1. 10 de Febrero del 2014
Introducción
¿Qué es cálculo?
El cálculo fue inventado en los años 70´sponer una herramienta para
resolver problemas de movimientos complicados.
La materia expuesta de geometría, algebra y trigonometría son
aplicadas a objetos con movimiento constante.
En orden de objetos en movimiento es esencial primero definir que es
por velocidad y aceleración.
En orden tenemos que el sentido de los objetos de velocidad y
aceleraciones necesario usar uno de los conceptos fundamentales del
cálculo y derivada.
Aunque el cálculo ayuda para resolver problemas en física se aplica en
diferentes campos.
Una de las razones para este versátil es el factor que la derivada es útil
en el estudio de velocidades de cambio de muchos otros objetos en
movimiento.
La derivada es usada para la tangente de línea de las curvas.
El significado de tangente de línea es de mucha importancia en
problemas de física.
Otro concepto fundamental del cálculo es conocer la integral definida.

2. 12 de febrero del 2014
17 Integrales múltiples
El concepto de la integral definida, que se introdujo en el capítulo 5, se
puede extender a funciones de varias variables. En este capítulo vamos
a definir las integrales dobles y triples y discutir algunas de sus
propiedades y aplicaciones fundamentales.
Integrales dobles:
Varias de las integrales consideradas anteriormente fueron de la forma
∫ab ƒ(x) dx, cuando ƒ es continua en el intervalo [a, b].
Hay muchos otros tipos de integrales.
Entre ellas, estudiaremos las integrales dobles, integrales triples,
integrales de superficie e integrales de línea.
Cada uno de estas integrales se obtiene de manera similar.
La principal diferencia es el dominio de la integral.
Recuerda que ∫ab ƒ(x) dx puede estar definida aplicando los siguientes
cuatro pasos.
(¡)De la participación [a, b] seleccionando a=Xo<x, <X2<.-<xn=b.
(¡¡)Por cada i, seleccionado algún número wi en el sub-intervalo [Xi-l, Xi].
(¡¡¡)Considerar la suma de Riemann £ i ƒ (wi) ∆ xi, donde ∆ xi=xi-xi-l.
(¡¡¡¡)Si Lim £i (w) ∆xi existe donde ІІ∆ІІ-ro.
llvll es la norma de la participación entonces es el límite es igual
∫ab ƒ (x) dx.
Después: suponer que es una función de dos variables y que ƒ(x, v)
existe completamente en una región R en el plano xy.
Otro objetivo en esta sección es definir la integral doble ∫§ ƒ (x, v) dA.

3. Como veremos el procedimiento es paralelo a los pasos (i)-(iv).
Definir estas dobles integrales es esencial para situar restricciones en la
región R.
Aunque las restricciones pueden parecer fuertes de las regiones
encontradas en aplicaciones son incluidos entre esos que debemos
considerar.

4. 13 de febrero del 2014
De primera importancia son las regiones en el plano xy de los tipos
ilustrados en la figura 17.1, donde las funciones g1, g2 y h1, h2 son
continuas en los intervalos [a, b] y [c, d], respectivamente, y donde g1(x)
≤g(x) para todo “x” en [a, b] y h1 (y) ≤h2 (y) para todo “y” en [c, d].
La región ilustrada en (i) de la figura 17.1, la llamaremos una región de
tipo 1, mientras que la ilustrada en (ii) de la figura, la llamaremos una
región de tipo 2.
Atraves del resto de este capítulo, el símbolo R denotara una región que
se podrá descomponer en un número finito de subregiones de tipo 1 o 2.
Tal que cada región R es un subconjunto de una región rectangular
cerrada w.
Si W es dividido en pequeños rectángulos por medio de un número finito
de líneas horizontales y verticales, que la totalidad de subregiones
rectangulares cerradas que se inclinan completamente dentro de R es
llamada participación interior de R.
Los rectángulos sombreados en la figura 17.2 ilustran una petición
interior. Si esa subregión rectangular sombreada niveles R, R2, Rn,
entonces la petición interior es P=£ Rii: i=1,…nζ.
La longitud de la diagonal de todos los Ri se detonan por llPll se
llama la norma de la petición P.
El símbolo ∆Ai será usado para el área de Ri.
Después para cada i, elegiremos algún punto (u, v1) en Ri, como se
ilustro en la figura 17.2.
Esto corresponde al paso (ii) del proceso de cuatro pasos. Las sumas de
Riemann se definen enseguida.

