limites-continuidad y derivabilidad con ejercicios resueltos paso a paso

2. .
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lim
lim
acotar
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
El Limite de una funcion es saber cual es el valor de la funcion acercandonos a cierto valor
f x quiere decir que cuando x se acerca a la funcion f x y se acerca a
las definiciones de abajo no es obligatorio que f x este definida en x a
se empieza por hasta llegar a
luego si g se cumple f x b
cogemos f x b transformarla en g x x
sacar D por ejemplo D
sacar se coge el n mas pequeno sea h ese n
si D le damos un valor al azar a
asi que x x h h x h
por ultimo g x sabiendo que h x h
f x b
f x b
f x b
f x
f x
f x b
f x b
f x
f x
f x
f x
c
c
Definicion
x D x a a f x b b
x D x a a f x b b
x D x a a f x b b
N x D x a a f x N
N x D x a a f x N
M x D x M f x b b
M x D x M f x b b
N M x D x M f x N
N M x D x M f x N
N M x D x M f x N
N M x D x M f x N
f x b x a g
Sea f x b Los pasos a seguir para resolverlo por definicion
d
d
a
a
a
a a a
a
Limites
7 3 7
2
1
2
1
0 1
1
2
3
4
5
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
R
R
g g
g
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
x
x a
x a
x a
x a
x a
x a
x
x
x
x
x
x
f
x a
1
1
1
3
A
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A
A
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U
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3
3
3
3
3
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
6 7 6
1
1 1 1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
2 2 2
2 2 1
2 2 2
2 2 1
2 2 2 2
2 2 2 1
2 2 1 2
2 2 1 1
1 1
#
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d f
d
d
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f d d d f f
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f d d f f
d d d
d d d
f f f
f f f
f f
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3
3
3
3
3
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-
c c
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l
l
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algunos
lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim
lim
lim
lim lim
lim
lim lim
lim lim
lim lim
lim lim
lim lim cos tan cot
denominador
exponentes exponentes
exponentes exponentes
interesantes
limites
Indeterminaciones
a siempre a a a a a b a b
b
a
b
a
con b a a a a b a b a b a c c b
a b a b a b b a b si b fuera negativo seria imposible
a b a b b a si b fuera negativo seria verdad siempre
a b a b a a b a b a b
a b a b a a b a b a b
de las potencias n
mas adelante haremos ejercicios para entenderlo mejor
f x f x
f x g x f x g x
f x g x f x g x
g x
f x
g x
f x
k f x k f x siendo k Cte
k k siendo k Cte
f x f x
fog x f g x si f es continua en g x
f x f x cuidado con D si n es par
f x f x cuidado con D
sen f x sen f x lo mismo pasa con arcsen etc
a si no hay raices cuadradas factorizamos
b si hay raices cuadradas utilezaremos el conjugado
c aplicar la regla de l hopital
a se divide el numerador y el por el x de mayor grado potencia
b si son divideremos por el de de mayor base
c aplicar la regla de l hopital
a en la mayoria de los casos basta con efectuar el calculo
b en raices cuadradas basta con multiplicar por el conjugado
c si son se multiplica por el de mayor base
d aplicar regla de l hopital antes hay que transformarlo en caso
o bien aplicando estas formulicas que son
como resolverlas
a b
ab
b a
ab
b
a
a b ab b a
Recuerda estas formulas
observacion
Formulas de
0 0 0
0
1
1
2
3
1 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
0
0
1
1 1
1
1 1
lim
n n n n n n
n n n n n n
n n
n n
f
b b
f
x a x a
x a x a x a
x a x a x a
x a
x a
x a
x a x a
x a
x a
g x
x a
g x
x a x a
x a x a
x a x a
x a x a
2 2 2
1 2 3 2 4 3
1 2 3 2 4 3
x a
log log
,
, A
, A
0
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U U U U
U U U U
U U
U
U
U
3
3
3 3
!
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# #
$ # # #
$ # #
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h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
h
k
g
h h
6
6
6
6
6
6
8
6
7
7
7
7
7
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A
A
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02

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expresion denominador
limites de indeterminacion
sin
lim
lim
lim
lim
lim
lim lim
exponenciales , logaritmecas
limitado intervalo
intervalo
intervalo denominador
lim
lim
lim
lim
intervalo
lim
lim
lim
lim
infinitos
Aplicar la formula
Aplicar la formula
pasar la que da al por las formulas
que hay arriba y luego resolverlo por el metodo del caso
En los siempre hay que buscar la manera de
convertirlos en o bien para despues factorizar aplicar l hopital
la funcion f es continua cuando podemos dibujar la grafica de f realizar ningun salto
f x b f x b cuando x a
f x es continua en el punto x a
f x f a cte
f x cte
f x cte
f x es continua a la derecha en x a Ssi f x f a cte
f x es continua a la izquierda en x a Ssi f x f a cte
f x es continua en el punto x a f x f x f a cte
fog x es continua en x a si g x es continua en x a y f x es continua en g a
todas las funciones seguientes son continuas sobre su D
polinomicas racionales raices trigonometricas inversas
la y la de un n de funciones continuas en un es a su vez
una funcion continua
el cociente de dos funciones continuas en un es tambien una funcion
continua en ese excepto en los puntos que anulan el
f a f b
f x continua en a b
c a b f c
f es derivable en x a k x a
f x f a
k
f x
f x
Definicion
Definicion
h
f a h f a
k
si f es derivable sobre el I f es continua sobre I
si f es derivable en x a f es continua en x a
reciproco es falso
h
f a h f a
f a
x a
f x f a
f a
h
f a h f a
f a
x a
f x f a
f a
f es derivable en x a f a f a es decir cuando ambas tienen valores
finitos iguales o bien ambos son de igual signo
y
o bien
Teorema
Derivabilidad a la derecha Derivabilidad a la Izquierda
o bien o bien
Teorema de Bolzano
e
e
CONTINUIDAD
DERIVABILIDAD
0
2
0
0
0 0
3
2
1
0
0
4 1
5
6
1
0
0
R
R
( )
( )
( ). ( )
( ) ( )
distinto
lim
lim
f
de signo
g x
g x
x a
x a
x a
x a
x a
x a x a
x a
x a
g x f x
x a
g x Lnf x
h
h
x a
h
x a
0 0
1
0
0 0
x a
x a
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(
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(
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d
d
d
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U
U
U
U
U
U
U
U
U
U U
U
U
U
U
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3
7
7
7
7
7
3
3
2 2 1 1
1
f d f d
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6
6
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D
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b
b
b
b
b
b
b
b
1
1
1 2 3
