1. Sesión TresSesión Tres
Distribuciones de probabilidadDistribuciones de probabilidad
discretas y continuasdiscretas y continuas
Dr. Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
2. De la sesión anterior
Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
catastrophic$(e.g.,$the$model$predicts$that$the$bridge$will$collapse$in$a$strong$wind,$causing$the$real$
bridge$to$be$closed$down,$creating$100Jmile$tailbacks$with$everyone$stranded$in$the$snow;$all$of$
which$was$unnecessary$because$the$real$bridge$was$perfectly$safe—the$model$was$a$bad$
representation$of$reality).$We$can$have$some$confidence,$but$not$complete$confidence,$in$
predictions$from$this$model.$The$final$model$is$completely$different$to$the$realJworld$situation;$it$
bears$no$structural$similarities$to$the$real$bridge$and$is$a$poor$fit.$As$such,$any$predictions$based$on$
this$model$are$likely$to$be$completely$inaccurate.$Extending$this$analogy$to$science,$it$is$important$
when$we$fit$a$statistical$model$to$a$set$of$data$that$it$fits$the$data$well.$If$our$model$is$a$poor$fit$of$
the$observed$data$then$the$predictions$we$make$from$it$will$be$equally$poor.$
$
$
Figure'2.2:'Fitting'models'to'real5world'data'(see'text'for'details)'
Jane'Superbrain'Box'2.1'Types'of'statistical'models'(1)'
T h e R e a l W o r ld
G o o d F it M o d e r a t e F it P o o r F it
3. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Nuestro interés es el número de éxitosNuestro interés es el número de éxitos
que ocurren en los n intentos.que ocurren en los n intentos.
Tomamos x como el número de éxitosTomamos x como el número de éxitos
que ocurren en los n intentos.que ocurren en los n intentos.
Distribución Binomial
4. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
donde:
f(x) = La probabilidad de x éxitos en n intentos
n = el número de intentos
p = la probabilidad de éxito de cualquier intento
Función de probabilidad binomial
Distribución Binomial
)(
)1(
)!(!
!
)( xnx
pp
xnx
n
xf −
−
−
=
5. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Función de probabilidad binomial
Distribución Binomial
Probabilidad de unaProbabilidad de una
secuencia particular de resultadossecuencia particular de resultados
con x éxitos en n intentoscon x éxitos en n intentos
Número de resultadosNúmero de resultados
experimentales que danexperimentales que dan
x éxitos en intentosx éxitos en intentos
)(
)1(
)!(!
!
)( xnx
pp
xnx
n
xf −
−
−
=
6. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Ejemplo
La empresa está preocupada por la alta rotación
de sus empleados. Para un empleado seleccionado
al azar, se estima una probabilidad de 0.1 de que la
persona no esté el próximo semestre trabajando. Si
se seleccionan 3 empleados al azar ¿cuál es la
probabilidad de que uno de ellos no esté trabajando
el próximo semestre en el CITEC?
Distribución Binomial
7. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Diagrama de árbol
1st
Worker 2nd
Worker 3rd
Worker x Prob.
Leaves
(.1)
Stays
(.9)
3
2
0
2
2
Leaves (.1)
Leaves (.1)
S (.9)
Stays (.9)
Stays (.9)
S (.9)
S (.9)
S (.9)
L (.1)
L (.1)
L (.1)
L (.1) .0010
.0090
.0090
.7290
.0090
1
1
.0810
.0810
.0810
11
Distribución Binomial
8. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Utilizando la función de probabilidad Binomial
tome: p = .10, n = 3, x = 1
Distribución Binomial
)(
)1(
)!(!
!
)( xnx
pp
xnx
n
xf −
−
−
=
243.0)81)(.1(.3)1.01(1.0
)!13(!1
!3
)1( )13(1
==−
−
= −
f
10. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
El valorEl valor esperadoesperado;;
La varianza;La varianza;
La desviación estándar,La desviación estándar, σσ ==
Var(Var(xx) =) = σσ 22
== np(1-pnp(1-p)
EE((xx) =) = µµ == npnp
Distribución Binomial
)1( pnp −
11. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
E(x) =E(x) = npnp = 3(.1) = .3= 3(.1) = .3 empleadosempleados de 3de 3
Var(Var(xx) =) = σσ 22
== 3(.1)(.9) = .273(.1)(.9) = .27
Distribución Binomial
empleados52.)9)(.1(.3 ==σ
12. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Una variable aleatoria con una distribución PoissonUna variable aleatoria con una distribución Poisson
es útil para estimar el número de ocurrencias sobrees útil para estimar el número de ocurrencias sobre
un intervalo especificado de tiempo o espacio.un intervalo especificado de tiempo o espacio.
Es una variable aleatoria discreta que puede tomarEs una variable aleatoria discreta que puede tomar
una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).una secuencia de valores infinita (x = 0, 1, 2, . . . ).
Distribución Poisson
13. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Ejemplo de variables aleatorias conEjemplo de variables aleatorias con
distribución Poissondistribución Poisson
La cantidad de fugas en 10 km. de unLa cantidad de fugas en 10 km. de un
gaseoductogaseoducto
Los automóviles que pasan porLos automóviles que pasan por
una caseta en una horauna caseta en una hora
Distribución Poisson
14. Distribución Poisson
Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Propiedades de los experimentos Poisson
La ocurrencia o no-ocurrencia en cualquierLa ocurrencia o no-ocurrencia en cualquier
intervalo es independiente de la ocurrencia ointervalo es independiente de la ocurrencia o
no-occurrencia en cualquier otro intervalo.no-occurrencia en cualquier otro intervalo.
