1. คู่มือประกอบสื่อการสอน วิชาคณิตศาสตร์
เรื่อง
ลาดับและอนุกรม
(เนื้อหาตอนที่ 3)
ลิมิตของลาดับ
โดย
อาจารย์ ดร. ศันสนีย์ เณรเทียน และอาจารย์ ดร. ไพโรจน์ น่วมนุ่ม
สื่อการสอนชุดนี้ เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ

2. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม
สื่อการสอน เรื่อง ลาดับและอนุกรม มีจานวนตอนทั้งหมดรวม 10 ตอน ซึ่งประกอบด้วย
1. บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
2. เนื้อหาตอนที่ 1 ลาดับ
- แนวคิดเรื่องลาดับ
- ลาดับเลขคณิต
- ลาดับเรขาคณิต
3. เนื้อหาตอนที่ 2 การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเลขคณิต
- การประยุกต์ของลาดับเรขาคณิต
4. เนื้อหาตอนที่ 3 ลิมิตของลาดับ
- การลู่เข้าและลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ
- ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ
5. เนื้อหาตอนที่ 4 ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อย
- ผลบวกย่อยของลาดับเลขคณิต
- ผลบวกย่อยของลาดับเรขาคณิต
6. เนื้อหาตอนที่ 5 อนุกรม
- ความหมายของอนุกรม
- ความหมายของการลู่เข้า การลู่ออก และผลบวกของอนุกรม
- การตรวจสอบการลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิต
- ตัวอย่างการประยุกต์ของอนุกรมเรขาคณิต
7. เนื้อหาตอนที่ 6 ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
- ความสัมพันธ์ระหว่างการลู่เข้าของลาดับและอนุกรม
1

3. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 1)
9. แบบฝึกหัด (พื้นฐาน 2)
10. แบบฝึกหัด (ขั้นสูง)
คณะผู้จัดทาหวังเป็นอย่างยิ่งว่า สื่อการสอนชุดนี้จะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอนสาหรับ
ครู และนักเรียนทุกโรงเรียนที่ใช้สื่อชุดนี้ร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ลาดับและ
อนุกรม นอกจากนี้หากท่านสนใจสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรื่องอื่นๆที่คณะผู้จัดทาได้ดาเนินการ
ไปแล้ว ท่ า นสามารถดูชื่ อเรื่อง และชื่ อตอนได้จากรายชื่ อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ทั้งหมดใน
ตอนท้ายของคู่มือฉบับนี้
2

4. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ลาดับและอนุกรม (ลิมิตของลาดับ)
หมวด เนื้อหา
ตอนที่ 3 (3/6)
หัวข้อย่อย 1. การลู่เข้าและการลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ
2. ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพื่อให้ผู้เรียน
1. เข้าใจความหมายของการลู่เข้าและลู่ออกของลาดับ
2. สามารถตรวจสอบการลู่เข้าของลาดับ พร้อมทั้งหาลิมิตของลาดับที่ลู่เข้าได้
3. สามารถใช้ทฤษฎีบทของลิมตของลาดับมาช่วยในการหาลิมิตได้
ิ
ผลการเรียนรู้ที่คาดหวัง
ผู้เรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของการลู่เข้าและการลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับได้
2. ตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของลาดับ และหาลิมิตของลาดับโดยการเขียนกราฟของลาดับได้
3. เขียนสัญลักษณ์แทนลิมิตของลาดับได้
4. อธิบายทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับได้
5. ตรวจสอบการลู่เข้า การลู่ออกของลาดับ และหาลิมิตของลาดับโดยใช้ทฤษฎีบทของลิมิตของ
ลาดับได้
6. ให้เหตุผลประกอบการใช้ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับในการหาลิมิตของลาดับได้อย่าง
สมเหตุสมผล
3

5. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เนื้อหาในสื่อการสอน
เนื้อหาทั้งหมด
4

6. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. การลู่เข้าและลูออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ
่
5

7. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1. การลู่เข้าและลู่ออกของลาดับ และลิมตของลาดับ
ิ
ในหัวข้อนี้ผู้เรียนจะได้ศึกษาเกี่ยวกับความหมายของลิมิตของลาดับ การลู่เข้าและการลู่ออกของลาดับ
พร้อมทั้งยกตัวอย่างลาดับลู่เข้า ลาดับลู่ออก และการหาลิมิตของลาดับ
ครูเน้นผู้เรียนอีกครั้งว่าลาดับที่จะศึกษาในเรื่องนี้ จะพิจารณาเฉพาะลาดับอนันต์เท่านั้น โดยตัวอย่าง
ของลาดับทั้งหกที่จะนาเสนอต่อไป มีจุดประสงค์เพื่อให้ผู้เรียนสังเกต เพื่อนาไปสู่ข้อสรุปเกี่ยวกับความหมาย
ของการลู่เข้าและการลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ
ครูอาจให้ผู้เรียนลองเขียนกราฟของบางลาดับก่อนสักสองตัวอย่าง เพื่อผู้เรียนจะได้ทราบลักษณะของ
กราฟว่ามีลักษณะเป็นจุด เช่น กราฟของลาดับ an = 5 และกราฟของลาดับ a n  1
n
1
สาหรับการเขียนกราฟของลาดับ an  อาจให้ผู้เรียนสร้างตารางข้อมูล ดังนี้
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
an 1 0.5 0.3333 0.25 0.2 0.1667 0.1428 0.125 0.1111 0.1
เพื่อนาไปกาหนดจุดบนกราฟได้อย่างถูกต้อง
6

8. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ครูควรให้เวลาผู้เรียนได้สังเกตลักษณะของกราฟของลาดับ และให้ผู้เรียนลองสร้างข้อคาดการณ์จาก
คาถามในสื่อการสอน ที่ว่าจากลักษณะของกราฟของลาดับทั้งหกนี้ ถ้าผู้เรียนสังเกตจากพฤติกรรมของค่าของพจน์
ที่ n เมื่อ n มีค่ามากขึ้นโดยไม่มีที่สิ้นสุด จะแบ่งกลุ่มของลาดับดังกล่าวได้กี่กลุ่ม และลาดับในแต่ละกลุ่มมี
ลักษณะเหมือนกันอย่างไร
7

9. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8

10. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ครูอาจเน้นกับนักเรียนเรื่องการอ่านสัญลักษณ์แทนลิมิตของลาดับ คือ n  a n สามารถอ่านได้อีกแบบหนึ่งว่า
lim
ลิมิตของลาดับ an เมื่อ n เข้าใกล้อินฟินิตี้ (infinity) (เครื่องหมาย ∞ เรียกว่า infinity)
9

11. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง การลู่เข้าและลู่ออกของลาดับ และลิมตของลาดับ
ิ
จงเขียนกราฟของลาดับต่อไปนี้ เพื่อตรวจสอบว่าลาดับต่อไปนี้เป็นลาดับลู่เข้า หรือลาดับลู่ออก ถ้าลาดับใดเป็น
ลาดับลู่เข้า จงบอกลิมิตของลาดับ
1. ลาดับ a n  2n  1
1
2. ลาดับ an 
n2
n 1
3. ลาดับ an 
n
n
2
4. ลาดับ a n    1
3
n
 1
5. ลาดับ an    
 2
n 1
6. ลาดับ a n   1
n
n
2
7. ลาดับ an 
n 1
 0 ; เมื่อ n เป็นจานวนคู่

8. ลาดับ an   1
 n ; เมื่อ n เป็นจานวนคี่

 n 
9. ลาดับ a n  cos  
 2 
1  n 
10. ลาดับ a n  cos  
n  2 
10

12. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ
11

13. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2. ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ
ในหัวข้อนี้ผ้เู รียนจะศึกษาเกี่ยวกับทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับ และตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทของลิมิต
ของลาดับเพื่อช่วยในการหาลิมิตของลาดับ โดยจะนาเข้าสู่เรื่องทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับสองทฤษฎีบทแรก
โดยการใช้ตัวอย่างการหาลิมิตของลาดับ 4 ลาดับ หรือครูอาจใช้เป็นตัวอย่างเพิ่มเติมในการพิจารณากราฟของ
ลาดับเพื่อหาลิมิตของลาดับได้
1
จากคาถามในสื่อการสอนที่ถามว่า ในกรณีที่ r เป็นจานวนจริงลบ แล้วลิมิตของลาดับ และ n r มีค่า
nr
หรือไม่ ถ้ามีค่าจะมีค่าเป็นเท่าใดนั้น ครูลองให้นักเรียนตอบคาถาม หลังจากนั้นครูสรุปความรู้ให้นักเรียนอีกครั้ง
1
ว่า เมื่อ r เป็นจานวนเต็มลบ จะได้ว่า n 
lim ไม่มีค่า ในขณะที่ n n r  0
lim
nr
12

14. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ครูควรเน้นกับผู้เรียนอีกครั้งว่าในการใช้ทฤษฎีบทนี้มีเงื่อนไขสาคัญ คือ n  a n และ n  b n ต้องมีค่า
lim lim
ก่อน และในหัวข้อ 3.1 การเขียน n  k ความหมายคือ ลิมิตของลาดับที่เป็นค่าคงตัว ไม่ใช่ลิมิตของค่าคงตัว
lim
เนื่องจากลิมิตจะนิยามบนลาดับ
นอกจากนี้ครูอาจยกตัวอย่างประกอบ เพื่อฝึกใช้ทฤษฎีบทข้อย่อยต่างๆ ของทฤษฎีบทที่ 3 และทฤษฎี
บทที่ 4 หลังจากเปิดสื่อการสอนที่จะอธิบายทฤษฎีบทแต่ละข้อ เพื่อให้นักเรียนเข้าใจการใช้ทฤษฎีบทเบื้องต้น
ทั้งนี้อาจใช้ตัวอย่างของลาดับที่ได้หาลิมิตของลาดับมาแล้วก่อนหน้านี้ เช่น
ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทข้อ 3.1
ตัวอย่าง จงหาลิมิตของลาดับ an = 2 และลาดับ b n   1
7
วิธีทา เนื่องจากลาดับ an และลาดับ bn เป็นลาดับค่าคงตัว โดยทฤษฎีบทข้อ 3.1 จะได้ว่า n  a n  2 และ
lim
1
lim b n  
n  7
13

15. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทข้อ 3.2
ตัวอย่าง จงหาลิมิตของลาดับ a n  5  

1 
n 
2 
1  1  1
วิธีทา เนื่องจาก n 
lim 0 โดยทฤษฎีบทข้อ 3.2 จะได้ว่า lim 5   n   5  n  n  5  0  0
lim
2n n 
2  2
14

16. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทข้อ 3.3 3.4 และ 3.5
1 1 1 1 1
ตัวอย่าง จงหาลิมิตของลาดับ a n   n , bn   n และ cn 
n 2
2 n 2
2 n  2n
2
1 1
วิธีทา เนื่องจาก n 
lim 0 และ lim 0 โดยทฤษฎีบทข้อ 3.3, 3.4 และ 3.5 จะได้ว่า
2n n  n 2
 1 1  1 1
lim  2  n   n  2  n  n  0  0  0
lim lim
n 
n 2  n 2
 1 1  1 1
lim  2  n   lim 2  lim n  0  0  0
n 
n 2  n  n n  2
 1   1 1  1 1
และ lim  2 n   lim  2  n   lim 2  lim n  0  0  0 ตามลาดับ
n 
 n 2  
n  n 2  n  n n  2
15

17. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทข้อ 3.6
1
ตัวอย่าง จงหาลิมิตของลาดับ a n  1
 1
n
1
n
วิธีทา เนื่องจาก n   1 และ n   1n 1  1  1  0 โดยทฤษฎีบทข้อ 3.6 จะได้ว่า
lim1 lim
n
1 lim1 1
lim  n 
 1
n  1 1
 1 lim  1 1
n n
1 1
n n  n
ตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทที่ 4
1
ตัวอย่าง จงหาลิมิตของลาดับ a n 
n
1 1 1
วิธีทา เนื่องจาก lim
n  n
0 โดยทฤษฎีบทที่ 4 จะได้ว่า lim
n 
 lim  0  0
n  n
n
16

18. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
17

19. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่างการหาลิมิตของลาดับที่ยกมาในสื่อการสอนชุดนี้มีเพียงจานวนหนึ่งเท่านั้น แต่ครอบคลุมการใช้
ทฤษฎีบททั้งสี่ทฤษฎีบท และใช้การจัดรูปใหม่ของลาดับ ครูอาจยกตัวอย่างเพิ่มเติมได้ตามความเหมาะสมกับ
ผู้เรียน
นอกจากนี้ยังมีบางจุดที่ครูควรบอกให้ผู้เรียนระวังในเรื่องการจัดรูปเพื่อแก้โจทย์ปัญหา เช่นการตัดกัน
ของจานวนที่เท่ากัน เช่น n2 ตัดกับ n2 ได้และทาให้สมการยังคงเป็นจริงอยู่ เพราะทั้งสองค่าเป็นจานวนจริงที่ไม่
 1 
เท่ากับศูนย์ หรือ อาจดึง n2 ออกมาจาก n 2 1  2  ได้เป็น n นั้น เพราะค่าที่ออกมาจากถอดรากที่สองจะมี
 n 
ค่าเท่ากับ |n| แต่เนื่องจาก n เป็นจานวนเต็มบวก จึงได้ว่า |n| = n
ครูอาจเพิ่มเติมตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตในการตรวจสอบว่าลาดับที่กาหนดให้แต่ละข้อ เป็น
ลาดับลู่เข้าหรือลู่ออก เช่น
18

20. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ตัวอย่าง จงพิจารณาลาดับต่อไปนี้ว่าเป็นลาดับลู่เข้า หรือลาดับลู่ออก
n2  3 n3 1 n 2
1) ลาดับ 2) ลาดับ an  
4n 2  1 n2 1 n  4
 3  3
n 2 1  2  1 2
n 3
2
 n 
วิธีทา 1) เนื่องจากลาดับ   n
4n 2  1  1  1
4 2
n2  4  2 
 n  n
3  3 
lim 1  2 
1
n 3
2
n  n   n   1
2
ทาให้ได้ว่า lim 2
n  4n  1
 lim
n  1
4 2  1  4
lim  4  2 
n n 
 n 
n2  3 n2  3 1 1
โดยทฤษฎีบทที่ 4 จะได้ว่า lim  lim 2  
n  4n  1
2 n  4n  1 4 2
n2  3 1
ดังนั้นลาดับ เป็นลาดับลู่เข้า และมีลิมิตเป็น
4n 2  1 2
2) เนื่องจาก n  n 2  1 และ
3
n2
lim lim หาค่าไม่ได้ จึงไม่สามารถใช้ทฤษฎีบทข้อ 3.4 ได้โดยตรง ต้อง
n 1 n  n  4
รูปลาดับ an ใหม่ก่อน
n3 1 n 2 (n  4)(n 3  1)  (n 2  1)n 2
เนื่องจาก  
n2 1 n  4 (n 2  1)(n  4)

n 4
 4n 3  n  4    n 4  n 2 
n 3  4n 2  n  4
4n 3  n 2  n  4

n 3  4n 2  n  4
 1 1 4 
n3  4   2  3 
  n n n 
 1 1 4 
n 3 1   2  3 
 n n n 
19

21. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1 1 4
4  2 3
 n n n
1 1 4
1  2  3
n n n
1 1 4
4
 2 3
n 1 n
3 2
จะได้ว่า lim   lim n n n  4
n  n2 1 n  4 n  1 1 4
1  2  3
n n n
n3 1 n 2
ดังนั้น ลาดับ a n   เป็นลาดับลู่เข้า และมีลิมิตเป็น 4
n2 1 n  4
20

22. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดเพิ่มเติม
เรื่อง ทฤษฎีบทของลิมตของลาดับ
ิ
จงใช้ทฤษฎีบทของลิมิตของลาดับเพื่อตรวจสอบว่าลาดับต่อไปนี้ เป็นลาดับลู่เข้า หรือลาดับลู่ออก
3
1. ลาดับ a n  
n4
1
2. ลาดับ a n  3
n
1
3. ลาดับ a n  2 
n2
1
4. ลาดับ a n 
5  2n
5n
5. ลาดับ an  n
3
n2
1
6. ลาดับ a n   1  
n
3
n
1  2
7. ลาดับ an  2  
n  3
2 n  2  5n
8. ลาดับ an 
5n 1
4  3n
9. ลาดับ an 
4n  1
5n 2  1
10. ลาดับ an 
2n 2
1
11. ลาดับ an 
n(n  1)
1  2n  n 3
12. ลาดับ an 
2  n  2n 4
2n
13. ลาดับ an 
n2
n3 1
3
14. ลาดับ an 
n
3
n n2
15. ลาดับ an  2 
n 1 n 1
21

23. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
22

24. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
สรุปสาระสาคัญประจาตอน
23

25. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
24

26. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 1
แบบฝึกหัด/เนื้อหาเพิ่มเติม
25

27. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
แบบฝึกหัดระคน
1. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ลาดับ a n  n  n2 เป็นลาดับลู่ออก
2 n  5n
ข. ลาดับ bn  เป็นลาดับลู่เข้าและลิมิตของลาดับเป็น 5
3n  5n 1
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ข้อ ก และ ข้อ ข ถูกทั้งสองข้อ 2. ข้อ ก และ ข้อ ข ผิดทั้งสองข้อ
3. ข้อ ก ถูก และ ข้อ ข ผิด 4. ข้อ ก ผิด และ ข้อ ข ถูก
2. พิจารณา ลาดับ a n และ ลาดับ b n ซึ่ง
 3n 2  5 12 , n  100
 , n  100 
a n   2n  1 b   n2
15
n
 2 , n  100
 , n  100  2n  1
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ลาดับ a n และ ลาดับ b n เป็นลาดับลู่เข้า
2. ลาดับ a n และ ลาดับ b n เป็นลาดับลู่ออก
3. ลาดับ a n เป็นลาดับลู่เข้า และลาดับ b n เป็นลาดับลู่ออก
4. ลาดับ a n เป็นลาดับลู่ออก และลาดับ b n เป็นลาดับลู่เข้า
3. ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1. ถ้าลาดับ a n เป็นลาดับลู่ออก และ c เป็นจานวนจริงใดๆ แล้ว ลาดับ ca n เป็นลาดับลู่ออก
2. ถ้าลาดับ a n และ ลาดับ b n เป็นลาดับลู่ออก แล้ว ลาดับ a n  bn เป็นลาดับลู่ออก
an
3. ถ้าลาดับ a n และ ลาดับ b n เป็นลาดับลู่ออก แล้ว ลาดับ เป็นลาดับลู่ออก
bn
26

28. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4. ถ้าลาดับ a n เป็นลาดับลู่เข้า และ ลาดับ b n เป็นลาดับลู่ออก แล้ว ลาดับ a n  bn
เป็นลาดับลู่ออก
5n 1  3n 1
4. จงหาลิมิตของลาดับ
2n 1  5n 1
1. 1 2. 5 3. 25 4. ไม่มีค่า
4n 2  2n  1 3n  5n 1
5. กาหนด ลาดับ an  ลาดับ bn  และ
2n 2  1 5n  3
ลาดับ cn  a n  bn  a n bn จงหาลิมิตของลาดับ c n
1. 3 2. 1 3. 3 4. 7
n 2a  3 an  1
6. ถ้า lim
n  4n 2 b  5
 2 แล้ว lim
n  bn  2
มีค่าเท่าใด
1 1
1. 2. 3. 2 4. 8
8 2
8
7. ถ้า A  n 
lim (1  2  3   n) มีค่าเป็นจานวนจริงบวก แล้ว ข้อใดต่อไปนี้เป็นค่าที่เป็นไปได้
n2
ของ A
1. 2 2. 3 3. 4 4. 5
16cn 3  n 2  cn 2n  4  3
8. ถ้า c เป็นจานวนเต็มบวก ซึ่ง lim  lim
 2n  1 n  c2 n 1
n  3
แล้ว c2 มีค่าเท่าใด
1. 0 2. 2 3. 4 4. 6
27

29. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9. กาหนด พจน์ที่ n ของลาดับสองลาดับดังนี้
n(1  2  3   n )
an  และ bn  3n  2  3n
3(12  22  32   n 2 )
lim(a n  b n )
n 
มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1 1
1. 2.
2 3
4
3. 4. ไม่มีค่า
3
 2n  1 n 
10. สาหรับจานวนเมบวก n ใดๆ ให้ Mn   1 1 และ ลาดับ a n  det (Mn )
  
 n n
จงหาลิมิตของลาดับ a n
1. มีค่าเป็น 0 2. มีค่าเป็น 2
3. มีค่าเป็น 3 4. ไม่มีค่า
11. ถ้าสาหรับแต่ละจานวนเต็มบวก n ให้ zn เป็นจานวนเชิงซ้อน
1
กาหนดโดย zn  3  i แล้ว ลาดับ an = zn zn เป็นจริงตามข้อใดต่อไปนี้
3n
1. มีลิมิตเป็น 10 2. มีลิมิตเป็น 4
3. มีลิมิตเป็น 10 4. ไม่มีลิมิต
28

30. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
ภาคผนวกที่ 2
เฉลยแบบฝึกหัด
29

31. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง การลู่เข้าและการลู่ออกของลาดับ และลิมิตของลาดับ
1. ลาดับลู่ออก 2. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 0
3. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 1 4. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 1 
5. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 0 6. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 0
7. ลาดับลู่ออก 8. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 0
9. ลาดับลู่ออก 10. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 0
เฉลยแบบฝึกหัด
เรื่อง ทฤษฎีบทของลิมตของลาดับ
ิ
1. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 0 2. ลาดับลู่ออก
3. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 2 4. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 0
5. ลาดับลู่ออก 6. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 0
7. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 0 8. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น  1
5
3 5
9. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 10. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น
4 2
11. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 0 12. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 0
13. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 2 14. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 1
15. ลาดับลู่เข้า และลิมิตของลาดับเป็น 1
30

32. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เฉลยแบบฝึกหัดระคน
1. 2 2. 1 3. 4 4. 3 5. 4 6. 4
7. 4 8. 4 9. 1 10. 3 11. 3
31

33. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์
จานวน 92 ตอน
32

34. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ จานวน 92 ตอน
เรื่อง ตอน
เซต บทนา เรื่อง เซต
ความหมายของเซต
เซตกาลังและการดาเนินการบนเซต
เอกลักษณ์ของการดาเนินการบนเซตและแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ บทนา เรื่อง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
การให้เหตุผล
ประพจน์และการสมมูล
สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
ประโยคเปิดและวลีบงปริมาณ
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องหอคอยฮานอย
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องตารางค่าความจริง
จานวนจริง บทนา เรื่อง จานวนจริง
สมบัติของจานวนจริง
การแยกตัวประกอบ
ทฤษฏีบทตัวประกอบ
สมการพหุนาม
อสมการ
เทคนิคการแก้อสมการ
ค่าสัมบูรณ์
การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์
กราฟค่าสัมบูรณ์
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องช่วงบนเส้นจานวน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องสมการและอสมการพหุนาม
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟค่าสัมบูรณ์
ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น บทนา เรื่อง ทฤษฎีจานวนเบื้องต้น
การหารลงตัวและจานวนเฉพาะ
ตัวหารร่วมมากและตัวคูณร่วมน้อย
(การหารลงตัวและตัวหารร่วมมาก)
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนา เรื่อง ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์
33

35. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน โดเมนและเรนจ์
อินเวอร์สของความสัมพันธ์และบทนิยามของฟังก์ชัน
ฟังก์ชันเบื้องต้น
พีชคณิตของฟังก์ชัน
อินเวอร์สของฟังก์ชันและฟังก์ชันอินเวอร์ส
ฟังก์ชันประกอบ
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้ บทนา เรื่อง ฟังก์ชันชี้กาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
เลขยกกาลัง
ฟังก์ชันชีกาลังและฟังก์ชันลอการิทึม
้
ลอการิทึม
อสมการเลขชี้กาลัง
อสมการลอการิทึม
ตรีโกณมิติ บทนา เรื่อง ตรีโกณมิติ
อัตราส่วนตรีโกณมิติ
เอกลักษณ์ของอัตราส่วนตรีโกณมิติ และวงกลมหนึ่งหน่วย
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 1
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 3
กฎของไซน์และโคไซน์
กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องมุมบนวงกลมหนึงหน่วย
่
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
สื่อปฏิสัมพันธ์เรื่องกฎของไซน์และกฎของโคไซน์
กาหนดการเชิงเส้น บทนา เรื่อง กาหนดการเชิงเส้น
การสร้างแบบจาลองทางคณิตศาสตร์
การหาค่าสุดขีด
ลาดับและอนุกรม บทนา เรื่อง ลาดับและอนุกรม
ลาดับ
การประยุกต์ลาดับเลขคณิตและเรขาคณิต
ลิมิตของลาดับ
ผลบวกย่อย
อนุกรม
ทฤษฎีบทการลู่เข้าของอนุกรม
34

36. คู่มือสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สานักงานคณะกรรมการการศึกษาขั้นพื้นฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
เรื่อง ตอน
การนับและความน่าจะเป็น บทนา เรื่อง การนับและความน่าจะเป็น
การนับเบื้องต้น
.
การเรียงสับเปลี่ยน
การจัดหมู่
ทฤษฎีบททวินาม
การทดลองสุ่ม
ความน่าจะเป็น 1
ความน่าจะเป็น 2
สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล บทนา เรื่อง สถิติและการวิเคราะห์ข้อมูล
บทนา เนื้อหา
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 1
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 2
แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง 3
การกระจายของข้อมูล
การกระจายสัมบูรณ์ 1
การกระจายสัมบูรณ์ 2
การกระจายสัมบูรณ์ 3
การกระจายสัมพัทธ์
คะแนนมาตรฐาน
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 1
ความสัมพันธ์ระหว่างข้อมูล 2
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 1
โปรแกรมการคานวณทางสถิติ 2
โครงงานคณิตศาสตร์ การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
ปัญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การถอดรากที่สาม
เส้นตรงล้อมเส้นโค้ง
กระเบื้องที่ยืดหดได้
35