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cos
cos
cos
cot cot
cos
cot
lim lim lim lim
sean f y g dos funciones continuas y definidas en a b
y derivables en a b y sea c a b f c g c
si f y g son n veces continuas y derivables la regla de L hopital se puede aplicar n veces
y k cte y
y f x y n f x f x
y k f x y k f x
y f x g x y f x g x
y f x g x y f x g x f x g x
y
g x
f x
y
g x
f x g x f x g x
y fog x y f og x g x
y f x y
f of x
y f x y
f x
f x
Ln a
y a y a f x Ln a
y e y e f x
y senf x y f x f x
y f x y senf x f x
y tanf x y
f x
f x tan f x f x
y f x y
sen f x
f x f x f x
y arcsenf x y
f x
f x
y ar f x y
f x
f x
y arctanf x y
f x
f x
y ar f x y
f x
f x
y f x para esta formula se utiliza
asi que y solo queda aplicar formulas anteriores
el sentido de la igualdad va segun el sentido de las flechas negras
e a
e e
Regla de L hopital Mas bien de BERNOULLI
g x
f x
g x
f x
g x
f x
g x
f x
a b a b a b a b a b a b
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
Recordad
Tabla de Derivadas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
ln
n
n
n n n
n
n
n
n n
a
f x f x
f x f x
g x Lna
f x g x Lnf x
n n n n n n
n
n
n
n
n n
x c x c x c x c
2 1 2 1 2 1
2 1
2 1
2 1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
2
2
2
2 2
g x
log
AA
A
AA
d
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6
6
6
6
6
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6
7
7
7
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A
A
04

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lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
lim
n
Ejercicio n
Ejercicio n
Ejercicio n
Ejercicio n
Ejercicio n
Ejercicio n
Ejercicio n
Ejercicio n
Ejercicio n
Ejercicio n
Ejercicio n
Ejercicio
Demostrar por definicion que x x
Demostrar por definicion que x x
Demostrar por definicion que x x
Demostrar por definicion que x
x
Demostrar por definicion que x
x
Demostrar por definicion que x x
Demostrar por definicion que
x x
x
Demostrar por definicion que x
Demostrar por definicion que x
Demostrar por definicion que x
x
Demostrar por definicion que
x x
Calcula I
x
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5 1 5
4 4 14
2 2 8
2
3
2
1
3 2
4
2 1 3 4
1
1
6
2
4
1
1 2
4 1 3
2
1
4
1
6
1
4
256
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
5
2
2
2
2
4
4
3
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- - - - - - - - - -
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m
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05

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. . . . . . . . . .
lim
lim
lim
lim
lim
lim cos
cos
lim
lim
lim
lim
lim
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Calcula I
x
x x
Calcula I x
Calcula I
x
x
Calcula I x
x
Calcula I
x x
x x
Calcula I x x
senx x
Calcula I senx
Calcula I
x
x
Calcula I
x
x
Calcula I x a
x a
siendo a
Calcula I bx
sen ax
e e
e e
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
9
3
2
1
1
1
1
2
6
1
1 1
1 1
1
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x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
x a
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2
2
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2
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2
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Calcula I
x
x x
Calcula I
x x
x x
Calcula I x
x x
Calcula I
a x b x c x
ax bx cx
alcula I x
Lnx
Calcula I
x x x x
x x
Calcula I
x
Ln x
Calcula I
a
a b
siendo a b y a b
Calcula I x senx
Calcula I x
x
lim
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
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1 1
2
2 3
3
1 2
1
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7
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x x
x
x
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x
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x
x
x
x
x
x
x
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Calcula I x
x
Calcula I tan
x
Calcula I x
Calcula I x
Calcula I x
Calcula I senx
Calcula I e
Calcula I x
Calcula I x sen x J x sen x
Se considera la funcion f x x si x
x si x
senx si x
estudiar en los puntos y la continuidad de f x
f x
si x
x
x
si x
Estudia la continuidad de f
2
1
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
2
2 1
4
1 2
2
1
1
1
2
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x
x
x
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x
x
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x
tan
x
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x
x
x x
x
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. . . . . . . . . .
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
f x
x si x
sen x b si x
a x si x
Halla el valor de a y b para que f sea continua en
f x b si x
x
tan x
si x
halla el valor de b para que f sea continua en x
f x b si x
x
e e x
si x
halla los valores de a y b para que f sea continua en x
f x x si x
x si x
senx si x
Estudiar la derivabilidad de f en x y x
f x
x
Ln x
si x
x bx c si x
halla b y c para que f sea derivable en x
sea la funcion f x si x
x
x
x si x
es continua en x
Halla la funcion reciproca f
Calcula f x siendo f x Ln ax bx c
Calcula f x siendo f x x x x
Calcula f x siendo f x tan a
Calcula f x siendo f x Ln x
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
0
1 0
0
0
0
2 0
0
0
2 1 1
1 0
0
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x
x
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- - - - - - - - - -
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c
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lim
lim
lim
cos
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
n
n
n
n
n
Calcula f x siendo f x tan x
Calcula f x siendo f x x
Halla la derivada n esima de y x z x w
x
Demostrar que si existe f x es unico
Demostrar que x
sen x
Demostrar que x
x
55
56
57
58
59
60
1
1
1
1
1
2
1
1
0
cos
sen x
x x
x a
x
x
2
0
0
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acotar
intervalo
acotar
intervalo
lim
lim
lim
x D x f x
Sea tenemos
f x x x x x x x x x x x
x x x x el seguiente paso es x
sabemos que x x a un de centro
x x x x que es el candidato
x x x x
x x x para que x x sea a basta con que se cumpla
x x que es el candidato
luego la solucion es Min
x D x f x
Sea tenemos
f x x x x x x x x x
el seguiente paso es x
x x a un de centro
x x x x que es el candidato
x x x x
x x x para que x x sea a basta con que se cumpla
x x que es el candidato
luego la solucion es Min
Ejercicio n
Ejercicio n
si a b c son positivos y a b c a b c
si a b c son negativos y a b c c b a
si a b c son mismo signo y abc y a b c c b a
Respuesta
Respuesta
f x b para su demostracion por definicion
x D x a f x b
se empieza por f x b haciendo calculos hasta llegar a x a g x vea los ejercicios
