Skrypt dla studentów matematyki. Autor: Maciej Czarnecki. Tytuł: Przestrzeń euklidesowa liniowa

1. Maciej Czarnecki
Geometria szkolna
skrypt dla studentów matematyki
Rozdział I
Przestrzeń euklidesowa liniowa
Niech n ∈ N oraz n 2. Niech Rn oznacza zbiór uporzadkowanych n–tek liczb
rzeczywistych
Rn = {(x1 , . . . , xn ) ; x1 , . . . , xn ∈ R}.
Elementy zbioru Rn
nazywamy wektorami. W zbiorze Rn wprowadzamy naturalne
działania + (dodawania wektorów)
x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ) dla x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn
oraz · (mnożenia wektora przez liczbe)
a · x = (ax1 , . . . , axn ) dla x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , a ∈ R
Twierdzenie 1. (Rn , R, +, ·) jest rzeczywista przestrzenia liniowa wymiaru n.
Definicja 2. Niech u, v ∈ Rn .
Mówimy, że wektor u jest równoległy do wektora v jeżeli układ (u, v) jest liniowo
zależny. Piszemy wówczas u v.
Mówimy, że wektor u ma ten sam zwrot co wektor v (lub jest zgodnie zorientowany
z wektorem v) jeżeli istnieje s 0 takie, że s · u = v lub s · v = u. Piszemy wówczas
u ↑↑ v.
Uwaga 3. Wektor u jest równoległy do wektora v wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
s ∈ R takie, że s · u = v lub s · v = u.
Twierdzenie 4. Dla dowolnych u, v ∈ Rn sa spełnione nastepujace warunki:
(1) u θ oraz u ↑↑ θ.
(2) u −u.
(3) u v wtedy i tylko wtedy, gdy u ↑↑ v lub u ↑↑ −v.
(4) u ↑↑ −u wtedy i tylko wtedy, gdy u = θ.
Ponadto
(5) Relacja równoległości wektorów jest zwrotna i symetryczna w Rn i jest relacja
równoważności w Rn {θ}.
(6) Relacja zgodnej orientacji wektorów jest zwrotna i symetryczna w Rn i jest
relacja równoważności w Rn {θ}.
1

2. 2
Dowód: 1. i 2. sa oczywiste (wystarczy przyjać s = 0 lub s = −1). Punkt 3.
wynika bezpośrednio z Uwagi 3.
Dla dowodu 4. przyjmijmy, że u = θ (przypadek u = θ jest trywialny) i istnieje
s > 0 spełniajace warunek s · u = −u. Wówczas jednak (s + 1) · u = θ, co daje s = −1,
sprzeczność.
Relacje równoległości i zgodnej orientacji sa zwrotne i symetryczne z samej definicji
(oraz na mocy Uwagi 3.). Wykażemy przechodniość relacji równoległości w Rn {θ}.
Jeżeli u, v, w ∈ Rn {θ} sa takie, że u v i v w, to istnieja liczby s, t = 0 spełniajace
warunki v = s · u i w = t · v. Stad w = ts · u, czyli u w.
Dowód przechodniości relacji zgodnej orientacji jest analogiczny.
Definicja 5. Standardowym iloczynem skalarnym (lub krótko iloczynem skalarnym)
nazywamy funkcje ., . : Rn × Rn → R dana wzorem
n
u, v = ui vi dla u = (u1 , . . . , un ), v = (v1 , . . . , vn ) ∈ Rn .
i=1
Twierdzenie 6. (Rn , ., . ) jest liniowa przestrzenia euklidesowa, to znaczy dla u, v, w ∈
Rn oraz a, b ∈ R sa spełnione warunki:
(1) u, v = v, u .
(2) a · u + b · v, w = a u, w + b v, w .
(3) Jeżeli u = θ, to u, u > 0.
Definicja 7. Norma (długościa) wektora u = (u1 , . . . , un ) ∈ Rn nazywamy liczbe
n
|u| = u, u = u2 .
i
i=1
Twierdzenie 8. (Rn , |.|) jest przestrzenia unormowana, to znaczy dla u, v ∈ Rn oraz
a ∈ R zachodza warunki:
(1) |u| 0.
(2) |u| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy u = θ.
(3) |a · u| = |a| |u|.
(4) |u + v| |u| + |v|.
Twierdzenie 9. (nierówność Schwarza) Dla dowolnych wektorów u, v ∈ Rn zachodza
nastepujace warunki:
(1) | u, v | |u| |v|.
(2) | u, v | = |u| |v| wtedy i tylko wtedy, gdy u v.
(3) u, v = |u| |v| wtedy i tylko wtedy, gdy u ↑↑ v.
Dowód: Zauważmy, że jeżeli chociaż jeden z wektorów jest zerowy, to nierówność
1. i równości z punktów 2.,3. sa spełnione, zatem na mocy twierdzenia 4.1 równoważ-
ności sa prawdziwe.
Załóżmy teraz, że u, v = θ.
(1) Dla dowolnego λ ∈ R (na podstawie własności iloczynu skalarnego – Twier-
dzenie 6.) otrzymujemy
0 u + λ · v, u + λ · v = |v|2 λ2 + 2λ u, v + |u|2

