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1. Definición de geometría
La geometría (Geo tierray metria medida) es una parte de la matemática que se encargade estudiar las propiedades
y las medidas de una figura geometrica en un plano o en un espacio. Para representar distintos aspectosde la
realidad, la geometría apela a los denominados sistemas formaleso axiomáticos (compuestospor símbolosque se
unen respetando reglas y que forman cadenas, las cuales también pueden vincularse entre sí) y a nociones como
rectas, curvasy puntos, entre otras.
Aplicación de la geometría
Es la base teóricade la geometríadescriptivao del dibujo técnico, también da fundamento a instrumentos como el
compás, el teodolito, elpantógrafo o el sistema de posicionamiento global
Antecedentes históricos
La geometría (Del griego : γεωμετρία : geo = Tierra, Metria = medida). Se plantea como el ámbito de los conocimientos
relativos a las relaciones espaciales. La geometría fue unos de los dos campos antecedentes a la moderna matemática, el
otro campo es el estudio de los números.
Los antecedentes de la geometría clásica se centraron en la orientación y en la correcta construcción de edificios. Ahora
en los tiempos modernos, los conceptos geométricos se han generalizado con un alto nivel de abstracción y complejidad,
y han sido sometidos a los métodos de cálculo y álgebra abstracta, de modo que muchas modernas ramas son apenas
reconocibles como las descendientes de los principios de la geometría.
ANTECEDENTES HISTÓRICOS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA
Los primeros grabados sobre la geometría se remontan a la época de los cavernícolas, cuando se descubrió obtusos
triángulos en el antiguo Valle del Indo (Harappan), y en la antigua Babilonia alrededor del 3000 AC.

2. Los principios de la geometría eran una colección de principios empíricamente descubiertos en relación con las
longitudes, ángulos, áreas, y volúmenes, y que fueron desarrollados para satisfacer algunas necesidades en la
agrimensura, la construcción, la astronomía, y diversas artesanías. Entre estos principios, destacan algunos
sorprendentemente sofisticados, que para la matemática moderna o para un matemático le pueden resultar difícil de
obtener algunos de ellos sin el uso del cálculo moderno. Por ejemplo, tanto los egipcios como los babilonios eran
conscientes de las versiones del teorema de Pitágoras aproximadamente 1500 años antes que Pitágoras; los egipcios
tenían una fórmula correcta para el volumen de un tronco de una pirámide cuadrada; los babilonios disponían de tablas
de trigonometría.
GEOMETRÍA EGIPCIA
Los antiguos egipcios conocían la forma de aproximarse al área de un círculo de la siguiente manera:
Área del círculo = [ (Diámetro) x 8/9 ]2
El problema nº 50 del papiro de Ahmes utiliza este método para obtener la superficie de un círculo de acuerdo con la
norma de que el área es igual al cuadrado de 8 / 9 del diámetro del círculo. Esto supone que π es de 4 × (8 / 9) ²
(3.160493 …), con un error de poco más de 0,63 por ciento.
Este valor es ligeramente menos preciso que los cálculos de los babilonios (25 / 8 = 3,125, con un error del 0,53 por
ciento), pero no fue superado hasta la llegada de Arquímedes cuya aproximación fue de 211875/67441 = 3,14163, donde
había un error de poco más de 1 entre 10000 ).
En el problema 48 se usaba un cuadrado de lado de 9 unidades. Esta pieza fue cortada en forma de cuadrícula de 3×3. Los
cuadrados de las diagonales fueron utilizados para hacer un octógono irregular con una superficie de 63 unidades. Esto
dio un segundo valor de π de 3,111 …
Los dos problemas juntos indicaron un rango de valores de Pi entre 3.11 y 3.16.
El problema 14 del Papiro de Moscú muestra un único ejemplo antiguo al encontrar el volumen de un tronco de una
pirámide, describiendo la fórmula correcta:
V = 1/3 * h(X12 + X1*X2 + X22)
GEOMETRÍA BABILONIA
Los babilonios conocían las normas generales para la medición de áreas y volúmenes. Se medía la circunferencia de un
círculo como tres veces el diámetro lo que sería correcto si π fuese estimado como valor 3. El volumen de un cilindro se
tomó como el producto de la base y la altura, sin embargo, el volumen del tronco de un cono o una pirámide cuadrada
fue tomada incorrectamente como el producto de la altura y la mitad de la suma de las bases.

