Line segment intersection introduction

Line Segment Intersection
TRÌNH BÀY:
KIM Đ Ì NH S Ơ N , LÊ K H ẮC T U Ấ N
KHOA H Ọ C MÁY T ÍNH , V I Ệ N CÔNG N G H Ệ T HÔNG T IN VÀ T R U Y Ề N T HÔNG , Đ H B Á C H KHOA HÀ N Ộ I

Nội dung trình bày
 Giới thiệu
 Đặt vấn đề
 Bài toán Line Segment Intersection
 Giải thuật Plane Sweep
 Đánh giá thuật toán
 Kết luận
Tuan LK - Son KD LINE SEGMENT INTERSECTION 2

Giới thiệu
Bản đồ quan trọng với các chuyến di chuyển, du lịch
Các loại bản đồ: bản đồ chứa thông tin các tuyến đường, bản đồ
chứa thông tin các thành phố, bản đồ chứa thông tin các con sông,….

Map layers
Trong hệ thống thông
tin địa lý (GIS), dữ liệu
được lưu trữ dưới dạng
các lớp riêng biệt
4
Cities, rivers, railroads, and their
overlay in western Canada
Map layers
Tuan LK - Son KD LINE SEGMENT INTERSECTION

Đặt vấn đề
Map overlay: là tổ hợp 2 hoặc nhiều hơn 2 các Map layer với
nhau
Ta cần giải quyết các vấn đề như:
 Tổng chiều dài các con đường cắt qua cánh rừng là bao nhiêu?
 Tổng diện tích cánh đồng lúa trong phạm vi 1Km từ khúc sông là
bao nhiêu?
Để giải các bài toán về Map overlay, cần xét đến bài toán giao
cắt mà (ít nhất) từ 2 tập các đoạn thẳng (ranh giới các khu vực)

Giới thiệu
Đường đi (trong road map), khúc sông (trong river map), …
được mô tả bởi một chuỗi các đoạn thẳng
Các đường cong được xấp xỉ bởi các phân đoạn nhỏ
Khi số hóa dữ liệu, các vị trí được đánh dấu bằng từng điểm
Sai số khi xây dựng các đối tượng
Xuất hiện các yêu cầu cần xử lý từ phương diện hình học đối
với các đoạn thẳng
LINE Tuan LK - Son KD SEGMENT INTERSECTION 6

Bài toán Line Segment Intersection
Input:
• Một tập S bao gồm n đoạn thẳng
Output:
• Đưa ra tất cả các giao điểm của các cặp
đoạn thẳng trong tập S

Độ phức tạp thuật toán
Xét đơn thuần tìm giao điểm từng cặp cạnh 푂(푛2)
⟹Thời gian tính toán của một thuật toán tổng quát Ω(푛2)
Trong bài toán mô hình thực tế, số giao điểm bé hơn rất nhiều so
với 푛2.
Thuật toán thời gian chạy không phụ thuộc vào số lượng đoạn
thẳng đầu vào mà phụ thuộc số lượng điểm giao
Output-sensitive algorithm
Intersection-sensitive

Plane Sweep Algorithm
Xét trong hệ tọa độ Descartes:
 푃 푠푖 : hình chiếu của 푠푖 trên trục y (hoặc trục x)
 Điều kiện cần 푠푖 giao với 푠푗, 푃 푠푖 chứa điểm chung 푃 푠푗
 Cần kiểm tra các đoạn có hình chiểu đè lên nhau
Plane Sweet Algorithm: (Giải thuật đường truy quét)
 Sử dụng một đường thẳng 푙 song song với trục x : sweep line
 Giá trị khởi tạo đường thẳng 푙 nằm phía trên tất cả các đoạn thẳng
 Di chuyển theo giảm dần theo giá trị của y
 Biểu diễn các điểm cắt theo chiều 푂푥 từ trái sang phải
 Hai đoạn được xét láng giềng khi điểm cắt với (푙) là liên tiếp
푃 푠1 , 푃 푠2 , 푃 푠4 , 푃 푠6 , 푃 푠5 , 푃 푠6 ,

