09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
•
13 j'aime•89,307 vues
Recommandé
Contenu connexe
Tendances
Tendances (20)
Similaire à 09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
Similaire à 09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล (20)
Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์
Plus de กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนอุตรดิตถ์ (20)
09 การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ ตอนที่3_สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
- 1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ (เนื้อหาตอนที่ 3) สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล โดย อาจารย์ ดร.จิณดิษฐ์ ละออปักษิณ สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.) กระทรวงศึกษาธิการ
- 2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ สื่อการสอน เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 9 ตอน ซึ่ง ประกอบด้วย 1. บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ 2. เนื้อหาตอนที่ 1 การให้เหตุผล - การให้เหตุผลแบบอุปนัย - การให้เหตุผลแบบนิรนัย 3. เนื้อหาตอนที่ 2 ประพจน์และการสมมูล - ประพจน์และค่าความจริง - ตัวเชื่อมประพจน์ - การสมมูล 4. เนื้อหาตอนที่ 3 สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล - เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ - สัจนิรันดร์ - การอ้างเหตุผล 5. เนื้อหาตอนที่ 4 ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ - ประโยคเปิด - วลีบ่งปริมาณ 6. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน) 7. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง) 8. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง หอคอยฮานอย 9. สื่อปฏิสัมพันธ์ เรื่อง ตารางค่าความจริง คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง การให้เหตุผลและ ตรรกศาสตร์ นอกจากนี้ ห ากท่ า นสนใจสื่ อ การสอนวิ ช าคณิ ต ศาสตร์ ใ นเรื่ อ งอื่ น ๆที่ ค ณะผู้ จั ด ท าได้ ดาเนินการไปแล้ว ท่านสามารถดูชื่อเรื่อง และชื่อตอนได้จากรายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดใน ตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้ 1
- 3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ (สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล) หมวด เนื้อหา ตอนที่ 3 (3/4) หัวข้อย่อย 1. เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ 2. สัจนิรันดร์ 3. การอ้างเหตุผล จุดประสงค์การเรียนรู้ เพื่อให้ผู้เรียน 1. มีความเข้าใจและสามารถนาเอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ได้อย่างถูกต้อง เหมาะสม 2. มีความเข้าใจในความหมายของสัจนิรันดร์และสามารถตรวจสอบสัจนิรันดร์ได้ 3. มีความเข้าใจในการอ้างเหตุผลและสามารถนาไปใช้ตรวจสอบความสมเหตุสมผลได้ ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง ผู้เรียนสามารถ 1. บอกเอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ที่สาคัญ 2. นาเอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ไปใช้ตรวจสอบการสมมูลของประพจน์ได้ 3. บอกความหมาย และวิธีการตรวจสอบสัจนิรันดร์ได้ 4. ตรวจสอบสัจนิรันดร์ได้อย่างถูกต้อง เหมาะสม 5. อธิบายวิธีการตรวจสอบความสมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผลได้ 6. ตรวจสอบได้ว่าการอ้างเหตุผลที่กาหนดให้เป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผลหรือไม่ 2
- 4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เนื้อหาในสื่อการสอน เนื้อหาทั้งหมด 3
- 5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ 4
- 6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 1. เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ทราบถึงวิธีการตรวจสอบความสมมูลของประพจน์อีกหนึ่งวิธี คือการใช้ เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ ซึ่งมีความสะดวกและกระชับกว่าการสร้างตารางค่าความจริง เนื้อหาในสื่อเริ่มต้นด้วยการทบทวนการตรวจสอบการสมมูลของประพจน์ด้วยการสร้างตารางค่าความจริง และชี้ให้เห็นว่าประพจน์ที่สมมูลกันนั้นสามารถนาไปใช้อ้างอิงต่อไปได้โดยไม่ต้องสร้างตารางตรวจสอบ 5
- 7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ในที่นี้ผู้สอนอาจให้นักเรียนระบุประพจน์ที่ได้เคยตรวจสอบด้วยตารางค่าความจริงแล้วว่าสมมูลกัน จาก การเรียนในครั้งที่ผ่านมา โดยเขียนเป็นรายการบนกระดานดา จากนั้นยกตัวอย่างการตรวจสอบความสมมูล เพิ่มเติม โดยให้นักเรียนนาประพจน์ที่สมมูลกันตามรายการบนกระดานดามาใช้อ้างอิง เมื่อผู้เรียนเริ่มเข้าใจและเห็นถึงประโยชน์ของการนาความรู้เก่าคือประพจน์ที่เคยตรวจสอบว่า สมมูลกัน มาใช้อ้างอิงเพื่อตรวจสอบความสมมูลของประพจน์คู่ต่อๆไป ผู้สอนจึงแนะนา เอกลักษณ์ในการ เชื่อมประพจน์ และนาเสนอเอกลักษณ์ที่ใช้กันโดยทั่วไปในชั้นนี้ ดังนี้ ผู้สอนควรชี้ให้เห็นถึงลักษณะสาคัญของแต่ละกลุ่มเอกลักษณ์ เช่น การสลับที่ การกระจาย ตลอดจน เอกลักษณ์ที่มักมีการนาไปใช้คลาดเคลื่อน 6