3. El teorema de Pitágoras era también conocido por los babilonios. Los babilonios también son conocidos por la milla
babilónica, que fue una medida de distancia igual a siete millas actuales.
GEOMETRÍA INDIA
Periodo Harappan:
Las primeras pruebas y antecedentes de la utilización de las matemáticas en el sur de Asia se encuentra en los artefactos
de la civilización del Valle Indus , también llamada Harappan , durante el 3er milenio aC. Las excavaciones en Harapa,
Mohenjo-Daro (en la actual Pakistán), Lothal (en la actual India) y otros lugares a lo largo del valle del río Indus han
descubierto pruebas de la utilización de las matemáticas. Estos pueblos fabricaban ladrillos cuyas dimensiones eran de la
proporción 4:2:1, considerado favorable para la estabilidad de una estructura de ladrillo. Utilizaron un sistema normalizado
de pesos sobre la base de los ratios: 1 / 20, 1 / 10, 1 / 5, 1 / 2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, y 500, con la unidad peso que
tiene aproximadamente 28 gramos.
Período Védico:
Los manuscritos Vedas durante el período historico védico (finales del 2 milenio y comienzos del primer milenio aC), en su
mayoría contienen menciones de los números relacionados con los rituales, entre ellos potencias de 10. Con una gra n
influencia de Mesopotamia en la forma del sistema sexagesimal.
El Satapatha Brahmana (9 º siglo aC) contiene normas para el ritual de las construcciones geométricas que son similares a
las Sulba Sutras.
El Śulba sutras (literalmente, “aforismos de los acordes” en sánscrito védico) (c. 700-400 aC) contiene una lista de las reglas
para la construcción de altares de sacrificio de fuego. Los altares estaban obligados a ser de cinco capas de ladrillo
quemado, con la condición adicional de que cada capa fuera de 200 ladrillos.
Según (Hayashi 2005, p. 363), el Śulba sutras contenía el teorema de Pitágoras explicado de forma breve, a pesar de que
ya se había conocido en el Viejo pueblo babilonio.
Período clásico:
En los manuscritos Bakhshali , hay un puñado de problemas geométricos acerca de los volúmenes de sólidos irregulares).
El manuscrito también emplea a un valor decimal con un sistema de valor o de número cero.
Dentro de la Aryabhata se incluyen el cálculo de áreas y volúmenes.
Brahmagupta escribió su trabajo astronómico Brahma Sphuṭa Siddhanta en el 628 cuyo capítulo 12 contiene 66 versos del
sánscrito, este tratado se dividió en dos secciones: “Operaciones básicas” (incluidas las raíces cubo, fracciones, y el índice
de proporción, y el trueque) y “prácticas de matemáticas” (incluidas series matemáticas, figuras planas, apilar ladrillos,
aserrado de la madera, y la acumulación de grano). En este último punto, manifestó su famoso teorema sobre las
diagonales de un cuadrilátero cíclico.

4. Teorema de Brahmagupta: Si un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales son perpendiculares, entonces la línea trazada
perpendicular desde el punto de intersección de las diagonales a cualquier lado del cuadrilátero siempre cortará el lado
opuesto.
GEOMETRÍA CHINA
Las primeras matemáticas simples, antecedentes de las matematicas que aparecen en China pertenecen a los registros de
la adivinación de la dinastía Shang (año 1600 -1050 antes de Cristo), sin embargo, el primer trabajo definitivo (o al menos
más antiguo existente) sobre la geometría en China fue el Mo Jing, perteneciente a los primeros escritos del filósofo Mozi
(470 aC-390 aC). Se compiló años más tarde después de su muerte por sus seguidores alrededor del año 330 aC.
A pesar de que el Mo Jing es el libro más antiguo existente de la geometría en China, existe la posibilidad de que incluso
exista material aún más antiguo. Sin embargo, debido a la infame quema de los libros durante la gobernante dinastía
Qin (año 210 aC), multitudes de libros desaparecieron. Además, el Mo Jing presenta conceptos geométricos en
matemáticas que son tal vez demasiado avanzados y no ha tenido un antecedente conocido al respecto.
El Mo Jing describe diversos aspectos sobre muchos campos relacionados con la ciencia y la física y proporcionó un
pequeño cúmulo de información sobre las matemáticas. Al igual que Euclides, el Mo Jing dijo que “un punto puede estar
en la final de una línea, o en su inicio”. Al igual que las teorías de Demócrito s, el Mo Jing dijo que un punto es la unidad
más pequeña, y no puede ser reducido a la mitad, ya que ‘nada’ no puede ser reducido a la mitad. Declaró que dos líneas
de igual longitud siempre terminan en el mismo lugar, la vez que proporciona definiciones para la comparación de las
longitudes y los paralelos, junto con los principios de espacio y limites espaciales.
Los nueve capítulos del arte matemático:
Los nueve capítulos sobre el Arte de las Matemáticas, es el título con el que apareció por primera vez por el año 179 dC en
una inscripción de bronce, que fue editado y comentado por el matemático Liu Hui del Reino de Cao Wei. Este libro
incluye muchos de los problemas que la geometría aplicaba a campos como la búsqueda de superficies para cuadrados y
círculos, los volúmenes de los sólidos en tres dimensiones, e incluyó el uso del teorema de Pitágoras. El libro ilustra un
diálogo entre el anterior duque de Zhou y Shang Gao sobre las propiedades del ángulo recto de los triángulos, el teorema
de Pitágoras, así como las mediciones entre. Estableció como valor al número Pi 3,1555 utilizando 142/45. Liu Hui escribió
también el estudio matemático para calcular la distancia entre las mediciones de profundidad, altura, anchura y superficie.
GEOMETRÍA CLÁSICA GRIEGA
Para los antiguos matemáticos griegos, la geometría era la joya de la corona de sus ciencias, llegando a una exhaustividad
y una perfección de metodología que ninguna otra rama de su conocimiento había antes alcanzado. Se amplió la rama de
la geometría a muchos nuevos tipos de cálculos, curvas, superficies, y sólidos, que cambió su metodología de ensayo y
error a la deducción lógica, que reconoció que los estudios de geometría “eterna formas”, o abstracciones, de los cuales
física los objetos son sólo aproximaciones, y desarrollaron la idea de una “teoría axiomática”, que, por más de 2000 años,
se consideraba el paradigma ideal para todas las teorías científicas.