3. 3
Ostatnie wyrażenie jest trójmianem kwadratowym zmiennej λ o dodatnim
współczynniku przy λ2 (v = θ), wiec jego wyróżnik jest niedodatni:
0 4 u, v − 4|u|2 |v|2 ,
co jest już równoważne tezie.
(2) ⇐) Na mocy uwagi 3. możemy założyć, że istnieje s = 0 takie, że v = s · u.
Wówczas z twierdzeń 6 i 8 otrzymujemy
| u, v | = |s u, u | = |s| |u|2 = |u| |s · u| = |u| |v|.
⇒) Jeżeli | u, v | = |u| |v|, to 4 u, v − 4|u|2 |v|2 = 0. Tym samym trójmian
kwadratowy
v − λ · u, v − λ · u = |u|2 λ2 − 2 u, v λ + |v|2
ma pierwiastek (podwójny) λ0 = 0 (bo u = θ). Stad v − λ0 · u, v − λ0 · u = 0
i co za tym idzie v = λ0 · u.
(3) ⇐) Dowodzimy analogicznie jak w punkcie 2 korzystajac z tego, że dla s > 0
zachodzi równość |s| = s.
⇒) Analogicznie jak w punkcie 2. otrzymujemy, że istnieje takie λ0 = 0, że
v = λ0 · u. Korzystamy z założenia i dostajemy
λ0 |u|2 = u, v = |u| |v| = |λ0 | |u|2 ,
skad λ0 > 0.
Twierdzenie 10. (równość równoległoboku) Dla dowolnych u, v ∈ Rn zachodzi rów-
ność
|u + v|2 + |u − v|2 = 2|u|2 + 2|v|2 .
Dowód: Bezpośredni rachunek.
Twierdzenie 11. (zwiazek iloczynu skalarnego z norma) Dla dowolnych u, v ∈ Rn
zachodzi równość
1
u, v = |u + v|2 − |u − v|2 .
4
Dowód: Bezpośredni rachunek.
Twierdzenie 12. (zwiazek równoległości i zgodnej orientacji z norma Dla dowolnych
wektorów u, v ∈ Rn spełnione sa nastepujace warunki:
(1) u v wtedy i tylko wtedy, gdy |u + v| = |u| + |v| lub |u + v| = | |u| − |v| |.
(2) u ↑↑ v wtedy i tylko wtedy, gdy |u + v| = |u| + |v|.
(3) u v wtedy itylko wtedy, gdy | |u| − |v| | < |u + v| < |u| + |v|.
Dowód: Zauważmy, że jeźeli którykolwiek z wektorów jest zerowy, to stwierdzenia
1,2,3 sa oczywiste. Załóżmy wiec, że u, v = θ.
(1) ⇐) Jeżeli zachodzi prawa strona równoważności, to |u + v|2 = (|u| ± |v|)2 .
Stad |u| |v| = | u, v | i na mocy twierdzenia 9.2 wektory u i v sa równoległe.
⇒) Załóżmy, że u v i niech s = 0 bedzie takie, że v = s · u. Wówczas
|u + v| = |1 + s| |u|.
Dla s > 0 mamy zatem
|u + v| = (1 + s)|u| = |u| + |s| |u| = |u| + |v|.

