2 2
2
2
2
2 2 2
2
2
2 2
2
2
2 2 2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 3 3
3 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2
1
2 2 2
2 2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
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g g
m
g
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g
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p
g
g
g
m
g
g
g
g
g
g
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D
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444444 444444
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38

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8
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:
. . . . . . . . . .
integrandolo
I
x x
x x
dx
asi que Q x es de grado Q x ax b
aqui P x x x es de grado
luego
x x
x x
ax b x x
x x
m
a x x ax b
x x
x
x x
m
x x
a x x
x x
ax b x
x x
m
x x
ax x a b a b m
asi que a a a b b a b m m
ahora si
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
dx x x x
x x
dx
x x x Ln
x x
I
x x x
dx
cambio de variable x t x t
t
dx
t
dt
I
t t
t dt
P t es de grado Q t at b
t t
t
at b t t
t t
m
t t
a t t
t t
at b t
t t
m
t t
t
t t
a t t at b t m
una vez despejado los valores de a b y m y sustituidos en la formula
ax bx c
P x
Q x ax bx c
ax bx c
m
y quedara asi
ax bx c
P x
Q x ax bx c
ax bx c
m
dx
asi que seguir los mismos pasos que el ejercicio anterior
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
ax bx c
P x
Q x ax bx c
ax bx c
m
n
Respuesta
Calcula I
x x
x x
dx
Calcula I
x x x
dx
Recuerda
2 5 1
2
2 5
2 5
2 5
2 5
2 2 5
2 1
2 5
2 5
2 5
2 5
1
2 5 2 5
2 3 5
2 1 2
1
3 1 2
1
5 0 2
2 5 2
1
2
1
2 5
2 5
2
2 5 2
1
2
1
2 5 2
2 5
2
1
2
1
2 5 2 2
1
2
1
1
2 1 3 4
2 1
1
2
1
2
1
11 8 3
2
11 8 3
11 8 3
11 8 3
11 8 3
11 8 3
11 8 3
11 4
11 8 3
11 8 3 11 8 3
11 8 3 11 4
27
2
2 5
2 1 3 4
.
ejerc n
2
2 2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
24
2
2
2
2
2
3 2
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= + - + -
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-
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-
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- - +
-
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- - +
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- - +
+
- - +
+ - -
+
- - +
- - +
-
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- - +
- - + + + - - +
+ +
= + + +
+ +
+ +
= + + +
+ +
+ +
= + + +
+ +
=
- +
-
=
+ - -
- - - - - - - - - -
c
c
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l
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39

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. . . . . . . . . .
integral
lim lim lim
intervalo
lim lim lim lim
lim lim
I e dx cambio variable t x dt dx
I e dt e e cte
I
x x
dx
cambio variable x t porque m c m
x t dx t dt dx t dt t x
I
t t
t dt
t t
t dt
t
t
dt una vez hecha la division de los polinomios queda asi
I t dt t dt t t Ln t cte
x x Ln x cte
I
x
dx
la funcion f x
x asi que es una impropia
en el la funcion no esta definida en
luego
I
x
dx
x a I converge
I
x
dx
aqui f x
x
D
f no es continua en x
como estamos en el
asi que I
x
dx
x
dx
x x
a a I es divergente
auque llegara a ser uno nada mas I seria divergente
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I e dx
Calcula I
x x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
dx
2 1 2
2
1
2
1
2
1
1 2 1 2
1 2 3 2 6
1 2 2 6 3 1 2
3
1
3
3 1
3 1 3 1
1
2
3
3 3 1
2
3
1 2 3 1 2 3 1 2 1
1 0 1 0
2 2 2 2
1
1
1
1
1
0 4
1 1 1
1
1
1
1
1
1 3
1
1
1
29
30
3
3
1 2 1 2
1
R
x
t t x
a a a
a
a
f
a
a
a a a
a
a a
a a
x
2 1
2 1
3
2
2
1
6
6 5 5 6
4 3
5
3
5 2
2
3 6 6
0
1
0
1
0
1
0
2
0
4
2
1
2
0 1
2
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1 0 1
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- - - - - - - - - -
- - - - - - - - - -
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integral
cos
cos cos
cos cos
I x dx paso es descomponer el valor absoluto
x
x si x
x si x
funcion a trozos y
I x dx x dx x x x x
I x x dx aqui f x x x
I no es impropia
f es continua en f continua en
para resolver la hagamos cambio de variable
u x du x dx
du
x dx
si x u
si x u
I u du
u
I r x dx cambio de variable
x r sen t dx r t dt