- 8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ตัวอย่างนี้ เป็นการแสดงการสมมูลของประพจน์ ซึ่งอยู่นอกเหนือจากเอกลักษณ์ที่กล่าวถึงข้างต้น โดยอาศัยตารางค่าความจริง จากนั้นจึงแสดงวิธีการใช้งานของเอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์นี้ โดยใน ตอนท้ายได้แสดงการตรวจสอบโดยใช้เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ นอกจากนี้ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเพื่อเป็นการทบทวนและฝึกการนาเอกลักษณ์การเชื่อม ประพจน์ไปใช้ในการตรวจสอบการสมมูลของประพจน์ที่กาหนดให้ 7
- 9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ตัวอย่าง 1 ~ p (q (r p)) p (~ q ) r หรือไม่ วิธีทา ~ p (q (r p) p ( q ( r p )) p (~ q ( r p )) p (~ q ) r p p p (~ q ) r ~ p (q (r p) p (~ q ) r ตัวอย่าง 2 ~ (( p q ) (~ q r )) p ~ (~ q r ) หรือไม่ วิธีทา ~ (( p q ) (~ q r )) ~ (~ ( p q ) (~ q r )) ( p q ) ~ (~ q r ) ( p q ) (q ~ r ) p q q ~ r p ( q q ) ~ r p q ~ r ~ (( p q ) (~ q r )) p ~ (~ q r ) ตัวอย่าง 3 p ( p q ) ~p q หรือไม่ วิธีทา p ( p q ) ~p ( p q ) (~p p ) (~ p q ) t (~ p q ) ~ pq pq ดังนั้น p ( p q ) ไม่สมมูลกับ ~p q ในที่นี้ควรอธิบายเพิ่มว่า ~ p p เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ ดังนั้นเมื่อเชื่อม ประพจน์นี้ด้วยตัวเชื่อม “และ” กับประพจน์ใด ค่าความจริงของประพจน์ใหม่ จะตรงกับค่าความจริง ของประพจน์นั้น และอาจใช้สัญลักษณ์ t แทนประพจน์ที่มีค่าความจริงดังตัวอย่าง 8
- 10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ตัวอย่าง 4 p ~ ( q p) ~p (~ p ~ q ) หรือไม่ วิธีทา p ~ ( q p ) p ~ (~ q p) p ( q ~ p) ~p ( q ~ p ) ~p (~ p q ) ดังนั้น p ~ (q p) ไม่สมมูลกับ ~p (~ p ~ q ) ตัวอย่าง 5 ( p q ) ( ~q p) ( ~p q ) หรือไม่ วิธีทา ( p q ) ( p q ) ( q p) ( ~p q ) ( ~q p ) ( p q ) ( ~q p) ( ~p q ) 9
- 11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ 10
- 12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ จงใช้เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์เพื่อแสดงว่าข้อความที่กาหนดให้เป็นจริง หรือยกตัวอย่างค่าความจริงของ ประพจน์เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อความที่กาหนดให้เป็นเท็จ 1. p q ~q ~p 2. p (q r ) ( ~p q) r 3. ~ p (q p) ~ q p 4. ~ (( p q) r ) (~ p q) ~ r 5. ( p r ) (r p) (~ r p) (~ p r ) 6. (~ p q ) r ( r p) ( r ~ q ) 7. ( p q) r (~ q ~ r ) ~ p 8. ( p ~ q) (r s) ~ (q ~ r ) (~ s ~ p) 9. ( p q) (q r ) (r q) q p 10. ~ [~ (~ (~ p q )) ( r q )] ~ [( p r ) q] 11
- 13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. สัจนิรนดร์ ั 12
- 14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 2. สัจนิรันดร์ ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงความหมายของ สัจนิรันดร์ และการตรวจสอบสัจนิรันดร์ โดย อาศัยความรู้ที่เรียนมาก่อนหน้าทั้งการสร้างตารางค่าความจริง เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ รวมถึง เทคนิคในการตรวจสอบแบบอื่นๆ ซึ่งเหมาะสมกับโครงสร้างของประพจน์แตกต่างกันไป หลังจากที่เข้าใจความหมายของสัจนิรันดร์ และเห็นการตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยใช้วิธีพื้นฐาน ซึ่ง คือการสร้างตารางค่าความจริงแล้ว จากนั้นจึงเป็นการอธิบายถึงวิธีการตรวจสอบโดยอาศัยเอกลักษณ์ใน การเชื่อมประพจน์ 13
- 15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ทั้งผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมดังนี้ ตัวอย่าง 1 จงตรวจสอบว่า ( p q ) ( p q ) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ โดยใช้เอกลักษณ์การเชื่อม ประพจน์ วิธีทา ( p q) ( p q) ~( p q ) ( p q ) ( ~p ~q ) (( p q ) ( q p )) ( ~p ~q ) (( ~p q ) ( ~q p )) ( ~p ~q ~p q ) ( ~p ~q ~q p )) ( ~p ~p ~q q ) ( ~p p ~q ~q )) ( ~p t ) (t ~q )) t t ( p q) ( p q) t ดังนั้น ประพจน์ที่กาหนดให้เป็นสัจนิรันดร์ นอกจากนี้ในการตรวจสอบสัจนิรันดร์ หากต้องการแสดงว่าประพจน์ที่กาหนดให้ไม่เป็น สัจนิรันดร์ เพียงพอที่จะแสดงโดยการยกตัวอย่างค่าความจริงของประพจน์ เพื่อแสดงให้เห็นว่าประพจน์ที่ กาหนดให้นั้นสามารถมีค่าความจริงเป็น เท็จ ได้ ทั้งนี้ผู้สอนอาจยกตัวอย่างประกอบเพิ่มเติมตามความ เหมาะสม 14