Demostrar por definicion que x x
Demostrar por definicion que x x
a
a
Recuerda
vea la imagen
vea la imagen
Este metodo es el que mas utilizo para las funciones polinomicas
0 0 1 5
0
5 5 1 5 5 6 6 6 6 6
1 6 1 6 6
1 1
0 2 0 2 1 1 1 1 1 1
0 2 0 2 6 6 8 6 8
1 6 1 8 1 6
1 8 1
8 2
1 8 0
0 0 2 14
0
14 4 4 14 4 18 2 4 9 2 4 9
4 9
2 2
1 3 1 3 1 2 1 2 1 1
1 3 4 4 12 13 4 9 21 4 9 21
2 4 9 2 21 2 4 9
2 21 2
21 2
1 21 0
0
1 1 1
1
2
0 0
5 1 5
4 4 14
1
1
f
f
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x
x
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2 2
1
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2
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1 1 1 1 1
1 1
1 1
2
2 2 1 1
2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1
2
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
2 2 1 1
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acotar
intervalo
limite
acotar
intervalo
intervalo
intervalo
lim
lim
x D x f x
Sea tenemos
f x x x x x x x
el seguiente paso es x
x x a un I de centro tal que I D
x x x x que es el candidato
x x x x
x x x para que x x sea a basta con que se cumpla
x x que es el candidato
luego la solucion es Min
En este la funcion f x
x
x
su D
x D x f x
Sea tenemos
f x
x
x
x
x x
x
x x
x
el seguiente paso es
x
x x a un I de centro tal que I D
no se puede coger el ya que contiene D
no se puede coger el ya que contiene en el borde y D
x x x x candidato
x x x
x
x
x
x para que x
x
sea a basta con que se cumpla
x x que es el candidato
luego la solucion es Min
Respuesta
Respuesta a a
color azul
Ejercicio n
Ejercicio n
color rojo en la imagen
Demostrar por definicion que x x
x x
Demostrar por definicion que x
x
a
a
Metodo
a
a
vea la imagen
recuerda
vea la imagen
0 0 2 8
0
8 8 2 6 2 2 3 2 2 3
2 3
2 2
1 3 1 3 1 2 1 2 1 1
1 3 2 2 6 5 2 3 9 2 3 9
2 2 3 2 9 2 2 3
2 9 2
9 2
1 9 0
2
3 2
0 0 1 2
0
2 2
3
2 2
3 2 4
2
1 1
2
1
2
1
1 1
1 3 2
0 2 2 2
2
1
2
3
2
1
1 2
1 1
2
1
1
2
1
2
3
2
3
2 2
1
2
1 2
2
3
3
2
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1
2
1
2
1 1 2 1
2
1
1 2 1
2 2
2
1
2 0
3
4
2 2 8
2 2
2
3
2
2
1
2
3
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f
f
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x
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+ + +
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6
6 7 6
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2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1
2
2 2 1 1
2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
2
b
b
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!
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! 1
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f
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- +
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- - - - - - - - - -
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c
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g g
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. . . . . . . . . .
lim limite
acotar
limite
acotar
intervalo
intervalo
lim
lim
x
x
En este la funcion f x
x
x
su D
x D x f x
Sea tenemos
f x
x
x
x
x x
x
x x
x
el seguiente paso es
x
para ello calculemos el candidato antes de nada
y de lo definido sabemos que x x
x x
x
x
x
x para que x
x
sea a basta con que se cumpla
x x que es el candidato
luego la solucion es Min
En este la funcion f x
x
x
su D
x D x f x
Sea tenemos
f x
x
x
x
x x
x
x x
x
el seguiente paso es
x
x x a un I de centro tal que I D
no se puede coger el ya que contiene en el borde y D
x x x x candidato
x x x
x
x
x
x para que x
x
sea a basta con que se cumpla
x x que es el candidato
luego la solucion es Min
Demostrar por definicion que x
x
f x b y D c d
a d
a c
se coge el mas pequeño como candidato
Respuesta
Recuerda
vea la imagen
Metodo
a
a
Metodo
a
a
Ejercicio n
color rojo
Este metodo es el que mas utilizo para cociente de dos polinomios
2
3
2 2
3 2
0 0 1 2
0
2 2
3
2 2
3 2 4
2
1 1
2
1
2
1
1
1
2
1
1 2
1
2
3
2 2
1
2
1 2
2
3
3
2
2
1
2
1
2
1 1 2 1
2
1
2 2 2
2 2
2
1
2 0
1
3 2 1
0 0 2 4
0
4 1
3 2
4 1
3 2 4 4
1
2 2
1
1
1
1
2 2
1 3 1 1
2
3
2
5
2
1
2 2
1 2
2
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1
2
3
2
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1 2
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1 2 2 2
1
1
2 2 2
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1
2
3
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5
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R
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f
f
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1
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6
6 7 6
6
2 2 1 1
2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
2
2 2 1 1
2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
2
b
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f
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lim limite
acotar
lim
acotar
lim
lim
x
x
En este la funcion f x
x
x
su D
x D x f x
Sea f x
x
x
x
x x
x
x x
x
el seguiente paso es
x
para ello calculemos el candidato antes de nada
y de lo definido sabemos que x x
x x
x
x
x
x para que x
x
sea a basta con que se cumpla
x x que es el candidato
luego la solucion es Min
x x f x
x x
su D
x D x f x
Sea f x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
el seguiente paso es x
x x
calculemos el candidato
se coge el mas pequeno como candidato
y de lo definido sabemos que x x x
x x x
x x
x
x x x
x
x x
x x
x
para que x x
x x
sea a basta con que se cumpla
x x que es el candidato Min
Metodo
a
a
Metodo
a
a
Recuerda f x b y D c d
a d
a c
se coge el mas pequeño como candidato
Respuesta
Demostrar por definicion que x x
Ejercicio n
es el que mas utilizo para cociente de dos polinomios
1
3 2
4 1
3 2 1
0 0 2 4
0 4 1
3 2
4 1
3 2 4 4
1
2 2
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2 2
1
2
1
1 2
3
2
1 1
2
3
3
2
1
1
2
2
1
1 2 2 2
1
1
2 2 2
2 2
2
1
2 0
2 1 3 4
1
1
2 1 3 4
1
2
1
3
4
0 0 1 1
0 1 2 1 3 4
1
1
2 1 3 4
6 11 5
2 1 3 4
1 6 5
1 6 5
2 1
1
3 4
1
6 5
2 1
1
3 4
1
1
6
1
1 6
1
1
6
1
6
1
1 6
1
6
5
6
7
5 6 7 0 6 5 2 6 5 2
3
5
2 3
7
3
2
2 1 3
4
4
3
2 1
1
2
3
2
5
3 2
7
2
3
3 4 2
1
2
1 3 4
2
3
3
2
3 4
1
2
1 6 5
2 1
1
3 4
1 1 2 2
3
2
1 6 5
2 1
1
3 4
1
1 6 1
6 2 6
1
6 0
2
2
1 2 1
2
1
1
2
1 1 3
4
6
1
2
1 1 2
1
4
1
2
1
2
1
1
6
2 1 3 4
1
1
R
R
R
x
f
f
x
f
f
x a
f
x
2
1
1
1
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1
1
1
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1
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6
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6
2 2 1 1
2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
2
2 2 1 1
2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1 1 2
!