5. Pitágoras y Thales de Mileto
Thales (635-543 aC), de Mileto (en la actualidad en el suroeste de Turquía), fue el primero al que se le atribuye la
deducción matemática.
Pitágoras (582-496 aC) de Ionia, y más tarde, Italia, y luego colonizado por los griegos, pudo haber sido un estudiante de
Thales, y viajó a por Babilonia y por Egipto. El teorema que lleva su nombre puede no haber sido descubrimiento suyo,
pero fue probablemente uno de los primeros en dar una prueba deductiva del mismo. Él reunió a un grupo de estudiantes
a su alrededor para estudiar matemáticas, música, y filosofía, y juntos descubrieron lo que la mayoría de los estudiantes de
secundaria estudian hoy en día en sus cursos de geometría.
Euclides:
Euclides (c. 325-265 aC), de Alejandría, probablemente un estudiante de uno de los estudiantes de Platón, escribió un
tratado en 13 libros (capítulos) , titulado “Los Elementos de Geometría”, en la que presentó la geometría de una forma
ideal axiomática, que vino a ser conocida como la geometría euclidiana.
El tratado era un compendio de todo lo que los matemáticos sabían en el momento acerca de la geometría, pero era tan
superior que los demás cayeron en desuso y se perdieron. Fue llevado a la universidad en Alejandría por Ptolomeo I, Rey
de Egipto.
Arquímedes:
Arquímedes (287-212 aC), de Siracusa, Sicilia, cuando era una ciudad perteneciente al estado griego, es a menudo
considerado el más grande de los matemáticos griegos, y, en ocasiones, incluso como uno de los tres más grandes de
todos los tiempos (junto con Isaac Newton y Carl Friedrich Gauss). Si no hubiera sido un matemático, seguiría siendo
recordado como un gran físico, ingeniero e inventor. En su matemática, desarrolló métodos muy similares a los sistemas
de coordenadas de la geometría analítica, y la limitación del proceso de cálculo integral. El único elemento del que careció
en dichos campos fue una mejor cultura del álgebra en la que expresar mejor sus conceptos .

6. Definic ió n de RECT A
Una recta es una sucesión infinit a de puntos, situados en una misma
dirección.
Una recta tiene una sola dimensión: la longitud.
Las rectas se nombra n mediante dos de sus puntos o por una letra
minúscula .
Dos puntos determina n una recta .
Una re c t a indic a una dire c c ió n y do s s e nt ido s c o nt ra rio s . de recta
Secantes
La s re c t a s s e c a nt e s s e
c o rt a n e n un punt o .
Paralelas
La s re c t a s pa ra le la s no
s e c o rt a n e n ningún punt o .

7. Coincidentes
Do s re c t a s s o n c o inc ide
nt e s s i t o do s s us
punt o s s o n c o mune s .
Perpendiculares
Do s re c t a s s o n pe rpe nd
ic ula re s c ua ndo a l c o rt a rs e
f o rma n c ua t ro
á ngulo s igua le s de 90º .
Coincidentes
Do s re c t a s s o n c o inc ide
nt e s s i t o do s s us punt o s s o n
c o mune s .

8. Definicion de ANGULO
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen
o vértice. Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se
denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo
sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.
Tipo Descripción
Ángulo nulo
Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.
Ángulo agudo
Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor de rad.
Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados
centesimales).
Ángulo recto
Un ángulo recto es de amplitud igual a rad.
Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).
Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.
La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.
Ángulo obtuso
Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad.
Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).
Ángulo llano
El ángulo llano tiene una amplitud de rad.
Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

9. Ángulo oblicuo
Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.
Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.
Ángulo
completo
o perigonal Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad.
Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).
Tipo Descripción
Ángulo convexo
o saliente Es el que mide menos de rad.
Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de
200g centesimales).
Ángulo cóncavo,
reflejo o
entrante
Es el que mide más de rad y menos de rad.
Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de
400g centesimales).
Definición de PUNTO
En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados
conceptos primarios, es decir, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares o
parecidos. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre
los entes geométricos fundamentales.
El punto es una figura geométrica sin dimensión, tampoco tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional.
No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de
coordenadas preestablecidas.

10. Definición de VERTICE
En geometría, el vértice es el punto donde se encuentran dos o más semirrectas o segmentos que conforman
un ángulo. Vértice es el nombre que recibe el punto que marca la unión entre los segmentos que originan un ángulo
o donde se fusiona un mínimo de tres planos. La cúspide de un cono o una pirámide también se conoce como
vértice, aligual que el punto máximo o mínimo de una línea curva.
Definición de POLIGONO
Un polígono es la figura geométrica de un plano que está establecidapor líneas rectas. Se trata de un fragmento
plano que está formado por segmentos consecutivossin alineación, que reciben el nombre de lados.
Definición de PRISMA
Se conoce como prisma a un cuerpo cuyoslímites lo establecenun par de polígonos iguales y planos, dispuestosde
forma paralela, y diversosparalelogramos, de acuerdo a la cantidad de lados que dispongan sus bases. Esto quiere
decir que si las bases son triángulos, estaremoshablando de un prisma triangular.
Definición de PIRAMIDE
Se conoce como pirámide a aquel cuerpo que cuenta con triángulos como caras. Estos triángulos se reúnen en un
punto en comúnque recibe el nombre de vértice.
El uso más frecuente de la nociónse encuentra en la arquitectura, yaque se nombra como pirámide a la
construcciónque tiene una formacon las característicasmencionadasdel polígono geométrico. Las pirámides solían
construirse en la antigüedad a la manera de un monumento, para rendir distintos homenajes y tributos.
Una pirámide, por lo tanto, es una construcciónque suele contar con un cuadrado como base, cuyoscuatro ladosse
levantan como triángulos y coincidenen un vértice situado en el extremo superior.