si x r sen t t
si x sen t t
asi que I r r sen t r t dt r sen t t dt
r t dt
r t dt
I
r
t
sen t r r
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I x dx
Calcula I x x dx
Calcula I r x dx
2 1 1
2 1
2 1 2
1
2 1 2
1
2
1
0 2
2 1 2 1
1 1
0 1
1 2 2
1 2
0 1
2
1
2
1
4 8
15
1 2
0 0 0
1
2 1 2
2 2
2
2 2 0 4
33
34
35
2 1
1
R
r
r
0
2
0
2
1
2
1
2 2
0
2
1
2
2
1
2
2 3
0
1 2 3
2
3
1
2 4
1
2
2 2
0
2 2 2
0
2 2 2
0
2
2 2
0
2 2
0
2
2
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2 2 2
0
2
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0
1
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cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos cos cos
cos
cos
cos
I
a x
dx
a x
dx
a x a x
dx
a x a
a
x
dx
a
x
nos hace pensar en en la formula trigonometrica
asi que hacemos cambio de variable sen t
a
x
x asen t dx a t dt
I
a a sen t a sen t
a t dt
a t t a
a t dt
a t
dt
a tan t
y como tan t
a x
x
entonces I a a x
x
cte
I
a x
dx
a x
dx
a x a x
dx
a x a
a
x
dx
a
x
nos hace pensar en en la formula trigonometrica tan x
x
asi que hacemos cambio de variable tan t
a
x
x atan t dx a
t
dt
I
a a tan t a tan t
a
t
dt
a
t t a
a
t
dt
a t
dt
a t dt a sen t y como sent
a x
x
luego I
a a x
x
cte
a x
a x
dx
a x a x
a x a x
dx a x
a x
dx a x
a a
x
dx I
a
x
nos hace pensar en en la formula trigonometrica
asi que hacemos cambio de variable sen t a
x
x a sen t dx a t dt
t arcsen a
x
I
a a sen t
a sen t
a t dt
a sen t
a t a t dt
a sen t
a t dt
a sen t
a sen t
dt a sen t dt a sen t dt a dt a sen t dt
at a t cte a arcsen a
x
a x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
sen x x
n
Respuesta
n
Respuesta
sen x x
Calcula I
a x
dx
Calcula I
a x
dx
Calcula I
a x
a x
dx
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1 1
1
1
1 1 1
36
1
3
3
1
2 2
3 2 3 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
3 2 3 2 2 2 2
2 2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
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42

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ln ln
ln
denominador
cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos cos
ln ln
ln ln
denominador
cos
cos cos
ln ln
dx dx Cambio variable t x dt dx dx
dt
I
dt
dt Usando a f x dx a a
por ultimo I cte
Sea I
f x
f x
dx
en el tenemos f x nos hace pensar en sen x
asi que hacemos cambio de variable sen t f x t dt f x dx
I
sen t
t dt
t
t dt
t
dt
sent
t
sent
t
dt
I sent
t
dt sent
t
dt sent sent
sent
sent
f x
f x
cte
a f x
f x
dx
a a
f x
f x
dx
asi que tan t a
f x
t arctan a
f x
tan t dt a
f x
dx
haciendo los cambios queda
I
a
a
f x
a a
f x
dx
a
a
tan t
tan t dt
a dt a t a arctan a
f x
cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
dx
nos hace recordar tan
n
Respuesta a dx se le hace cambio de variable t f x
n
Respuesta t sent
t
sent
t
n
Respuesta
Calcula I
Demostracion de la formula
f x
f x
dx
f x
f x
f x
f x
Demostracion de la formula I
a f x
f x
dx siendo a
Recordad
Recordad
7
4
4 7 3 5 3 3
4 7 3 3
4
7 3
4
7 7
1 1
3 7
4
7
1
1 1
1 2
1
1 1
2
1
1 2
1
1 2
1
1 2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
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1
1
1
1 1
1
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16
13
1
39
0
1
2
1
1 1
1
1 2
1
1
1
1
1
0
x
x
t t t f x f x
x
x
f x
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3 5
3 5
2
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2 2
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2
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- +
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denominador
cos
cos
cos
cos
cos
cos cos
cos cos
cos cos cos cos cos
x
dx
x
dx
arctan x cte
x
xdx
x
x dx
arctan x cte
x
x dx
x
x dx
arctan
x
cte
a f x
f x
dx
a a
f x
f x
dx nos hace recordar
asi que sen t a
f x
t arcsen a
f x
t dt a
f x
dx
I
a
a
f x
a a
f x
dx
a
a
sen t
t dt
a t
t dt
a t
dt
luego I a sent
t
dt a sent
t
dt a Ln sent a Ln sent
I a Ln sent
sent
a Ln
a
f x
a
f x
a Ln
a f x
a f x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
sen
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
x dx
a f x
f x
dx siendo f x a
Sabemos t t
t
sen t
t
sent sent
t
sent
t
sent
t
1 1
1
2
1
2
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1
16