!
f d d f
f
d
d
f
f
f
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f
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f d d f
f
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d
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c
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c
c
c
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g g
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, 4 4 4 2
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4
3 2
4
2
4 4
1
1
1 2 1
1
4
:
. . . . . . . . . .
lim
intervalo
lim
acotar
lim
x x f x
x x
su D
x D x f x
Sea f x
x x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x hay que buscar un I de centro que este incluido en D
no se puede coger el D pero si se puede coger gracias a la imagen de arriba
x x x x candidato
x x x
x x x
x x x x
x x
x x
x
para que x x
x x
sea a basta con que se cumpla
x x que es el candidato
luego la solucion es Min
x x
x
f x
x x
x
su D
x D x f x
Sea f x
x x
x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x
el seguiente paso es
x
calculemos el candidato
se coge el mas pequeño como candidato
Metodo
a
a
a
vea la imagen
x
x
x
Demostrar por definicion que
x x
x
Respuesta
Ejercicio n
0 8
10
8
5
4
1 2
10
12
5
6
2 1 3 4
1
1
2 1 3 4
1
2
1
3
4
0 0 1 1
0 1 2 1 3 4
1
1
2 1 3 4
6 11 5
2 1 3 4
1 6 5
1 6 5
2 1
1
3 4
1
1 1
0 2 5
4
5
6
5
4
5
6
5
4
5
6
5
1
1 5
1 1 5
1
1
5
4
5
6
5
24
6 5
36
5
1
6 5 5
11
5
4
5
6
5
8
2 5
12
5
3
2 1 5
7
7
5
5
4
5
6
5
12
3 5
18
5
8
3 4 5
2
5
2 3 4 5
8
8
5
1 6 5
2 1
1
3 4
1 1 5
11
3
5
2
5
1 6 5
2 1
1
3 4
1
1
6
55 1 55
6
2
5
1
55
6
0
6
2 1
6
2 3 2
0 0
0
1
6
2 1
3 2 3
2 3
3
2 3
2 1 1
3
1
3
1
1
2
1
1 2
2
2
1
2
2
1 3 2
6 5 5
11
2 1
1
3
5
3 4
1
2
5
6
2 1
7
R
R
1
1
x
f
f
f
f
x
f
f
x
1
2
1
2 2
2
2 2
2
1
1
1
2
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6 7 6
6
6 7 6
2 2 1 1
2
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
2
2 2 1 1
2
1
1
1
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!
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f
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2
:
. . . . . . . . . .
lim
acotar
lim
acotar
tanto
lim
y de lo definido sabemos que x x x
x x
x
x
x
x
para que x
x
sea a basta con que se cumpla
x x que es el candidato
por ultimo la solucion es Min
x f x x D
x D x f x
Sea f x x x
x
x
x
x
el seguiente paso es
x
calculemos el candidato
candidato
y de lo definido sabemos que x x x
x x
x
x
para simplificar los calculos
x
x
x para que x
x
sea a
basta con que se cumpla x x que es el candidato
luego la solucion es Min
x f x x D
x D x f x
Sea f x x
x
el seguiente paso es
x
x x
x
por lo x
x
x
para que x
x
sea a basta con que se cumpla x x
luego la solucion es
a
Metodo
a
a
Metodo
a
Respuesta
Ejercicio n
Demostrar por definicion que x
es la que mas suelo usar
1
2
1
2
1
1 2
1
2
1
2
3
2
7
3 2
9
2
7 3
2
9
9
2
3
1
7
2
4
1 1
3
1
4
1 1 7
2
4
1 1
3
1
4
1 1 7
2 1 14 2
2
1
14 0
1 2 1 1
0 0 5 2
0 2 1 2 1 2
1 2
1 2
5
1 2
1
1 2
1
1
1
2 2 2 1 6
2 1 6 2 2 1 2 6 2
6 2
1
1 2
1
2 2
1
6 2
1
1 2
1
2 2
1
5
1 2
1 5
2
1 5
1 2
1
5
2
1 5 2 2
2 0
1 2 1 1
0 0 5 2
0 2 5
1 2
1
1 2
1
0 1 2 1 2
1 2
1
2
1 5
1 2
1 5
2
1
5
1 2
1 5
2
1 5 2
2 0
1
2
1 5 1 2
2
8
2
1
1 2
x
f
f
x
f
f
x
1
5
1
1
5
1
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6
3
6 7 6
6
3
6 7 6
6
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1
1 1
2
2 2 1 1
2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
1 1
2
2 2 1 1
2
1 1 1
2
1
!
!