11. Definición de AXIOMA
En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración,
como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas
afirmaciones evidentes porque permiten deducir las demás fórmulas.
En matemática se distinguen dos tipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.
Definición de TEOREMA
La palabra teorema consiste en una proposición que puede ser demostrada de manera lógica a partir de un axioma o
de otros teoremas que fueron demostrados con anticipación. Este proceso de demostración se lleva a cabo mediante
ciertas reglas de inferencia.
El teorema, por lo tanto, puede ser descripto como una afirmación de importancia. Existen otras de menor rango,
como ocurre con el lema (que pertenece a un teorema más largo), el corolario (que sigue de manera inmediata al
teorema) o la proposición (un resultado que no se encuentra asociado a ningún teorema en específico).
Definición de POSTULADO
Los postulados son fórmulas específicas de una teoría que se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca
de dos estructuras diferentes, por ejemplo los números naturales y los números enteros, pueden comprender los
mismos axiomas. Sin embargo los postulados expresan lo que es esencial de una estructura, o un conjunto de
éstas. A diferencia de los axiomas lógicos, los postulados no son tautologías.
Cualquier teoría matemática moderna se fundamenta en un conjunto de postulados. Aunque se pensaba que, en
principio, toda teoría se podía axiomatizar y formulizar, posteriormente esto se demostró imposible.
En matemática son célebres los postulados de Euclides, expuestos en los Elementos, el tratado fundamental de
la geometría clásica. Siglos después, cuando se cuestionó el quinto postulado de Euclides, surgió la
llamada Geometría no euclidiana.
Existen otros, como el postulado de Bertrand, referente a los números primos, y los postulados de Cauchy,
enunciados por el matemático Augustin Louis Cauchy, relativos a vectores.
Definición de COROLARIO
Se llamará corolario a una afirmación lógica que sea consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada
usando las propiedades del teorema previamente demostrado.
Definición de METODO CIENTIFICO
Como método científico se denomina el conjunto de normas por el cual debemos regirnos para producir
conocimiento con rigor y validez científica. Dicho de una forma sencilla, el método científico es una
herramienta de investigación cuyo objetivo es resolver las preguntas formuladas mediante un trabajo
sistemático y, en este sentido, comprobar la veracidad o falsedad de una tesis. De allí que un artículo
científico sea el resultado de un estudio realizado y comprobado a través del método científico.
Definición de SISTEMA DE MEDICION DE ANGULOS
 Sistema Internacional: Es un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados abarcan un
arco de longitud igual al radio de la circunferencia; en este sistema se le conoce como medida angular unidad

12. el radián, con abreviatura rad. Se utiliza en geometría, cálculos y análisis matemático, por ejemplo en sistema
de coordenadas polar, etc.
 Sistema sexagesimal: Sistema de 360º, su unidad es el grado sexagesimal (º), cada grado a su vez se divide
en 60 partes iguales llamados minutos (´), y estos a su vez se dividen en 60 partes iguales llamados segundos
(")
 Sistema centesimal: Sistema de 400 grados, su unidad es el grado centesimal
Definición del Número π
π (pi) es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, en geometría euclidiana. Es un número
irracional y una de las constantes matemáticas más importantes. Se emplea frecuentemente
en matemáticas, física e ingeniería. El valor numérico de π, truncado a sus primeras cifras, es el siguiente:
El valor de π se ha obtenido con diversas aproximaciones a lo largo de la historia, siendo una de las constantes
matemáticas que más aparece en las ecuaciones de la física, junto con el número e. Cabe destacar que el
cociente entre la longitud de cualquier circunferencia y la de su diámetro no es constante en geometrías no
euclidianas.

