Integral parsial substitusi khusus dan trigonometri

1. TEKNIK PENGINTEGRALAN
A. Substitusi
B. “Khusus”
C. Integral Parsial
D. Substitusi Trigonometri
Materi yang harus dikuasai sebelumnya:
1. Integral Tak Tentu
2. Sifat-Sifat Integral Tak Tentu
3. Derivatif Fungsi Trigonometri
4. Derivatif Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma

2. !"#$%&'()*+"%,!)#&!%-"-.$#&!
Rumus-Rumus :
!sin 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
−1
𝑎
. cos 𝑎𝑥 + 𝑐
1)
!cos 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑎
. sin 𝑎𝑥 + 𝑐
2)
!sec! 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑎
. tan 𝑎𝑥 + 𝑐
3)
!csc! 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
−1
𝑎
. cot 𝑎𝑥 + 𝑐
4)
!sec 𝑎𝑥 tan 𝑎 𝑥𝑑𝑥 =
1
𝑎
. sec 𝑎𝑥 + 𝑐
5)
!csc 𝑎𝑥 cot 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
−1
𝑎
. csc 𝑎𝑥 + 𝑐
6)
7a) !tan 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
−1
𝑎
. ln(cos 𝑎𝑥) + 𝑐
7b) !tan 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑎
. ln(sec 𝑎𝑥) + 𝑐
8) !cot 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑎
. ln(sin 𝑎𝑥) + 𝑐
9) !sec 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑎
. ln(sec 𝑎𝑥 + tan 𝑎𝑥) + 𝑐
10) !csc 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝑎
. ln(csc 𝑎𝑥 − cot 𝑎𝑥) + 𝑐

3. Sebelum melanjutkan ke slide berikutnya,
sebaiknya kamu berkonsentrasi penuh yaaa
J J J
GENTLE
WARNING !!!
Fasten your seatbelt …
the road will be a little bit rough
J J J

4. C. Teknik Pengintegralan Parsial
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
Contoh 1. ! 3𝑥 . sin 2𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3
𝑣 = ! sin 2𝑥 𝑑𝑥
3𝑥 . −
1
2
cos 2𝑥
𝑢 = 3𝑥
− ! −
1
2
cos 2𝑥 . 3𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 3 𝑑𝑥
𝑣 = −
1
2
cos 2𝑥 = −
3
2
𝑥. cos 2𝑥 + !
3
2
cos 2𝑥 𝑑𝑥
= −
3
2
𝑥. cos 2𝑥 +
3
4
sin 2𝑥 + 𝑐

5. Contoh 2. !(2𝑥 − 3) . cos(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥 =
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2
𝑣 = ! cos(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥
(2𝑥 − 3) .
1
4
sin(4𝑥 + 1)
𝑢 = 2𝑥 − 3
− !
1
4
sin(4𝑥 + 1) . 2𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 𝑣 =
1
4
sin(4𝑥 + 1)
= 2𝑥 − 3 .
1
4
sin 4𝑥 + 1 − !
1
2
sin(4𝑥 + 1) 𝑑𝑥
= 2𝑥 − 3 .
!
"
sin 4𝑥 + 1 +
!
#
cos(4𝑥 + 1) + 𝑐

6. Contoh 3. ! 5𝑥$ . cos 3𝑥 𝑑𝑥 =
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 10𝑥
𝑣 = ! cos 3𝑥 𝑑𝑥
5𝑥$.
1
3
sin 3𝑥
𝑢 = 5𝑥$
− !
1
3
sin 3𝑥 . 10𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 10𝑥 𝑑𝑥 𝑣 =
1
3
sin 3𝑥
=
5
3
𝑥$. sin 3𝑥 − !
10
3
𝑥 . sin 3𝑥 𝑑𝑥
Masih berbentuk integral parsial
Sehingga harus dilakukan kembali cara integral parsial
Kita lanjutkan ke slide berikutnya J J
( * )

7. ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
!
10
3
𝑥 . sin 3𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
10
3
𝑣 = ! sin 3𝑥 𝑑𝑥
10
3
𝑥 . −
1
3
cos 3𝑥
𝑢 =
10
3
𝑥
− ! −
1
3
cos 3𝑥 .
10
3
𝑑𝑥
𝑑𝑢 =
10
3
𝑑𝑥
𝑣 = −
1
3
cos 3𝑥
= −
10
9
𝑥. cos 3𝑥 + !
10
9
cos 3𝑥 𝑑𝑥
= −
10
9
𝑥. cos 3𝑥 +
10
27
sin 3𝑥
!
10
3
𝑥 . sin 3𝑥 𝑑𝑥 = −
10
9
𝑥. cos 3𝑥 +
10
27
sin 3𝑥 ( ** )

