2. Esquema
1.- Análisis de un circuito RLC serie, un circuito RLC paralelo, y otros circuitos RLC
2.- Frecuencia de resonancia
3.- Ancho de banda
4.- Factor de calidad Q
5.- Uso de los circuitos resonantes como filtros pasa-banda
3. Desarrollo
1.- Análisis de un circuito RLC serie, un circuito RLC paralelo, y otros circuitos RLC
Los circuitos eléctricos que contiene n capacitores, inductancias y resistencias, su comportamiento se
puede describir por medio de ecuaciones integro-diferenciales, las cuales se pueden reducir a solo
ecuaciones diferenciales. El orden de la ecuación diferencial generalmente es igual al número de
capacitores más el número de inductores presentes en el circuito. Los circuitos que contienen un
solo inductor y un solo capacitor junto con resistencias producen al menos un sistema de segundo
orden o ecuación diferencial de segundo orden. En esta unidad procederemos a determinar la
respuesta transitoria y de estado estable para los circuitos eléctricos que arrojan ecuaciones
diferenciales de segundo orden, excitados con fuentes de valores constantes y variables.
- Ejercicio RLC serie
Ejercicio: hallar la repuesta forzada para el siguiente circuito, el cual es un circuito RCL serie –
paralelo con entrada cero.
R1 = 75Ω
R2 = 50Ω
L = 1/5 mH
C = 8чF
Si para t<0 Vc =30V y IL = 3/5A
Aplicando LKV en la malla i(t): R1i + Ldi/dt + V = 0
75Ω3/5A + 1/5 mH d3/5A /dt + 30V = 0 ecuación 1
LKC en nodo resaltado: -i + iC + v/R2 = 0 pero; iC = Cdv/dt
R2
5. i´L(0) = -75(3/5) – 30/ 1/8
i´L(0) = -600
Sustituyendo i´L(0) en vL(t)
- 600 = - 930 +A1 A1 = - 600 + 930
A1 = 330
iL(t) = e-1550(330t + 3/5) A Esta es la respuesta forzada de circuito críticamente amortiguado.
- Circuito RLC en paralelo
En la figura a continuación se presenta un circuito RLC en paralelo cuando es excitado por una fuente
de corriente continua o constante, los voltajes y corrientes allí indicadas están representados en
función del tiempo.
Como el circuito tiene un solo par de nudos, todos los elementos tienen aplicado el mismo voltaje, o
sea,
v= vR = vL = vC
Aplicando las leyes de Ohm, Faraday y de la electrostática (Maxwell), tendremos:
vR= iR * R = v
Vl = L dIL/dt = v
Aplicando la ley de las corrientes de Kirchhoff al nodo superior, tendremos:
I= iR+ iL+ iC
Reemplazando alguna de las expresiones de las corrientes en función de los voltajes determinados
en la aplicación de los principios o leyes, se encuentra la ecuación:
I = v/R + iL + cdv/dt
6. Derivando a ambos lados de la ecuación, resulta:
Di/dt = 1/R(dv/dt) + diL/dt + Cd2v/dt2
Remplazando la expresión encontrada en la aplicación de los principios
L diL/dt = v
Simplificando y reagrupando, la ecuación que presenta al voltaje del circuito o de cualquiera de los
elementos quedará definida por:
d2v/dt2 + 1/RC(dv/dt) + 1/LCv = 0
2.- Frecuencia de resonancia
La resonancia es una condición en un circuito RLC en el cual las reactancias capacitiva e inductiva
son de igual magnitud, por lo cual dan lugar a una impedancia resistiva.
La principal característica de la respuesta en frecuencia de un circuito quizá sea el pico pronunciado
(o el pico resonante) que se representa por su amplitud característica. El concepto de resonancia se
aplica en varias áreas de la ciencia y de la ingeniería. La resonancia ocurre en cualquier sistema que
tenga un par de polos complejos conjugados; ésta es la causa de que la energía almacenada oscile
de una forma a otra. Constituye el fenómeno que permite la discriminación de frecuencia en las redes
de comunicaciones. La resonancia se presenta en cualquier circuito que tiene al menos una bobina
(inductor) y un capacitor.
Los circuitos resonantes (en serie o en paralelo) son útiles para construir filtros, pues sus funciones
de transferencia pueden ser altamente selectivas en frecuencia. Se utilizan en muchas aplicaciones,
como las de seleccionar las estaciones deseadas en los receptores de radio y de televisión.
3.- Ancho de banda
Los circuitos resonantes son utilizados para seleccionar bandas de frecuencias y para rechazar otras.
Cuando se está en la frecuencia de resonancia la corriente por el circuito es máxima.
En la figura: A una corriente menor (70.7% de la máxima), la frecuencia F1 se llama frecuencia baja
de corte o frecuencia baja de potencia media. La frecuencia alta de corte o alta de potencia media es
F2.
7. 4.- Factor de calidad Q
El factor de calidad de un circuito resonante es la razón entre la frecuencia resonante y su ancho de
banda. En la resonancia, la energía reactiva en el circuito oscila entre la bobina y el capacitor. El
factor de calidad relaciona la energía máxima o pico almacenada con la energía que se disipa en el
circuito por ciclo de oscilación:
Q = 2ח Pico de la energía almacenada en el circuito
Disipación de energía por el circuito
en un periodo de resonancia
5.- Uso de los circuitos resonantes como filtros pasa-banda
El circuito resonante en serie RLC proporciona un filtro pasa-banda cuando la salida se toma de la
resistencia como se muestra en la figura. La función de transferencia es
H(w) = Vo/Vi = R÷[R + j(wL – 1/Wc)]
Obsérvese que H(0) = 0, H(∞) = 0. La figura presenta el diagrama de |H(w)|. El filtro pasa-banda
deja pasar una banda de frecuencias (w1< w <w2) centrada, correspondientes a la frecuencia
central, la cual está dada por,
Un filtro pasa-bandas se diseña para dejar pasar todas las frecuencias dentro de una banda de
frecuencias, w1< w <w2.