13. Biografía de SOCRATES
(Atenas, 470 a.C. - id., 399 a.C) Filósofo griegoPlatón, que fue discípulo directo suyo, y Aristóteles, que lo fue a su vez de Platón.
Biografía Sócrates fue hijo de una comadrona, Faenarete, y de un escultor, Sofronisco, emparentado con Arístides el Justo. Pocas
cosas se conocen con certeza de la biografía de Sócrates, aparte de que participó como soldado de infantería en las batallas de
Samos (440), Potidea (432), Delio (424) y Anfípolis (422). Fue am igo de Aritias y de Alcibíades, al que salvó la vida.
La mayor parte de cuanto se sabe sobre él procede de tres contemporáneos suyos: el historiador Jenofonte, el comediógrafo
Aristófanes y el filósofo Platón. El primero retrató a Sócrates como un sabio absorbido por la idea de identificar el conocim iento y la
virtud, pero con una personalidad en la que no faltaban algunos rasgos un tanto vulgares. Aristófanes lo hizo objeto de sus sátiras en
una comedia, Las nubes (423),donde se le identifica con los demás sofistas y es caricaturizado como engañoso artista del discurso.
Estos dos testimonios matizan la imagen de Sócrates ofrecida por Platón en susDiálogos, en los que aparece como figura principal,
una imagen que no deja de ser en ocasiones excesivamente idealizada,aun cuando se considera que posiblemente sea la más justa.
Se tiene por cierto que Sócrates se casó, a una edad algo avanzada, con Xantipa, quien le dio dos hijas y un hijo. Cierta tra dición ha
perpetuado el tópico de la esposa despectiva ante la actividad del marido y propensa a comportarse de una manera brutal y soez. En
cuanto a su apariencia,siempre se describe a Sócrates como un hombre rechoncho,con un vientre prominente,ojos saltones y l abios
gruesos, del mismo modo que se le atribuye también un aspecto desaliñado.
La filosofía de Sócrates
La cuestión moral del conocimiento del bien estuvo en el centro de las enseñanzas de Sócrates, con lo que imprimió un giro
fundamental en la historia de la filosofía griega,al prescindir de las preocupaciones cosmológicas de sus predecesores. Como se ha
visto, el primer paso para alcanzar el conocimiento consistía en la aceptación de la propia ignorancia,y en el terreno de sus reflexiones
éticas,el conocimiento juega un papel fundamental.Sócrates piensa que el hombre no puede hacer el bien si no lo conoce,es decir, si
no posee el concepto del mismo y los criterios que permiten discernirlo.
El ser humano aspira a la felicidad, y hacia ello encamina sus acciones. Sólo una conducta virtuosa, por otra parte, proporci ona la
felicidad.Y de entre todas las virtudes, la más importante es la sabiduría,que incluye a las restantes.El que posee la sabiduría posee
todas las virtudes porque,según Sócrates,nadie obra mal a sabiendas: si, por ejemplo, alguien engaña al prójimo es porque, en su
ignorancia,no se da cuenta de que el engaño es un mal. El sabio conoce que la honestidad es un bien, porque los beneficios que le
reporta (confianza, reputación,estima,honorabilidad) son muy superiores a los que puede reportarle el engaño (riquezas, pod er, un
matrimonio conveniente).
El ignorante no se da cuenta de ello: si lo supiese, cultivaría la honestidad y no el engaño. En consecuencia, el hombre sabio es
necesariamente virtuoso (pues conocer el bien y practicarlo es, para Sócrates, una misma cosa), y el hombre ignorante es
necesariamente vicioso.De esta concepción es preciso destacar que la virtud no es algo innato que surge espontáneamente en ciertos
hombres,mientras que otros carecen de ella. Todo lo contrario: puesto que la sabiduría contiene las demás virtudes, la virtu d puede
aprenderse; mediante el entendimiento podemos alcanzar la sabiduría, y con ella la virtud.

14. Sin embargo,en los Diálogos de Platón resulta difícil distinguir cuál es la parte de lo expues to que corresponde al Sócrates histórico y
cuál pertenece ya a la filosofía de su discípulo.Sócrates no dejó doctrina escrita, ni tampoco se ausentó de Atenas (salvo p ara servir
como soldado),contra la costumbre de no pocos filósofos de la época,y en es pecial de los sofistas. Si, como parece, las ideas éticas
antes expuestas son del propio Sócrates,su filosofía se sitúa en la antípodas del escepticismo y del relativismo moral de lo s sofistas,
pese a lo cual, y a causa de su pericia dialéctica,fue considerado en su tiempo como uno de ellos,tal y como refleja la citada comedia
de Aristofánes.
Con su conducta, Sócrates se granjeó enemigos que, en el contexto de inestabilidad en que se hallaba Atenas tras las guerras del
Peloponeso, acabaron por considerar que su amistad era peligrosa para aristócratas como sus discípulos Alcibíades o Critias;
oficialmente acusado de impiedad yde corromper a la juventud, fue condenado a beber cicuta después de que,en su defensa,hu biera
demostrado la inconsistencia de los cargos que se le imputaban.
Según relata Platón en la Apología que dejó de su maestro, Sócrates pudo haber eludido la condena, gracias a los amigos que aún
conservaba, pero prefirió acatarla y morir, pues como ciudadano se sentía obligado a cumplir la ley de la ciudad, aunque en algún
caso, como el suyo, fuera injusta; peor habría sido la ausencia de ley.
PLATON
Platón Filósofo griego
"El hombre sabio querrá estar siempre con quién sea mejor que él"
Platón
Nacido el 427 a. C. en Atenas o Egina. Platón se llamaba en realidad Aristocles.Recibió el apelativo con el que le conocemos y que
significa "espalda ancha" por su corpulencia.Durante su juventud llegó a ser bicampeón olímpico de lucha.
Pertenecía a una familia noble.Su padre,Aristón, se decía descendiente del rey Codro, el último rey de Atenas. Su madre Períctiona,
descendía de la familia de Solón,el antiguo legislador griego.Era además hermana de Cármides yprima de Critias.Platón tuvo dos
hermanos,Glaucón y Adimanto, y una hermana,Potone.Tuvo una educación esmerada en todos los ámbitos del conocimiento.
De joven, Platón tuvo ambiciones políticas pero se desilusionó con los gobernantes de Atenas.Es posible que se iniciara en l a filosofía
con las enseñanzas del heracliteano Cratilo.Cuando cuenta veinte años tiene lugar el encuentro con Sócrates que contaba entonces
63 años y se convertirá en su único maestro hasta su muerte. Proclamado discípulo de Sócrates,aceptó su filosofía y su forma
dialéctica de debate:la obtención de la verdad mediante preguntas.Parece ser que fue testigo de la muerte de su maestro.Te miendo
por su vida, abandonó Atenas algún tiempo y viajó a Italia, Sicilia y Egipto. En el año 387 Platón fundó en Atenas la Academia,
institución a menudo considerada como la primera universidad europea.Se daban materias como astronomía,biología,matemática s,
teoría política y filosofía. Aristóteles fue su alumno más destacado.Ante la posibilidad de conjugar la filosofía y la práctica política,

