2015/7/31 - 7/5 に’おこなわれた学園オリンピックの講演資料です。2つ目です。

1. プロジェクト学習
1. 正多面体
理学部情報数理学科
大西 建輔

2. 今日学ぶこと
• 正多面体とは何か?
• 正多面体は5種類しかない
• 正多面体の展開図

3. 正多面体とは?
以下の条件を満たす多面体
1. 全ての面が合同な正多角形
2. 頂点に集まる辺(面)の数が等しい
3. 凸多面体: 多面体の内部のどの2点を結ぶ線分
も多面体に含まれる.
もし, 条件1が無いと?
⇒ 平行六面体

4. 正多面体とは?
以下の条件を満たす多面体
1. 全ての面が合同な正多角形
2. 頂点に集まる辺(面)の数が等しい
3. 凸多面体: 多面体の内部のどの2点を結ぶ線分
も多面体に含まれる.
もし, 条件2が無いと?
⇒ 正四面体を繋げた多面体

5. 正多面体とは?
以下の条件を満たす多面体
1. 全ての面が合同な正多角形
2. 頂点に集まる辺(面)の数が等しい
3. 凸多面体: 多面体の内部のどの2点を結ぶ線分
も多面体に含まれる.

6. 正多面体
正多面体は5種類のみ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%A4%9A%E9%9D%A2%E4%BD%93 より
正四面体
(三角形)
立方体
(正方形)
正八面体
(三角形)
正12面体
(正五角形)
正20面体
(三角形)

7. 正多面体は5種類しかない
多面体 面の形 面数 辺数 頂点数
正四面体 正三角形
立方体 正方形
正八面体 正三角形
正十二面体 正五角形
正二十面体 正三角形
問題: 条件3を満たさない多面体にはどんなものがあるだろうか?

8. 正多面体は5種類しかない
多面体 面の形
面数
F
辺数
E
頂点数
V
F‐E+V
正四面体 正三角形 4 6 4 2
立方体 正方形 6 12 8 2
正八面体 正三角形 8 12 6 2
正十二面体 正五角形 12 30 20 2
正二十面体 正三角形 20 30 12 2

9. 正多面体は5種類しかない(証明)
「凸な頂点に集まる角度の和は、360°未満」
• ポリドロンで試してみよう
• 正三角形では?
• 正方形では?
• 正五角形では?
• 正六角形では?
• …

10. 正多面体は5種類しかない(証明)
(*) 「凸な頂点に集まる角度の和は、360°未満」
M : 正多角形の頂点数 (M>= 3)
N : 頂点に集まる辺(面の数) (N>=3)
• 正M角形の一つの内角 180(M‐2)/M
• 一つの頂点に集まる角度 180(M‐2)*N/M
• (*)より 180(M‐2)*N/M < 360
• これを展開すると, (M‐2)*N < 2M
• 整理すると, (M‐2)(N‐2) < 4

11. 正多面体は5種類しかない(証明)
(*) 「凸な頂点に集まる角度の和は、360°未満」
M : 正多角形の頂点数 (M>= 3)
N : 頂点に集まる辺(面の数) (N>=3)
…
• 整理すると, (M‐2)(N‐2) < 4
• これを満たす(M,N)は?
⇒ (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3)
⇒ 正四面体, 正八面体, 正二十面体,
立方体, 正十二面体

12. 正多面体の展開図
• 展開図は何種類あるか?
• 正四面体 2種類
• 立方体 11種類
• 正八面体 11種類
• 正12面体 43380種類
• 正20面体 43380種類
実際に立方体、正八面体の展開図を作ってみよう

13. 正多面体の展開図(立方体)
11種類

14. 正多面体の展開図(正八面体)
11種類

15. 正多面体の展開図(正12面体)
43380通り(Hippenmeyer, 1979)
http://www.al.ics.saitama‐u.ac.jp/horiyama/research/unfolding/index.ja.html より
列挙: どういう展開図があるかを全て出力(堀山ら, 2011)

16. 正多面体の展開図(正20面体)
43380通り(Hippenmeyer, 1979)
http://www.al.ics.saitama‐u.ac.jp/horiyama/research/unfolding/index.ja.html より
列挙: どういう展開図があるかを全て出力(堀山ら, 2011)

17. 多面体(の展開図)を作ってみよう
例えば
• 条件3だけを満たさない正多面体もどきは?
• 凸でない多面体で、条件1,2は満たす
• 切頂20面体を辺展開した時に、面が重なるものは?
• サッカーボールの形, 正20面体の頂点を切った形
• 展開図の直径が最大の展開図
• 直径とは, 展開図の2点を結ぶ最大の長さ
• 展開図の幅が最小の展開図
• 幅とは, 展開図を挟む2直線の距離
• 展開図を含む長方形の面積が最小の展開図