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2
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. . . . . . . . . .
denominador
cos
cos
cos
cos
x
dx
x
dx
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x
cte siendo x
x
x dx
x
x dx
Ln
x
x
cte siendo x
I
a f x
f x
dx
a a
f x
f x
dx
hace recordar sen
el nos
asi que sen t a
f x
t arcsen a
f x
t dt a
f x
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I a
a
f x
a a
f x
dx
sen t
t dt
t
t dt
dt t cte
I arcsen a
f x
cte
x
dx
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a f x
f x
dx arcsen a
f x
cte
x
x dx
x
x dx
arcsen x cte
x
dx
x
dx
arcsen
x
cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
a f x
f x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
dx
1 1
1
2
1
1
1
1
3
2
3
2
2 3
1
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3
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1
1
1
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1
1
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1
3 2 1
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2
1
3
2 1
12
46
47
48
4
0
5
1
3
2
1
9
2
9 2 1
aparezca
hagamos que el
d x
2 2
4 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
4 2 2 2
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. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
integrales
alguna integral
cos
cos
cos
cos
cos
cos
En las antes de ponernos a resolver os recomiendo seguir estos pasos
fijarnos bien si se puede simplificar y se se puede asociar a inmediata
y tener bien memorizadas las formulas trigonometricas
I
a f x
f x
dx
a a
f x
f x
dx nos hace recordar tan
tan t a
f x
t
dt a
f x
dx
t arctan a
f x
sen t
a f x
f x
I a
a
f x
a a
f x
dx
t
t
dt
t
t
dt
t dt
asi que I Ln
sen t
sen t
Ln
a f x
f x
a f x
f x
Ln
f x a f x
f x a f x
x
dx
Ln
x x
x x
cte
x
x dx
x
x dx
Ln
x x
x x
cte
I
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
dx
x
dx
x arctan x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
ejerc
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
a f x
f x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
x dx
Calcula I
x
x
dx
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1 2
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1
1
5
2
5
2
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1
5
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1
1 2
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2
1
1 2
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2
45
52
5
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17
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2
1
1
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2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
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4 2 2 2 2 4
2 4
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2 2
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distintas logaritmica y algebraica
integral
aparezca
aparezca
x
x
dx
x
x
dx
x
x
dx arctan x cte
I
x
Ln x
dx aqui tenemos dos funciones una
asi que la la resolveremos por partes fijandonos en la palabra
asi que
u Ln x du x dx
dv
x
dx v x
I u v v du
I x Ln x x x dx x
Ln x
x
dx x
Ln x
x cte
I x
Ln Lnx
dx haciendo cambio de variable t Lnx dt x dx
luego I queda de la seguiente manera I x
Ln Lnx
dx Ln Lnx x dx Lnt dt
asi que u Lnt du t dt
dv dt v t
I t Lnt t t dt t Lnt t cte
I Lnx Ln Lnx Lnx cte
x Lnx
dx
Lnx
x dx haciendo cambio variable t Lnx dt x dx
luego I t
dt
Lnt Ln Lnx cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
x
x
dx
I L A T E
U es la primera funcion que en la palabra ILATE seguiendo el orden
dV es la segunda funcion que en la palabra ILATE seguiendo el orden
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
Calcula I
x
Ln x
dx
Calcula I x
Ln Lnx
dx
Calcula I x Lnx
dx
1 1 3
1
1
3
3
1
1
1 1
1 1 1 1 1
1
1
1 1
1
1
1
56
57
5
5
logaritmica
algebraica exponencial
funcion inversa
funcion
funcion
funcion trigonometrica
funcion
6
2
3 2
2
3 2
2
3
2
2
2
6
2
2
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I
x
x
dx haciendo cambio variable t x
t x
tdt dx
I t
t tdt
t dt t t x x cte
sea
e bx i sen bx dx e e dx
e dx e a ib e e a ib
e bx isen bx dx e bx isen bx dx
e e dx e dx e a ib