15. viajó a Sicilia en el año 367 a.C. para ser tutor del nuevo gobernante de Siracusa Dionisio el Joven. El experimento fracasó.Platón
regresó a Siracusa en el año 361 a.C., pero una vez más su participación en los acontecimientos sicilianos tuvo poco éxito.
Es el primer pensador griego cuya obra se ha conservado íntegramente,y Aristóteles transmitió incluso fragmentos de su enseñanza
oral en la Academia,al parecer discordante con sus escritos.Sus escritos adoptaban la forma de diálogos, exponiendo ideas
filosóficas,se discutían y se criticaban en el contexto de una conversación o un debate en el que participaban dos o más personas.El
primer grupo de escritos de Platón incluye 35 diálogos y 13 cartas. Pasó los últimos años de su vida dando conferencias en la
Academia y escribiendo.Murió próximo a los 80 años en Atenas en el año 348 o 347 a.C.
ARISTOTELES
Aristóteles Filósofo y científico griego
Nacido en Estagira (actual Stavros), Macedonia,en el año I de la Olimpiada XCIX, hacia el año 386/385 o 384 a.C.
Hijo de Nicómaco, médico personal del rey de Macedonia Amintas III. A la muerte de su padre y de su madre, Festis, y después de
su único hermano Arimnesto, se traslada a la ciudad de Atarneo. Allí tuvo como tutor a Próxeno. Viajó a Atenas con 17 años con
intención de asistir a la Academia dePlatón. Aristóteles fue discípulo suyo y de otros pensadores como Eudoxo durante los veinte
años que estuvo en la Academia,donde se le apodó "el inteligente".
Al fallecer Platón en el año 347 a.C., viaja a Assos, ciudad de Asia Menor en la que gobernaba su amigo Hermias,al que sirvió como
asesor,casándose además con su sobrina e hija adoptiva,Pythias, con la que tuvo tuvo una hija.Se relacionó también con Hepylis,
con la que tuvo otro hijo al que llamó Nicómaco y dedicó su Etica a Nicómaco.
Tras ser ejecutado Hermias a manos de los persas en el 345 a.C., Aristóteles se trasladó a Pella, capital de Macedonia, donde fue
tutor del hijo menor del reyFilipo II, que sería conocido como Alejandro III el Magno. Filipo mandó a llamarle por ser el filósofo de
más fama y más extensos conocimientos.Fueron premiadas sus enseñanzas reedificándose de nuevo la ciudad de Estagira,su
ciudad natal,que el mismo Filipo había asolado.Durante 8 años el alumno recibió una enseñanza integral en el paraje de Miéza, cerca
de Pella.Parece que Alejandro no sólo aprendió la ética y la política, sino que tomó también conocimiento de otras enseñanza s
reservadas a las que los filósofos llamaban,"acromáticas"y "epópticas",y que no comunicaban a la "muchedumbre".En el año 335
a.C., al acceder Alejandro al trono, volvió a Atenas y fundó su propia escuela: elLiceo.
Aristóteles abrió el Liceo hacia 334 a.C. en un espacio cercano a la puerta de Diócares. El nombre le viene de Apolo Licio, dios al
cual Aristóteles consagra su institución.En el Liceo, como antes en la Academia,había dos grupos de discípulos:los que par ticipaban
de las enseñanzas más profundas y los que recibían enseñanzas más sencillas y prácticas.Como gran parte de los debates se
desarrollaban mientras paseaban por el Liceo,el centro fue conocido como escuela peripatética.