# # # #
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3
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2 2
2 9
4
2
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,
,
,
3 3
2 4 2
3
2
9
9
:
3
4 3
. . . . . . . . . .
lim
acotar
intervalo
lim
acotar
lim
lim
acotar
tanto
lim
x f x x D
x D x f x
Sea f x x
x
el seguiente paso es
x
x x a un I de centro D sea I D
x x x x que es el candidato
x x x x
x
para facilitar los calculos
x
x
x para que x
x
sea a
basta con que se cumpla x x que es el candidato
luego la solucion es Min
x f x x D
x D x f x
Sea f x x x
x
x
x
x
el seguiente paso es
x
calculemos el candidato
candidato
y de lo definido sabemos que x x x
x x x x
x
para facilitar los calculos
x
x
x para que x
x
sea a
basta con que se cumpla x x que es el candidato
luego la solucion es Min
x f x x D
x f x x D
x D x f x
Sea f x x
x
el seguiente paso es
x
x x
x
por lo x
x
x
para que x
x
sea a basta con que se cumpla x x
luego la solucion es
Metodo
a
a
Metodo
a
a
Metodo
a
Respuesta
Ejercicio n
Demostrar por definicion que x
el que mas suelo usar
1 2 1 1
0 0 5 2
0 2 5
1 2
1
1 2
1
5 5 4 6 4 5 6
4 6 4 6 1 5 1 5 1 1
4 6 3 1 5 3 1 5 3 2 1 2 5 2
5 2
1
1 2
1
3 2
1
5
1 2
1 5
2
1 5
1 2
1
5
2
1 5 2 2
2 0
4 1 3 4 1 4
1
0 0
0 4 1 4 1
4 1
4 1
4 1
1
4 1 3
1
1
1
8
9
8
9
2 8
9
8 8
5
7
4
5
2 4 1 2
27
2
3
4 1
2
3 3
2
3
3 4 1 3
2
3 3
3
2
3 3
3
1
4 1 3
1
2
3
3
1
4 2
4 1 3
1 2 4 2
4 1 3
1
3
4 2
4
3
2
8
9
4
3
0
4 1 3 4 1 4
1
4 1 3 4 1 4
1
0 0 2 3
0 3 4 2
4 1 3
1
4 1 3
1
0 4 1 3 4 1 3
4 1 3
1 1
4 2
4 1 3
1
4 2 1
4 2
4 1 3
1
3 4
3
4
3
0
1
2
1
4
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1
1
3
1
1
2
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6
3
6 7 6
6
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6 7 6
6
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2
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1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1
1 1
2
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2
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1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 1
1 1
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lim
acotar
intervalo
limite
lim
acotemos
lim
lim
x f x x D
x D x f x
Sea f x x
x
el seguiente paso es
x
x x a un I de centro D sea I D
x x x x que es el candidato
x x x x
x
para facilitar los calculos se puede poner
x
x
x para que x
x
sea a
basta con que se cumpla x x que es el candidato
luego la solucion es Min
En este la funcion es f x
x
x
si x
si x
x
x
f x
x
x
D
x D x
x
x
en realidad es una funcion a trozos y la ambiguedad surge en x que es donde hay cambios
lo que significa es donde hay que tener especial cuidado donde tenemos que tomar un valor
de que no llegue ni sobre pase x por la derecha o por la izquierda asi sabremos
con exactitud el valor del valor absoluto
candidato en x
x
x
x
x
x
x
x
x x
de lo definido x x x x
x
x
x x para que x
x
sea a
basta con que se cumpla x x que es el candidato
luego la solucion es Min
Metodo
a
a
a
a
Respuesta
f x b a
c donde surge la ambiguedad
o bien
c D
x
x
x x
Ejercicio n
Demostrar por definicion que x
x
x
x
x
x
Recuerda
vea la imagen
4 1 3 4 1 4
1
0 0 2 3
0 3 4 2
1 3
1
1 3
1
2 2 1 3 1 2 3
1 3 1 3 1 2 1 2 1 1
1 3 4 4 12 5 4 1 13 5 3 4 1 3 13 3
13 3
1
4 1 3
1
5 3
1
4
1
4 2
1 3
1
4 2 4 2
1 3
1
2
3
4 2
4
3
2
1 4
3
0
2
1
1 0
1 0
2
1
4
1
2
1
2
0 0 2
2
1
4
1
1
1
2
1 2 1
2
1
1 2 1
2
1
4
1
2
1
4
1
4 2
3 6
3 2
4 2
1
2
1
2
2
1
2
1
2 2
1
2 2 9 9
2
2
1
4
3 2
2
1
4
3 2 2
14
3
4
3 2
2
1
4 3
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2
2
1
3
14
0
3
1
1
3
1
3
1
10
2
1
1
1
2
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2
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1
2
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2
1
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x
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1 1 1 1 1 1
1 1 1
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2
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1 1
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limite
acotar
lim
En este la funcion es f x
x x x x
D
N x D x f x N
x sea x x x x
x que es la condicion
x
f x
x x x x
como ya ha aparecido x ahora toca x
tenemos x x x y x x porque x
x x x x x
Para que f x
x x sea a N basta con que se cumpla x N x N
x x
N que es la condicion luego la solucion es Min N
Respuesta
Ejercicio n
Demostrar por definicion que
x x
a
a
6
1
2 3
1 3 2
0 0 2
2 1 3 2 1 2 3 1 2 0 1 0 2 1
0 2 1 1 1
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1
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1 2 1 3 6 6
1
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. . . . . . . . . .