8. ! 5𝑥$ . cos 3𝑥 𝑑𝑥 =
5
4
𝑥$. sin 3𝑥 − !
10
3
𝑥 . sin 3𝑥 𝑑𝑥 ( * )
!
10
3
𝑥 . sin 3𝑥 𝑑𝑥 = −
10
9
𝑥. cos 3𝑥 +
10
27
sin 3𝑥 ( ** )
Jika kita substitusikan persamaan ( ** ) ke persamaan ( * ), maka diperoleh
! 5𝑥$ . cos 3𝑥 𝑑𝑥 =
5
4
𝑥$. sin 3𝑥 − −
10
9
𝑥. cos 3𝑥 +
10
27
sin 3𝑥
=
5
4
𝑥$. sin 3𝑥 +
10
9
𝑥. cos 3𝑥 −
10
27
sin 3𝑥

9. Contoh 4. ! 15𝑥$ . 2𝑥 + 3𝑑𝑥 =
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 30𝑥
𝑣 = ! 2𝑥 + 3 𝑑𝑥
15𝑥$.
1
3
(2𝑥 + 3)
%
$
𝑢 = 15𝑥$
− !
1
3
(2𝑥 + 3)
%
$. 30𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 30𝑥 𝑑𝑥
𝑣 =
!
%
(2𝑥 + 3)
!
"
= 5𝑥$. (2𝑥 + 3)
%
$− ! 10𝑥 . (2𝑥 + 3)
%
$𝑑𝑥
Masih berbentuk integral parsial
Sehingga harus dilakukan kembali cara integral parsial
Kita lanjutkan ke slide berikutnya J J
( * )
𝑤 = 2𝑥 + 3
𝑑𝑤
𝑑𝑥
= 2
1
2
𝑑𝑤 = 𝑑𝑥
𝑣 = ! 𝑤
"
! .
1
2
𝑑𝑤

10. ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢
! 10𝑥 . (2𝑥 + 3)
%
$𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 10
𝑣 = !(2𝑥 + 3)
#
! 𝑑𝑥
10𝑥 .
!
.
(2𝑥 + 3)
#
"
𝑢 = 10𝑥
− !
1
5
(2𝑥 + 3)
.
$. 10𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 10 𝑑𝑥
𝑣 =
1
5
(2𝑥 + 3)
.
$
= 2𝑥. (2𝑥 + 3)
.
$ − ! 2. (2𝑥 + 3)
.
$ 𝑑𝑥
𝑤 = 2𝑥 + 3
𝑑𝑤
𝑑𝑥
= 2
1
2
𝑑𝑤 = 𝑑𝑥
𝑣 = ! 𝑤
#
!.
1
2
𝑑𝑤
𝑤 = 2𝑥 + 3
𝑑𝑤
𝑑𝑥
= 2
1
2
𝑑𝑤 = 𝑑𝑥
=
2
7
(2𝑥 + 3)
/
$
= ! 2. 𝑤
$
!.
1
2
𝑑𝑤

11. ! 10𝑥 . (2𝑥 + 3)
#
! 𝑑𝑥 = ( ** )
2𝑥. (2𝑥 + 3)
.
$ −
2
7
(2𝑥 + 3)
/
$
Jika kita substitusikan persamaan ( ** ) ke persamaan ( * ), maka diperoleh
Di slide 8, kita mendapatkan persamaan ( * ), yaitu
∫ 15𝑥$ . 2𝑥 + 3𝑑𝑥 = 5𝑥$. (2𝑥 + 3)
!
" − ∫ 10𝑥 . (2𝑥 + 3)
!
"𝑑𝑥
! 15𝑥$ . 2𝑥 + 3𝑑𝑥 = 5𝑥$. (2𝑥 + 3)
%
$ − 2𝑥. (2𝑥 + 3)
.
$ −
2
7
(2𝑥 + 3)
/
$
= 5𝑥$. (2𝑥 + 3)
%
$ − 2𝑥. 2𝑥 + 3
.
$ +
2
7
(2𝑥 + 3)
/
$

12. LATIHAN
! 4𝑥 . 𝑠𝑒𝑐$ 3𝑥 𝑑𝑥
! 10𝑥$ . sin 5𝑥 𝑑𝑥
1)
2)