La probabilidad de una ocurrencia es la mismaLa probabilidad de una ocurrencia es la misma
para dos intervalos cualesquiera de igual longitudpara dos intervalos cualesquiera de igual longitud
15. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Distribución Poisson
Función de probabilidad
Poisson
en donde:en donde:
f(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalof(x) = probabilidad de x ocurrencias en un intervalo
µ= media de ocurrencias en un intervaloµ= media de ocurrencias en un intervalo
e = 2.71828e = 2.71828
!
)(
x
e
xf
x µ
µ −
=
16. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
MERCYMERCY
• Ejemplo: Hospital López Mateos
Los fines de semana en la tarde
a la sala de emergencias del
Hospital LM llegan en promedio
6 pacientes por hora .
Cuál es la probabilidad de que
lleguen 4 pacientes en 30 minutos
en la tarde de un fin de semana?
Distribución Poisson
17. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Utilizando la Función de Probabilidad Poisson
MERCYMERCY
µ = 6/hora = 3/media-hora, x = 4
Distribución Poisson
1680.0
!4
)71828.2(3
)4(
34
==
−
f
18. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Utilizando las tablas de probabilidad Poisson
MERCYMERCY
Distribución Poisson
Utilizando excel; =POISSON(4,3,FALSO)
19. Distribución Poisson
Dr Jorge Ramírez Medina
ITESM EGADE Zona Centro
MERCYMERCY
Poisson Distribution of Arrivals
Poisson Probabilities
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Número de llegadas en 30 Minutos
Probabilidad
La secuenciaLa secuencia
continua:continua:
11, 12, …11, 12, …
20. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Una propiedad de la distribución Poisson es queUna propiedad de la distribución Poisson es que
La media y la varianza son iguales.La media y la varianza son iguales.
µ = σ 2
Distribución Poisson
21. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
MERCYMERCY
Varianza de las llegadas durante el periodo de 30
minutos.
µ = σ 2
= 3
Distribución Poisson
22. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
SLOW
Distribución de
probabilidad exponencial
• Útil para describir el tiempo que toma el completar una
tarea.
• Las variables aleatorias exponenciales pueden ser
utilizadas para describir:
Tiempo de llegada
Entre vehículos
a una caseta.
Tiempo requerido
para llenar un
cuestionario
Distancia entre
baches en una
autopista
23. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
• Función de densidad
donde: µ = media
e = 2.71828
Para xPara x ≥0,≥0, μ≥μ≥00
Distribución de
probabilidad exponencial
µ
µ
x
exf
−
=
1
)(
24. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
• Probabilidades
acumulativas
donde:
x0 = algún valor específico de x
Distribución de
probabilidad exponencial
−
−=≤ µ
ox
exxP 1)( 0
25. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
• Ejemplo; gasolinera las Torres
El tiempo entre carros que llegan a
la gasolinera las Torres sigue una
distribución de probabilidad
exponencial con una media entre
llegadas de 3 minutos. Se
quiere saber cuál es la probabilidad
de que el tiempo entre 2 llegadas
sea menor o igual de 2 minutos.
Distribución de
probabilidad exponencial
26. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
x
f(x)
.1
.3
.4
.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo entre llegadas (mins.)
P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3
= 1 - .5134 = .4866P(x < 2) = 1 - 2.71828-2/3
= 1 - .5134 = .4866
Distribución de
probabilidad exponencial
27. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
Una propiedad de la distribución exponencial esUna propiedad de la distribución exponencial es
que la media,que la media, µµ, y la desviación estándar,, y la desviación estándar, σσ, son iguales, son iguales
La desviación estándar,La desviación estándar, σσ, y la varianza,, y la varianza, σσ 22
, para el, para el
tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:tiempo entre llegadas en la gasolinera las Torres:
σ = µ = 3 minutes
σ 2
= (3)2
= 9
Distribución de probabilidad
exponencial
28. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
La distribución exponencial está sesgada positivamente.La distribución exponencial está sesgada positivamente.
La medición del sesgo para la distribuciónLa medición del sesgo para la distribución
exponencial es 2.exponencial es 2.
Distribución de probabilidad
exponencial
29. Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School
La distribución PoissonLa distribución Poisson
da una descripción apropiadada una descripción apropiada
del número de ocurrenciasdel número de ocurrencias
por intervalopor intervalo
La distribución exponencialLa distribución exponencial
da una descripción apropiadada una descripción apropiada
de la longitud del intervalode la longitud del intervalo
entre las ocurrenciasentre las ocurrencias
Relación entre las
distribuciones
exponencial y Poisson
31. Uso y abuso de la
estadística
• Cuidado con lo que asume.
• Sea claro acerca quiere descubrir.
• No tome la causalidad por sentado.
• Con estadística no se puede probar cosas con el
100% de certeza
• Un resultado que es numéricamente significativo
puede ser inútil.
Tomado de The Use and Misuse of statistics HBP.
Dr Jorge Ramírez Medina
EGADE Business School