2. Sea h,k un punto distinto del origen del plano
cartesiano.
para deducir la ecuación de una parábola con
vértice en h,k se consideran dos casos:
La parábola con eje de simetría paralela al eje X y
la parábola con eje de simetría paralelo al eje Y
3. Ecuación canoníca de la parábola con vértice
en (h,k) y eje de simetría paralelo al eje X
y M (h-p,y)
v
(h,k) F(h +p, k)
x
X=h-p
Y=k
4. Sea P la distancia del vértice al foco de una
parábola con vértice en (H,K) y eje paralelo al
eje X. Entonces, las coordenadas del foco son:
F(h+p,k).
Además, la directriz esta dada por x=h-p y la
ecuación del eje de simetría y=k.
Como se muestra en la figura anterior.
5. ahora, si P(x, y) es un punto de la parábola, entonces su
proyección sobre la directriz, es de la forma M(h-p,y). Luego,
d(M,P) = √[ x- (h – p )² + ( y – k )² = √( x – h + p ) = x - h + p
Y por definición de la parábola se tiene que :
d ( P,F) = d ( M,P)
√[ x - ( h - p ) ]² + ( y – k )² = x – h + p
6. ( √[ x - ( h + p ) ]² + ( y – k )² )² = ( x – h + p )²
[ x - ( h + p )² + ( y – k )² = ( x - h + p )²
x² - 2x( h + p ) + ( h + p )² + y² - 2 yk + k² = [ x - (h - p)]²
x²- 2xh – 2xp + h² + 2hp + p² + y² - 2yk + k² = x² - 2x( h - p) + ( h - p)²
// = x² - 2xh + 2xp – h² - 2hp + p²
x² - 2xh – 2xp – h² + 2hp + p² + y² - 2yk +k² = x² - 2xh + 2xp - h² - 2hp +p²
y² - 2yk + k² = 2xp - 2hp + 2xp - 2hp
y² - 2yk + k² =4xp – 4p
( y – k )² = 4p( x – h )
7. Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha
si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda
8. Ecuación canoníca de la parábola con vértice en
(h,k) y eje de simetría paralelo al eje Y
M(x, k-p)
x
V (h, k)
F (h, k+ p)
y = k - p
y
9. Sea P la distancia del vértice al foco de
una parábola con vértice en (H,K) y eje
paralelo al eje X. Entonces, las
coordenadas del foco son: F(h +p, k).
Como la distancia del vértice al foco es
igual a la distancia del vértice a la
directriz, entonces, la ecuación de la
directriz es y = k-p . Además, la
ecuación del eje de simetría es x = h
Como nos muestra la figura anterior
10. La ecuación canoníca de la parábola con eje focal paralelo
al eje y vértice en (h, k) es;
(x-h)² = 4p(y-k)
La ecuación (x-h)² = 4p(y-k) representa una parábola que:
Se abre hacia arriba, si p > 0
Se abre hacia abajo. Si p < 0
11. Ejemplos
Encontrar la ecuación canoníca de la parábola que cumple las
condiciones dadas:
• Vértice en ( -3, 4 ) y foco en ( -5, 4 )
• Vértice en ( 2, -3) y pasa por el punto que 5, - 3
2
12. Solución
V( -3, 4 ) y F( -5, 4 )
Hallamos P.
P= -5 – (-3) = -2
Remplazamos en la formula los valores para encontrar la ecuación de la
parábola.
( y – k)² = 4p ( x – h )
( y – 4)² = 4( -2) (x- (-3) )
( y – 4 )² = -8 ( x + 3)
Y así obtenemos la ecuación canoníca cuyo eje de simetría es paralelo al eje x.
