中心極限定理について、実データとプログラムを用いた検証でせつめいしました。

1. 中心極限定理 ver. 1.1
2017-07-20
森下功啓
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2. 更新履歴
• 2017-03-11 公開開始
• 2017-07-20 データをダウンロードしやすいように変更
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3. サンプルデータのダウンロード
• 以降のスライドで使うプログラムやデータを含めています
• ダウンロード後に解凍（展開）してください
• Download:
• https://goo.gl/1oUpPF
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4. 中心極限定理の性質
• 母集団が正規分布しており、平均と分散が分
かっている場合には次のことが成り立つ。
• 「𝑥が平均𝜇，標準偏差𝜎の分布に従うとき、大
きさ𝑛の無作為標本に基づく標本平均 ҧ𝑥は、nが
無限に大きくなるとき、平均𝜇，標準偏差𝜎/ 𝑛
の正規分布に近づく。」
• 多くの場合、母集団が歪んでいても、平均の分
布は正規分布する
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5. 中心極限定理の図解
5
http://www.biwako.shiga-u.ac.jp/sensei/mnaka/ut/centrallimit.html

6. nによる平均の標準偏差の挙動を確認する
6

7. 7
「𝑥が平均𝜇，標準偏差𝜎の分布に従うとき、
大きさ 𝑛 の無作為標本に基づく標本平均 ҧ𝑥 は、
nが無限に大きくなるとき、平均𝜇，標準偏
差𝜎/ 𝑛の正規分布に近づく。」

8. 検
証
コ
ー
ド
central_limit_theorem_hist.py

9. Pythonスクリプトの実行方法
• 実行にはPythonとライブラリのインストールが必要です。
• インストール後のスクリプト実行方法の解説
• http://www.pythonweb.jp/tutorial/ini/index2.html
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10. 実行結果
n=9 n=36
標本数nが大きくなると、平均の標準偏差は
小さくなり、分布はより細くなる
確かに、正規分布しそうだ
母集団
平均の分布

11. 11
実際のデータを使って確認したい

12. 電力を例とした中心極限定理
• 四国電力の発電量を例として使う
• ファイル：
• juyo_yonden_2015_中心極限定理.xlsx
発電量[万kW]
発電量の統計値
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13. 電力を例とした中心極限定理
13
無作為抽出した電力量

14. 電力を例とした中心極限定理
無作為抽出40個の電力量の平均
無作為抽出40個の電力
量の標準偏差を参考の
ために計算している。
母集団の標準偏差と大
差ないことが分かれば
OKだ。
14
40個抽出している
m
回
繰
り
返
し
て
い
る

15. 理論値との比較
15
σ/√n
平均の標準偏差
理論値とほぼ同じ
結果が得られた。

16. 16
ソフトウェアで挙動を確認

17. 正規分布する母集団を使って確認
17
正規分布する乱数を取得
検
証
コ
ー
ド
central_limit_theorem.py

18. プログラムの実行結果
• 平均の標準偏差とその理論値の差はあまりないように見える。
• 標本数nが大きければ、平均の標準偏差とその理論値の差は小
さくなる。
18
nのサイズ 平均の平均 平均の標準偏差 平均の標準偏差の理論値σ/√n

19. 理論値との差について考察
19
検
証
コ
ー
ド
標本数nと共に、平均する数mを変えて比較してみる
central_limit_theorem2.py

20. 理論値との差について考察
• 平均の標準偏差とその理論値の相対的な差の割合はmに依存
• mを増やしても、割とすぐに飽和
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n 平均の平均m 平均の標準偏差 平均の標準偏差の理論値σ/√n
理論値との相対誤差