 Status:
Tập các đoạn giao cắt với đường sweepline
 Trạng thái được cập nhật khi sweet line đi
qua cac evenpoint nhưng không liên tục
Event points: Tập hợp các điểm làm thay đổi
trạng thái của sweet line

Sweep line
Xóa
Cập nhật
Cập nhật

Bổ đề 1
Cho hai đoạn thẳng 푠푖 và 푠푗 không song song với trục
푂푥, hai đoạn thẳng này cắt nhau tại một điểm 풑.
Không tồn tại một đoạn thẳng thứ ba nào đi qua điểm
풑. Khi đó tồn tại một đường sweetline nằm phía trên
điểm 풑 sẽ giao hai đường 푠푖 và 푠푗 là láng giềng để kiểm
tra điểm cắt.

Các điểm Event Point
Event point
Đầu mút bắt đầu đoạn
thẳng
Event point
Điểm giao được xác định
Event point
Đầu mút kết thúc đoạn
thẳng

Các trường hợp không xét tới (suy biến)

Ví dụ: theo thứ tự từ trái sang phải,
푠푘 , 푠푙 giao nhau, khi đường truy
quét qua điểm giao, cần kiểm tra
cặp (푠푗 , 푠푙 ) và (푠푘 , 푠푚) có giao nhau
hay không?
푠푗 푠푘 푠푙 푠푚 ℓ
ℓ

푠1
푠4
푠3 푠2
푠5
푠7
푠6
푠8
add 푠1

푠1
푠4
푠3 푠2
푠7
푠6
푠8
add 푠2 after 푠1
푠5

푠1
푠4
푠3 푠2
푠7
푠6
푠8
add 푠3 between
푠1 and 푠2
푠5

푠1
푠4
푠3 푠2
푠7
푠6
푠8
add 푠4 before 푠1
푠5

푠1
푠4
푠3 푠2
푠7
푠6
푠8
report intersection (푠1; 푠3);
swap 푠1 and 푠3
푠5

푠1
푠4
푠3 푠2
푠7
푠6
푠8
remove 푠2
푠5

푠1
푠4
푠3 푠2
푠7
푠6
푠8
remove 푠1
푠5

푠1
푠4
푠3 푠2
푠7
푠6
푠8
add 푠5
푠5

푠1
푠4
푠3 푠2
푠5
푠7
푠6
푠8
report intersection
(푠3; 푠4);
swap 푠3 and 푠4

Tổ chức lưu trữ Event Point
Cấu trúc dữ liệu
 event queue (풬): lưu trữ các sự kiện
 Operation: removes, next event, returns, insertions
 Nếu 2 điểm sự kiện cùng tọa độ y, khi đó trả về tọa độ x nhỏ hơn (đảm bảo việc sắp xếp theo
thứ tự từ trái qua phải)
 Lưu ý: 2 điểm sự kiện có thể trùng nhau, do đó trong phép insertion phải khả năng kiểm tra
trước các sự kiện đã tồn tại trong 풬 hay chưa?

Tổ chức lưu trữ Event Point
Cấu trúc dữ liệu (tiếp)
 Ký hiệu ≺ là phép so sánh trong thứ tự sắp xếp từ trái sang phải
 풑, 풒 là 2 điểm sự kiện, khi đó: 풑 ≺ 풒 ⟺ 풑풚 > 풒풚 hoặc 풑풚 =
풒풚, 풑풙 < 풒풙
 Lưu trữ các đoạn thẳng trong một cây tìm kiếm nhị phân cân
bằng, sắp xếp theo ≺
 Với mỗi 푝 ∈ 풬, lưu trữ các đoạn bắt đầu từ 푝 (các đoạn có điểm
mút nằm trên 푝)
 Opetation: insert, delete, swap
 Thời gian tính: 푂(log 푚)

Cấu trúc Status
 Xác định bằng tập 풯, được dùng để truy cập vào lân cận của một đoạn
푠 nào đó, mà ta có thể kiểm tra phép giao với 푠.
Các đoạn cắt đường truy quét được sắp xếp ở lá của cây nhị phân tìm
kiếm cân bằng 풯.
풯 cây nhị phân cân bằng
 Xét theo thứ tự thăm cây nhị phân: trái - giữa - phải : tương ứng với thứ tự
giao điểm của đường quét với các đoạn thẳng
 Xác định đoạn láng giềng bên trái, láng giềng bên phải
Chi phí thời gian cho cập nhât, tìm kiếm cần 푂(log 푛)