lim
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lim
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lim lim lim
lim
lim lim lim
lim
lim
lim
lim
Indeterminacion
I x
x
I x
x
x
x x
x
x x x
x x
I x
x aplicando l Hopital
I x
x x
I
x
x x
I
x
x x
x x
x x
x
x
I
x
x x
aplicando l Hopital
I
x
x x
x
x
I x aplicando l Hopital
I x
I
x
x
F I
I
x
x
x x
x
x x x
x
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo
Metodo Factorizando
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
F I
F I
F I
F I
F I
Calcula I x
x
Calcula I
x
x x
Calcula I x
Calcula I
x
x
e e e e
e e e e e
e e
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0
0
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0
0
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1
4
4 4 256
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0
0
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1
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1
1 1
1
1 1 1
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1
2
1
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H
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x
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x
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2
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2
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4
4
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1
A
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lim lim lim
lim lim lim
minimo comun
lim lim lim lim lim
lim
minimo comun
lim lim lim lim
lim
lim
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I
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x
x x x
x
x x
I x
x
x x x x x x
I x
x
x x x
x
x x
I x
x x
x
sacamos el multiplo de indices de las raices m c m
asi que el cambio de variable es t x
t t
x
luego I queda de la seguiente forma
I x
x
t
t
t
t
t t t
t
t t
I
x x
x x
para esta clase de ejercicios lo es sacar multiplo de l s indices raices
m c m cambio sera de t x
x x t t
x t
I
x x
x x
x x
x x
t t
t t
t t
t t
I
t
t t
Metodo aplicando l Hopital
Metodo aplicando conjugado
Metodo aplicando
Metodo aplicando L Hopital
Metodo Haciendo cambio de variable
Haciendo cambio de variable
t t t t t t es positivo
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
a b a b a ab b
a a a a existe Ssi
a si n par
a si n impar
n
Respuesta
Calcula I x
x
Calcula I
x x
x x
F I
F I
Recuerda a
1
1
2
2
1
4
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1 1
1
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1
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0
0
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1
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x
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3 3
3
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3 3
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2
3 3
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2
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3
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2
3
2
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6
6
2
3
2
3 6 6
3
6 6
2 6
3
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6
3
6
3
3 2 2 2
2
3 3 2 2
1
3
2
3
2
1 1 1
1 1 1 1
1
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I x x
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x x sen x
I x x
senx x
x
senx
x
x
I senx
I x
I senx senx x
x
senx
x
x
sacamos el multiplo de indices de las raices m c m
asi que el cambio de variable es t x
t t
x
I
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x
t
t
t
t
t t
t t t
t
t t
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x
x x
x
x x
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x x x x x
n
Respuesta
n
Respuesta
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n
Respuesta
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Metodo aplicando L Hopital
Metodo
Metodo aplicando L Hopital
Metodo
Metodo Haciendo cambio de variable es muy parecido al ejercicio
Metodo aplicando
Calcula I x x
senx x
Calcula I senx
Calcula I
x
x
I
x
x
F I
F I
F I
Recuerda
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e e e e e
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1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
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1 1
1 1
1 1
x x
x x
x x
x x x x x
x
x x
x
x x
x
x
x x x
x t t t
t
x
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x
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3 3
2
2 2 2 2 2 2 2
3 3 2 2
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lim lim lim
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lim lim lim
lim
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lim
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I
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x x
I
x
x
sacamos el multiplo de indices de las raices m c m
luego el cambio de variable es t x
t t
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t t
t t t
t t t
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sen ax
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sen ax
ax
sen ax
bx
ax
ax
sen ax
b
a
b
a
Haciendo cambio de variable es muy parecido al anterior
Metodo aplicando el conjugado
Metodo Factorizando
Metodo aplicando l Hopital
Metodo aplicando l Hopital
Metodo
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
x
x
Calcula I x a
x a
siendo a
Calcula I bx
sen ax
F I
F I
F I
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1 1
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x x x
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hagamos la tabla para saber cual es el campo de existencia de x x
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x x existe Ssi x luedo D
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no existe porque f x
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no esta definida en
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Respuesta
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Respuesta
Ejercicio
Ejercicio
Calcula I
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Calcula I
x x
x x
F I
F I
Recuerda a a
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Indeterminacion
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Si k Impar I
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Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
F I
F I
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Respuesta si x x x si x x x
n
Respuesta
n
Respuesta
a
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Calcula I x
x x
Calcula I
a x b x c x
ax bx cx
alcula I x
Lnx
Recuerda
recordad
Metodo
Metodo cambio de variable
Metodo aplicando l Hopital
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I
x x x x
x x
el paso es convertir el en un solo para ello utilizaremos su conjugado
I
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x x
I
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x x
x x x x
x x x x
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Metodo
Metodo aplicando L Hopital
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I
x x x x
x x
Calcula I
x
Ln x
F I
F I
1
1
1
1
1 1
1
1
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2
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lim
lim lim lim
lim
lim
lim
lim
lim cos
lim
Indeterminacion
I
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el de mayor base
El paso es dividir por
I
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a a
a a a
a
b
a
a a
a
b
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I x senx
I como x
x senx
apliquemos la regla de l Hopital
x
x senx senx x
por ultimo
I e e
I x
x
x
I x e
e
I x x x e
e
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Metodo
Metodo
n
Respuesta
I
si x si a I
si a I
si x si a I
si a I
I f x I
n
Respuesta
n
Respuesta
f x
e
Calcula I
a
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Calcula I x senx
Calcula I x
x
Recordad
Recordad
Recordad
F I
F I
F I
F I
a
0
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1
1
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1
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1
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1
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1
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1
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x
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x
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x x
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x
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a la forma o y luego utilizar l Hopital
una de esta forma es pasarla
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x
tan
x
x
tan
x
Aplicando l Hopital
sen
x
x
x
sen
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luego I e
Metodo
Metodo
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
I f x I
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n
Respuesta
Calcula I x
x
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x
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lim
lim
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x
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x
sen
x
luego I e
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I x
Calcula I x
F I
F I
F I
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1 2
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x
tanx
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tanx
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x
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x
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Indeterminacion
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senx Ln x
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x sen x
x
tanx
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senx
luego I e
I senx
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luego I e
I e
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luego I e
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
I f x I
n
Respuesta
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I x
Calcula I senx
Calcula I e
F I
F I
F I
F I
F I
Recordad
0
1
1 1
0
1
1
1
1
1
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1
1 1
1
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senx
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Ln x
Lnx
Ln Ln x
x
x
x
x
x
x
luego I e
I x sen x
si x x y sen x no admite ningun x lo unico que sabemos
es que esta sen x en conclusion x sen x
por ultimo x sen x
J x sen x J
x
sen x
haciendo cambio variable a x a
x x
J
x
sen x
a
sen a
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
Calcula I x
Calcula I x sen x J x sen x
F I
F I
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0
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2
2
1
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1
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x
Lnx
Lnx Ln x
x x x
x x x
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lim lim
lim lim
funciones polinomicas f x a x b x c x x
son continuas en todo
funciones racionales f x
g x
h x
son continuas en excepto el los que anulan g x
funciones f x a a puede haber complicaciones
a son continuas en
funciones x son continuas en todos los reales positivos
funciones irracionales x si
n par es continua en los reales positivos
n impar es continua en todo los reales
funciones trigonometricas
sen x continua en todo los n reales
x continua en todo los n reales
x no es continua k con k
x no es continua k con k
la mayoria de las funciones que se dan para su estudio son combinaciones de las anteriores
por ese motivo es mejor recordad de la continuidad de las anteriores funciones
f x
senx si x
x si x
x si x
f x es continua en x Ssi f x f x f
f nos encontramos en la ecuacion f sen
x nos encontramos en la ecuacion f x senx
x nos encontramos en la ecuacion f x x
como f x f x f f x es continua en x
f x es continua en x Ssi f x f x f
f nos encontramos en la ecuacion f
x nos encontramos en la ecuacion f x x
x nos encontramos en la ecuacion f x x
como f x f x f f x es continua en x
Ejercicio n
Respuesta
Continuidad en x
Continuidad en x
Se considera la funcion f x x si x
x si x
senx si x
estudiar en los puntos y la continuidad de f x
Recuerda
CONTINUIDAD
0
0
2
0
1 0
2 1 1
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0
1 1
1 1 2 1 1 1
1 1
1 2 1 1
1 1 1
1
2
3
1
1
2
3
2
3
3
0
1
2 1 1
1 0
0
0 1
R
R
R.