I e e a ib e e a ib e e a ib e a ib
e a ib
bx isen bx
a ib
bx isen bx
I e
a b
a bx ib bx ai senbx b senbx a bx ib bx ai senbx b senbx
I e
a b
a bx b sen bx
I
a b
e
a bx b sen bx
para hallar e sen bx dx basta con hacer mismos calculos y luego restar
y el resultado de
I dx tenemos funciones lo resolvemos por partes ILA
v e a
du b sen bx dx
I bx e a a e b sen bx dx bx e a a
b
e sen bx dx
volviendo a por partes
dv e v e a
u sen bx du b bx dx
I a e bx a
b
a e sen bx a
b
e bx dx
I a e bx
a
b
e sen bx
a
b
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I
a
b
I a e bx
a
b
e sen bx
a
a b
I a e bx
a
b
e sen bx
I
a b
e
a bx b sen bx
Ejercicio
Ejercicio
Metodo J e sen bx dx
e sen bx dx
a b
e
b bx a sen bx
Metodo
n
Respuesta
n n
Respuesta e bx i sen bx e bx isen bx
I i J
I iJ
e E
dv e
bx T
u bx
Calcula I
x
x
dx
Calcula I e bx dx
Recordad
1
1
1
1
2
1 1 2
2 2 3
2
4 3
2
1 4 1
1 1
1
2
1 1 1 1
2
2
2 2
2
1
1 1 1
1
1 1
1
1 1
1
1
2
1 2
1 2
2
0
6 62
1
1
ax
e
ax i bx
ax i bx ax i bx ax i bx
ax ax
ax i bx ax i bx ax i bx
ax i bx ax i bx ax i bx i bx
ax
ax
ax
ax
ax
ax
ax ax ax ax
ax ax
ax ax ax
ax ax ax
I
ax ax ax ax
ax
ax
ax
ax
i bx i bx
ax
ax
ax
2
2
2 3 2
3
2 2
2 2 2 2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
2
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2 2
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dx haciendo cambio de variable x tan t dx tan t tan t dt
I
tan t
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tan t tan t dt tan t d tan t
tan t tan t cte x x cte
x
x
dx
x
x
dx
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dx x dx x dx x x cte
x
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dx haciendo cambio de variable x t
x
dx dt dx t dt
luego
x
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dx t
t
t dt t t x x cte
I
x
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x
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dx v
x
u x du dx
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x
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x tan t
t arctan x dt
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dx tan t dt
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tan t tan t dt
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dt sen t dt
t
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I t sen t t sen t t arctan x
x
x
x
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I arctan x
x
x
cte
Ejercicio
Ejercicio
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
x
x
dx
Calcula I
x
x
dx
1
2 1
1
2 1 2 1
2 3
2
2 3
2
1 1
3
2
2
1
2
1
2
1 1
2 3
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2 3
2
2
1 1 2 1
1
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1 2 1 2
1
1
1
1
1
1
1 1 2
1 2
2
1
1 2
2
1
4
1 2
2
1
2
1
2
1
2
1
1 1
1
2
1
2
1
1
1
2
3
1
2
63
64
1
1
2 2
2
2 2
3 3
2
3 3
2 2
2
2 2 2
2 2 2
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2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
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x dx x x dx
x dx x dx sen x
x
sen x dx x dx sen x x sen x cte
sea
I J x x sen x x dx x x sen x dx
x dx sen x
I J x x sen x dx x x dx x dx
x
dx x sen x
I sen x x sen x I sen x x sen x cte
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cambio de variable t a b x
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b
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b
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t
dt
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b
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I
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a b x
b
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Ln a b x cte
I
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hacer cambio de variable t tan
x
x
arctan t x arctan t dx
t
dt
I
sen x x
dx
t
t
t
t
t
t
t
dt
t
t
t dt t
dt
I Ln t Ln tan
x
cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Metodo
Metodo J sen x x dx
n
Respuesta
I x x dx
n
Respuesta
n
Respuesta x
x
x
Calcula I x x dx
Calcula I
a b x
dx
Calcula I
sen x x
dx
Recordad
2
2
1 2
2
2
1 2 2
2
1 2
2
1 2
4
1 2
2
1
2
1 4
4
1 2
4
1
4
1 4
4
1 2
4
1
16
1 4
2 2 2
2 2
1
2
2 2 2 2
2
1 4
2
1
8
1 4
2 2
1 2
2
1
8