- 16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ผู้สอนนาเสนอวิธีการตรวจสอบสัจนิรันดร์อีกวิธี คือ การตรวจสอบด้วยวิธีการขัดแย้ง ทั้งนี้อาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมดังนี้ 15
- 17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ตัวอย่าง 2 จงตรวจสอบว่า ( p ( p q )) q เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทา สมมติให้ ( p ( p q )) q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น p ( p q ) มีค่าความจริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็นจริงและ p q มีค่าความจริงเป็นจริง ….(*) แต่จาก p มีค่าความจริงเป็นจริงและ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ p q จึงมีค่าความจริงเป็นเท็จ….(**) จาก (*) และ (**) ทาให้เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น ( p ( p q )) q เป็นสัจนิรันดร์ ตัวอย่าง 3 จงตรวจสอบว่า ( p q ) p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทา สมมติให้ ( p q ) p มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น p q มีค่าความจริงเป็นเท็จและ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ….(*) จาก p q เป็นเท็จจะได้ว่า q มีค่าความจริงเป็นเท็จ p มีค่าความจริงเป็นเป็นจริง....(**) จาก (*) และ (**) ทาให้เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น ( p q ) p เป็นสัจนิรันดร์ ผู้สอนควรเปิดโอกาสให้นักเรียนได้สังเกต และสรุปหลักการของการตรวจสอบโดยวิธีขัดแย้ง โดยใช้ ค าถามกระตุ้ นให้ นั ก เรี ย นได้ คิ ด ถึ ง การน าการตรวจสอบโดยวิ ธี ขั ด แย้ ง ไปใช้ กั บประพจน์ ใ น โครงสร้างอื่นๆ 16
- 18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ผู้สอนอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับการตรวจสอบสัจนิรันดร์ สาหรับโครงสร้างประพจน์ที่เชื่อมกันด้วย “ก็ต่อเมื่อ” ดังนี้ ตัวอย่าง 4 จงตรวจสอบว่า (( p q) (~ q r )) ( p q) r เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ วิธีทา (( p q ) (~ q r )) ((~ p q ) ( q r )) ~ pqqr ~ pqr (~ p q ) r ( p q) r ดังนั้น (( p q) (~ q r )) ( p q ) r เป็นสัจนิรันดร์ 17
- 19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ก่ อนจบในหัว ข้ อ นี้ ผู้ ส อนควรเปิด โอกาสให้นั ก เรี ย นได้ ส รุ ปหลัก การ วิ ธีก าร การตรวจสอบ สัจนิรันดร์ ทั้งการสร้างตารางค่าความจริง การใช้เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ การยกตัวอย่างกรณีค่า ความจริงที่ทาให้ประพจน์มีค่าความจริงเป็นเท็จ และการตรวจสอบโดยวิธีการขัดแย้ง เพื่อช่วยให้นักเรียน ได้เห็นข้อเด่น และข้อจากัดของการตรวจสอบแต่ละแบบ และเลือกใช้ได้อย่างเหมาะสม ถูกต้อง 18
- 20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง สัจนิรันดร์ 19
- 21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง สัจนิรันดร์ จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ 1. ( p ( p ~ s )) s 2. [( p ( p ~ q )) ( p q )] q 3. [~ p ( q ( r p ))] [~ q p r ] 4. ~ [( p q ) (~ q r )] [ p ~ ( q r )] 5. ( p ( q ~ s )) ( p s ) q 6. [ p ( p q )] [ p q] 7. [( p q ) ( p r )] ( p r ) q 8. p (~ p ( p q )) 9. ( p ~ ( q p )) (~ p (~ p q )) 10. ( q ( r p )) (~ r ( p q )) 20
- 22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. การอ้างเหตุผล 21
- 23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 3. การอ้างเหตุผล ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาถึงเกี่ยวกับการตรวจสอบการอ้างเหตุผล ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่ โดย อาศัยความรู้เรื่องสัจนิรันดร์ที่ได้เรียนมาก่อนหน้านี้ หลังจากที่เข้าใจความหมายและวิธีการของการตรวจสอบความสมเหตุสมผลแล้ว ผู้สอนควร ชี้ให้เห็นว่าวิธีการตรวจสอบนี้ เป็นการนาความรู้เรื่องสัจนิรันดร์มาใช้ จากนั้นจึงนาเสนอตัวอย่างที่ หลากหลาย เพื่อช่วยให้นักเรียนได้เห็นถึงวิธีการตรวจสอบแบบอื่น ที่ไม่ต้องอาศัยการตรวจสอบ สัจนิรันดร์โดยตรง ตลอดจนการอ้างเหตุผลที่เป็นข้อความในชีวิตประจาวัน 22
- 24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ตัวอย่างนี้แสดงการตรวจสอบการอ้างเหตุผลในอีกแบบหนึ่ง จากนั้นจึงเป็นการนาเสนอตัวอย่างที่ ซับซ้อนขึ้น ทั้งนี้ผู้สอนการยกตัวอย่างเพิ่มเติม ดังนี้ 23