4. 4
Jeżeli s ∈ [−1, 0), to
|u + v| = (1 + s)|u| = |u| − |s| |u| = |u| − |v|,
a dla s < −1 otrzymujemy
|u + v| = −(1 + s)|u| = −|u| + |s| |u| = |v| − |u|.
(2) Dowód przebiega tak samo jak w 1.
(3) Z twierdzenia 8.4 wynika, że zawsze
| |u| − |v| | |u + v| |u| + |v|,
ale na mocy 1. zachodzenie którejkolwiek z równości jest równoważne równo-
ległości wektorów u i v.
Definicja 13. Katem (nieskierowanym) pomiedzy wektorami u, v ∈ Rn {0} nazy-
wamy liczbe
u, v
(u, v) = arc cos .
|u| |v|
Wektory u i v sa prostopadłe jeżeli u, v = 0. Piszemy wtedy u ⊥ v.
Uwaga 14. Z twierdzenia 9.1 wynika, że kat miedzy wektorami niezerowymi jest do-
brze określony.
Wektory niezerowe sa prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy (u, v) = π . Ponadto
2
z twierdzenia 9 wynika, że wektory sa zgodnie zorientowane jeżeli tworza kat 0, a
równoległe — gdy tworza kat 0 lub π.
Twierdzenie 15. (cosinusów) Dla dowolnych wektorów u, v ∈ Rn {θ} zachodzi
równość
|u + v|2 = |u|2 + |v|2 + 2|u| |v| cos (u, v).
Dowód: Wynika bezpośrednio z definicji kata i własności iloczynu skalarnego.
Wniosek 16. (twierdzenie Pitagorasa) Dla dowolnych u, v ∈ Rn spełniony jest wa-
runek
u ⊥ v wtedy i tylko wtedy, gdy |u + v|2 = |u|2 + |v|2 .
Definicja 17. Niech dane beda wektory v1 , . . . , vk ∈ Rn . Macierz
G(v1 , . . . , vk ) = [ vi , vj ]1 i,j k
nazywamy macierza Grama, a jej wyznacznik det G(v1 , . . . , vk ) — wyznacznikiem
Grama.
Przykład 18. det G(v1 ) = |v1 |2
det G(v1 , v2 ) = |v1 |2 |v2 |2 − v1 , v2 2
Twierdzenie 19. Dla dowolnych (v1 , . . . , vk ) ∈ Rn spełnione sa nastepujace warunki:
(1) det G(v1 , . . . , vk ) 0.
(2) det G(v1 , . . . , vk ) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (v1 , . . . , vk ) jest układem liniowo
zależnym.

5. 5
Dowód: Niech v1 , . . . , vk ∈ Rn . Niech (u1 , . . . , up ) bedzie baza ortonormalna pod-
przestrzeni liniowej lin(v1 , . . . , vk ) przestrzeni Rn . Położmy
wi = ( vi , u1 , . . . , vi , up ) ∈ Rp dla i = 1, . . . k.
Zauważmy, że wi , wj = vi , vj dla i, j = 1, . . . , k (iloczyny skalarne odpowiednio
w Rp i Rn ). Istotnie,
p p p
wi , wj = vi , ul vj , ul = vi , ul vj , um ul , um
l=1 l=1 m=1
p p
= vi , ul ul , vj , um um = vi , vj .
l=1 m=1
Ponadto w przestrzeni R p
T
w1 w1 w1
   
 .  T T  .  . 
G(w1 , . . . , wk ) = [ wi , wj ]= . 
. w1 . . . wk =  .  .  ,
. .
wk wk wk
skad
2
w1
 
 . 
det G(w1 , . . . , wk ) = det  .  .

.
wk
Ostatecznie otrzymujemy
det G(v1 , . . . , vk ) = det [ vi , vj ]1 i,j k = det [ wi , wj ]1 i,j k
2
w1
 
= det G(w1 , . . . , wk ) = det  . 
  . 
.
wk
Z ostatniej równości natychmiast otrzymujemy 1. Ponadto det G(v1 , . . . , vk ) = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy układ (w1 , . . . , wk ) jest liniowo zależny, a to z kolei jest rów-
noważne faktowi, że p = dim lin(v1 , . . . , vk ) < k czyli zależności układu (v1 , . . . , vk ).
Wniosek 20. Jeżeli v1 , . . . , vn ∈ Rn , to
2
v1
 
 . 
det G(v1 , . . . , vn ) = det  .  .