1 4
4
1 2
4
1
16
1 4
2 2
2
2
2 2
1
2 2 2 2
2 2
1 2
2 2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2 2
1
2
1
1 1 2
1
2 2
1
2
1 2
65
2
66
67
1 2
2 2
2
1
2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
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Aplicando Bioche vemos que f x
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si t B B
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Ln t t Ln t cte
I Ln x x Ln x cte
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x
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a x
a t a x
t dt a
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I
a x
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a t
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tan t tan t
tan t
a x
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I
a a x
x
a x
x
cte
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
sen x tan x
dx
Calcula I
a x
dx
ver imagen
1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
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1 1
1
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1 4
1
1
1
1 1 1
1 1 1
1
1
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1
1
3
1
68
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es parecido a sen
2
2
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2
2
2
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2 2 2 2 2
2
2
1
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2 2
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2
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sen x x
sen x
dx
sen x x
x
dx
I x
sen x
dx
sen x
x
dx Ln x Ln sen x Ln tan x cte
I
sen x x
dx
sen x x
dx
sen x
dx
sen x
dx
x sen x x sen x
I x
sen x
x
sen x
dx x
sen x
dx x
sen x
dx
x
sen x
dx x
sen x
dx Ln x Ln x
I Ln x
x
Ln x
x
Ln tan x cte
I
sen x x
dx
sen x x
x dx
sen x
x
x
dx
tan x d tan x Ln tan x cte
Ejercicio
Ejercicio
Metodo
Metodo J b wt asen wt dt
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
n
Respuesta a
a
sen a
a
I a wt bsen wt dt
n
Respuesta
sen x x tan x x
sen x x
sen x sen x x
sen x x
sen x
x
sen x
tan x
x
x
Calcula I a wt bsen wt dt w
Calcula I
sen x x
dx
Recordad
Recordad
Recordad
Recordad
2
2
2
2
2 2
2
2 4
2
2
2
2 2
2
2 4
2
2
1 2
2 2
1 2 2 2 1 2 2 2
2 2
1
1 2
2
1 2
2
1 2
2
1 2
2
2
1
1 2
2 2
2
1
1 2
2 2
2
1
1 2
2
1
1 2
2
1
1 2
1 2
1 2
1 2
1
1
1
2
1
2
1 2
1
2
3
4
70
2
1 2
2
1 2
71
1
1
2 2
1
2
1
1 1
1 2
1 2
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2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
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sen x
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sen x
dx x
sen x
dx Ln x
I Ln sen x Ln x Ln x
sen x
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I
sen x x
dx
aqui f x
sen x x
dx
aplicando la regla de Bioche
f x
sen x x
d x
sen x x
dx
sen x x
dx
f x
cambio de varible t x
sen x t x t
t x x ar t
t x dt sen x dx dt t dx
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t t
t
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dt
t t t
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A
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B
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A t t B t t C t t
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t C C
t B B
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Ln t Ln t t Ln x Ln x
I Ln x Ln sen x Ln x
sen x
Ln tan x cte
Metodo
J x
sen x
dx
sen x x
sen x
dx
Metodo
I
sen x x
dx
sen x senx x x
Recordad
1
1
1
1
1
1 1 1
1 1
1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 2 2
1
1 1 2 2
1
0 1
2
1
1 2
1
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1 2
1
1
2
1
1 1 1
5
1
2
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dx
cambio de variable t a
f x
t
f x
a
t
f x
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a
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f x
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sen t dt a
f x
f x dx
sen t dt a
f x
f x dx
I
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f x sen t dt
a t
sen t
f x sen t dt
a t f x dt a t dt
aplicando la formula x sen x
x
sen x
x
I
sen t
t
sen t
t
dt
sen t
t
dx
sen t
t
dx
I Ln
sen t
sen t