Z
Z
n n n
x
n
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
1 2
2
0 0
0 0
0 0
2
0 0
1 1
1 1
2
1 1
1 1
2
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U
U
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1 1
1 1
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#
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r
r
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- - - - - - - - - -
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- -
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g
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lim lim
lim lim lim lim
lim lim
dominio
unicos
evaluan los limites
lim lim lim lim
lim lim
lim lim lim lim
lim lim
en los ejercicios donde aparece el valor absoluto lo es quitarlo
x x si x
x si x
ecuacion que x
pero se observa en la
x x si x
x si x
luego la f queda de la seguiente forma f x
x
x
si x
x
x
si x
si x
x si x a
x si x b
si x c
sabemos que una funcion cte y una funcion lineal son continuas en todo y como f es el cociente
de dos funciones continuas en f es continua en
asi que nos queda por estudiar la continuidad en x
f x es continua en x Ssi f x f x f
f f x x f x x
Como f x f x f f no es continua en x
por ultimo f es continua en
las funciones a x sen x b y x son continuas en todo su
luego los puntos de posible discontinuidad es el salto entre las funciones
para comprobar si la funcion es continua en dichos puntos se laterales
y la funcion en los puntos
f a a f x sen x b senb f x a x a
para que f sea continua en x f f x f x a senb
f f x sen x b sen b senb f x x
para que f sea continua en x f f x f x senb
en conclucion senb
a senb
a senb sen
b k
b k
b k
b k
b k con k
continuidad en x
continuidad en x
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
f x
si x
x
x
si x
Estudia la continuidad de f
f x
x si x
sen x b si x
a x si x
Halla el valor de a y b para que f sea continua en
2
1
1
1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1
1
1
1
1
1
2 1
1
1
1
1
1
1
2 1
1
1
1 1
1 2 1
1
2
1
1
1
2
1
1 1
1 1
1
0 0 1 1
0 0
1 1
1
1 1 1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
0
44
4
2 1
1
1
1
0
1 0
R
R R
R
Z
R
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
x x x x
x x
2
2
1 1
1 1 1 1
1 1
2
2
0 0 0 0
2
0 0
2
2
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1
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r
r
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r r
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+ + - -
+ -
+ + - -
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- - + +
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lim lim
lim lim lim lim
lim lim
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lim
cos
lim
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lim lim
cos
lim
lim
lim lim
lim lim
lim lim lim
lim
f x b si x
x
tan x
si x
f continua en x f x f
f x
x
tan x
x
tan x
x
tan x
x
tan x
x
tan x
x
tan x
x
x
sen x
x x
sen x
x
sen x
x
x
sen x
x f x f b
luego para que f sea continua b debe valer
para que la funcion sea continua en x f x f
f x
x
e e x
aplicando l Hopital
x
e e x
x
e ae x a
x
e ae x e a e e e
f b
f x f b b
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
a a asi poder seguir aplicando Hopital
f x b si x
x
tan x
si x
halla el valor de b para que f sea continua en x
f x b si x
x
e e x
si x
halla los valores de a y b para que f sea continua en x
F I
0
0
0 0
1
1
1 1 1 0
0 0
0
0
2
2
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2
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2
2
2
1 0 2
0 2 1 2
1
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1 0 1
0
0
0
2 0
0
0
x
x x
x x x x
x x x x
x x x
x
x x
x ax
x
x ax
x
x ax
x
x ax
x
x ax
x
x x
x
H
H a
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0
0 0
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2
0
2
2
0
2
2 2
2
0
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2
2
0
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0 0 0 0
0 0 0
2
2
0
0 0
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2
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0
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1
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r r
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h
h
h
g
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h
g
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g
m
h
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34

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cos
lim lim lim lim
lim lim
lim lim lim
lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
lim lim lim
f x x si x
x si x
senx si x
f x si x
x si x
x si x
Antes de ver si la funcion es derivable en x y x
debemos ver antes si es continua en estos puntos
f sen f x sen x f x x
como f x f x f f es continua en x
f f x x f x
como f x f x f f es continua en x
En conclusion f es continua en y ahora si podemos ver si son derivables
x
f x f
x
senx sen
x
senx
x
f x f
x
x sen
x
x
luego la funcion no es derivable en x por no coincidir ambas derivadas
x
f x f
x
x
x
x
f x f
x
x
x
x
luego la funcion es derivable en x por coincidir ambas derivadas
f f f f no es derivable en x
f f f f es derivable en x
Ejercicio
utilizando la definicion f
utilizando f
n
Respuesta
derivabilidad en x
derivabilidad en x
f x x si x
x si x
senx si x
Estudiar la derivabilidad de f en x y x
derivada por la derecha
derivada por la Izquierda
derivada por la derecha
derivada por la Izquierda
es como si fuera a ver si es continua en esos puntos
2 1 1
1 0
0
2 1
2 1 0
0
0 1
0 0 0 0 0
0 0 0
1 2 1 1 1 1 1
1 1 1
0 1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1 2
1
1
1
2 1 1
1
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2
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0 1 0 1 0 0 0
1 2 1 2 1 2 1
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0
1
2 1 1
1 0
0
0 1
x x x x
x x
x x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
2
0 0 0 0
2
0 0
1 1
2
1
1 1
0 0 0
0 0
2
0
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1 1
2