- 25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ตัวอย่าง 1 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ (1) แมวไม่จับปลาหรือแมวกินปลา (2) แมวไม่กินปลา ผล แมวไม่จับปลา วิธีทา ให้ p แทนข้อความ “แมวจับปลา” และ q แทนข้อความ “แมวกินปลา” จะได้ว่า เหตุ (1) ~ p q (2) ~ q ผล ~p ตรวจสอบความสมเหตุสมผล โดยพิจารณาว่า [(~ p q) ~ q] ~ p เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ สมมติให้ [(~ p q) ~ q] ~ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น (~ p q ) ~ q มีค่าความจริงเป็นจริงและ ~ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็นจริง จาก (~ p q ) ~ q มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า ~ p q มีค่าความจริงเป็นจริง และ ~ q มีค่าความจริงเป็นจริง นั่นคือ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และจาก ~ p q มีค่าความจริงเป็นจริง ทาให้ ~p มีค่าความจริงเป็นจริง เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น [(~ p q) ~ q] ~ p เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล ตัวอย่าง 2 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ (1) (~ p r ) s (2) ~ r s ผล p วิธีทา สมมติให้ [((~ p r ) s) (~ r s)] p มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น ((~ p r ) s ) (~ r s ) มีค่าความจริงเป็นจริงและ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก ((~ p r ) s ) (~ r s ) มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า (~ p r ) s มีค่าความจริงเป็นจริง และ ~ r s มีค่าความจริงเป็นจริง 24
- 26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย นั่นคือ ~ r มีค่าความจริงเป็นจริง และ s มีค่าความจริงเป็นจริง ไม่เกิดข้อขัดแย้ง และเมื่อให้ p, r และ s มีค่าความจริงเป็น เท็จ เท็จ และ จริง ตามลาดับ จะได้ว่า [((~ p r ) s) (~ r s)] p มีค่าความจริงเป็นเท็จ [((~ p r ) s ) (~ r s )] p ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ไม่สมเหตุสมผล ตัวอย่าง 3 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ (1) ( p ~ r ) ( r p ) (2) r ผล pr วิธีทา สมมติให้เหตุข้อ (1) และ (2) เป็นจริง จากเหตุข้อ (2) เป็นจริงจะได้ว่า r มีค่าความจริงเป็นจริง ทาให้ p r มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล ตัวอย่าง 4 จงพิจารณาว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ เหตุ (1) ( p r ) ~ ( r q ) (2) p (3) r q ผล ( p r) q วิธีทา สมมติให้เหตุทุกข้อเป็นจริง จากเหตุข้อ (2) เป็นจริงจะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็นจริง จากเหตุข้อ (3) เป็นจริงจะได้ว่า r มีค่าความจริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่าเหตุข้อ (1) เป็นเท็จ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ไม่สมเหตุสมผล 25
- 27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การอ้างเหตุผล 26
- 28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดเพิ่มเติม เรื่อง การอ้างเหตุผล จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ 1. เหตุ (1) ถ้าปลาว่ายน้าแล้วคนเดินได้ (2) ปลาไม่ว่ายน้าหรือคนเดินไม่ได้ ผล ปลาทะเลว่ายน้าหรือคนเดินได้ 2. เหตุ (1) ถ้าหนูดีไม่ไปตลาดแล้วหนูแดงอยู่บ้าน (2) หนูดีไม่ไปตลาด ผล หนูแดงอยู่บ้าน 3. เหตุ (1) ถ้าวันจันทร์ฝนตกแล้ววันอังคารฝนตก (2) ถ้าวันพุธฝนตกแล้ววันจันทร์ฝนตก (3) วันจันทร์ฝนไม่ตก ผล วันอังคารฝนไม่ตก 4. เหตุ (1) p ~ q (2) q r (3) ~ r ผล p 5. เหตุ (1) p q (2) ~ q r ผล pr 27
- 29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 6. เหตุ (1) ~ r (~ p q ) (2) ( p r ) ~ s (3) ~ q ผล ~s 7. เหตุ (1) ( p ~ q ) ( q p ) (2) ~ q ผล pq 8. เหตุ (1) p (~ p q ) (2) ~ q r (3) ~ r ผล p 9. เหตุ (1) p q (2) q r (3) ~ r s ผล s 10. เหตุ (1) p ( q r ) (2) p (3) ~ t q ผล r t 28
- 30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 29
- 31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สรุปสาระสาคัญประจาตอน 30
- 32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 31
- 33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 1 แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม 32
- 34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย แบบฝึกหัดระคน จงเลือกข้อที่ถูกต้อง 1. ~ p (~ q (~ r ~ p)) สมมูลกับข้อใดต่อไปนี้ ก. (~ p r ) q ข. ( p r ) q ค. ( p ~ r ) q ง. (~ p ~ r ) q 2. ~ (( p q ) (~ q r )) สมมูลกับข้อใดต่อไปนี้ ก. p ~ (~ q r ) ข. p (~ q r ) ค. p ~ (q r ) ง. p (~ q ~ r ) 3. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก. ( p r ) ~ (q p) สมมูลกับ (( p r ) q) ( p ( p r )) ข. ( p r ) ~ (q p) สมมูลกับ (( p r ) q) ( p ( p ~r )) ค. ( p r ) ~ (q p) ไม่สมมูลกับ (( p r ) q) ( p ~( ~p r )) ง. ( p r ) ~ (q p) ไม่สมมูลกับ (( p r ) q) ( p ( ~p r )) 4. (q (~ p q )) ~ p ไม่สมมูลกับข้อใด ก. (q ( p ~ q )) ~ p ข. (q ( p ~ q )) p ค. p ( q ( p ~ q )) ง. ~ p (q ( p ~ q )) 5. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) ( p ~q ) (q r ) สมมูลกับ ~(q r p) (( p q ) (q r )) ข) ( p ~q ) (q r ) สมมูลกับ ( ~q p) ( ~p q ) ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก. ข้อ ก) และ ข) ถูก ข. ข้อ ก) ถูก และ ข) ผิด ค. ข้อ ก) ผิด และ ข) ถูก ง. ข้อ ก) และ ข) ผิด 33