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f x a
f x
f x a
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f x f x a
f x f x a
haciendo cambio de variable x t
dx t dt
t x t x
I
x
dx
t
t dt
t
t
dt dt t
dt
t Lnt
x Ln x cte
I
x
dx
haciendo cambio de variable x t
t x
dx t dt
I t
t dt
t dt dt t dt t Ln t
x Ln x cte los resultados y son el mismo haciendo cte cte
I
x
sen x
dx tan x
x
dx tan x d tan x tan x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Metodo
a
Metodo
b a b
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
f x a
f x
dx
Calcula I
x
dx
Calcula I
x
sen x
dx
1
1
1 1
1
2
1
1 1
2
1
1 1 2
1
1 1
2
1
1
1
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1
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1
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2 2 1 2
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4
1
1
72
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7
1
2 2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2
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dx se observa que d sen x x
x
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x
x
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I
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dx haciendo cambio de variable
x dt dx t dt dx
t x dt
x
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I
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t
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sen t sen x cte
I
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sen x
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Ln sen x
I Ln sen x Ln sen x x Cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
n
Respuesta
n
Respuesta sen x x sen x x sen x
n
Respuesta x x sen x sen x x sen x
Calcula I
x sen x
x
dx
Calcula I senx x
senx x
dx
Calcula I
sen x x
x
dx
Recuerda
Recuerda
1
2
1 1
2
2
1
2 2
2 2
2
1
2 2 2 2
1 2
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2
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77
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tan tan
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sen x x
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sen x
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sen x
sen x
dx
sen x
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dx
haciendo cambio de variable t x dt dx luego
I
sen t dt t
sen t
dt
x
sen t
dt
A
sen t
dt
haciendo cambio de variable
tan
t t
arctan t arctan dt d
A d d
d d
y como sabemos que
a f x
f x
dx a arctan a
f x
cte
d
arctan arctan
arctan
t
arctan
x
arctan
x
luego I x arctan
x
cte
I
a b
a b
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a b
a a b b
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a b
a b
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a b
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b
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b
Lna Lnb
b
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x
Ln a Ln b
a
b
Ln a Ln b
b
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a
b
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Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
sen x x
sen x x
dx
Calcula I
a b
a b
dx
1 2
1
1 2
1 2
2
2
1
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2
1
1
2
2
2
1
2 2
2
2 2 2
1
2
1
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2
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2
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2
2 1
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3
2 2 1
3
2
3
2 2
2
1
3
2
3
2 1
3
2
3
2 1
2
2 2 1
2 2
2 2
78
79
1
x x
x x
x x
x x x x
x x
x
x x
x x
x x
x
x
x
x
x
x x
x x
x x x x
x x
x x
A
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2
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- - - - - - - - - -
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g
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k
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k
l
g
p
g
g
n
g
g
n
k
g
g
m
g
h
g
g
g
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1 2 3
444444
4 444444
4
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56

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. . .