5. Definición:
Dejar que f esa una función de dos variables que se definen en una
región R y sea P=£R;: i =1,…, nζ es una petición interna de R.
Una suma de Riemann de f para P es alguna suma de la forma
£n ƒ(U,Vi) ∆A,
i=l
Cuando (u, v1) es en Ri y ∆Ai es el área de Ri.
El cuarto paso considero límites de tal suma. Primero, aunque dejemos
de considerar un ejemplo especifico de definición:
17 de febrero del 2014.
Ejemplo:
Suponemos ƒ(x, y) =4X+2y +1y
R= {(x, y):0≤x≤4,0_2y≤¼ (16-x2) }
Dejar P= {Ri: i=l,… ,7} usar la petición interna de R determinada por
líneas verticales y horizontales con el cual e intersecta la integral como
se muestra en la figura 17.3 si el punto (Ui, Vi) es el centro de Ri, calcula
la suma de Riemann.
Solución: refiriéndonos a la figura, observamos que los puntos (u, , v, )
podrían estar en R1 , R2 ,R3 , R4 ,R5 ,R6 y R7.
Desde el área ∆Al de cada Ri es 1.
La suma de Riemann es:
La simplificación es:
En el procedimiento del ejemplo, el punto (ul, vl,) está centrado de Ri.
Es importante recordar que cuando trabajamos con sumas de Riemann
podremos tomar cualquier para (Ul Vl ).

6. Brevemente nosotros denotaremos peticiones interiores de R por P= {Rl}
específicamente por fuera del dominio de la variable i,
y el símbolo £i significara que la suma tomara lugar sobre todo
rectángulos Ri en la petición.
La siguiente definición de límite de una suma como se muestra en la
siguiente definición.
Definición:
Sea ƒ una función de dos variables, que esta definición en una región R y
L sea un número real.
La declaración:
Llm ξ ƒ (Ul, Vl ) ∆Al= L
llPll –nO
Significa que para cada ε >0 entonces existe un d>0 tal que si P={Ri} es
una partición interior de R con llPll < S, cuando:
lξ (u; v1)∆Ai -<l<ε
Intuitivamente, definición estados que la suma de Riemann de ƒ se
acerca más y más a L de la norma llPll se aproxima a 0. Si el limite L
existe, es único.
La siguiente definición es análoga:
18 de febrero del 2014
Definición:
Sea f una función de dos variables que está definida en una región P.
La doble integral de ƒ sobre R; detonada por ∫∫p ƒ(x, y) dA, es
∫∫r ƒ(x,y) dA= l im ξ ƒ (ul, vl)∆A,
lRll-ro

7. establece que el límite existe.
Si la doble integral de ƒ sobre R existe, entonces se dice que ƒ es
integrable sobre R.
Si sabemos establecer que ƒ es continuo en R, entonces ƒ es integrable
sobre R. Eso es una util interpretación geométrica para una integral
doble siempre que ƒ es continua y ƒ (x, x) ≤0 completamente de R. ∫
denota la gráfica de ƒ y T el sólido que yace debajo de S y sobre R, como
se ilustra en la figura 17.4.
Si Pl(ul,vl, c) es un punto en la subregión Rl de una partición interior de P
de R, entoncesƒ(ui;vl) es la distancia desde el plano xy a el punto Qi a S
directamente sobre Pi.
El numero ƒ (ul,vl) ∆Ai es el volumen de el prisma con base rectangular
ilustrada en la figura 17.4 la suma de todos los volúmenes es una
aproximación a él volumen V de T.
Esta aproximación nos lleva a que lPll se aproxima a cero, definimos V
como el límite de una suma de los números f (ul, vl) ∆Al.
Se aplica (17.3) nos da la siguiente:
Definición:
Sea b una función de dos variables de tal forma que ƒ(x,y)≤O para todo
(x,y) en una región P.
El volumen V de un sólido que muestra la gráfica de Z=ƒ(x,y) y sobre la
R es: v=∫∫ f(x,y)dA.
R