16. Resumió todo el saber de su época,pero brilló especialmente en las ciencias naturales descriptivas.Fue autor de la
primera clasificaciónde los animales, padre de la anatomía comparada y maestro de otros científicos,como el botánico Teofrasto,
su sucesor en el Liceo.Rechazó la teoría atómica de Demócrito y sostuvo que la materia se origina en la mezcla de cuatro
propiedades fundamentales:caliente,frío, húmedo y seco,que se combinan entre sípara dar lugar a los cuatro elementos o esencias:
tierra, agua,aire y fuego, a los que añadió un quinto (la quinta esencia o éter), que formaría los cuerpos celestes.
Demostró por varios métodos la esfericidadde la Tierra y sostuvo que ésta está situada en elcentrodel universo. Es el primero
en clasificar las ciencias, que dividió en teóricas (matemáticas,física y metafísica), prácticas (ética, política y economía)
y poéticas (poética, retórica,etc.). En esta clasificación no se incluye la lógica, descubierta por él,pues es el instrumento para el recto
discurrir en todas ellas.También inventó el silogismo, instrumento fundamental del pensamiento occidental.
Aristóteles escribió libros de divulgación,de los que sólo se conservan fragmentos,y otros de notas,para el círculo de sus iniciados,
de los que quedan 47.La edición de Andrónico de Rodas (h. el 70 a. C.) es la base del Corpus aristotelicum, tal como ha llegado a
nosotros,que se compone de los siguientes títulos o colecciones:"Organon" (tratados de Lógica),"Física" "Del cielo", "De la
generación y la corrupción", "Meteorología", "Metafísica", "Historia de los animales", "De los movimientos de los animales",
" De la generación de los animales", "Política", "El alma", "Moral a Nicómaco", "Moral a Eudemo", "Retórica", "Poética" y "Parva
Naturalia".
Aristóteles murió en Calcis, Reino de Macedonia,en el 322 a. C. probablemente de una afección estomacal en torno a los sesenta y
tres años de edad. Antes de fallecer escribió un testamento por el cual deja a su familia (su hija Pitias,su hijo Nicómaco y su segunda
mujer Herpilis) bajo la protección de Antipáter (lugarteniente de Alejandro),y a Teofrasto la dirección del Liceo. Asimismo a la hija de
su primer matrimonio la entrega en nupcias a su ahijado Nicanor,hijo de su tutor Próxeno y oficial de estado mayor de Alejan dro.
EUCLIDES
Matemático griego
Se desconoce su fecha de nacimiento y muerte aunque algunos datos apuntan al 330-275 a.C. También hay razones para sospechar
de la no existencia de Euclides;no se conoce fidedignamente nada de él,además de diferencias notables de estilo en sus obras.
Se cree que cursó estudios en Atenas con discípulos de Platón. Dio clases de geometría enAlejandría donde fundó una escuela de
matemáticas.Durante el reinado del faraón helenistaTolomeoI (305-285 a.C.) quien,deseando modernizar los tratados de geometría
existentes,encomendó a Euclides escribir una compilación o refundición completa.El resultado fue Los Elementos", en trece
volúmenes,a los que posteriormente se añadieron dos más,atribuidos aHipsicles de Alejandría.
Los Cálculos,los Fenómenos,la Óptica, la División del canon (estudio matemático de la música) y otros libros se han atribuido a

17. Euclides,aunque hoyse cree que alguna se le han adjudicado erróneamente.Los historiadores cuestionan además algunas de sus
aportaciones.Probablemente las secciones geométricas de los Elementos fueron en un principio una revisión de las obras de
matemáticos anteriores,como Eudoxo, aunque se considera que hizo algunos descubrimientos en la teoría de números.
Los Elementos de Euclides se utilizaron como texto durante 2.000 años.La primera edición impresa de sus obras apareció en Veneci a
en 1482,una traducción del árabe al latín. Esta obra es el coronamiento de las investigaciones realizadas por los geómetras de
Atenas. Euclides no hace sino volver a tratar con mayor perfección los ensayos anteriores;hace una selección de las proposiciones
fundamentales ylas coordina convenientemente desde el punto de vista lógico utilizando una forma deductiva.
En los Elementos Las definiciones que emplea son nominales,entre las que encontramos las siguientes:
1 - Punto: "Cosa que no tiene parte"
2 - Línea: "Es una cosa que no tiene sino largo,es una longitud sin ancho"
3 - Los extremos de líneas son puntos
4 - Superficie es lo que tiene sólo largo y ancho
5 - Ángulo es la inclinación de una línea respecto a otra
6 - Ángulo agudo es aquel menor que el recto y ángulo obtuso,el mayor que el recto
Probablemente el primero en hacer un estudio formal sobre el númeroáureo fue Euclides,unos tres siglos antes de Cristo,en su obra
Los Elementos.Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando l a línea
entera es al segmento mayor como el mayor es al menor.Además,definió los triángulos isósceles,rectángulos,etc.y dio definiciones
de elementos que (al igual que los antes mencionados) aún seguimos usando.
Tales de Mileto
Filósofo griego
Nació en el 624 a.C.en Mileto ciudad griega en la Jonia (hoy Turquía), año primero de la XXXV Olimpiada.
Relacionado con Anaximandro, su discípulo,y con Anaxímenes, discípulo de Anaximandro,denominándose a los tres como
la Escuela Jónica o "de Mileto". Es el primero de los siete sabios de Grecia, reconocidos por su sabiduría práctica.
Ya en su tiempo se le reconocieron sus conocimientos de astronomía tras predecir el eclipse de sol que ocurrió el 28 de mayo del 585
a.C. Diógenes Laercio dijo que "fue el primero que averiguo la carrera de un trópico a otro, y el primero que comparando la