. .
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:
:
.
. . . . . . . . . .
denominador
I x a dx por partes dv dx v x
u x a du
x a
x
dx
I x x a
x a
x
dx x x a
x a
x a a
dx
x x a
x a
x a
dx a
x a
dx
I x x a x a dx a
a a
x
dx
x x a x a dx a
a
x
a dx
x x a I a Ln a
x
a
x
I
x x a a
Ln a
x
a
x
cte
I tan x dx sea t tan x
t tan x
t dt tan x dx
I t
t
t
dt
t
t
dt complejas asi que resolvamoslo
como se ve el tiene soluciones
t t t t t t t t t
I
t
t
dt
t t
At B
dt
t t
A t B
dt
I
t
At B t t A t B t t
dt
si t B B B B
si t i B iA i iA B i A A i B B
A A A A
B B y B B B B
si t A A A A A
A A A A
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
x a dx
a
Calcula I
Calcula I tan x dx
1
1
1
1 2 2 1
2 1
1
2
1
2
1 1 2 1 2 2 1 2 1
1
2
2 1 2 1
1
2 1 2 1
0 0
2 2 2 2 2
2 2
0
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2
2 4 2 2 2 4 2 2 0 2
2
2
2
80
81
A
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
4 4
2
4 2 2 2 2 2 2 2 2
4
2
2 2
4
2 2
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h
j
g
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4 444
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4444 4444
c m
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57

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cos cos
cos
cos
cos
cos
I
t
t
dt
t t
t
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t t
t
dt
t t
t dt
t t
t dt
t t
t dt
t t
t dt
I
t t
t dt
t t
t dt
t t
dt
t t
dt
I Ln t t Ln t t
t t
dt
t t
dt
Ahora descompongamos
t t t t t
t t t t t
I Ln t t Ln t t
t
dt
t
dt
Aplicando la formula
I Ln t t Ln t t arctan t
arctan t cte
I Ln tan x tan x Ln tan x tan x
arctan tan x arctan tan x cte
I Ln
tan x tan x
tan x tan x
arctan tan x
arctan tan x cte
sea
I J
sen x x
sen x
dx
sen x x
x
dx
sen x x
sen x x
dx dx x
I J
sen x x
sen x
dx
sen x x
x
dx
sen x x
sen x x
dx
sen x x
sen x x
dx Ln sen x x
I x Ln sen x x I x Ln sen x x
a
J
sen x x
x
dx
a f x
f x
dx a arctan a
f x
n
Respuesta
I
sen x x
sen x
dx
Ejercicio
Calcula I
sen x x
sen x
dx
1
2
2 1
2
2
2 1
2
2
4
2
2 1
2
4
2
2 1
2
4
2
2 1
2 2 2
4
2
2 1
2 2 2
4
2
2 1
2 2
4
2
2 1
2 2
4
2
2 1
2
4
2
2 1
2
4
2
2 1 4
2
2 1 2
1
2 1 2
1
2 1
2 1 2 2
1
2
1
1
2
1
2
1
2 1 2 2
1
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1
1
2
1
2
1
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2 1 2
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1
2
1
2
1
2
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2
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2
2
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2
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2
2 1
2
2
2 1 2
2
2 1
4
2
2 1
2 1
2
2
2 1
2
2
2 1
2 2
1
1
2
1 2
1
82
4
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
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58