- 35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 6. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) (~ p ( p ~ q )) ~ q เป็นสัจนิรันดร์ ข) (( p q ) ( p q )) ((r q ) ( p p )) เป็นสัจนิรันดร์ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก. ข้อ ก) และ ข) ถูก ข. ข้อ ก) ถูก และ ข) ผิด ค. ข้อ ก) ผิด และ ข) ถูก ง. ข้อ ก) และ ข) ผิด 7. พิจารณาข้อความต่อไปนี้ ก) (~ p q ) ( p r ) ( q r ) เป็นสัจนิรันดร์ ข) (( p ~ q) (~ q (r ~ p)) ~ [((q ( p r )) ~ ( q p)] เป็นสัจนิรันดร์ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก. ข้อ ก) และ ข) ถูก ข. ข้อ ก) ถูก และ ข) ผิด ค. ข้อ ก) ผิด และ ข) ถูก ง. ข้อ ก) และ ข) ผิด 8. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก) เหตุ (1) ถ้าแดงไม่อ่านหนังสือหรือดาไปเที่ยว แล้วเขียวไปโรงเรียน (2) เขียวไม่ไปโรงเรียนและเหลืองว่ายน้า ผล แดงอ่านหนังสือและดาไม่ไปเที่ยว ข) เหตุ (1) p ~ q (2) q r (3) ~ r ผล pr ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก. การอ้างเหตุผลข้อ ก) และ ข) สมเหตุสมผล ข. การอ้างเหตุผลข้อ ก) สมเหตุสมผล แต่ข้อ ข) ไม่สมเหตุสมผล ค. การอ้างเหตุผลข้อ ก) ไม่สมเหตุสมผล แต่ข้อ ข) สมเหตุสมผล ง. การอ้างเหตุผลข้อ ก) และ ข) ไม่สมเหตุสมผล 34
- 36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 9. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ ก) เหตุ (1) p ~ q (2) q r (3) ~ r ผล (r p) p ข) เหตุ (1) r ( r q ) (2) ( p t ) r (3) ( r q ) p (4) t ~ r ผล ( p r ) ~ t ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก. การอ้างเหตุผลข้อ ก) และ ข) สมเหตุสมผล ข. การอ้างเหตุผลข้อ ก) สมเหตุสมผล แต่ข้อ ข) ไม่สมเหตุสมผล ค. การอ้างเหตุผลข้อ ก) ไม่สมเหตุสมผล แต่ข้อ ข) สมเหตุสมผล ง. การอ้างเหตุผลข้อ ก) และ ข) ไม่สมเหตุสมผล 10. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้ เหตุ (1) นัดกินก๋วยเตี๋ยวและแชมป์ไม่กินข้าวมันไก่ (2) วิไลกินขนมหวานก็ต่อเมื่อนัดกินก๋วยเตี๋ยว ผล ...................................................................... ผล ควรเป็นข้อใดต่อไปนี้ จึงทาให้การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล ก. แชมป์กินข้าวมันไก่ หรือ วิไลไม่กินขนมหวาน ข. แชมป์กินข้าวมันไก่ ก็ต่อเมื่อ วิไลกินขนมหวาน ค. วิไลกินขนมหวาน และ นัดไม่กินก๋วยเตี๋ยว ง. ถ้านัดกินก๋วยเตี๋ยว แล้ว วิไลกินขนมหวาน 35
- 37. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ภาคผนวกที่ 2 เฉลยแบบฝึกหัด 36
- 38. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์ จงใช้เอกลักษณ์ในการเชื่อมประพจน์เพื่อแสดงว่าข้อความที่กาหนดให้เป็นจริง หรือยกตัวอย่างค่าความจริงของ ประพจน์เพื่อแสดงให้เห็นว่าข้อความที่กาหนดให้เป็นเท็จ 1. p q ~q ~p วิธีทา p q ~p q q ~p p q ~q ~p 2. p (q r ) ( ~p q) r วิธีทา p ( q r ) ~p ( ~q r ) ( ~p ~q ) r ~( p q ) r p (q r ) ( p q ) r และเมื่อให้ p q มีค่าความจริงเป็นจริง และ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่าประพจน์ที่กาหนดให้ไม่สมมูลกัน 3. ~ p (q p) ~ q p วิธีทา ~ p ( q p ) p (~ q p ) ~ q ( p p) ~q p ~ p (q p) q p และเมื่อให้ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่าประพจน์ที่กาหนดให้ไม่สมมูลกัน 4. ~ (( p q) r ) (~ p q) ~ r วิธีทา ~ (( p q ) r ) ~ (~ ( p q ) r ) ~ (~ (~ p q ) r ) ~ (( p q ) r ) (~ p q ) ~ r 37
- 39. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 5. ( p r ) (r p) (~ r p) (~ p r ) วิธีทา ( p r ) ( r p ) ( p r ) ( r p ) ( r p ) ( p r ) (r p) (~ p r ) (~ r p ) ( p r ) ( r p ) (~ r p ) (~ p r ) 6. (~ p q) r (r p) (r ~ q ) วิธีทา (~ p q ) r ~ (~ p q ) r ( p ~ q ) r r ( p ~ q ) ( ~ p q ) r (r p) (r ~ q ) 7. ( p q) r (~ q ~ r ) ~ p วิธีทา ( p q) r (~ p q ) r ( q r ) ~ p ~ ( q r ) ~ p ( p q) r (~ q ~ r ) ~ p 8. ( p ~ q) (r s) ~ (q ~ r ) (~ s ~ p) วิธีทา ( p ~ q ) ( r s ) (~ p ~ q ) (~ r s ) (~ q ~ r ) ( s ~ p ) ~ (~ q ~ r ) ( s ~ p ) ( p ~ q ) ( r s ) ~ ( q ~ r ) (~ s ~ p ) 9. ( p q) (q r ) (r q) q p วิธีทา ( p q ) ( q r ) ( r q ) (~ p q ) (~ q r ) (~ r p ) ~ p (q ~ q ) (r ~ r ) q ~ pt t q ~ pq ( p q ) (q r ) (r q ) p q 38
