2. Tangencias.
Tangencias. Características básicas y posiciones relativas de los elementos.
Tangencias propiedades fundamentales y principios básicos.
Resolución de problemas.
Trazados básicos de tangencias
Trazado de rectas tangentes a circunferencias
Trazado de circunferencias tangentes a una recta
Trazado de circunferencias tangentes a dos y tres rectas
Trazado de circunferencias tangentes a una recta y una circunferencia
Trazado de circunferencias tangentes a otra
Trazado de circunferencias tangentes a otras dos
Enlaces
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3. Tangencias.
DICCIONARIO Tangencias.
Características básicas.
Tangente Se dice que dos figuras son tangen-
tes cuando tienen un solo punto en
común, al que se conoce como punto (Fig. 1)
WEB de tangencia.
Posiciones relativas entre circunferencias (Fig. 2)
http://palmera.pntic.mec.es/~jcuadr2/tangencias/portada.swf
Además de las posiciones anteriores dos circunferencias pueden ser
La unión armónica entre curvas y interiores y concentricas.
rectas o de curvas entre sí se llama
enlace y esta unión debe producirse Interiores: cuando las circunferencias no tienen ningín punto en común,
por tangencia. pero una está dentro de otra.
Concéntricas: cuando las circunferencias no tienen ningín punto en
común, está dentro de otra, y comparten el centro, es decir, O1=O2.
Las tangencias pueden darse entre circunferencias, entre circunferencias
y rectas, entre polígonos y rectas, entre circunferencias y polígonos, etc.
Sin embargo, las tangencias más habituales en los dibujos geométri-
cos son aquellas que se generan entre rectas y circunferencias, y entre
circunferencias entre sí.
Posiciones relativas entre rectas y circunferencias (Fig. 1)
Exteriores: cuando la recta y la circunferencia no tienen ningún punto (Fig. 2)
en común.
Tangentes: cuando la recta y la circunferencia tienen ningún punto en
común, el punto de tangencia.
Secantes: cuando la recta y la circunferencia tienen dos punto en co-
mún, los puntos que surgen del corte o intersección.
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4. Tangencias.
Propiedades de las tangencias. El centro de la circunferencia que
pasa por dos puntos está en su media-
Para solucionar con exactitud los trazados de tangencias, han de triz.
tenerse en cuenta los siguientes propiedades y características:
Una recta es tangente a una cir- Si dos circunferencias son tangentes
cunferencia cuando tienen entre sí (exteriores o interiores), sus centros
solamente un punto (M) en común. están alineados con el punto de tan-
Además el punto de tangencia entre gencia y distan la suma o diferencia de
una recta y una circunferencia se sus respectivos radios.
encuantra en el radio perpendicular a
la recta (M) .
El centro de la circunferencia
tangente a dos rectas que se cortan
está situado en la bisectriz.
Resolución de problemas de tangencias.
Dos circunferencias son tangentes Existen multitud de casos en la resoluciónd e problemas de tangen-
si tienen un punto en común (N) cias, y los podemos dividir en dos tipos diferentes:
alineado con los centros de las cir- - casos de rectas tangentes a circunferencias
cunferencias, es decir, el punto de - casos de circunferencias tangentes a rectas
tangencia entre dos circunferencias - circunferencias tangentes a otra circunferencia
se halla en la linea de centros. - circunferencia tangente a otra circunferencia y a una recta
- circunferencia tangente a otras dos circunferencias
Para ello nos darán los datos y siempre dos o tres elementos al menos.
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5. Tangencias.
Trazados básicos y recordatorios para trazar Trazados de rectas tangentes a circunferencias.
tangencias.
Trazadode una recta tangente a una circunferencia conocida por
Trazado de circunferencias que pasen por tres puntos no alineados. un punto P de la misma recta
PASO 0. Mediatriz de AB.
PASO 1. Mediatriz de BC.
PASO 2. En la intersección de las mediatrices está PASO 0. Se traza el radio
el centro de la circunferencia que para por A, B y C. que une los puntos O y P.
Se basa en la definición del Lugar Geométrico de la PASO 1. A continuación,
Mediatriz y la Circunferencia. se dibuja por el punto
P la recta perpendicular
al radio, que es la recta
tangente r buscada.
Trazado de circunferencias que paren por dos puntos A y B, cono- Trazado de una recta tangente a una circunferencia desde un P
ciendo el radio de las circinferencias solución R. exterior a esta.
Uno de los principios básicos de tangencias dice que la linea de centros de las circunferencias que
pasan por dos puntos es la mediatriz. El centro de la circunferencia dista de sus puntos la medida del
radio, por tanto desde los puntos trazamos circunferencias con el radio de la solución. En la intersec-
ción de la mediatriz y la circunferencia están los centros de la solución.
PASO 0. Mediatriz de AB.