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1 1 1
2
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lim lim
lim lim
lim lim
lim lim
lim lim lim
lim lim lim lim
lim lim lim lim
lim lim
lim lim lim lim
f x
x
Ln x
si x
x bx c si x
para que f sea derivable en x antes tiene que ser continua en x
f c f x x
Ln x
aplicando l Hopital
x
x
f x x bx c c
Por ultimo f es continua en x Ssi f f x f x c
x
f x f
x
x
Ln x
x
Ln x x
aplicar l Hopital
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f x f
x
x bx
x
x bx
x b b
luego para que f sea derivable en x
c
b
primer paso es hacer desaparecer el valor absoluto la funcion queda asi
f x
x
x
x x si x
x
x
x x si x
si x
es continua en x Ssi f f x f x
f f x x f x x luego f es continua en
f x y
x y x y si y
x y x y si y
x y si y
x y si y
x y y si y
x y y si y
f x y x y y f y
por ultimo f x x x
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
Continuidad en x
Derivabilidad en x
n
Respuesta
funcion reciproca f de f
f x
x
Ln x
si x
x bx c si x
halla b y c para que f sea derivable en x
sea la funcion f x si x
x
x
x si x
es continua en x
Halla la funcion reciproca f
1
0
0
0 0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0 0 1
0
0
1
1 1
0
0
2
1
1
1
2
1
1 1
2
1
2 1
1
2
1
0
0 1 1
0
1
2
1
0
0
0 0
0 0
0 0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
49
0
0
50
1
0
0
0
0 0
0
0
x x
x x
x x
x x
x x x
x x x x
x x x x
x x
x x x x
2
0 0
0 0
0 0
2
0 0
0 0 0
2
0 0 0 0
0 0
2
0
2
0
0 0
0 0 0 0
2
2
2
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1
1
2
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cos cos
ln
cos
cos
tan
cos
ln ln
ln ln
ln
f x
ax bx c
ax bx c
ax bx c ax bx c
ax b
ax bx c
ax b
f x x x x x x x x x x x x f x x x
f x tan a f x
a
a
a
a a
f x Ln x f x x Ln x f x Ln x x x Ln x
y tan x y
y sen x Ln tan x
y tan x sen x x Ln tan x sen x
tan x x
y tan x sen x Ln tan x tan x
tan x
y tan x Ln tan x tan x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta y f x y
n f x
f x
y Ln f x y
f x
f x
n
Respuesta y f x y n f x f x
n
Respuesta a a f x Ln a y f x y
f x
f x
n
Respuesta f x g x f x g x f x g x
cuidado en confundir
f x f x
f x f x
n
Respuesta a e y a y a f x a
Calcula f x siendo f x Ln ax bx c
Calcula f x siendo f x x x x
Calcula f x siendo f x tan a
Calcula f x siendo f x Ln x
Calcula f x siendo f x tan x
Recuerda
Recuerda
Recuerda
Recuerda
Recuerda
1 1
2
2
2
2
2
3
2
3
1 1
1
1
2
1 1
2 1
51
1
52
5
5
5
.
.
x
x
x
x
x
x
sen x
sen x Ln tan x
sen x Ln tg x
sen x
sen x
sen x sen x
n
n
n
n n
f x f x
g x g x
g x g x
Lna f x f x
x
x
sen x
Ln tan x
2
2
2 2 2
3 3
1
2
1 3
1
3
1
6
1
1 3
1
6
1
2
3
2
3
1
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2
2
2
2
2
1
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2
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cos cos cos cos
cos
cos
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X
X X
X
X X
y x y x y
y x x Ln x x
y x
y x Ln x Ln x x senx
y x Ln x x x senx
y x Ln x x senx
y x
y x x x
y x x x
y x x x
y x x
se puede deducir de una forma generalizada que y n x
para estar seguros debemos comprobar y
y n n x n x
lo que demuestra que la formula esta bien generalizada
z x
z x x x
z x x x
z x x x
z x x
se puede deducir de una forma generalizada que z n x
se demuestra de la misma forma que la anterior
se observa que w y z w y z asi que
w n x n x n x x
w n
x x
n
x
x x
x x Ln x
x x Ln x x Ln x
x Ln x
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta
n
Respuesta
x x Ln x
x x Ln x x senx Ln x x
x
senx
x senx Ln x senx
Calcula f x siendo f x x
Halla la derivada n esima de y x z x w
x
1
1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 2 1
2 3 1 1 2 3 1 3 1
24 1 1 2 3 4 1
1 1
1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1
1 2 1 1 2 1 1 2 1
2 3 1 1 2 3 1 1 2 3 1
24 1 1 2 3 4 1
1 1
1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
2
5
5
1
1
1
1
1
2
.
. .
. .
.
.
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cos cos cos
cos cos
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cos
cos cos
cos cos
cos cos
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x x x x
Ln x x x Ln x
x x Ln x
x x
x x
x x x x senx
x x x x senx
x x x x senx
n n n
n
n n n n n
n n n
n n n
n n n n n n n n
n n
n n
n
n
n n
x x
1
1 1 1 1 1 2
1 2 2 1 2 3
4 3 1 3 4
5 4 1 4
1
1
1 2 1 2
1
1 1 1 1 1 2
1 2 2 1 2 2 3
4 3 1 3 3 4
5 4 1 4
1
1 1 1 1
1 1 2 1
1 1
2
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x x
e e
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A
A
A
A
A
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+
-
-
= -
-
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= - + -
- -
=
= + = - =
-
-
- - - - - - - - - -
-
-
-
-
- - - - -
- - - - -
- - - -
- - -
- +
+
+ - - + - -
-
- - - - -
- - - - -
- - - -
- - -
- +
- - - - - - - -
+ + +
+ +
l
l
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tanto lim
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lim lim
lim
lim
lim
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sea f x l y f x l
f x l x a f x l A
f x l x a f x l B
ahora l l l f x f x l
luego l l l f x f x l l f x f x l f x l f x l
y como sabemos que f x l y f x l
l l f x l f x l l l y por definicion
lo que l l l l l l l l
En conclusion el es unico siempre hay una sola solucion
x
sen x
Sea f x sen x
f x x
f sen
y f
f x
f x f
x
sen x
x
sen x
x
sen x
x
f x f
f
Por lo queda demostrado que x
sen x
x
x
Sea f x x
f x sen x
f
y f
f x
f x f
x
x
x
x
x
x
x
f x f
f
Por lo queda demostrado que x
x
Ejercicio
Ejercicio
Ejercicio
n
Respuesta a b a b a a
n
Respuesta
Definicion de la derivada f a
h
f a h f a
x a
f x f a
para su demostracion solamente hay que hacer cambio de variable x a h
n
Respuesta
Demostrar que si existe f x es unico
Demostrar que x
sen x
Demostrar que x
x
Recordad
Recordad
0 0
0 0
2 2
1
0
2
1
0 0 0
1
0 0 0
0 1
0
0
0
0
0
0
0
0 0 1
1
1
0
0 0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
58
5
0
1
1
x a x a
x a
x a
x
x x
x
x
x x
x
h x a
x a
x
x
1 2
1 1
2 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
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