2. Plano numérico
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una
horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el plano, la cual está representada por el
sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la
circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la geometría analítica.
3. Distancia
La distancia entre dos puntos en el espacio euclidiano es igual a la longitud de la línea recta que
los conecta , expresada en numero.
Ejemplo:
La distancia entre dos puntos
Dados dos puntos cualesquiera
A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la
distancia entre ellos, d(A,B), como la
longitud del segmento que los separa.
la distancia entre dos puntos equivale a la longitud
del segmento de recta que los une, expresado
numéricamente.
4. Punto Medio
El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un
segmento. Si es un segmento, el punto medio es el que lo divide en dos partes iguales.
Sean A(x_1, y_1, z_1) y B(x_2, y_2, z_2) los extremos de un segmento, el punto medio del segmento viene dado por:
Ejemplos para el calculo del punto medio
Dados los puntos A(3, -2, 5) y B(3, 1, 7), hallar las coordenadas del punto medio del
segmento que determinan
Utilizando la formula de las coordenadas del punto medio tendremos
5. Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad algebraica en la cual aparecen letras (incógnitas) con valor desconocido. El grado
de una ecuación viene dado por el exponente mayor de la incógnita. Solucionar una ecuación es determinar el
valor o valores de las incógnitas que transformen la ecuación en una identidad
Partes de una ecuación
Las ecuaciones están formadas por diferentes elementos. Veamos cada uno de ellos.
Cada ecuación tiene dos miembros, y estos se separan mediante el uso del signo igual (=)
Cada miembro está conformado por términos, que corresponden a cada uno de los monomios.
Los valores de cada monomio de la ecuación pueden ser de diferente tenor. Por ejemplo:
constantes
coeficientes
variables
funciones
vectores
Las incógnitas, es decir, los valores que se desean encontrar, se representan con letras. Veamos un ejemplo de
ecuación.
6. Tipos de ecuaciones
1 Ecuaciones algebraicas
Las ecuaciones algebraicas, que son las fundamentales, se
clasifican o subdividen en los diversos tipos que se
describen a continuación
a. Ecuaciones de primer grado o ecuaciones lineales
Son las que involucran una o más variables a la primera
potencia y no presenta producto entre variables.
Por ejemplo: a x + b = 0
Existen diferentes tipos de ecuaciones de acuerdo a su función. Conozcamos cuáles son.
b. Ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas
En este tipo de ecuaciones, el término desconocido está
elevado al cuadrado.
Por ejemplo: ax
2
+ bx + c = 0
c. Ecuaciones de tercer grado o ecuaciones cúbicas
En este tipo de ecuaciones, el término desconocido está
elevado al cubo.
Por ejemplo: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
7. d. Ecuaciones de cuarto grado
Aquellas en las que a, b, c y d son
números que forman parte de un
cuerpo que puede ser ℝ o a ℂ.
Por ejemplo: ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx
+ e = 0
2. Ecuaciones trascendentes
Son un tipo de ecuación que no se puede resolver solo
mediante operaciones algebraicas, es decir, cuando
incluye al menos una función no algebraica.
Por ejemplo,
8. 3. Ecuaciones funcionales
Son aquellas cuya incógnita son una
función de una variable.
Por ejemplo,
4. Ecuaciones integrales
Aquella en que la función
incógnita se encuentra en el
integrando. 5. Ecuaciones diferenciales
Aquellas que ponen en
relación una función con sus
derivadas.
9. Trazado de circunferencias
Se trata de hacer pasar un arco de circunferencia, o bien una circunferencia completa, por tres puntos (no
alineados) que se tienen como datos.
Se unen los tres puntos, dos a dos, por ejemplo A-B y
B-C.
Se trazan las mediatrices de los segmentos AB y BC.
El punto O, donde se cortan las dos mediatrices, es el
centro del arco solicitado. Desde este punto se traza el
arco o la circunferencia que deberá pasar por los tres
puntos.
10. Una parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo, llamado foco y de una recta fija del
mismo plano llamada directriz.
Parábolas
Los elementos de la parábola son:
Foco: el foco F es el punto fijo. Los puntos de la parábola equidistan del foco y la directriz.
Directriz: es la recta fija D. Los puntos de la cónica equidistan de la directriz y el foco.
Radio vector: es el segmento R que une el foco con cada uno de sus puntos. Es igual al
segmento perpendicular a la directriz desde el punto correspondiente.
Eje: es la recta E perpendicular a la directriz que pasa por el foco y el vértice. Es el eje de
simetría de la parábola.
Parámetro: p es la distancia entre el foco y el punto más próximo de la directriz
Vertice :es el punto V de la intersección del eje y la parábola.
Distancia focal: distancia entre el foco F y el vértice V. Es igual a p/2.
Puntos interiores y exteriores: la parábola divide el plano en dos regiones. Los puntos que están
en la región del foco se llaman puntos interiores (I), mientras que los otros son los exteriores (J).
11. Elipses
Una elipse es una curva plana, simple y cerrada con dos ejes de simetría que resulta al cortar
la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo mayor que el de
la generatriz respecto del eje de revolución
Se trata de una circunferencia achatada que se caracteriza porque la suma de las distancia
desde cualquiera de sus puntos p
Hasta otros dos puntos denominados focos (f y f) es siempre la misma
Ten en cuenta que para cualquier punto de elipse siempre se cumple que :
Donde d ( P,F) y d ( P,F ) es la distancia de un punto Pal foco F y al foco F respectivamente
12. Hipérbola
Una hipérbola es una curva abierta de dos ramas, obtenida cortando un cono recto mediante un plano no necesariamente
paralelo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución
En la gráfica anterior, esto significa que PF_PF =2ªpara cualquier punto P de la hipérbola.
Excentricidad de la hipérbola
La excentricidad es un parámetro que indica la abertura de la hipérbola. Este número, en el caso de las hipérbolas, siempre es mayor que 1.
13. Representar gráficamente las ecuaciones
de las cónicas
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las diferentes intersecciones entre
un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en
cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y
la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden
obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de
elipse) (rojo)
Y β= 180º : Triangular
si el plano pasa por el vértice del cono, se puede
comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el
plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se
cortan en el vértice.
Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando
a medida β disminuye,cuando el plano contenga al eje del cono
(β = 0).