- 40. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เมื่อให้ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริงและเท็จ ตามลาดับ จะได้ว่าประพจน์ที่กาหนดให้ไม่สมมูลกัน 10. ~ [~ (~ (~ p q )) ( r q )] ~ [( p r ) q] วิธีทา ~ [~ (~ (~ p q )) ( r q )] ~ [(~ p q ) ( r q )] ~ [(~ p q ) (~ r q )] ~ (~ p q ) ~ (~ r q ) ( p ~ q ) (r ~ q ) ( p r ) (~ q ~ q ) ( p r ) ~ q ~ [~ ( p r ) q ] ~ [~ (~ (~ p q )) ( r q )] ~ [( p r ) q ] 39
- 41. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง สัจนิรันดร์ จงตรวจสอบว่าประพจน์ต่อไปนี้ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ 1. ( p ( p ~ s )) s วิธีทา สมมติให้ ( p ( p ~ s)) s มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น p ( p ~ s ) มีค่าความจริงเป็นจริงและ s มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็นจริง และ p ~ s มีค่าความจริงเป็นจริง จาก p ~ s มีค่าความจริงเป็นจริงและ p มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า ~ s มีค่าความจริงเป็นจริง ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ทาให้ได้ว่า เมื่อ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ s มีค่าความเท็จ ( p ( p ~ s )) s จะมีค่าความจริงเป็นเท็จ นั่นคือไม่เป็นสัจนิรันดร์ 2. [( p ( p ~ q )) ( p q )] q วิธีทา สมมติให้ [( p ( p ~ q )) ( p q )] q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น ( p ( p ~ q )) ( p q ) มีค่าความจริงเป็นจริงและ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า p q มีค่าความจริงเป็นจริง และ p ( p ~ q ) มีค่าความจริงเป็นจริง จาก q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และจากจะได้ว่า p q มีค่าความจริงเป็นจริง ทาให้ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น p ( p ~ q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น [( p ( p ~ q )) ( p q )] q เป็นสัจนิรันดร์ 3. [~ p ( q ( r p ))] [~ q p r ] วิธีทา ให้ p, q และ r มีค่าความจริงเป็น เท็จ จริง และ เท็จ ตามลาดับ จะได้ว่า ~ q p r มีค่าความจริงเป็นเท็จ 40
- 42. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ดังนั้น [~ p ( q ( r p ))] [~ q p r ] ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 4. ~ [( p q ) (~ q r )] [ p ~ ( q r )] วิธีทา ให้ p, q และ r มีค่าความจริงเป็น เท็จ จริง และ จริง ตามลาดับ จะได้ว่า p ~ ( q r ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น ~ [( p q ) (~ q r )] [ p ~ ( q r )] ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 5. [( p ( q ~ s )) ( p s )] q วิธีทา สมมติให้ [( p ( q ~ s )) ( p s)] q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น ( p ( q ~ s )) ( p s ) มีค่าความจริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า p ( q ~ s ) มีค่าความจริงเป็นจริงและ p s มีค่าความจริงเป็นจริง จาก p s มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น p มีค่าความจริงเป็นจริงและ s มีค่าความจริงเป็นจริง จาก p ( q ~ s ) มีค่าความจริงเป็นจริง และ p มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น q ~ s มีค่าความจริงเป็นจริง จาก ~s มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ทาให้ได้ว่า เมื่อให้ p, q และ s มีค่าความจริงเป็น จริง เท็จ และ จริง ตามลาดับ จะได้ว่า [( p ( q ~ s )) ( p s)] q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น [( p ( q ~ s )) ( p s)] q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 6. [ p ( p q )] [ p q ] วิธีทา จาก p ( p q ) ~ p ( p q) (~ p p ) (~ p q ) ~ pq pq ดังนั้น [ p ( p q )] [ p q] เป็นสัจนิรันดร์ 41
- 43. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 7. [( p q ) ( p r )] ( p r ) q วิธีทา ( p q ) ( p r ) (~ p q ) (~ p r ) ~ p (q r ) p (q r ) สังเกตว่า ( p q ) ( p r ) และ ( p r ) q ไม่สมมูลกัน โดยเมื่อให้ p, q และ r มีค่า ความจริงเป็น เท็จ ทั้งหมดแล้ว [( p q ) ( p r )] ( p r ) q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น [( p q ) ( p r )] ( p r ) q ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 8. p (~ p ( p q )) วิธีทา สมมติให้ p (~ p ( p q )) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น p มีค่าความจริงเป็นเท็จและ ~ p ( p q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก ~ p ( p q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า ~ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น q อาจมีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จได้ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง ทาให้ได้ว่า เมื่อให้ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า p (~ p ( p q )) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น p (~ p ( p q )) ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 9. ( p ~ ( q p )) (~ p (~ p q )) วิธีทา สมมติให้ ( p ~ ( q p )) (~ p (~ p q )) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น p ~ ( q p ) มีค่าความจริงเป็นเท็จและ ~ p (~ p q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ทาให้ p และ ~p มีค่าความจริงเป็นเท็จ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น ( p ~ ( q p )) (~ p (~ p q )) เป็นสัจนิรันดร์ 10. ( q ( r p )) (~ r ( p q )) วิธีทา สมมติให้ ( q ( r p )) (~ r ( p q )) มีค่าความจริงเป็นเท็จ 42
- 44. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย ดังนั้น q ( r p ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ ~ r ( p q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก q ( r p ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ r p มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น r จึงมีค่าความจริงเป็นจริงและ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก ~ r ( p q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น ~ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า q มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ p มีค่าความจริงเป็นจริง เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น ( q ( r p )) (~ r ( p q )) เป็นสัจนิรันดร์ 43
- 45. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย เฉลยแบบฝึกหัด เรื่อง การอ้างเหตุผล จงตรวจสอบว่าการอ้างเหตุผลต่อไปนี้สมเหตุสมผลหรือไม่ 1. เหตุ (1) ถ้าปลาว่ายน้าแล้วคนเดินได้ (2) ปลาไม่ว่ายน้าหรือคนเดินไม่ได้ ผล ปลาทะเลว่ายน้าหรือคนเดินได้ วิธีทา ให้ p แทนข้อความ “ปลาว่ายน้า” และ q แทนข้อความ “คนเดินได้” จะได้ว่า เหตุ (1) p q (2) ~ p ~ q ผล pq ตรวจสอบความสมเหตุสมผล โดยพิจารณาว่า (( p q ) (~ p ~ q )) ( p q ) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ ให้ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า (( p q ) (~ p ~ q )) ( p q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ นั่นคือ (( p q ) (~ p ~ q )) ( p q ) ไม่เป็นสัจนิรันดร์ นั่นคือ การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล 2. เหตุ (1) ถ้าหนูดีไม่ไปตลาดแล้วหนูแดงอยู่บ้าน (2) หนูดีไม่ไปตลาด ผล หนูแดงอยู่บ้าน วิธีทา ให้ p แทนข้อความ “หนูดีไปตลาด” และ q แทนข้อความ “หนูแดงอยู่บ้าน” 44
- 46. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย จะได้ว่า เหตุ (1) ~ p q (2) ~ p ผล q ตรวจสอบความสมเหตุสมผลซึ่งพิจารณาว่า ((~ p q ) (~ p )) q เป็น สัจนิรันดร์หรือไม่ สมมติให้ ((~ p q ) (~ p )) q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น (~ p q ) และ ~ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก (~ p q ) มีค่าความจริงเป็นจริง และ ~ p มีค่าความจริงเป็นจริง ทาให้ q มีค่าความจริงเป็นจริง เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น ((~ p q ) (~ p )) q เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล 3. เหตุ (1) ถ้าวันจันทร์ฝนตกแล้ววันอังคารฝนตก (2) ถ้าวันพุธฝนตกแล้ววันจันทร์ฝนตก (3) วันจันทร์ฝนไม่ตก ผล วันอังคารฝนไม่ตก วิธีทา ให้ p แทนข้อความ “วันจันทร์ฝนตก” q แทนข้อความ “วันอังคารฝนตก” และ r แทนข้อความ “วันพุธฝนตก” จะได้ว่า เหตุ (1) p q (2) r p (3) ~ p ผล ~q ตรวจสอบความสมเหตุสมผล โดยพิจารณาว่า (( p q ) ( r p ) ~ p ) (~ q ) เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ 45
- 47. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย สมมติให้ (( p q ) ( r p ) ~ p ) (~ q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น (( p q ) ( r p ) ~ p ) มีค่าความจริงเป็นจริงและ ~ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก (( p q ) ( r p ) ~ p ) มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า p q มีค่าความจริงเป็นจริง r p มีค่าความจริงเป็นจริง และ ~ p มีค่าความ จริงเป็นจริง ดังนั้น p มีค่าความจริงเป็นเท็จ q มีค่าความจริงเป็นจริง จาก r p มีค่าความจริงเป็นจริง และ p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ ไม่เกิดข้อขัดแย้ง และเมื่อให้ p, q และ r มีค่าความจริงเป็น เท็จ จริง และ เท็จ ตามลาดับ (( p q ) ( r p ) ~ p ) (~ q ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ไม่สมเหตุสมผล 4. เหตุ (1) p ~ q (2) q r (3) ~ r ผล p วิธีทา สมมติให้ (( p ~ q ) ( q r ) ~ r ) p มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น ( p ~ q ) ( q r ) ~ r มีค่าความจริงเป็นจริง p มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก ( p ~ q ) ( q r ) ~ r มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า p ~ q มีค่าความจริงเป็นจริง q r มีค่าความจริงเป็นจริง ~ r มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น r มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ q มีค่าความจริงเป็นจริง ไม่เกิดข้อขัดแย้ง และเมื่อให้ p, q และ r มีค่าความจริงเป็น เท็จ จริง และ เท็จ ตามลาดับ จะได้ว่า (( p ~ q ) ( q r ) ~ r ) p มีค่าความจริงเป็นเท็จ (( p ~ q ) ( q r ) ~ r ) p จึงไม่เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้นการอ้างเหตุผลนี้ไม่สมเหตุสมผล 5. เหตุ (1) p q 46
- 48. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย (2) ~ q r ผล pr วิธีทา สมมติให้ (( p q ) (~ q r )) ( p r ) มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น ( p q ) (~ q r ) มีค่าความจริงเป็นจริง p r มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก p r มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็นเท็จ และ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก ( p q ) (~ q r ) มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น p q มีค่าความจริงเป็นจริง ทาให้ p มีค่าความจริงเป็นจริง เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น (( p q ) (~ q r )) ( p r ) เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล 6. เหตุ (1) ~ r (~ p q ) (2) ( p r ) ~ s (3) ~ q ผล ~s วิธีทา สมมติให้ [[~ r (~ p q )] [( p r ) ~ s] ~ q] ~ s มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น [~ r (~ p q )] [( p r ) ~ s] ~ q มีค่าความจริงเป็นจริงและ ~ s มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก [~ r (~ p q )] [( p r ) ~ s] ~ q มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า ~ r (~ p q ) มีค่าความจริงเป็นจริง ( p r ) ~ s มีค่าความจริงเป็นจริง ~ q มีค่าความจริงเป็นจริง ทาให้ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก ( p r ) ~ s มีค่าความจริงเป็นจริง และ ~ s มีค่าความจริงเป็นเท็จ ทาให้ได้ว่า p r มีค่าความจริงเป็นเท็จ นั่นคือ p มีค่าความจริงเป็นจริง และ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ จาก ~ r (~ p q ) มีค่าความจริงเป็นจริง q มีค่าความจริงเป็นเท็จ p มีค่าความจริงเป็น จริง ทาให้ ~ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ นั่นคือ r มีค่าความจริงเป็นจริง เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น [[~ r (~ p q )] [( p r ) ~ s] ~ q] ~ s เป็นสัจนิรันดร์ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล 47
- 49. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย 7. เหตุ (1) ( p ~ q ) ( q p ) (2) ~ q ผล pq วิธีทา สมมติให้เหตุข้อ (1) และ (2) เป็นจริง จากเหตุข้อ (2) เป็นจริงจะได้ว่า ~ q มีค่าความจริงเป็นจริง ทาให้ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า p q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ไม่สมเหตุสมผล 8. เหตุ (1) p (~ p q ) (2) ~ q r (3) ~ r ผล p วิธีทา สมมติให้เหตุทั้งสามข้อเป็นจริง จากเหตุข้อ (3) เป็นจริงจะได้ว่า ~ r มีค่าความจริงเป็นจริง ทาให้ r มีค่าความจริงเป็นเท็จ จากเหตุข้อ (2) เป็นจริงและ r มีค่าความจริงเป็นเท็จได้ว่า ~ q มีค่าความจริงเป็นจริง ทาให้ q เป็นเท็จ จากเหตุข้อ (1) เป็นจริง และสมมูลกับ p q ทาให้ p มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล 9. เหตุ (1) p q (2) q r (3) ~ r s ผล s วิธีทา สมมติให้เหตุทุกข้อเป็นจริง 48
- 50. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย จากเหตุข้อ (1) เป็นจริงจะได้ว่า p มีค่าความจริงเป็นจริง q มีค่าความจริงเป็นจริง จากเหตุข้อ (2) เป็นจริง และ q มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า r มีค่าความจริงเป็นจริง จากเหตุข้อ (3) เป็นจริง r มีค่าความจริงเป็นจริง จะได้ว่า s มีค่าความจริงเป็นจริง ทาให้ผล s มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล 10. เหตุ (1) p ( q r ) (2) p (3) ~ t q ผล r t วิธีทา ให้ p, q, r มีค่าความจริงเป็นจริง และ t มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า เหตุทั้งสามข้อเป็นจริง แต่ผลเป็นเท็จ ดังนั้น การอ้างเหตุผลนี้ไม่สมเหตุสมผล เฉลยแบบฝึกหัดระคน 1. ค 2. ก 3. ง 4. ข 5. ข 6. ค 7. ก 8. ข 9. ก 10. ง 49
- 51. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน 50