Algorithm Find Intersections
Algorithm FINDINTERSECTIONS(S)
Input. S là tập các đoạn thẳng trong mặt phẳng.
Output. Tập các giao điểm giữa các đoạn thẳng thuộc S, with for each
intersection point the segments that contain it.
1. Khởi tạo hàng đợi 풬 = ∅ . Tiếp theo, insert vào các đầu mút đoạn thẳng
(đầu mút trên và dưới) khi đầu mút trên đã được chèn vào, thông tin đoạn
thẳng tương ứng sẽ được lưu trữ bằng 2 đầu mút này.
2. Khởi tạo cấu trúc status 풯 là ∅.
3. while 풬 ≠ ∅
4. do Xác định điểm sự kiện tiếp theo, đính vào 풬 and xóa.
5. HANDLEEVENTPOINT(푝)

Hanle Event Point
Nếu event là upper endpoint event, và 푠 là đoạn thẳng
bắt đầu tại 푝:
1. Tìm kiếm theo 푝 ∈ 풯, và insert 푠
2. Nếu 푠 giao với láng giềng trái của nó trong 풯, khi đó
xác định giao điểm này và insert vào 풬
3. Nếu 푠 giao với láng giềng phải trong 풯, khi đó xác
định giao điểm này và insert vào 풬

Hanle Event Point
Nếu event là lower endpoint event, và 푠 là đoạn thẳng ket
thúc tại 푝:
1. Tìm kiếm theo 푝 trong 풯, và xóa bỏ 푠
2. Gọi 푠푙 và 푠푟 theo thứ tự là láng giềng trái và phải của
푠 trong 풯. Nếu chúng giao nhau dưới đường truy
quét, khi đó thêm điểm giao này vào 풬

Hanle Event Point
Nếu event là intersection point event, và 푠 và 푠′ là 2 đoạn
thẳng giao nhau tại 푝:
1. Hoán đổi thứ tự 푠 và 푠′ trong 풯
2. Nếu 푠′ và láng giềng trái mới của nó trong 풯 giao nhau
dưới đường truy quét, khi đó chèn điểm giao này vào 풬
3. Nếu 푠 và láng giềng trái mới của nó trong 풯 giao nhau
dưới đường truy quét, khi đó chèn điểm giao này vào 풬
4. Đưa ra giao điểm

Algorithm Find New Event
FINDNEWEVENT(푠푙 , 푠푟 , 푝)
1. if 푠푙 và 푠푟 giao nhau dưới đường truy quét (푙), hoặc nằm trên (푙) và nằm bên phải điểm sự
kiện hiện tại tại 푝, và điểm giao này chưa xuất hiện trong 풬 như là một điểm sự kiện
2. then chèn điểm giao này vào 풬

Bổ đề về giải thuật tìm các giao cắt
Bổ đề 1: Thuật toán FINDINTERSECTIONS tính được chính xác tất cả các giao điểm và các đoạn
thẳng giao
Bổ đề 2: Thời gian chạy của thuật toán FINDINTERSECTIONS cho tập S với n đoạn thẳng trong
mặt phẳng là O(n log n + I log n), trong đó I là số các giao điểm của các đoạn thẳng thuộc S.
Định lý: Gọi 푆 là tập bao gồm 푛 đoạn thẳng trong mặt phẳng. Tất cả các giao điểm của các đoạn
thẳng thuộc 푆 cũng thuộc 푆, có thể đưa ra với thời gian chạy là 푂(푛 푙표푔 푛 + 퐼 푙표푔 푛), và không
gian 푂 푛 , trong đó 퐼 là số các giao điểm của các đoạn thẳng thuộc 푆.

Câu hỏi

Xin cảm ơn!

Line segment intersection introduction

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Similaire à Line segment intersection introduction

Similaire à Line segment intersection introduction (20)

Line segment intersection introduction

Notes de l'éditeur