.
vn
Nastepujace właności wynikaja bezpośrednio z definicji wyznacznika Grama
Twierdzenie 21. Dla dowolnych v1 , . . . , vk ∈ Rn
k 2
(1) det G(v1 , . . . , vk ) i=1 |vi | .
k 2
(2) Jeżeli v1 , . . . , vk = θ, to det G(v1 , . . . , vk ) = i=1 |vi | wtedy i tylko wtedy, gdy
układ (v1 , . . . , vk ) jest ortogonalny.
(3) Dla dowolnej permutacji σ zbioru {1, . . . , k}
det G(v1 , . . . , vk ) = det G(vσ(1) , . . . , vσ(k) ).

6. 6
(4) det G(−v1 , . . . , vk ) = det G(v1 , . . . , vk ).
(5) Jeżeli a2 , . . . , ak ∈ R, to
 
k
det G v1 + aj vj , v2 , . . . , vk  = det G(v1 , . . . , vk )
j=2
.
Definicja 22. Niech v1 , . . . , vn−1 ∈ Rn i niech A bedzie macierza, której kolejne
wiersze sa współrzednymi wektorów v1 , . . . , vn−1 . Niech ponadto Aj oznacza macierz
powstała z macierzy A przez skreślenie w niej j–tej kolumny. Wektor
v1 × . . . × vn−1 = (−1)1+n det A1 , . . . , (−1)n+n det An
nazywamy iloczynem wektorowym wektorów v1 , . . . vn−1 .
Przykład 23. W przestrzeni R3 iloczyn wektorowy wektorów u = (u1 , u2 , u3 ) i v =
(v1 , v2 , v3 ) jest równy
u2 u3 u u3 u u2
u×v = ,− 1 , 1 .
v2 v3 v1 v3 v1 v2
Twierdzenie 24. (własności iloczynu wektorowego) Niech v1 , . . . , vn−1 ∈ Rn oraz
v = v1 × . . . × vn−1 . Wówczas
(1) v ⊥ lin(v1 , . . . , vn−1 ).
(2) |v| = det G(v1 , . . . , vn−1 ).
(3) Jeżeli układ (v1 , . . . , vn−1 ) jest liniowo zależny, to v = θ.
(4) Jeżeli układ (v1 , . . . , vn−1 ) jest liniowo niezależny, to układ (v1 , . . . , vn−1 , v)
jest dodatnio zorientowana baza przestrzeni Rn (to znaczy wyznacznik tego
układu wektorów jest dodatni).
Ponadto jeżeli pewien wektor v ∈ Rn spełnia warunki 1–4, to v = v1 × . . . × vn−1 .
Dowód: Załóżmy, że v1 , . . . , vn−1 ∈ Rn oraz v = v1 × . . . × vn−1 .
(1) Dla i = 1, . . . , n − 1 z definicji iloczynu wektorowego otrzymujemy
v1
 
n  .
 .

(1) vi , v = j
(−1)n+j vi det Aj = det  .  = 0,

 vn−1 
j=1
vi
ponieważ ostatni wyznacznik ma dwa takie same wiersze vi .
(2) Podobnie jak w punkcie 1. otrzymujemy
v1
 
 .
 .

(2) |v|2 = v, v = det  . .

 vn−1 
v
Zależność (1) pozwala przedstawić poszerzona o v macierz Grama w postaci
0
 
 G(v , . . . , v . 
. 
1 n−1 ) .
G(v1 , . . . , vn−1 , v) =  ,

 0 
0 ... 0 |v|2

7. 7
skad na podstawie wniosku 20 i (2) dostajemy
2
v1
 
 .
 .
 