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cos cos cos
cos
cos
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cos cos
cos
cos
cos
cos
cos
cos
I x
dx
x
dx
x
dx
d tan
x
tan
x
cte
no se cumple ninguna de las reglas de bioche cambio sera de t tan
x
t tan
x
x
t
t
arctan t x
arctan t x
t
dt
dx
I x
dx
t
t
t
dt
t
dt
t
dt
dt t tan
x
cte
I
x
x x sen x
dx
f x sen x f x x
g x x g x
I
x
x x sen x
dx I x
sen x
cte
Es de la forma
I
x
Ln x
dx f x Ln x f x x
g x x g x
I
x
x x Ln x
dx
I
x
Ln x
dx x
Ln x
cte
I
sen x
x
dx
sen x
d sen x
nos recuerda a
x
dx
arctan x
I arctan sen x cte
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta x
x
n
Respuesta
g x
f x
g x
f x g x f x g x
g x
f x
n
Respuesta
g x
f x
g x
f x g x f x g x
g x
f x
n
Respuesta
Calcula I x
dx
Calcula I
x
x x sen x
dx
Calcula I
x
Ln x
dx
Calcula I
sen x
x
dx
Metodo
Metodo
Recordad
1 2 2 2
2
1
2 2
3 2
2
1
1
2 2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
1 1
1
1
1
1
1 1 1
83
2
1 2
84
85
86
1
1
1
1
2
2 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
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2 2 2
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- - - - - - - - - -
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7
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integral
I tan x dx cambio variable t tan x x arctan t dx
t
t dt
t
t dt
I t
t
t dt
t
t dt
t
t dt
t t t t t
ahora descompogamos la fraccion
t
t
t t t
t
Aplicando igualdad de polinomios resulta
y b
y a
a luego
b luego
asi que
t t t
t
t t t t
t
t t
t t
I
t
t
t t
t t
dt
t
t
dt
t t
t t
dt
I
t
t
dt
t t
t t
dt en la d t t t t
I Ln t
t t
t t
dt
t t
t
dt
I Ln t Ln t t
t t
t
dt t t t
I Ln t Ln t t
t
t
dt
I Ln t Ln t t
t
t
dt
I Ln t Ln t t arctan
t
cte
I Ln t Ln t t arctan
t
cte
I Ln tan x Ln tan x tan x arctan
tagx
n
Respuesta
t t t
t
t
t
t t
t t t
t t t t t t t t
t t t t t t t t t t t t t
t t t t t t
t t t t
Ejercicio
A B C D E F
A B C D E F
A A A B B B C C D D E E F F
A C B D A C E B D F A E B F
B F B F
A E A E
B D F F D
A C E E A
B D B D
A C A C
B F D D
A C E A
A A A A C E
D D D B F
A B C D E F
Calcula I tan x dx
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1 1 1 1
1
3
1 1
3
0 6
0 5
0 2 4
3 3 2 3
0 2
0 1
2 4 6 2
1 5 3 3 2
3 2 3 3
2
1 1
3
1 1 1 1
1 1 1 1
2
1
1
2
4
1
1
4 4
1 4 2
2
1
1 4
1
1
4 2
4
1
1
6
2
1
1 4
1
1 4
1
1
6
1 2
1
2
3
2
1
1 4
1
1 2
3
2
1
2
3
2
1
1 4
1
1 2
3
2
1
2
1
2
3
2
2
1
1 4
1
1 4
3
3
2
2
3
2
1
2
1
1 4
1
1 2
3
3
2 1
2
1
1 4
1
1 2
3
3
2 1
8
1 1
3
1 1
3 1 1
3
3
1 1
0 0
3 3 3
3 2
2
6
2
6
2
6
3
6
3
6 3 2 3 2 2 2 4
6
3
2 2 4
3
2 2 4
3
2 2 4 2 2 4
3
2 2 4
3
2 2 4
3
2 2 4
3
2 4 3
2
2 4
3
2 4
2 2 4
2 4
2 4 2
2 2
2 2 4
2
2 2
2 2 4
2
2 2
2 2 4
2
2 2 4
2
3 2 3 2 3 4 3 2
2 2 4
3
2 2 4
3 2
3 2 4 2 3 2
3 3 5 2 4 3 5 2 4 3 2
3 5 4 3 2
3 2
3
& &
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