PASO 1. con centro en A y B
trazamos una circunferencia
auxiliar de radio R, el radio de la
solución.Tanto la mediatriz como
las circunferencias auxiliares son PASO 0. Se une el punto P con el centro de la
lineas de centros. circunferencia, O, y se dibuja la mediatriz del
PASO 2. en la intersección de segmento OP obteniéndose así el punto H.
las circunferencias auxiliares y PASO 1. Con centro en H y radio HO, se
la mediatriz, están los O1 y O2 dibuja un arco que corta a la circunferencia
solución. dada en los puntos M y M’, que son los puntos
de tangencia.
PASO 2. Las rectas de tangencia r y s resultan
de unir el punto P con M y M’
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6. Tangencias.
Trazado de un rectas tangentes exteriores a dos circunferencias. Trazado de circunferencias a una recta.
Descríbase desde O’ una circunferencia cuyo radio sea la diferencia de los radios de las dos circunfe-
rencias dadas. Se toma el punto M, en medio de O’O. Haciendo centro en M, trácese una circunferen- Circunferencias tangentes a una recta conocido el radio y un punto
cia que pase por O’ y O. Por las intersecciones de esta circunferencia con la circunferencia auxiliar O’,
hágase pasar dos rectas que cortarán a la circunferencia mayor en dos puntos P y Q que son los puntos T ( r, R, T)
de tangencia. Desde el punto O, se trazan las rectas OB y OD respectivamente paralelas a PO’ y O’Q.
Uniendo los puntos B y P, así como DQ, y prolongando las rectas se obtienen las tangentes pedidas.
PASO 0. Se traza la perpendicular a la recta t por el punto T y se lleva el radio r en los dos sentidos,
obteniendo así los puntos S1 y S2 , centros de las dos posibles soluciones.
PASO 1.Con centro en S1 y S2 y radio r se obtienen las dos circunferencias tangentes a la recta t en el
punto T .
Trazado de un rectas tangentes interiores a dos circunferencias. Circunferencias tangentes a una recta conocido el radio y un punto
Descríbase desde O’ una circunferencia cuyo radio sea la suma de radios de las dos circunferencias M ( r, R, M)
propuestas. Se toma el punto M, en medio de O’O. Haciendo centro en M, trácese una circunferencia
que pase por O’ y O, que cortará a la auxiliar en P y P’. Se unen estos puntos con el centro O’. Las PASO 0. Dado que la circunferencia solución ha de pasar por P y ser tangente a la recta m, su centro
intersecciones de estas rectas con la circunferencia serán los puntos de tangencia. Los otros dos puntos equidistará de ambos elementos. Por ello, y para su localización, se traza la paralela a m distante la
N y N’ se hallan por medio de paralelas a O’P y O’P’. magnitud r, y con centro en P un arco de radio r; los puntos de intersección S1 y S2
son los centros de las circunferencias solución.
PASO 1. Se trazan las dos circunferencias y se definen los puntos de tangencia T1 y T2 con la recta.
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7. Tangencias.
Circunferencias tangentes a una recta en un punto T de ella y que Trazado de circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan
pase por un punto M (r, T, M) P=T conocido un punto T (r, r, T)
PASO 0. El problema admite dos soluciones. Los centros de ambas (S1 y S2 ) serán los puntos comu-
PASO 0. Puesto que M y P tienen que ser puntos de la circunferencia que se desea trazar, su centro nes de la perpendicular trazada por T a la recta q con las bisectrices de los ángulos que forman p y q.
tiene que encontrarse en la mediatriz de MP. PASO 1. Como siempre, los puntos de tangencia T1 y T2 de cada solución con la recta p se obtienen
PASO 1. Al ser P el punto de tangencia en la recta r, el centro O de la circunferencia se sitúa donde la trazando perpendiculares por los centros S1 y S2 de ambas soluciones.
perpendicular trazada desde P a r corta a la mediatriz MP.
Trazado de circunferencias tangentes a tres rectas que se cortan dos
a dos (r, r, r)
PASO 0. Las rectas conforman
el triángulo ABC, de vértices la
Trazado de circunferencias tangentes a dos y intersección de las rectas dadas.
El punto de corte de las bisectri-
tres rectas. ces de los ángulos interiores del
triángulo determinan el incentro
(S1), centro de la circunferencia
Trazado de circunferencias tangentes a dos rectas que se cortan inscrita y primera de las solucio-
conocido el radio de la solución (r, r, R) nes. Análogamente, los puntos
de corte de las bisectrices
correspondientes a los ángulos
exteriores definen los centros
PASO 0. Se dibuja la bisectriz del ángulo que
(S2 , S3 y S4 ) de las otras tres
determinan las rectas.
circunferencias exteriores al
PASO 1. Se traza una recta t paralela a una de las
triángulo ABC.
rectas dadas y, separada de ella, la medida del radio
PASO 1. El radio de cada solu-
r conocido. La intersección de t con la bisectriz es el
ción, como siempre, viene dado
centro de la circunferencia que se ha de trazar.
por la distancia del centro a
PASO 2. Los puntos de tangencia son M y M’, que
cualquiera de las rectas. En la fi-
se hallan dibujando los radios perpendiculares a las
gura, se han señalado los puntos
rectas r y s.
de tangencia de las soluciones
con cada una de las rectas.
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