(3) |v|4 = det 
 .  = det G(v1 , . . . , vn−1 , v) = |v|2 det G(v1 , . . . , vn−1 ).

  vn−1 
v
To zaś przy v = θ daje |v| = det G(v1 , . . . , vn−1 ).
(3) Wynika natychmiast z (3) i twierdzenia 19.2.
Gdy v = θ, to rzad macierzy A jest mniejszy od n − 1 i układ (v1 , . . . , vn−1 )
jest liniowo zależny. Wówczas na mocy twierdzenia 19.2 jego wyznacznik
Grama jest zerowy, co dowodzi 2. także w tym przypadku.
(4) Jeżeli układ (v1 , . . . , vn−1 ) jest liniowo niezależny, to z (3) otrzymujemy, że
v = θ, skad w oparciu o (2)
v1
 
 .
 .

det  .  > 0.

 vn−1 
v
Załóżmy teraz, że wektor v spełnia warunki 1.–4. Gdyby v = θ, to z 2. wyznacznik
Grama układu (v1 , . . . , vn−1 ) jest równy 0, układ ten jest liniowo zależny i z 3. v1 ×
. . . × vn−1 = θ = v.
Jeżeli v = θ, to z 1. i 4. wynika, że v jest generatorem (jednowymiarowej) podprze-
strzeni (lin(v1 , . . . , vn−1 ))⊥ . Do wyznaczenia jego długości służy warunek 2, a zwrotu
— ponownie 4.
Wniosek 25. Jeżeli u, v ∈ R3 {θ}, to
|u × v| = |u| |v| sin (u, v).
Dowód: Z twierdzenia 24.2 oraz definicji kata pomiedzy wektorami otrzymujemy
|u × v|2 = det G(u, v) = |u|2 |v|2 − u, v 2
=|u|2 |v|2 − |u|2 |v|2 cos2 (u, v) = |u|2 |v|2 sin2 (u, v),
co daje teze, ponieważ (u, v) ∈ [0, π]
Uwaga 26. Zwrot wektora u×v można wyznaczyć za pomoca tzw. reguły śruby prawo-
skretnej. Podczas krecenia zwinieta prawa dłonia z wysunietym kciukiem od wektora
u do wektora v kierunek ruchu kciuka wskazuje zwrot wektora u × v.
Definicja 27. Niech u, v, w ∈ R3 . Liczbe
(u; v; w) = u × v, w
nazywamy iloczynem mieszanym wektorów u, v, w.
Twierdzenie 28. W przestrzeni R3 iloczyn wektorowy jest dwuliniowym operato-
rem alternujacym, a iloczyn mieszany trójliniowym operatorem alternujacym. Innymi
słowy, dla u, v, w, z ∈ R3 oraz a, b ∈ R spełnione sa warunki:
(1) (a · u + b · v) × w = a · (u × w) + b · (v × w).
(2) v × u = −u × v.
(3) (a · u + b · v; w; z) = a(u; w; z) + b(v; w; z).

8. 8
(4) (u; v; w) = −(v; u; w) = −(w; v; u) = −(u; w; v).
Ponadto
(5) (u × v) × w = u, w v − v, w u.
Dowód: Warunki 1. i 2. wynikaja bezpośrednio z własności wyznacznika. Dla
dowodu 3. i 4. wystarczy zauważyć, że

u

u2 u3 u1 u3 u1 u2
(u; v; w) = w1 − w2 + w3 = det  v 
v2 v3 v1 v3 v1 v2
w
i ponownie skorzystać z własności wyznacznika.
Warunku 5. dowodzimy bezpośrednio
(u × v) × w =(u2 v3 − u3 v2 , −u1 v3 + u3 v1 , u1 v2 − u2 v1 ) × (w1 , w2 , w3 )
=((−u1 v3 + u3 v1 )w3 − (u1 v2 − u2 v1 )w2 ,
− (u2 v3 − u3 v2 )w3 + (u1 v2 − u2 v1 )w1 ,
(u2 v3 − u3 v2 )w1 − (−u1 v3 + u3 v1 )w2 )
=((u2 w2 + u3 w3 )v1 − (v2 w2 + v3 w3 )u1 ,
(u1 w1 + u3 w3 )v2 − (v1 w1 + v3 w3 )u2 ,
(u1 w1 + u2 w2 )v3 − (v1 w1 + v2 w2 )u3 )
= u, w v − v, w u