18. magnituddel sol con la de la luna, manifestó ser ésta setecientas veinte veces menor que aquél,como escriben algunos",que fue el
inventor de las estaciones del año y asignó a este trescientos sesenta y cinco días. Parece ser que fue el introductor de la geometría
en Grecia.
Se cuenta que consiguió medir la altura de las pirámides por medio de su sombra,proporcionándola con la nuestra cuando esta es
igual al cuerpo, esto es,Tales esperó a que la sombra de una persona tuviera la misma longitud que la altura del cuerpo de l a misma
persona,afirmando entonces que la longitud de la sombra de la pirámide habría de ser igual a la altura de ésta.
Sostenía que el principio de todas las cosas es el agua,de la que todo procede.Creía que la Tierra era un disco circular pl ano que
flotaba sobre el agua (el mar universal).
Cansado de la burla de sus conciudadanos ya que decían que era raro que siendo tan sabio no fuese igualmente rico.Se enriqueció
especulando con el aceite sabiendo que iba a haber una buena cosecha de olivas,tomó en arriendo todas las prensas que pudo
encontrar,monopolizando el mercado,y luego las alquiló al precio que él puso y se hizo rico en un solo año.Tras esto vendió prensas
y tierras y volvió a sus estudios eliminando al mismo tiempo las chanzas de que era objeto.
No dejó escritos;y de lo que de él se sabe, procede de lo que se cuenta en la Metafísica deAristóteles.
Tales de Mileto falleció el 543 a.C. mientras contemplaba unos juegos gimnásticos en la LVIII Olimpiada,según recoge Diogenes
Laercio.
Arquimides de Siracusa
Matemático e inventor griego
Nació en el 287 a. C. en Siracusa, Sicilia,aunque se educó en Alejandría (Egipto).
Arquímedes fue primo del rey Hierón II del cual fue consejero y responsable de la defensa de la ciudad.El empeño del rey Hierón era
la construcción de una gran flota e hizo construir el Syrakosa, la mayor nave de su época, que en el momento de su botadura q uedó
embarrancado.Arquímedes con ayuda de poleas compuestas ayudadas por palancas apuntaladas en el casco consiguió levantarlo a
flote ante la fascinación del rey.
Se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna,en las matemáticas puras.Fue capaz de demostrar que el
volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe.Además,en mecánica,definió la ley de la palanca y
es reconocido como el inventor de la polea compuesta.En Egipto inventó el 'tornillo sin fin' para elevar el agua de nivel. Famoso por el
descubrimiento de la ley de la hidrostática,también llamado principio de Arquímedes,que establece que todo cuerpo sumergido en
un fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja.Se cuenta que este des cubrimiento lo
hizo mientras se bañaba,al comprobar cómo el agua se desplazaba yse desbordaba

19. La mayor parte de la vida de Arquímedes transcurrió en Sicilia,en Siracusa ysus alrededores,y la dedicó a la investigación y los
experimentos.Durante la conquista romana de Sicilia se puso a disposición de las autoridades de la ciudad y muchos de sus
instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de Siracusa.Entre la maquinaria de guerra destacan sus inventos de la catapulta y
un sistema de espejos que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol.
Cuando Siracusa fue conquistada durante la segunda Guerra Púnica,se cree que fue asesinado en 212 a.C. por un soldado roman o
que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena.Dicen que Arquímedes estaba tan metido en las operaciones que
ofendió al intruso al decirle:"No desordenes mis diagramas".
Escribió varias obras:
1. Esfera y cilindro
2. Medida del círculo
3. Gnoides y esferoides
4. Espirales
5. Equilibrio de los planos ysus centros de gravedad
6. Cuadratura de la parábola
7. El arenario
8. Cuerpos flotantes
9. Los lemas
10. El método
PITAGORAS
Filósofo y matemático griego
Nació el 570 a.C.en la isla de Samos, junto a Mileto, siendo hijo de Menesarco,tal vez un rico comerciante de Samos.
Probablemente viajó a Egipto, Fenicia y Babilonia.Volvió a Samos durante la dictadura de Policrates (538 -522).Hacia 529 viajó al sur
de Italia y fundó en Crotona la fraternidad pitagórica
Instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios como Tales de Mileto, Anaximandro yAnaxímenes. Hacia el 530 a.C. se
radica en Crotona,colonia griega al sur de Italia, allífunda un movimiento con propósitos políticos yfilosóficos,conocido
como pitagorismo.
La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.Los pitagóricos aconsejaban la obediencia yel silencio,
la abstinencia,la sencillezen el vestir y el autoanálisis.El primer vegetariano moderno prominente fue Pitágoras.La dieta pitagórica
vino a significar el evitar la carne de animales masacrados.La ética pitagórica se convirtió primero en una moral filosófica entre 490-
430 a.C. con el deseo de crear una ley universal y absoluta incluyendo una orden de no matar ''criaturas vivas'', abstenerse de la

20. ''desagradable matanza estridente'',en particular sacrificios de animales,y ''nunca comer carne'' - de ''El Festín de los herejes''.Creían
en la inmortalidad yen la transmigración del alma.Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus,y combatido durante la guerra
de Troya.
Entre las investigaciones matemáticas de los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares, de
los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números.Cultivaron el concepto de número,que llegó a ser
para ellos el principio crucial de toda proporción,orden y armonía en el universo.A través de estos estudios,establecieron una base
científica para las matemáticas.
En geometría descubrieron el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de
la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.En astronomía los pitagóricos
significaron un avance en el pensamiento científico clásico,ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globoque gira
junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndos e de
acuerdo a un esquema numérico,en una esfera de la realidad sencilla yomnicomprensiva.Pensaban que los cuerpos celestes
estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas ymantenían que el movimien to
de las esferas da origen a un sonido musical,la llamada armonía de las esferas.
Los pitagóricos consiguieron gran influencia política en Magna Grecia (sur de Italia), lo que provocó reacciones contra ellos.La
primera forzó a Pitágoras a abandonar Crotona y retirarse a Metaponte, donde se dice que se dejó morir de hambre el 495 a.C.,
aunque hay otras versiones de su muerte.