Este documento describe los elementos y características del plano cartesiano. Explica que consiste en dos rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en un punto llamado origen. Describe las coordenadas, ejes, cuadrantes y cómo calcular la distancia entre puntos. También resume las ecuaciones que definen figuras como rectas, circunferencias, elipses, parábolas e hipérbolas en el plano cartesiano.
1. PLANO NUMÉRICO
Katiuska Méndez C.I V-26.797.199 Sección 0403
“Si un hombre es perseverante, aunque sea duro de entendimiento, se hará
inteligente; y aunque seadébil se transformará en fuerte.”
― Leonardoda Vinci
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
Barquisimeto – EDO-LARA
3. PLANO NUMÉRICO
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a
dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se cortan en
un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en
el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas
como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse, las cuales
forman parte de la geometría analítica.
El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René
Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero en utilizar este
sistema de coordenadas.
4. PARTES DEL PLANO CARTESIANO
Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes
coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A continuación, te
explicamos cada uno.
• Ejes coordenados
Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares que se interconectan
en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de abscisa y ordenada.
Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se identifica
con la letra “x”.
Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente
y se representa con la letra “y”
5. •Origen o punto 0
Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”,
punto al cual se le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo,
también se conoce como punto cero (punto 0). Cada eje
representa una escala numérica que será positiva o
negativa de acuerdo a su dirección
respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es positivo,
mientras que el izquierdo es negativo. Consecuentemente, el segmento ascendente
del eje “y” es positivo, mientras que el segmento descendente es negativo.
6. CUADRANTES DEL PLANO CARTESIANO
Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se forman por la unión de las dos rectas
perpendiculares. Los puntos del plano se describen dentro de estos cuadrantes.
Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV.
Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.
Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva.
Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas.
Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa.
7. COORDENADAS DEL PLANO
CARTESIANO
Las coordenadas son los números que nos dan la ubicación del punto en el plano. Las
coordenadas se forman asignando un determinado valor al eje “x” y otro valor al eje “y”. Esto
se representa de la siguiente manera:
• P (x, y), donde:
• P = punto en el plano;
• x = eje de la abscisa (horizontal);
• y = eje de la ordenada (vertical).
Si queremos saber las coordenadas de un punto en el plano, trazamos una línea
perpendicular desde el punto P hasta el eje “x” –a esta línea la llamaremos proyección
(ortogonal) del punto P sobre el eje “x”.
Seguidamente, trazamos otra línea desde el punto P hasta el eje “y” –es decir, una proyección
del punto P sobre el eje “y”.
En cada uno de los cruces de las proyecciones con ambos ejes, se refleja un número (positivo
o negativo). Esos números son las coordenadas.
8. DISTANCIA EN EL PLANO
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia
de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a
este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia
de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la
distancia queda determinada por la relación:
9. PUNTO MEDIO EN EL PLANO
Punto medio o punto equidistante: en matemática, es el punto que se encuentra a la
misma distancia de cualquiera de los extremos
• El punto medio se calcula con la siguiente fórmula:
10. ECUACIONES EN EL PLANO
Ecuación Vectorial
Sea un punto A(a,b) de la recta, cuyo vector directriz es . Si tomamos un punto
genérico de la recta P(x,y) se tiene:
que es la ecuación vectorial de la recta. Siendo l un
parámetro, tal que al ir tomando los distintos valores
de R nos va dando los distintos puntos P de la recta
11. Ecuaciones Paramétricas
Si expresamos la ecuación vectorial en sus dos coordenadas, tenemos las
ecuaciones paramétricas de la recta:
Ecuaciones Continuas
Despejando l en las ecuaciones de arriba, e igualando se tiene la ecuación continua
de la recta:
12. Ecuación continua de la recta que pasa por dos puntos
Dados dos puntos del plano, , la ecuación de la recta que pasa por estos dos puntos es:
Ecuación segmentaria:
(siendo a el punto de corte con el eje X y b el punto de corte con el eje Y)
Ecuación funcional
Siendo m el valor de tg a (también llamada "pendiente" de
la recta), b el punto de corte del eje y
y = m x + b
13. Ecuación cartesiana
a x + b y + c = 0
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación de la circunferencia centrada en el origen
Para una circunferencia de radio R centrada en el origen de coordenadas: x2 + y2 = R2
Ecuaciónde la circunferencia centrada en otropunto
Para una circunferenciade radio R centrada en un punto P(a,b):
(x - a)2 + (y – b)2 = R2
Ecuaciones paramétricas de la circunferencia
Para una circunferencia de radio R centrada en el origen
x = R cos j
y = R sen j
En el caso de que la circunferencia esté centrada en un punto distinto del origen, digamos en
P(a,b), las ecuaciones paramétricas quedan:
x = a + R cos j
y = b + R sen j
14. Ecuaciones paramétricas de la circunferencia
Para una circunferencia de radio R centrada en el origen
x = R cos j
y = R sen j
En el caso de que la circunferencia esté centrada en un punto distinto del origen, digamos en
P(a,b), las ecuaciones paramétricas quedan
x = a + R cos j
y = b + R sen j
Ecuación de la elipse
Ecuación de la elipse centrada en el origen
Sea una elipse centrada en O, y cuyos semiejes sean
a, b. Esta elipse tiene por ecuación en coordenadas cartesianas:
Ecuaciones de la hipérbola
Ecuación de la hipérbola centrada en el origen
15. PARÁBOLAS
Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras geométricas basadas en
ecuaciones y coordenadas definidas sobre un Plano Cartesiano .
Pues bien, una parábola es una forma geométrica.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación , cuenta con una serie de
elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V) : Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de
simetría ).
Eje focal (o de simetría) (ef) : Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos
brazos y pasa por el vértice.
Foco (F) : Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje
focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
16. Directriz (d) : Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una
distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p) : Parámetro que indica la magnitud
de la distancia entre vértice y foco , así como entre
vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda : Segmento de recta que une dos puntos
cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
Cuerda focal : Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR) : Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una
parábola:
En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de coordenadas
y puede estar orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha.
17. ELIPSES
Es el lugar geométrico de los puntos P (x,y) del plano cartesiano cuya suma de
distancias de los puntos, llamados focos: F1 y F2 es constante
Cuando la elipse tiene forma vertical
18. Cuando la elipse tiene forma horizontal
Fórmula canónica
Cuando la elipse tiene forma vertical:
El eje focal está paralelo al eje de las abscisas (y, y1)
Cuando la elipse tiene forma horizontal:
El eje focal está paralelo al eje de las abscisas (x, x1)
19. HIPÉRBOLA
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante
20. Elementos de la hipérbola:
1. Focos: Son los puntos fijos F y F'.
2. Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
3. Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF'.
4. Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5. Vértices: Los puntos A y A' son los puntos de intersección de la hipérbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como intersección del eje imaginario con la circunferencia que
tiene por centro uno de los vértices y de radio c.
6. Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la hipérbola a los focos:
PF y PF'.
7. Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
8. Eje mayor: Es el segmento de longitud 2a.
9. Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
10. Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
21. 11. Asíntotas: Son las rectas de ecuaciones:
12. Relación entre los semiejes:
